CC BY
214Проектирование обувных колодок с переменной
носочной частью Сообщение 1. Осевая линия носочной части
Замарашкин К.Н. (pddi@yandex.ru)
Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна
Модели новых фасонов обувных колодок создаются модельером-колодочником вручную. Исходная информация о геометрии поверхности изделия, которой пользуется модельер, представлена в виде набора плоских шаблонов, включающих продольно-осевое и три поперечно-вертикальных сечения, развертку поверхности следа. Отсутствие достаточного объема геометрической информации о строении каркаса поверхности колодки, трудоемкость и длительность процесса изготовления, погрешность формы и размеров изделия вынуждали специалистов отрасли искать современные способы и средства проектирования, обработки и контроля изделия.
В последние годы проведены научно-исследовательские работы по использованию современной вычислительной техники и станков с ЧПУ [2,8]. Появилась возможность исходные данные, характеризующие форму поверхности колодки, представлять в виде набора цифр.
ь
L. . . OJA
Л
Рисунок 1 Обоснование расположения границ поверхности носка в колодке:
Рис.1 а: I-I -отрезок прямой, соединяющей две базовые точки следа стопы; II-II и III-III -касательные к наружному и внутреннему периметрам следа стопы; б: 1,2,3 - контуры носочных частей колодок; 4 - проекция габаритного контура стопы; 5 - контур отпечатка стопы.
Фасон колодки определяется формой ее носочной части по контуру следа и продольному профилю, и поэтому колодки разных фасонов для одинакового положения стопы (при одной и той же высоте каблука) должна отличаться только в носочной части. Таким образом, появляется
возможность деления поверхности на две части: базисную зону, отличающейся стабильностью, и носочную, которая подвержена влиянию моды. Рис. 1 иллюстрирует расположение следа стопы, границу ее стабильной зоны. Принимая сечение 0,9D за начало отсчета продольной координаты носка, можно без изменения геометрии каркаса колодки формировать ее переднюю часть различной длины и конфигурации без каких-либо отрицательных последствий на изменение внутренней формы обуви. ГОСТ на обувные колодки [1] не регламентирует формы и размеров носочной части колодки. Говорится только о высоте подъема носка в зависимости от приподнятости пяточной части колодки. Высота подъема носка должна составлять 8-12 мм; минимальная высота в сечениях 0,9L и 1,0L равна соответственно 0,11 и 0,09 обхвата в сечениях 0,68/0,72D. При проектировании колодок с помощью функций Ах) [6] вопрос о формировании поверхности носка приобретает самостоятельное значение.
Рисунок 2 Типичные формы носочных частей колодок
а
б
г
Необходимость отдельного рассмотрения вопроса о проектировании носочной части (от сечения 0,9 D) становится также очевидной, если рассмотреть во временной ретроспективе некоторые формы носочных частей колодок, использовавшихся при массовом производстве обуви (рис.2). Так же, как и остальные компоненты, участвующие в формировании внешнего облика человека, дизайн обуви в немалой степени подвержен влиянию модных тенденций. Следует отметить, что при всей изменчивости моды обувь должна удовлетворять требованиям впорности, комфортности и гигиеничности. Это означает, что возможность изменения формы колодки, проектируемой по новой технологии с учетом базы данных о среднетипичной стопе, свойствах пакета материалов верха, крайне ограничена и регламентируется снизу так называемым порогом безразличия. Носочная часть колодки, участвуя в процессе формирования внутренней формы обуви, выполняет вспомогательную функцию, поэтому при проектировании следует придерживаться принципа проектирования с возможностью оперативной модификации участков всей поверхности носка. Резюмируя, можно считать, что при проектировании моделей колодок для производства обуви, носочная часть является единственной областью свободной
формы, допускающей произвольное проектирование с учетом требований в сопряжении носочной части с основным каркасом колодки.
В качестве основного требования сопряжения следует рассмотреть математическое условие совмещения проектируемой отдельно носочной части с основным каркасом колодки. Первое и очевидное требование - соответствие сечений при совмещении. Учитывая то, что сечение 0,9Б в колодке стандартизировано (тем или иным способом), можно считать это сечение базовым. Следует различать два принципиально отличающихся способа проектирования носочной части: расчетный способ и способ проектирования свободной формы. Для второго случая достаточно указанных ограничений при совмещении, а также равенства касательных векторов по обе стороны от сечения 0,9Б. Проектирование осуществляется в одной из широко известных САПР общего назначения. От оператора требуется задание с помощью компьютера набора точек, наиболее полно характеризующих пространственную структуру каркаса поверхности носочной части колодки. Большинство упомянутых программ позволяет автоматически аппроксимировать введенный с клавиатуры плоский (пространственный) набор точек, объединять кривые с помощью гладких сопряжений. Существенной является также возможность изменения формы (модификации) кривой или участка поверхности простым перетаскиванием узлов. При данном способе проектирования пользователь зачастую не знает, какого рода математические инструменты им используются. Как правило, это кривые или поверхности Безье [4].
При расчетном способе проектирования возникает необходимость воспроизведения нескольких параметров, характеризующих носочную часть, например, коэффициентов сужения или формообразования. С этой целью используют базу данных, в которой находятся спроектированные (заранее классифицированные) поверхности носочных частей колодки [3].
Под коэффициентом формоизменения профиля подразумевается изменение количества особых точек в профиле носка. Это касается верхней части поверхности носка, так как возможен дизайн с ребрами по боковым граням и верхней поверхности колодки. В случае, когда декоративные ребра находят свое продолжение на носочной части, их проектирование не отличается от проектирования ребра следа (рис.2а,б,г) [12].
Следует особо подчеркнуть, что рассматриваемые параметры служат целям классификации носочных частей колодки. Они не несут технологически оправданной смысловой нагрузки в обеспечении рациональной внутренней формы обуви.
Основным отличием конфигурации носочной части от пучковой, геленочной и пяточной зон поверхности колодки является наличие сочетаний закругления в носке и ребрах следа. Пяточное закругление в силу сферической симметрии также не похоже на носочную часть. В зависимости от выбранного способа параметризации поверхности оба указанных отличия могут
привести к появлению на поверхности трехсторонних участков, которые описываются сфероидическими, сферическими или плоскими треугольниками.
Конфигурация носочной части предопределяет два метода ее описания: воспроизведение верхней поверхности и отдельно нижней части или путем набора пропорционально уменьшающихся сечений, последовательно располагающихся вдоль продольной направляющей.
В первом случае основой для проектирования является пространственная кривая ребра следа колодки [12]. Во втором методе [6,4] проектирование осуществляется с помощью направляющей.
Конфигурация носочной части определяется характеристиками осевой линии, вдоль которой расположены уменьшающиеся и, возможно, изменяющие форму сечения. Если предположить что осевая линия - плоская, то в этом случае кручение осевой линии равно нулю, и она будет характеризоваться двумя инвариантными параметрами: длиной (в натуральной параметризации) и кривизной.
Для описания осевой линии и ее классификации используем две числовые характеристики -длину /от сечения 0,9D/ и среднюю кривизну.
Для произвольной параметризации г ^) = {х(^), у^), 2(1.)} формула для кручения в точке t имеет вид
и,> = Иа г -(о, г--(ц] иь ["(О]2 '
Штрихи обозначают дифференцирование по t.
Кривизна пространственной кривой вычисляется по формуле
(Г х г ')2 ;
к =
(г'2)3
длина дуги для t0 < t < t
) г 'т =) .
л2 , г
VIх с)] + [у с) "
Г0
Кривизна и кручение осевой линии могут быть классифицированы. Следует отметить лишь несколько смысловых ограничений. Ясно, что знак кривизны осевых линий носочной части будет постоянным, а вариация кручения будет незначительной. Это означает, что во многих случаях следует считать осевую линию плоской кривой.
Если к указанным двум величинам добавить коэффициенты сужения и формоизменения профиля сечения (некоторые из способов их определения будут рассмотрены далее), то носочная часть поверхности колодки будет полностью определена, а для обуви массового производства можно обосновать набор динамических диапазонов классификатора. Несмотря на
формальное отсутствие ограничений на длину, кривизну осевой линии и коэффициент сужения, существуют эстетические ограничения, диапазон изменения которых определяется из существующей базы данных, объединяющей особенности формообразования носка за последние 100-150 лет. Анализ позволяет получить максимальные и минимальные значения параметров, а также найти корреляционную матрицу, устанавливающую взаимный диапазон их изменчивости.
Таким образом, упрощенная схема проектирования носочной части предполагает задание численных значений длины, кручения, кривизны осевой линии, коэффициентов формоизменения профиля и сужения. Контроль выбора параметров осуществляется сравнением данных с корреляционной матрицей базы данных носочной частей. В случае задания проектировщиком численных значений или положения точек осевой линии основные ее параметры вычисляются автоматически.
Осевая линия носочной части колодки
Рассмотрим подробнее некоторые возможные способы определения осевой линии и уточним ее роль при проектировании носочной части колодки. Колодка (стопа) имеет сложную, несимметричную форму. Как следствие, вообще говоря, осевая линия будет представлена сложной пространственной кривой. При изучении геометрических особенностей осевой линии представляет интерес информация
- о наличии функциональной взаимосвязи между ее параметрами и геометрическими свойствами поверхности носка; при существовании такой связи появляется возможность прогнозирования свойств рассматриваемой поверхности;
- об отсутствии зависимости от системы координат, в которых дано описание поверхности колодки и произведено ее измерение.
На сегодняшний день осевых линий, удовлетворяющих указанным выше требованиям, ни в стопе, ни в колодке не применяется. С некоторой степенью условности к осевой линии можно отнести относительные оси базирования стоп и колодок, предложенные в публикациях [9-11]. Эти оси являются прямолинейными, а вводимые с их помощью системы координат нашли отражение в ГОСТе [1]. Оси координат и система координат, используемая при описании колодки, заслуживают особого внимания, поскольку требование инвариантности осевой линии естественным образом приводит к обсуждению существующих в проектировании обуви локальных систем координат и связей между ними. Промежуточным этапом в анализе систем координат для обувных колодок является способ представления колодки в ГОСТ, где базирование обувной колодки в пространстве основывается на ее ориентации относительно
горизонтального отрезка прямой а-а (рис.3), который проводится через наиболее выступающие точки носка и пятки.
Рисунок 3 Чертеж обувной колодки (ГОСТ 3927-88) а - основные параметры колодки б - контрольные
"Форму колодок следа, продольно - вертикального сечения (пятки, следа, носка) и поперечно - вертикального сечения (0,070 и 0,180) проверяют шаблонами" (п.35.[1], а для установки шаблонов на поверхности объемного тела колодки предусматриваются "наколы" (выступающие маяки).
В Государственном Стандарте на обувные колодки отсутствуют какие-либо расчеты, аналитические зависимости, устанавливающие функциональную взаимосвязь между базовыми параметрами изделия. Приведены лишь фактические данные, рекомендации и требования, что "колодки должны быть правильно построены" (с.4, п. 10 [1]). Указанные на чертеже размеры (рис.3) больше соответствуют оценке габаритов вместимости изделия.
В качестве нулевой (исходной) точки предлагается выбрать плоскость, перпендикулярную оси, проходящей через "самую крайнюю точку пяточной части" (кавычки автора). Даже для плоскости листа (если пренебречь сложной формой колодки) положение оси не определено. Допустив возможность найти точку сопряжения пяточной части контура и ребра следа, где, очевидно, существует некая особенность, т.е. неопределенность в математическом смысле, совершенно не ясно, как обнаружить вторую точку пересечения оси с плоским сечением колодки. Дополнительная проекция (рис.3) не вносит ясности относительно ориентации оси и всей системы координат. Поэтому не вполне понятна рекомендация - "откладывая размер по оси следа и восстанавливая перпендикуляр до пересечения с профилем гребня..." Проблема в том, что через данную точку на оси следа проходит бесконечное множество перпендикуляров. Как среди них выбрать нужный?
Итак, опорная плоскость не определена; сделать это можно, например, так: указать координаты точек ребра - перпендикулярное проецирование даст контур дискретного сечения следа колодки, который, кстати, имеет мало общего с разверткой следа. При развертке следа " ось следа" никогда не будет прямой линией. Выбор перпендикуляра к оси следа связан с
точки на поверхности колодки
обоснованием выбора продольной плоскости - ориентации: именно в ней и должен содержаться перпендикуляр. Однако единственное упоминание о продольной плоскости имеет место, когда рекомендуется плоский шаблон для контроля продольно-вертикального осевого сечения колодки.
Таким образом, система координат, пригодная для общего пользования, ГОСТом не вводится и при использовании его рекомендаций единой поверхности не получить. Необоснованность определений в ГОСТе отразилась на корректности постановки и решении целого ряда задач. Опубликованы результаты исследований [7, 9, 10, 11], в которых теми или другими соображениями оправдывается расположение оси колодки. Однако они не дают ответа по выявлению системы, относительно которой поверхность колодки можно было бы унифицировать. В данном случае не важно, насколько велика точность измерений колодки в той или иной лаборатории; важно то, что данные измерения оказываются бесполезными для использования другими субъектами без преобразования координат.
Существующие способы проектирования базируются на использовании внутренних систем координат, которые присущи измерительным средствам: приборам, устройствам и т. д.
Исходными геометрическими параметрами при конструировании и формализации поверхности колодки следует считать банк данных о поверхности виртуальной среднетипичной стопы (ВСТС) с последующим формированием поверхности колодки. С этой целью необходимо разработать теоретические основы перехода от ВСТС к колодке. Для уменьшения объема работ по сбору дополнительной информации по коррекции функций, формирующих ее носочную часть, следует воспользоваться пространственными координатами точек поверхности колодки в системе прибора, например, с помощью трехкоординатного измерительного устройства (ТАУ) [2]). В этом случае возникает задача по обобщению геометрических параметров, их стандартизации. Такой способ разработан [8]. Идея способа заключается в том, что найдены такие параметры поверхности колодки, которые позволяют восстанавливать ее поверхность вне зависимости от используемой системы координат (ориентации изделия в пространстве). Известно, что не зависят от выбора системы координат инвариантные величины, определяемые внутренней геометрией поверхности детали, такие как объем, площадь, длина. Если понятия объема и площади интуитивно понятны, то инвариант длины на поверхности -геодезическая линия. Набор указанных величин может дать полное описание поверхности обувной колодки. Только в этом случае отсутствие подходящей системы координат в ГОСТе можно будет считать обоснованным.
Наличие достоверных данных о размерах и форме стопы при проектировании колодок еще не является достаточным условием, гарантирующим разработку рациональной конструкции изделия. Необходимо иметь научно обоснованную методику обмера стоп, которая
предусматривала бы совмещение конструктивных, технологических и метрологических баз в каждом проектируемом и контролируемом объекте: стопе, колодке, пресс-форме и т. д.
Наличие идентичных конструкторских баз в функционально связанных объектах способствует получению достоверных параметров перехода от объемной формы стопы к колодке с использованием множества выборок, упрощает расчет исходных данных при получении серии колодок. Однако единого мнения относительно расположения условной оси стопы у специалистов нет. По мнению проф. Мейера [13] в нормальной стопе пальцы, и в первую очередь большой палец, должны составлять прямое продолжение своих плюсневых костей. Линия развертывания представляет собой прямую, проходящую через середину большого пальца и центр пятки (рис.4а).
Рисунок 4. Расположение продольной условной оси по Мейеру (а), Петрову и Фукину (б,в)
М.Куслик, М.А.Петров [14] использовали ось стопы, проходящей через середину дуги, ограничивающей пятку, и через щель между вторым и третьим пальцами (рис.4б). К.И.Ченцова [9] определяет условную ось как ось равновесия стопы, проходящую в середине угла, образованного касательными к наружной и внутренней сторонам отпечатка стопы.
Установлено, что условная ось с возрастом изменяет свое местоположение. У детей младшего возраста ось стопы проходит между вторым и третьим пальцами и весьма часто (30%) по средине отпечатка третьего пальца. С увеличением возраста ось стопы смещается к внутреннему краю стопы. У женщин к пятидесяти годам осевая линия проходит через второй палец (50%), между первым и вторым пальцами (20%). Фукин В.А. [11] на основании выполненных исследований обосновывает прохождение оси через середину пятки и пучков с выходом ее в промежуток между вторым и третьим пальцами.
Для задания контуров фронтальной проекции стопы предложено использовать базисную ось, проходящую через пяточную кость на высоте 0,09Бст от опоры и точку в центре головки первой плюсневой кости 0,73 Б (рис.4в).
Годунов С.Ф., учитывая распределение нагрузки на стопу, предложил проводить осевую линию стопы через точку, находящуюся в зоне опорной поверхности пучков, называемую
центром моментов сопротивления плюсневых костей; на расстоянии 0,4Ш2 и центр оттиска пятки.
Дубинский В. А. [10] принимает за ось линию, проходящую через первый межпальцевый промежуток и наиболее выступающую точку пяточного закругления, полагая, что данная ось является наиболее рациональной для определения длиннотных, широтных, обхватных и высотных размеров стопы. Относительно оси такого же направления изменяются аналогичные размеры колодок в серии.
Каждый из рассмотренных способов и применяемых средств обмера стоп обеспечивает сбор геометрической информации, пригодной лишь для статистической обработки и выборочной оценки контролируемого объекта. Стопа имеет сложную объемную несимметричную форму и для ее оценки необходимо иметь трехкоординатную систему измерений со строгой ориентацией стопы в пространстве. Существующая ориентация стопы относительно оси, проходящей через середину пятки и точку между вторым и третьим пальцами и точкой касания ее внутренней стороной фронтальной плоскости, не гарантирует идентичности базирования стоп других субъектов. В этих условиях контролируемые антропометрические признаки стопы требуют различного рода увязок, усреднений, подгонок и т.д. Погрешность получения и обработки результирующей информации по антропометрии стопы из-за подобных вольностей может колебаться в значительных пределах. Поверхность обувной колодки в значительной мере соответствует поверхности объемной формы стопы. Поэтому вопросы, связанные с формированием каркаса объемной формы стопы, должны быть взаимосвязаны с методами проектирования колодок, т. е. ориентация стопы и колодки в избранной системе координат, исходная геометрическая информация об их формообразовании должны иметь общую базу отсчета, на что впервые было обращено внимание специалистов отрасли в опубликованной работе [2]. Анализ конструкторской, технологической и метрологической баз в колодках свидетельствует об отсутствии такой взаимосвязи.
Рисунок 5 Расположение базовых плоскостей в колодке:
а-а - рекомендации ЦНИИКПа б-б - ЛОО «Скороход» в-в - УКРНИИКП
На рис.5 представлены варианты расположения конструктивных баз, которые используются в отрасли при проектировании и изготовлении колодок. Ось а-а (по данным ЦНИИКП) [9] предопределяет отсчет размеров при геометрическом построении колодки от плоскости, которая проходит через точки, лежащие на пересечении оси следа с его контуром в пяточной (точка Пр и носочной (точка Р) частях. Точка Р является началом отсчета декоративного припуска в носочной части колодки, нормируемого ГОСТом. Ось б-б (по данным ЛОО»Скороход») и ГОСТ 3927-75 «Колодки обувные» предусматривает построение горизонтальной базовой плоскости путем совмещения ее с точками в носке Н, пятке Пр и равного удаления по высоте И от двух наиболее выступающих (по высоте) точек ребра колодки в пучках Бв и Бн.
В УКРНИИКП вместо базисной плоскости принята прямая, проходящая через наиболее выступающую точку П пяточного закругления в продольно-вертикальном сечении колодки и точку Н. Анализ представленных схем расположения базовых плоскостей указывает на отсутствие комплексного рассмотрения вопросов, связанных с проектированием, точностью изготовления и выбором допусков на нормируемые размеры обувных колодок. Практически в каждой из баз а-а, б-б, в-в мы имеем три обособленные задачи, каждая из которых решается самостоятельно конструктором, технологом и контролером ОТК. Указанных недостатков при комплексном проектировании колодок можно избежать, если обувную колодку проектировать на базе использования геометрической информации, полученной в полярной системе координат (отрезок г-г) [2].
Формирование каркаса поверхности в рассматриваемом варианте осуществляется при использовании единой конструкторской, технологической и метрологической баз. Такой подход в формировании исходной информации о стопе и колодке гарантирует не только достоверность получения необходимых данных, но и создает объективные предпосылки к проведению комплексных исследований на базе применения САПР обуви.
Из сравнительного анализа вводимых разными исследователями осей в стопе (колодке) и, соответственно, присоединяемых к ним систем координат можно сделать следующие выводы.
1. Все оси не инвариантны и допускают неоднозначное толкование методики их проведения и расположения относительно проектируемого изделия.
2. Можно утверждать, что большинство присоединяемых к данным осям систем координат -косоугольные, то есть не ортогональные. Как следствие, в любых расчетах с использованием числовых данных о колодках, полученных в указанных системах координат, необходимо использовать элементы тензорного анализа.
3. Система координат ЛИТЛП (СПГУТД) является прямоугольной по построению.
4. ГОСТом [1] не вводится система координат. В современных условиях для проектирования 3-х мерных поверхностей и их контроля данные ГОСТ не могут быть востребованы.
Несоответствие систем координат друг другу приводит к отрицанию стандартизации проектирования, ликвидации системы оперативного обмена информацией и в конечном итоге к застою в формировании теоретических предпосылок решении задач по проблеме проектирования внутренней формы обуви (ВФО). Поэтому выбор инвариантных (не зависящих от системы координат) характеристик в колодке имеет теоретическое и практическое значение, а инвариантность осевой линии носка, ее независимость от выбора оси стопы (колодки) приобретает статус приоритетной задачи.
Существует несколько инвариантных геометрических характеристик объекта. Известна также физическая величина - центр масс тела (системы и т.п.). При постоянной (единичной) и равномерной плотности объекта центр масс представляет собой равновесную геометрическую характеристику объекта. Определим координаты центра масс на примере плоского ортогонального сечения обувной колодки (рис.6).
Рисунок 6 Сечение колодки в виде дискретных точек, границы интегрирования и функции приближения
В стандартных примерах представлена непрерывная интегральная версия определения центра масс, применяемая при теоретических исследованиях протяженных объектов и сплошных сред. Исходные данные о поверхности колодки (стопы), как правило, представлены в дискретном виде, поэтому используется дискретная форма определения центра масс (на плоскости) в виде сумм по дискретным точкам:
п п
Ё Хг Ё Уг
х0 =1-1 5 у0 - ~ ,
п п
где п - количество точек, по которым производится вычисление координат центра масс.
По аналогии с двумерным расчет центра масс для трехмерного облака точек (дискретный случай) выразится с помощью формул как
п п п
X х X у Xъ
V - '-1 V - '-1 7 - '-1
х0 -- , у0 -- , 20 --.
п п п
Выполним расчет координат центров масс сечений для мужской и женской колодок.
Численные данные о каркасе поверхности колодок получены на трехкоординатном
автоматическом устройстве (ТАУ) в собственной (ортогональной) системе координат прибора.
В таблицах 1, 2 приведены результаты расчета координат центров масс сечений: Ъ - номер
сечения (расстояние сечения в мм от пяточного закругления); Х,У - декартовы координаты
центра масс;Ъ-Ъ0 - расстояние центра масс от оси вращения (мм).
Таблица 1. Координаты центров масс сечений мужской колодки относительно оси вращения ЛИТЛП (СПГУТД) в системе координат измерительного комплекса ТАУ
Ъ, мм Х, мм У, мм Ъ-Ъ0, мм Ъ, мм Х, мм У, мм Ъ-Ъ0, мм
3,00 -3,14 1,28 3,39 130,00 -5,42 5,77 7,92
6,00 -1,10 0,45 1,19 135,00 -9,50 5,67 11,07
9,00 -1,46 0,46 1,53 140,00 -8,03 5,34 9,64
12,00 -1,66 -1,14 2,01 145,00 -6,91 5,69 8,95
15,00 1,12 2,26 2,52 150,00 0,15 6,82 6,82
18,00 -2,60 2,16 3,39 160,00 0,24 8,91 8,91
21,00 -2,21 -0,04 2,22 170,00 5,25 4,48 6,90
30,00 -1,26 -0,94 1,57 180,00 7,08 1,70 7,28
40,00 -3,45 1,10 3,62 190,00 7,41 6,84 10,09
45,00 -0,58 1,65 1,75 200,00 5,38 9,55 10,96
50,00 -7,97 1,28 8,07 210,00 9,24 1,31 9,33
55,00 6,04 7,13 9,34 220,00 5,07 6,86 8,54
60,00 -2,95 0,18 2,95 230,00 3,86 3,26 5,05
70,00 -4,67 3,13 5,62 240,00 3,51 2,85 4,53
80,00 -6,47 4,32 7,78 250,00 2,49 1,63 2,98
90,00 -9,12 2,10 9,35 255,00 -0,18 2,04 2,05
100,00 -7,14 6,00 9,33 260,00 -1,39 3,00 3,30
110,00 -5,03 5,42 7,39 263,00 -1,53 2,06 2,56
120,00 -9,08 3,65 9,78 266,00 -2,26 0,91 2,44
125,00 -5,68 6,00 8,26 269,00 -2,77 1,59 3,19
Таблица 2. Координаты центров масс сечений женской колодки относительно оси вращения
ЛИТЛП (СПГУТД) в системе координат измерительного комплекса ТАУ
Ъ, мм Х, мм У, мм Ъ-Ъ0, мм Ъ, мм Х, мм У, мм Ъ-Ъ0, мм
3,00 -2,98 -0,87 3,10 124,00 4,33 -5,53 7,03
6,00 -3,33 -0,70 3,40 134,00 5,63 -6,84 8,86
9,00 -3,15 -2,21 3,84 144,00 7,61 -10,20 12,72
12,00 -2,95 -0,56 3,01 154,00 9,14 -7,34 11,72
15,00 -3,47 -0,18 3,47 164,00 8,26 -4,41 9,37
18,00 -1,94 -1,32 2,35 174,00 5,86 -3,22 6,68
21,00 -2,23 -1,25 2,55 184,00 -0,39 -4,48 4,49
24,00 -3,90 -2,37 4,57 194,00 -2,03 -1,95 2,81
30,00 -5,98 -2,20 6,37 204,00 -4,82 -1,16 4,96
36,00 -4,49 -1,14 4,63 210,00 -6,27 -3,80 7,33
42,00 -4,53 -0,50 4,56 216,00 -6,33 -0,74 6,37
48,00 -3,97 -3,81 5,50 222,00 -8,96 -4,04 9,83
54,00 -5,98 -1,17 6,09 225,00 -7,25 -2,49 7,67
64,00 -8,08 -3,39 8,76 228,00 -10,43 -2,07 10,64
74,00 -6,12 -0,67 6,16 231,00 -12,58 -1,03 12,62
84,00 -6,43 -10,63 12,42 234,00 -12,51 -0,35 12,51
94,00 -2,76 -6,84 7,38 237,00 -10,80 -2,02 10,98
104,00 -0,09 -3,89 3,89 240,00 -9,30 -0,72 9,33
114,00 2,82 -8,36 8,82
На рис.7 показано распределение центров масс поперечных сечений мужской колодки в пространстве. Анализ расположения центров масс свидетельствует о незначительном кручении кривой, аппроксимирующей положения этих центров. Это указывает на то, что данная кривая близка к плоской. Следовательно, кривая центров масс сечений отражает свойства сложной пространственной поверхности колодки и при этом имеет на единицу меньшую размерность. Отсюда можно сделать вывод, что кривая центров масс сечений может быть рекомендована к использованию в качестве осевой линии колодки (и, соответственно, носочной части колодки).
чч
Рисунок 7 Пространственное распределение центров масс сечений мужской колодки относительно оси
ЛИТЛП
На рис.8 показаны проекции центров масс сечений носочной части обувной колодки на картинные плоскости; z - ось вращения колодки; х, у - совмещенные оси; колодка ориентирована следом вверх вдоль положительного направления х, у. Черные квадраты на графике - проекция на плоскость ХЕ (вид сбоку). Черные точки - проекция на плоскость (вид сверху).
1 к. мм у. мм 1 • . * , * . * -
■ " ■ . г, мм
Ш МО ав ¡60 27»
Электронный научный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 1 0 9 http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2005/107.pdf Рисунок 8 Проекция центров масс сечений носочной части на картинные плоскости
Рисунок 9 Центры масс сечений всей мужской колодки в проекции на картинные плоскости
Из данного рисунка видно, что центры масс повторяют профиль носочной части в продольно-вертикальной плоскости и совпадают с прямой линией в горизонтальной. Эта закономерность прослеживается и на примере базовой части колодки: центры масс незначительно (на 2-3 мм) отклоняются от продольно-вертикальной плоскости (рис.9), проходящей через центр вращения колодки.
Таким образом, при проектировании носочной части колодки в качестве осевой линии можно принять линию, проходящую через множество центров масс сечений носка. Определим ее основные параметры и обсудим инвариантность ее представления. Кривая будет охарактеризована полностью, если будут определены ее длина, кривизна и кручение. С этой целью были выполнены расчеты основных характеристик параметризованных кривых для центров масс мужской и женской обувных колодок.
Таблица 3. Кривизна и кручение кривой центров масс сечений женской колодки.
Параметр Z, мм Кручение Кривизна Параметр Z, мм Кручение Кривизна
0,03 3,00 -21,03 0,58 0,54 124,00 -0,04 5,63
0,05 6,00 -5,54 1,14 0,57 134,00 -0,04 4,70
0,08 9,00 -5,25 2,52 0,59 144,00 -0,21 3,89
0,11 12,00 -7,10 3,08 0,62 154,00 -0,07 1,98
0,14 15,00 -1,46 3,72 0,65 164,00 0,02 5,03
0,16 18,00 -6,30 4,38 0,68 174,00 0,31 1,06
0,19 21,00 0,38 4,38 0,70 184,00 -0,01 4,10
0,22 24,00 0,75 11,94 0,73 194,00 -0,04 5,30
0,24 30,00 -0,83 8,91 0,76 204,00 -0,59 1,89
0,27 36,00 -0,74 10,52 0,78 210,00 -0,73 1,46
0,30 42,00 -0,03 18,45 0,81 216,00 -0,07 4,59
0,32 48,00 -0,22 16,40 0,84 222,00 -0,09 6,16
0,35 54,00 -0,21 19,09 0,86 225,00 0,01 4,15
0,38 64,00 0,10 25,79 0,89 228,00 0,02 2,97
0,41 74,00 -0,05 14,94 0,92 231,00 0,06 2,43
0,43 84,00 -1,83 2,84 0,95 234,00 -0,06 1,59
0,46 94,00 -0,12 11,58 0,97 237,00 -0,01 5,29
0,49 104,00 0,01 6,38 1,00 240,00 0,00 4,56
0,51 114,00 -3,99 0,89
Таблица 4. Кривизна и кручение кривой центров масс сечений мужской колодки
Параметр 2, мм Кручение Кривизна Параметр 2, мм Кручение Кривизна
0,03 3,00 -49,60 0,55 0,53 130,00 0,21 3,46
0,05 6,00 -7,59 2,10 0,55 135,00 -8,96 0,43
0,08 9,00 -2,30 2,37 0,58 140,00 0,12 5,82
0,10 12,00 -1,07 4,65 0,60 145,00 -0,08 5,39
0,13 15,00 -2,27 4,42 0,63 150,00 -0,44 4,68
0,15 18,00 -1,34 7,49 0,65 160,00 0,14 4,46
0,18 21,00 -0,27 15,03 0,68 170,00 0,09 7,36
0,20 30,00 0,48 15,19 0,70 180,00 -0,09 5,88
0,23 40,00 0,90 7,07 0,73 190,00 -0,05 10,71
0,25 45,00 0,12 17,96 0,75 200,00 -0,91 0,98
0,28 50,00 0,27 35,47 0,78 210,00 -0,04 7,64
0,30 55,00 0,23 44,84 0,80 220,00 -0,02 10,22
0,33 60,00 0,25 9,28 0,83 230,00 0,00 5,30
0,35 70,00 -0,57 6,61 0,85 240,00 0,06 2,43
0,38 80,00 -0,10 12,50 0,88 250,00 0,04 3,95
0,40 90,00 0,80 6,25 0,90 255,00 0,04 2,31
0,43 100,00 0,37 10,86 0,93 260,00 0,04 2,47
0,45 110,00 0,36 7,21 0,95 263,00 0,06 1,04
0,48 120,00 4,25 1,84 0,98 266,00 0,00 2,55
0,50 125,00 0,37 7,33 1,00 269,00 0,00 3,14
В таблицах 3, 4 представлены: в первом столбце - параметр, во втором - расстояние сечения от начала координат по оси вращения, в третьем - кручение и в четвертом - кривизна кривых, построенных из центров масс данных сечений женской и мужской колодок соответственно в системе координат ТАУ.
Приведем отдельно данные о кручении кривых центров масс в носочных частях мужской и женской колодок (таблица 5) ввиду их важности при оценке того, насколько кривые центров масс являются плоскими кривыми.
Таблица 5. Кручение и кривизна кривой центров масс носочной части мужской колодки
Носочная часть мужской колодки Носочная часть женской колодки
Параметр 2, мм Кручение Кривизна Параметр 2, мм Кручение Кривизна
0,90 255,00 0,04 2,31 0,89 228,00 0,02 2,97
0,93 260,00 0,04 2,47 0,92 231,00 0,06 2,43
0,95 263,00 0,06 1,04 0,95 234,00 -0,06 1,59
0,98 266,00 0,00 2,55 0,97 237,00 -0,01 5,29
1,00 269,00 0,00 3,14 1,00 240,00 0,00 4,56
Кручение обеих кривых в носочной части крайне незначительно и характеризует кривые как плоские.
Итак, определены кривизна и кручение осевой линии носочной части колодки в зависимости от координат (номера) сечения, выявлена функциональная взаимосвязь, которая наглядно подтверждает справедливость первоначального предположения о плоском характере кривой центров масс сечений колодки. Таким образом, выбрана осевая линия для
проектирования носочной части, определены ее кривизна и кручение. Вариация указанных параметров приведет к изменению формы носочной части в целом. Однако ценность предлагаемого подхода во многом зависит от того, будет ли указанная осевая линия инвариантной. К сожалению, полной инвариантностью (полной независимостью от системы отсчета) осевая линия в таком представлении обладать не будет в силу своего определения: координаты центра масс сечения зависят от правила, по которому выбирается данное сечение, от его ориентации относительно оси колодки. Очевидно, следует добиваться независимости осевой линии по отношению к распространенным в проектировании обуви локальным системам координат. Для повсеместного применения требуется построить систему координат, связанную с обувной колодкой, которой мог бы воспользоваться специалист, имея простой алгоритм перехода от локальной системы координат к универсальной. Такой объединяющей системы координат до сих пор не предлагалось. Основная причина - отсутствие объективного набора геометрических реперов, связанных с поверхностью стопы (колодки). Единственная особая точка в стопе (колодке), положение которой устойчиво, - экстремальная точка пяточного закругления. Примем ее в качестве первой особой точки для формирования объединяющей оси колодки. Задавшись вопросом, какая еще точка в колодке не допускает неоднозначного толкования (инвариантна по отношению к системе координат), можно прийти к выводу, что такой точкой может быть точка центра масс всей колодки. В отличие от центров масс сечений, центр масс колодки уникален и не зависит от принципов приближения и измерения ее поверхности. Если через эти две точки - точку пяточного закругления и центр масс - провести прямую, то получим однозначную ось, задающую систему координат в колодке. Для определения системы координат в целом следует построить плоскость, ортогональную указанной оси и выбрать в этой плоскости направление любой из ортогональных осей. Тогда третья ось определится как векторное произведение первых двух. Построение системы координат выходит за рамки данной работы, но не составляет сложностей. Для наших целей следует определить алгоритм перехода от локальной системы координат к объединяющей системе. В качестве примера рассмотрим систему координат трехкоординатного измерительного устройства ТАУ (ЛИТЛП). Система ортогональна. В результате измерений поверхность колодки представляется в виде набора пространственных цилиндрических координат Я, р, г или х, у, г. Существенным является выбор оси вращения колодки в измерительном устройстве: в качестве таковой (оси 2) выбирается прямая, которая проходит через точку пяточного закругления и точку декоративного припуска в носочной части. Для перехода к новой системе координат следует определить положение центра масс колодки в старой системе координат, а затем, воспользовавшись формулами перехода, определить углы Эйлера поворота осей одной системы координат относительно другой, вычислить матрицу
преобразования координат, и перевести координаты точек поверхности колодки в новую систему координат, связанную с центром масс колодки.
Для координат центров масс мужской и женской колодок в системе координат ТАУ были получены следующие результаты (х, у, 2 указаны в мм относительно начала отсчета системы координат ТАУ, который расположен на оси вращения колодки в 3 мм от точки максимального пяточного закругления):
Мужская колодка: х = -1.26,у = 3.24,2 = 128.05 .
Женская колодка: х = -4.15, у = -2.83,2 = 118.13.
Обозначив углы Эйлера как а, в,у [5], выпишем матрицу перехода [8] , из нее найдем обратные соотношения для углов и определим их. Пусть (х0, у0, г0) и (х, у, г) - компоненты вектора центра масс в старой и новой системах координат соответственно, в - угол между осью вращения ЛИТЛП и осью, проходящей через экстремальную точку пяточного закругления и центр масс колодки.
В матричном виде система уравнений для преобразования вектора при повороте системы координат записывается в виде:
г =| А * ъ,
где г0, г1 - радиус-векторы центра масс колодки в системе координат центра масс и измерительного комплекса ТАУ (относительно системы координат ТАУ), А - матрица
перехода.
Покомпонентно система уравнений записывается следующим образом:
x0 = (cos a cos в cos y - sin a sin y) x1 - (cosa sin в sin y + sin a cos y) y1 + z1 cos a sin в < y 0 = (sin a cos в cos у + cos a sin y)x1 + (- sin a cos в sin y + cos a cos y)y1 + z1 sin a sin в z0 = (- sin в cos y)Xj + (sin в sin y)y1 + Zj cos в
Решая систему методом исключения относительно a, в, У, получаем следующие выражения для вычисления углов Эйлера:
Í „ Л
в = arccos
V z о
y = arccos
xiV zo - zi2 ± J( xiV zO - zi2 ) - (X12 + У i2)[ У i2 -V z0 - zi2 )
2 2 xj2 + У12
Для упрощения дальнейших записей введем обозначения
P = Xj sin y + y1 cosy Q = cos в( Xj cos y- y1 sin y) + z1 sin в
i
С учетом введенных обозначений последний из углов будет представлен выражением
(РУ0 ±^РгУЯУГо2Р+0г11
а = arccos _ _
P2 + Q 2
V ^ у
После подстановки известных значений (x0, y0, z 0) и (x1, y1, z1) были получены следующие значения углов поворота в градусах (для мужской колодки): а = 2° ,6; ß = 1° ,5;y = 4° ,3. Подставив полученные значения углов в матрицу перехода, получим матрицу перехода в виде:
(- 0.993 - 0.121 0.001^1 0.121 - 0.992 0.027 - 0.002 0.027 0.999
ч у
Матрица устанавливает соответствие между координатами точки колодки в системе
координат трехкоординатного измерительного устройства ТАУ (ЛИТЛП) и в системе координат центра масс. Предложенный выше алгоритм позволяет при наличии численных данных о координатах поверхности колодки в любой системе координат перейти к объединяющей системе координат и, соответственно, получить сравнимые параметры осевой линии носочной части. Таким образом, инвариантная осевая линия носочной части спроектирована и охарактеризована.
Литература.
1. ГОСТ 3927-88 Колодки обувные. - М., Госкомитет СССР по стандартам, 1988.
2. Замарашкин Н.В., Замарашкин К.Н. Обувь: проектирование, производство, эксплуатация. - СПб, СПГУТД, 2002.
3. Замарашкин Н.В., Замарашкин К.Н. БД носочных частей колодок // СПб, СПГУТД, 2005.
4. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. - М., Мир 1982.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М., Наука, 1984.
6. Замарашкин Н.В. Исследование закономерностей формообразования, точности изготовления, создание способов и средств проектирования, обработки, контроля колодок и деталей обуви // Автореф. Дисс.д.т.н., Л., ЛИТЛП, 1977.
7. Ченцова К.И. Стопа и рациональная обувь. - М., Легкая индустрия, 1967.
8. Замарашкин К.Н. Математические методы проектирования обуви и конструирования технолгической оснастки. - СПб, СПГУТД, 2004.
9. Ченцова К.И. Проектирование и моделирование обувных колодок.- М.: Легкая индустрия. 1971.
10. Дубинский Е.А. Проектирование обувных колодок. -М.: Легкая промышленность, №8. 1953
11. Фукин В. А. Проектирование внутренней формы обуви.- М.: Легпромбытиздат, 1985, стр.47-49.
12. Замарашкин К.Н. Расчет и построение пространственной кривой ребра следа в обувной колодке// Кожевенно-обувная промышленность, N2, 2005, стр.57-58.
13. Меуег G. H. Die richtige Gestalt der Schuh. Berlin. 1858.
14. Куслик М.И. Анатомо-физиологическое обоснование к построению нормальной обуви. // Вестник кожевенной промышленности, №6. 1926.
