CC BY
51Проектирование обувных колодок с переменной
носочной частью Сообщение 2. Проектирование поперечных сечений
Замарашкин К.Н. ([email protected])
Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна
Поперечные сечения носочных частей обувных колодок не отличаются особым разнообразием. Можно выделить две основные формы верха носка: с наличием выраженной четырехугольности или без нее. Последняя форма носка получила большее распространение, хотя в современной моде используют силуэты переходных форм с профилем, близким к прямоугольному.
Для систематического описания поперечных сечений можно использовать разные функциональные зависимости. Выбор остается за конструктором. Для проектирования носочной части колодки целесообразно выбирать наиболее простые функции из тех, которые хорошо описывают профиль сечения в пределах заданного допуска. Стандартное описание с помощью кусочно-полиномиальных функций (например, кубических сплайнов) на практике приводит к необходимости в теоретических исследованиях решать уравнения как минимум третьей степени. Рассмотрим более подробно квадратичные зависимости. Аппроксимируем верхний контур сечений носочной части колодки квадратичным полиномом с помощью метода наименьших квадратов. Результаты вычислений приведены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1. Приближение верхней части носка женской колодки полиномом второй степени по сечениям (2 - расстояние сечения от начала координат, Я8 - коэффициент определенности)
2=216 . . 2 У = -20.52 + 0.07 X + 0.02 X2, Я8 = 0.93
2=222 . . 2 У = -20.55 + 0.07 X + 0.03 X2, Я8 = 0.95
2=225 . . 2 У = -20.87 + 0.07 X + 0.03 X2, Я8 = 0.93
2=228 . . 2 У = -20.17 + 0.09 X + 0.03 X2, Я8 = 0.96
2=231 . . 2 У = -19.42 + 0.08 X + 0.04 X2, Я8 = 0.96
2=234 . . 2 У = -17.87 + 0.09 X + 0.05 X2, Я8 = 0.96
2=237 . . 2 У = -15.40 + 0.06 X + 0.05 X2, Я8 = 0.96
2=240 . . 2 У = -11.94 + 0.03 X + 0.06 X2, Я8 = 0.97
Таблица 2. Приближение верхней части носка мужской колодки полиномом второй степени по сечениям (2 - расстояние сечения от начала координат, Я8 - коэффициент определенности).
. . 2
2=230 У = -15.86 - 0.19 X + 0.01 X2, Я8 = 0.82
2=240 . . 2 У = -16.77 - 0.21 X + 0.02 X2, Я8 = 0.81
2=250 . . 2 У = -17.51 - 0.21 X + 0.02 X2, Я8 = 0.82
2=255 . . 2 У = -17.50 - 0.23 X + 0.02 X2, Я8 = 0.86
2=260 . . 2 У = -16.96 - 0.25 X + 0.03 X2, Я8 = 0.85
2=263 . . 2 У = -15.58 - 0.26 X + 0.03 X2, Я8 = 0.84
2=266 . . 2 У = -12.05 - 0.29 X + 0.05 X2, Я8 = 0.95
2=269 . . 2 У = -07.03 - 0.31 X + 0.07 X2, Я8 = 0.95
Анализ расчетов свидетельствует о следующем: коэффициенты полиномов при разных степенях переменных совпадают по знаку и по порядку величины в разных сечениях. Это означает, что сечения сходны между собой. По длине носочной части (которая составляет примерно 20 - 100 мм) квадратичный член вносит вклад, сравнимый с вкладом линейного. Следует особо отметить, что упрощающее предположение о близости форм верха поперечных сечений носка традиционного фасона полностью подтверждается из таблицы коэффициентом сходства при приближении по методу наименьших квадратов: степень сходства сечений верха носка колодки с параболой выше 80% для мужской колодки и 90% для женской колодки для всех сечений.
Для описания всего семейства поперечных сечений (на базе парабол) целиком необходимо определить зависимости а(5), Ь(5), с(5), где а, Ь, с - коэффициенты аппроксимирующей параболы, 5 - длина дуги осевой линии носочной части (или номер поперечного сечения). Аппроксимируем значения коэффициентов парабол сечений носочной части колодки квадратичным полиномом с помощью метода наименьших квадратов. Результаты вычислений приведены на рис.1 и 2.
Рисунок 1 Графики зависимости коэффициентов парабол от длины осевой линии (мужская колодка)
Рисунок 2. Графики зависимости коэффициентов парабол от длины осевой линии (женская колодка)
Анализ графиков для мужской и женской колодок показывает, что функциональные зависимости существуют и однозначны. Вид графиков показывает, что для большинства коэффициентов можно воспользоваться приближением квадратичной функцией. Это означает, что поверхность носочной части колодки можно описать набором двух ортогональных семейств парабол, причем семейства отличаются знаком кривизны. Первый вывод позволяет искать приближение всей носочной части поверхности колодки в виде биквадратичного 2 2 .
сплайна г(и,V) = , второй вывод говорит о том, что поверхность носочной части
¿=0 7=0
колодки очень близка по форме к одной из стандартных поверхностей второго порядка -однополостному гиперболоиду. Практическое значение выводов велико: известно, что сложную поверхность колодки до сечения 0.9Б приходится описывать достаточно сложным в теоретических исследованиях и при расчетах бикубическим интерполяционным сплайном. Оказывается, носочная часть весьма точно может быть представлена полиномом меньшей степени, притом хорошо изученным.
В случае, когда форма верха сечения носочной части далека от параболической, следует воспользоваться ее представлением в виде сверхэллипса [1]. Сверхэллипсом называется функция вида
—+У- = 1
ап + Ьп
Причем показатель степени п(п > 2) управляет формой кривой: чем больше п, тем ближе кривая к прямоугольнику. Показатель степени следует выбирать в зависимости от требуемой формы сечения.
Для классификации типов носочных сечений и внесения их в соответствующую базу данных, следует определить набор классификационных параметров. Как упоминалось ранее, некоторые из параметров (параметры осевой линии) однозначно определят форму носочной части и могут быть рекомендованы к стандартизации, некоторые (параметры поперечных сечений) зависят от выбора функции представления верхнего контура сечений и, следовательно, от произвола проектировщика.
Определим два параметра описания поперечных сечений носка: коэффициент формоизменения и коэффициент сужения. Коэффициент формоизменения определим как показатель степени в приближающей верх сечения функции: при п=2 профиль верха сечения закругленный, гладкий, и может быть представлен в декартовых координатах в виде
у = ах + Ьх + с
или в виде дуги эллипса
2 2 X у ,
—г + ^т = 1
22 а Ь
При п>2 (п<6) профиль верха сечения близок к прямоугольному, причем, чем п больше, тем отчетливее прямоугольность. В этом случае профиль описывается зависимостью вида
хп + уп =1 — + — = 1 ап Ьп
Где а, Ь - полуоси аппроксимирующего сверхэллипса. Таким образом, коэффициент формоизменения к^ = 2::6. Следует особо отметить, что показатель степени не обязан быть
целым числом.
Определив параметры семейства поперечных сечений верха носочной части в виде зависимости a(s), Ь^), с^), aэлл(s), aэлл(s), где s - длина дуги осевой линии, введем коэффициент сужения носочной части в виде
к = а(0)
к о -
" а(1)
где а(1) и а(0) - соответственно широтные параметры последнего и первого сечений (иначе говоря, а(0) есть полуширина аппроксимированного сечения колодки 0.9Б). Значения
к$ исторически отличаются большим разнообразием, нежели к у и могут находиться в
широком диапазоне. Для носочной части мужской колодки (размер 270, фасон 912232)
3
параметры кг и таковы: кг = 2, = —. Оба сечения, ограничивающие носочную часть, в
5
данном случае записываются в виде функций одного семейства, поэтому выражение для определения к& можно записать в явном виде как функцию коэффициентов аппроксимирующих сечения парабол:
а2 VЬ2 - 40^1
к3 =
а1у[ь2~- 4а 2 с2
и получить значение коэффициента можно непосредственной подстановкой коэффициентов из таблицы.
Изменение к& приведет к сужению носочной части. Таким образом, определены все
параметры проектируемого сечения носочной части, перечисленные в начале статьи (Сообщение 1).
Отдельную задачу представляет собой описание процесса изменения формы верха носочной части колодки, когда в сечении 0.9Б колодки верх не содержит особых точек, а постепенно, ближе к носку, выделяются ребра, подчеркивающие прямоугольность верха носочной части. В этом случае дискретный параметр формоизменения носочной части следует заменить непрерывной аппроксимацией по двум - трем промежуточным значениям. Ясно, что в подавляющем большинстве случаев ку 09ц =2. При кш.99о =6 кончик носка будет практически
прямоугольным. В зависимости от художественной, дизайнерской идеи характер зависимости ку = 2 (Б) может меняться от линейного ку = N * 4 + 2 ( где N - номер сечения носочной
части в долях расстояния от сечения 0.9Б) до нелинейного.
Смещение от линейной зависимости будет означать степень гладкости (ребристости) верха носочной части и распределение ребристости по длине носка. Общих рекомендаций по выбору зависимости нет, т.к. она будет зависеть как от длины носочной части, так и от половозрастной группы и модели обуви.
Например, для традиционной повседневной модели мужских полуботинок (80-е г.г. XX в.) коэффициент формоизменения всей носочной части постоянен и не зависит от длины осевой линии: ку^ =2. Все сечения могут быть описаны параболой стандартного вида.
Исследования [2] показали, что для описания поперечного сечения следа носочной части колодки (стопы) также можно воспользоваться параболами. Описание поперечного сечения следа с помощью кубических сплайнов возможно, однако коэффициенты при степенях переменных, выше или равных 2, на несколько порядков меньше коэффициентов при линейной переменной. Аналогичные результаты получаются и при приближении параболами. Например, для следа стандартного сечения 0.9Б (см. рис.3) мужской колодки с помощью метода наименьших квадратов получено следующее выражение для приближающей параболы: у = -0.002х2 - 0.061х +15.979. Среднеквадратичная ошибка единицы веса при приближении составила +/- 0.09мм.
Рисунок 3. След сечения 0.9Б мужской колодки (точки) и парабола приближения по МНК (штрих.линия)
Для других сечений получены аналогичные результаты. Полученные результаты свидетельствуют о том, что след носочной части с высокой степенью точности может быть описан семейством фрагментов парабол с набором параметров следа сечения 0.9D, проходящих через точки ребра следа (верха) носочной части. При необходимости поверхность следа носочной части можно представить участком плоскости; в этом случае отклонение от экстраполированной поверхности следа всего тела колодки не превысит +/-1мм.
Краткое описание БД носочных частей колодки
Смысл БД: организация интерфейса между заказчиком, конструктором с использованием ретроспективного опыта о типоразмерах, дизайне и форме носочных частей; классификация носочных частей; корреляционные матрицы носочных частей колодок.
1. Определение носочной части.
Носочная часть колодки - декоративно-технологическое дополнение к основному телу колодки, выполняемое в едином с основным телом колодки конструктиве от сечения 0.9D.
2. Основные параметры длина осевой линии (проекции); кривизна осевой линии коэффициент формоизменения коэффициент сужения.
Диапазоны изменения основных параметров длина 0.2D - 0.5D;
2
кривизна: определяется функциональной зависимостью (пример: z = — )
Const
коэффициент формоизменения kf =2::6; коэффициент сужения ks =0::1; Шаг изменения основных параметров
длина 0.05D (т.е. шесть классов длины); кривизна:
kf нелинейный kf конечное/ kf 09 =1-5 (т.е. четыре класса изменения формы верха носочной части); • ks: 0.1 (т.е. десять классов сужения). Образец реального объекта хранения БД (рис.4):
Рисунок 4
Фактические измерения имеющихся носочных частей приведут к заполнению паспорта носочной части колодки в виде_
Колодка Половозр. Группа Параметры сечения 0.9Б Параметры осевой линии кг, коэфф. формоизм. к,, коэфф. сужения
При заполнении базы данных возможны выборка и корреляционный анализ по столбцам: например, коэффициент корреляции между половозрастной группой и длиной осевой линии, что даст в итоге диапазон наиболее вероятной изменчивости параметра. Следовательно, выбор заказчика сузится до нескольких основных моделей с наиболее вероятным набором свойств носочной части.
Алгоритм проектирования носочной части
Исходная информация: математическая модель поверхности колодки до сечения 0.9Б; База Данных носочных частей колодок
1. Переход к системе координат центра тяжести
2. Переопределение набора поперечных сечений колодки в систему координат центра тяжести колодки
3. Выбор сечения 0.9Б
4. Определение параметров сечения 0.9Б, аппроксимация верха и низа сечения
5. Определение конфигурации носочной части: формирование общих параметров -габариты, форма, дизайн (с помощью БД носочных частей)
6. Определение параметров осевой линий: задание длины, кривизны, кручения
7. Определение коэффициента сужения
8. Определение коэффициента формоизменения
Практический расчет примера проектирования носочной части
В соответствии с предложенным алгоритмом спроектируем носочную часть мужской колодки. Воспользуемся математической моделью реально существующей колодки размер 27, фасон 912232, высота приподнятости пяточной части 40мм. Сечение 0.9Б, в системе координат ТАУ имеет вид, изображенный на рис.5.
х,мм
-40 -20 0 20 40
Рисунок 5. Верх сечения 0.9Б мужской колодки разм.27
Для сечений носочной части мужской колодки, как было показано, можно строить различные аппроксимирующие функции, в частности, параболические и эллиптические. Визуальное сходство контура сечения с указанными функциями подтверждается расчетами: сходство сечения с параболой составляет более 80%, а отклонение параболы в локальных точках сечения не превышает 0.4мм. Выберем тип приближающей функции в соответствии с дизайнерской задачей. Предположим, что из БД носочных частей выбран вариант дизайна носочной части,
аналогичный изображенному на рис. 2в (рис.2, Сообщение 1). Из этого следует, что проектирование носочной части следует осуществлять с помощью сверхэллиптической функции, а, следовательно, и в основу приближения базового сечения удобнее положить эллипс.
Результаты определения параметров аппроксимирующего сечение эллипса с помощью метода наименьших квадратов таковы: полуоси a=42.2мм, Ь=16.8мм. Среднеквадратичная ошибка единицы веса составила 0.16мм, т.е. отклонение эллипса от реального сечения составило не более 16 мм. Приближение следует признать хорошим.
Определим проекционную длину носочной части в размере 40мм, зададимся плоской осевой линией, которую определим участком пологой параболической кривой; тогда длина осевой линии носочной части будет равна 45мм (длина осевой линии непосредственно связана с кривизной линии и соответственно, с кривизной носочной части в целом).
Зададим коэффициенты сужения и формоизменения. Коэффициент формоизменения задается путем классификации перехода поверхности носочной части от плавной к ребристой, а также степенью прямоугольности сечения 0.99D. В случае рис.2в (рис.2, Сообщение 1) коэффициент формоизменения равен 5. Коэффициент сужения определяется полушириной сечения 0.99D. Задавшись полушириной (полуосью) 8мм, получим коэффициент сужения 0.2. Для оценки поведения сверхэллиптической функции построим набор плоских сечений сверхэллипсов для степени от 2 до 5 (соответствующей диапазону изменения формы проектируемой носочной части). Результат моделирования приведен на рис.6.
"7 ""-'^ттпн.
Рисунок 6. Набор сегментов сверхэллипса от п=2 (нижняя дуга) до п=5 (верхняя дуга)
Располагая центры тяжести спроектированных поперечных сечений вдоль избранной осевой линии, получим верх носочной части в виде, изображенном на рис.7 и 8: 7 - вид сбоку, 8- вид в аксонометрической проекции.
Рисунок 8
Дополнив проектное решение набором парабол следа носочной части, получим носок с заданными параметрами (рис.9):
Рисунок 9. Носочная часть мужской колодки, спроектированная аналитически с учетом требований к
форме
Литература.
1. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М., Мир 1982.
2. Замарашкин К.Н. Математические методы проектирования обуви и конструирования технолгической оснастки. - СПб, СПГУТД, 2004.
