CC BY
24
Проектирование энергоэффективных модулярных КИХ фильтров на базе редуцированных мультиконстантных умножителей
Д.В. Тельпухов, А. С. Михмель, Р.А. Соловьев Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН
Аннотация: В настоящее время особенную актуальность обретают вопросы разработки энергоэффективных аппаратных блоков для устройств цифровой обработки сигналов (ЦОС). Это связано с бурным расцветом носимой электроники (wearable electronics), интернета вещей (Internet of Things, IoT), сетевых и телекоммуникационных систем. Ключевым узлом многих устройств ЦОС является фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Поэтому неудивительно, что в настоящее время большое число научных работ посвящено построению энергоэффективных КИХ фильтров. В статье предложен оригинальный подход к решению поставленной задачи. В качестве методологического базиса была выбрана модулярная арифметика, уже зарекомендовавшая себя как эффективный математический аппарат для построения быстродействующих устройств ЦОС. Другим решением было использование транспонированной формы КИХ фильтра и методов построения редуцированных блоков мультиконстантных умножителей. В экспериментальной части продемонстрирована эффективность методов редукции блоков мультиконстантного умножения с точки зрения энергопотребления фильтров. Также в статье сформулированы рекомендации по использованию предложенных методов для конкретных реализаций КИХ фильтров.
Ключевые слова: модулярный КИХ-фильтр, мультиконстантный умножитель, транспонированная форма, энергопотребление, выделенная мощность.
Введение
Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) являются основой большей части устройств цифровой обработки сигналов. Наибольшее применение они находят в системах беспроводной связи, Wi-Fi роутерах и т.д. Из-за увеличения тактовых частот и объемов передаваемого трафика, растёт потребляемая энергия таких устройств, поэтому производители ищут возможности для оптимизации энергопотребления. В данной статье приводятся результаты исследования энергоэффективности различных архитектур аппаратных КИХ-фильтров с фиксированными коэффициентами.
;
КИХ-фильтры
Фильтр с конечной импульсной характеристикой, по своей сути, является линейной сверткой входной последовательности некоторых цифровых отсчетов с последовательностью коэффициентов фильтра. Фильтры могут быть с фиксированными и изменяемыми коэффициентами. Задача выбора тех или иных коэффициентов фильтра - сложная, и в нашей работе не рассматривается. В настоящее время существует большое количество программных продуктов, которые позволяют рассчитывать коэффициенты фильтра для различных задач [1].
Абстрагируясь от значений коэффициентов, обратимся непосредственно к вычислению линейной свертки. Формула для ее вычисления выглядит следующим образом:
ГО=0
Архитектуры для вычисления линейных сверток могут быть совершенно различными. Выделяют несколько типов архитектур:
> Последовательная;
> Параллельная;
> Последовательно-параллельная.
Последовательная схема характеризуется малым числом вычислительных блоков, интенсивным обменом с памятью и низкой производительностью. В крайнем проявлении эта схема представляет собой умножитель с накоплением и управляющее устройство, которое обеспечивает загрузку нужных коэффициентов из памяти. В этом случае, для нахождения одного выходного отсчета требуется N тактов. Этот метод реализуется программным способом на сигнальных процессорах или компьютерах общего назначения.
к
$00 = а * Ь = о(т) * Ь(п — т.), п = $ ...М М — 2
и
В случае, если производительности DSP процессора не хватает, то фильтр реализуют аппаратно, используя параллельные архитектуры. Параллельные схемы эксплуатируют метод конвейеризации, разделяя этапы конвейера регистрами. В данной работе рассматриваются высокоскоростные параллельные КИХ-фильтры реализованные в аппаратном виде. Каноническая форма КИХ фильтра выглядит следующим образом (рис. 1):
2).
----
Ук
Рис. 1. - Каноническая форма параллельного КИХ-фильтра Этот же фильтр можно реализовать в транспонированной форме (рис.
multiple constant multiplier
У/С
Рис. 2. - Транспонированная форма КИХ-фильтра Главным преимуществом данной формы является наличие мультиконстантного умножителя, который можно оптимизировать с целью уменьшения площади и/или энергопотребления.
Эффективная аппаратная реализация мультиконстантного умножителя
Мультиконстантный умножитель (англ. multi-constant multiplier или MCM) может быть реализован через набор сложений, вычитаний и сдвигов. В общем случае задача поиска минимального набора арифметических операций является NP-полной [2].
Рассмотрим сначала пример для одноконстантного умножителя. Пусть нам требуется построить умножитель вида 71x, тогда можно записать формулу следующим образом:
70х= = * « 6 + х « 2 + х « 3
В случае многоконстантного умножителя появляется возможность оптимизаций за счёт выноса общих частей за скобку. Пусть требуется построить MCM блок с двумя коэффициентами 39x и 81х:
Можно сделать промежуточные вычисления:
И на основе них посчитать два требуемых коэффициента: = х « 6 -н 9 х
81*= (ад « 34- 9х
В этом случае всё устройство построено на базе 3 сложений. Тогда как отдельная реализация каждого из одиночных умножителей потребовала бы минимум 4 сложения.
Алгоритмы для поиска аппаратной реализации мультиконстантных умножителей можно поделить на 4 большие категории:
1) Алгоритмы на базе цифровой перекодировки [3] - самая простая и быстрая группа методов, но с низкой эффективностью с точки зрения качества решения. Обычно используется на коэффициентах очень больших размерностей, где есть трудности у остальных методов;
2) Алгоритмы устранения общего подвыражения (CSE) [4-6] -развитие методов первой группы на базе поиска общих выражений в каждой из формул;
3) Алгоритмы на базе графов [7], RAG-n [8], и [9] - группа наиболее эффективных методов на базе итеративного построения графов;
4) Гибридные алгоритмы - алгоритмы сочетающие элементы первых трёх методов. Например [10].
Наиболее эффективным алгоритмом на данный момент является [11]. Для него так же есть доступный код с реализацией [12].
Объединение вычислительных блоков в общем случае приводит к уменьшению площади КИХ-фильтра и положительно коррелирует с уменьшением мощности. Блоков для объединения тем больше, чем больше число коэффициентов в фильтре и чем меньше они по разрядности (этот факт подтверждается экспериментами). Так же сильно влияет «похожесть» коэффициентов.
Модулярные КИХ-фильтры
Ранее было предложено несколько реализаций модулярных КИХ-фильтров на базе системы остаточных классов. Исследования показали, что некоторые архитектуры могут обеспечивать высокое быстродействие [13], в то время как другие архитектуры имеют преимущества с точки зрения энергоэффективности [14].
В работе предлагается применить модулярные принципы к проектированию транспонированных КИХ фильтров с постоянными коэффициентами (рис. 3). При построении модулярных мультиконстантных умножителей образуется еще больше общих частей за счет уменьшения коэффициентов фильтров. Таким образом появляется возможность более эффективной утилизации общих частей устройства, вследствие чего уменьшается общая потребляемая мощность. Однако в данном случае
необходимо особое внимание уделять выбору набора оснований, так прямой и обратный преобразователи из позиционной системы счисления могут существенно повлиять на энергопотребление.
Рис. 3. - Структура модулярного КИХ-фильтра
Потребляемая мощность
Мощность, выделяемую в цепи можно подразделить на две широкие категории: статическую мощность и динамическую мощность.
Статическая мощность - это мощность, рассеиваемая затвором транзистора, когда он не переключается, то есть, когда он неактивен или статичен. Статическая мощность рассеивается несколькими способами. Наиболее вероятной причиной возникновения статической мощности является подпороговая утечка от истока до стока транзистора, которая вызвана пониженным пороговым напряжением, что предотвращает полное закрытие затвора транзистора. Статическая мощность также рассеивается, когда ток протекает между диффузионными слоями и подложкой. По этой причине статическую мощность часто называют мощностью утечки (leakage power).
Мощность утечки зависит от технологии производства (90/45/32 нм) и условий работы схемы (температура/напряжение). Рассчитанное значение
пропорционально площади схемы. Статическая или мощность утечки является единственной из составляющих частей полной мощности, модель которой в виде константной величины указывается производителем ASIC.
Power Compiler вычисляет полную мощность утечки дизайна путем суммирования токов утечки составных библиотечных ячеек в дизайне. Значения мощности утечки для отдельной взятой ячейки берется из Synopsys библиотеки (данные характеризации).
Динамическая мощность - это мощность выделяемая, когда цепь находится в активном состоянии. Цепь активна всякий раз, если напряжение в сети меняется из-за импульса на входе цепи. В виду того, что изменение напряжения во входной сети не влечет за собой обязательное изменение логического состояния на выходе, динамическая мощность может быть выделена, даже если выходная цепь не меняет своего логического состояния.
Динамическая мощность цепи есть сумма двух видов мощностей: коммутируемой (switching) и внутренней (internal).
Коммутируемая мощность выделяется при перезарядке выходных емкостей ячейки при переключении. Коммутируемая мощность отдельной ячейки есть функция полной емкости нагрузки на выходе ячейки и частоты логических переходов. Коммутирующая мощность всего дизайна вычисляется как сумма коммутирующих мощностей каждой отдельной ячейки.
Внутренняя мощность выделяется при изменении входов/выходов библиотечной ячейки. Внутренняя мощность выделяется, когда транзисторы NMOS and PMOS оба активны, создавая ток короткого замыкания. Значение закороткой или внутренней мощности пропорционально числу переключений цепи и зависит от емкости нагрузки на выходе цепи.
Во время расчета внутренней мощности, Power Compiler использует данные характеризации технической библиотеки. Внутренняя мощность
отдельно взятой ячеики есть сумма внутренних мощностей всех входов и выходов ячейки, как смоделировано в технологической библиотеке. Power Compiler производит расчеты, основываясь на переключательной активности, времени перехода и функциональности ячейки.
На рис. 4 изображен простой вентиль и показано, где рассеиваются статическая и динамическая мощности.
Рис. 4. - Компоненты выделенной мощности Ilk - ток утечки; Isc - ток короткого замыкания; Isw - ток переключения.
Коммутируемая мощность обычно составляет от 70 до 90 процентов от всей рассеянной мощности. Внутренняя мощность, как правило, составляет от 10 до 30 процентов от рассеянной мощности. Утечка и статическая мощность составляют менее 1% от всей мощности рассеивания. Однако, утечка и статическая мощность могут легко стать основными источниками рассеивания мощности в дизайне, где цепь преимущественно неактивна, и это будет становится проблемой по мере уменьшения напряжения питания.
Экспериментальная часть
Экспериментальная часть посвящена исследованию эноргопотребления транспонированного КИХ-фильтра с учетом минимизации модуля MCM, описанного выше. Были рассмотрены 20 реализаций КИХ-фильтров с разной
разрядностью и набором коэффициентов, предложенные в научных публикациях. Каждая из реализаций КИХ-фильтра имеет своих авторов, что отражено в названии каждой из них (см. таблицу №1). Список фильтров и публикаций, в которых они были предложены, можно посмотреть в [15].
Таблица №1
Список КИХ-фильтров в эксперименте и их основные параметры
Реализация КИХ-фильтра Разрядность коэффициентов Количество коэффициентов
Всего Уникальных
РОТКО№АК96 4 11 4 4
ОООБМАШ7 Е11 9 11 5
1АШ91 11 10 11 6
БЕМРБТЕЯ04 15 13 5 5
УШ0Б03 26А 7 26 12
СНЕШ9 15 14 15 6
БиЬЬ91 32 8 32 15
ЫМ83 36 9 36 16
ЫМ83 37 9 37 16
СНЕОТА001 28Б 12 28 13
Я0БА04 49 10 49 23
ГОНАШБОШ8 30 11 30 29
БН111 А 11 59 25
У1ШБ03 26Б 15 26 13
KWENTUS97 47 16 47 14
БН111 Ь2 11 63 30
БНАНЕШП Б 10 105 34
ЫМАКТ08 121 15 121 60
ЫМРАБКО99 121 15 121 58
ЫМ83 121 15 121 58
В таблице №1 разрядность, означает разрядность коэффициентов фильтра, так же указано общее количество коэффициентов и число уникальных, неповторяющихся коэффициентов. Например, для КИХ-фильтра СНЕШ9_15 коэффициенты фильтра: -32 0 223 0 -897 0 4034 6656
4034 0 -897 0 223 0 -32 из которых всего 6 уникальных. Цветом в таблице №1 отмечены наиболее удачные реализации в плане энергопотребления.
Каждой из реализаций КИХ-фильтра (таблица №1) поставлено в соответствие три Verilog-описания для проведения экспериментов: функциональное описание каноническую формы параллельного КИХ-фильтра или эталон; обычное транспонированное представление; транспонированное представление, минимизированное за счет уменьшения блока MCM.
В тестбенче каждого Verilog нетлиста в качестве входных воздействий используется реальный звуковой сигнал, подгруженный в виде текстового файла, полученный средствами среды Matlab из звукового файла *.wav.
Для каждого Verilog-описания всех трёх версий КИХ-фильтра рассчитывается общее энергопотребление средствами Synopsys Power Compiler. Далее значения анализируются и сравниваются между собой. Процесс получения итоговых значений состоит из следующих этапов:
- средствами Synopsys Design Compiler синтезируются исходные Verilog-описания в нетлисты (на уровне вентилей) в базисе ячеек свободно распространяемой стандартной библиотеки OpenNangate с технологическими нормами 90 нанометров;
- полученные нетлисты симулируются средствами Cadence NanoSim с тестбенчем реального звукового сигнала;
- полученный VCD файл с вейвформами конвертируется в SAIF файл, который содержит информацию по всем переключениям в схеме;
- SAIF используется в Synopsys Power Compiler наряду с синтезированными нетлистами, полученными на первом этапе.
В таблице №2 показаны результаты расчета энергопотребления для 20-ти различных КИХ-фильтров. Данные получены с помощью САПР Synopsys Power Compiler.
Таблица №2
Рассчитанное энергопотребление КИХ-фильтров
Реализация КИХ-фильтра Общее эне ргопотребление, mW Степень минимизации, % Минизиро-ванная vs Эталон, %
Транспонированная форма Минимизированная форма Эталон
POTKONJAK96 4 0.591 0.680 0.177 -15 284
GOODMAN77 E11 0.332 0.323 0.179 3 80
JAIN91 11 0.375 0.323 0.254 14 27
DEMPSTER04 I5 1.223 1.788 0.358 -46 399
VINOD03 26A 0.524 0.459 0.304 12 51
CHEN99 15 1.489 0.894 0.776 40 15
BULL91 32 1.084 1.023 0.661 6 55
LIM83 36 1.304 1.068 0.888 18 20
LIM83 37 1.237 1.102 0.970 11 14
CHENYAO01 28B 1.840 1.311 1.333 29 -2
ROSA04 49 2.134 1.617 1.490 24 9
JOHANSSON08 30 3.129 2.785 1.421 11 96
SHI 11 A 3.467 2.962 2.268 15 31
VINOD03 26B 5.956 6.684 3.297 -12 103
KWENTUS97 47 5.254 5.316 3.096 -1 72
SHI 11 L2 3.526 2.903 2.304 18 26
SHAHEIN11 B 3.599 3.310 2.486 8 33
LIMAKT08 121 17.220 11.527 12.053 33 -4
LIMPASKO99 121 18.294 13.352 11.993 27 11
LIM83 121 18.628 13.194 12.494 29 6
Результаты отсортированы по возрастанию площади эталонных КИХ-фильтров, рассчитанных Design Compiler при синтезе. Таблица №2 отсортирована по 4-ому столбцу (эталон).
5-ый столбец (степень минимизации) показывает на сколько процентов понижается энергопотребление при минимизации транспонированной формы КИХ-фильтра (за счет минимизации блока MCM в Verilog-описании) по
сравнению с исходным значением (транспонированная форма). Энергопотребление транспонированной формы принимается за 100%. В рамках исследования те из реализаций, которые имеют наибольшие значения в этом столбце, считаются наиболее удачными.
6-ой столбец (он же последний) показывает, на сколько процентов минимизированная транспонированная форма КИХ-фильтра потребляет мощности больше, чем эталон (синтезированный на основе функционального описания КИХ-фильтра). Энергопотребление эталона принимается за 100%. Мы хотим увидеть наименьшие значения в этом столбце, чтобы считать наши реализации удачными.
Таким образом, мы выбрали группу реализаций (выделена цветом), удовлетворяющую нашим требованиям по энергозатратам.
На рис. 4 проиллюстрированы полученные результаты в виде гистограммы для выделенной группы реализаций КИХ-фильтра.
Рис. 5. - Полученные результаты для выделенной группы КИХ-фильтров
Таблица №3
Площадь КИХ-фильтров по результатам синтеза
Реализация КИХ-фильтра Площадь после синтеза, ишА2
Транспонированная форма Минимизированная транспонированная форма Эталон
РОТКОШАК96 4 4666 3604 2050
ОООБМАШ7 Е11 4174 3968 2252
1АШ91 11 4585 5068 2818
БЕМРБТЕЯ04 15 7195 5954 3337
У1ШБ03 26А 9323 8381 5169
СНШ99 15 9741 7951 6341
БиЬЬ91 32 13665 13342 8445
ЫМ83 36 16801 16203 10114
ЫМ83 37 15637 16228 10147
СНЕОТАО01 28Б 15527 14691 10798
ЯОБА04 49 22158 21898 14564
ГОНАШБОШ8 30 27480 21069 14942
БН111 А 32393 27918 20479
УIN0D03 26Б 29368 22665 20897
KWENTUS97 47 31148 27063 21122
БН111 Ь2 32809 30968 21792
SHAHEIN11 Б 43377 44169 26587
ЫМАКТ08 121 93587 83612 72898
ЫМРАБКО99 121 97080 85073 75011
ЫМ83 121 100739 84625 76133
Заключение
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод о том, что потребляемая мощность КИХ-фильтра прямо пропорциональна площади, занимаемой им на кристалле.
Кроме того, полученные результаты демонстрируют общую тенденцию к уменьшению площади транспонированного КИХ-фильтра и снижению его энергопотребления при удовлетворении следующих условий:
- КИХ фильтр имеет большое число повторяющихся коэффициентов (чем меньше уникальных, тем лучше результат);
- Разрядность коэффициентов КИХ фильтров мала (чем меньше значение, тем лучше результат).
Если эти свойства для КИХ-фильтра не выполняются, то для сокращения энергозатрат следует использовать каноническую форму фильтра (эталон).
Предполагается, что полученные закономерности справедливы и для КИХ-фильтров, спроектированных на основе модулярной арифметики. Для таких фильтров их коэффициенты будут удовлетворять условиям, описанным выше и приводящим к понижению потребляемой мощности. Также следует предположить, реализация КИХ-фильтра на базе рекурсивной модулярной арифметики [16], где коэффициенты ещё меньшей разрядность будет самой удачной с точки зрения энергозатрат.
Дальнейшая работа будет посвящена аппаратной реализации модулярных КИХ фильтров с минимизацией блока MCM, а также вопросам выбора базисных модулей, эффективной реализации преобразователей и т. д.
Поддержка
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 17-07-00404.
Литература
1. FIR filters tools // miniDSP URL: minidsp.com/applications/advanced-tools/fir-filter-tools (date of access: 07.12.2017).
2. P. Cappello and K. Steiglitz. Some complexity issues in digital signal processing. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 32, No. 5, pp. 1037-1041, Oct. 1984.
3. Coleman, J. O. Cascaded coefficient number systems lead to FIR filters of striking computational efficiency. In Proc. 8th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems, Vol. 3, pp. 513-516, Sep. 2001.
4. R. Pasko, P. Schaumont, V. Derudder, S. Vernalde, and D. Durackova. A new algorithm for elimination of common subexpressions. IEEE Transactions on
Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 18, No. 1, pp. 58-68, Jan. 1999.
5. Lefèvre, V. Multiplication by an integer constant: Lower bounds on the code length. In Proc. 5th Conference on Real Numbers and Computers, pp.131146, 2003.
6. R.I. Hartley. Subexpression sharing in filters using canonic signed digit multipliers. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 43, No. 10, pp. 677-688, Oct. 1996.
7. D.R. Bull and D.H. Horrocks. Primitive operator digital filters. IEE Proceedings G - Circuits, Devices and Systems, Vol. 138, No. 3, pp. 401-412, Jun. 1991.
8. A.G. Dempster and M.D. Macleod. Use of minimum-adder multiplier blocks in FIR digital filters. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 42, No. 9, pp. 569-577, Sep. 1995.
9. R.L. Bernstein. Multiplication by integer constants. Software - Practice and Experience, Vol. 16, No. 7, pp. 641-652, 1986.
10. H. Choo, K. Muhammad, and K. Roy. Complexity reduction of digital filters using shift inclusive differential coefficients. IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 52, No. 6, pp. 1760-1772, Jun. 2004.
11. Y. Voronenko and M. Puschel. Multiplierless multiple constant multiplication. ACM Transactions on Algorithms (TALG), Vol. 3, No. 2, pp. 1-39, May 2007.
12. Spiral Generated Transform Libraries // Spiral URL: spiral.net/codegenerator.html (date of access: 07.12.2017).
13. V.M. Amerbaev, R.A. Soloviev, and D.V. Telpukhov. Hardware implementation of FIR filter based on number-theoretic fast fourier transform in Residue Number System. Open Engineering Sciences Journal, Vol. 1, No. 1, pp. 16, 2014.
14. P. Patronik, K. Berezowski, S. Piestrak, J. Biernat, and A. Shrivastava. Fast and energy-efficient constant-coefficient FIR filters using residue number system. In Proceedings of the 17th IEEE/ACM International Symposium on Low Power Electronics and Design, pp. 385-390, Aug. 2011.
15. FIR Filter data found in the literature // FIRsuite URL: firsuite.net/FIR/FromPublication (date of access: 07.12.2017).
16. Соловьев Р.А., Тельпухов Д.В. Методика выбора базисных оснований для рекурсивной модулярной арифметики // Вычислительные технологии. 2014. том 19, №4. С. 99-106.
17. Балака Е.С., Михмель А.С., Северцев В.Н., Гулякович Г.Н. Система синхронизации в микросхемах с высокой степенью интеграции // Инженерный вестник Дона, 2017, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4115/.
18. Тельпухов Д.В., Рухлов В.С., Рухлов И.С. Исследование и разработка методов оценки сбоеустойчивости комбинационных схем, реализованных в базисе ПЛИС // Инженерный вестник Дона, 2016, №1 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3504/.
19. B. Chen and I. Nedelchev. Power Compiler: A Gate Level Power Optimization and Synthesis System. In Proc. IEEE International Conference on Computer Design: VLSI in Computers and Processors, pp. 74-79, Oct. 1997.
20. Synopsys Power Compiler User Guide. Version D-2010.03-SP2. June 2010. Synopsys, 2010. 453 p.
References
1. FIR filters tools. Date Views 07/12/2017. URL: minidsp.com/applications/advanced-tools/fir-filter-tools.
2. P. Cappello and K. Steiglitz. Some complexity issues in digital signal processing. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. 32, No. 5, pp. 1037-1041, Oct. 1984.
3. Coleman, J. O. Cascaded coefficient number systems lead to FIR filters of striking computational efficiency. In Proc. 8th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems, Vol. 3, pp. 513-516, Sep. 2001.
4. R. Pasko, P. Schaumont, V. Derudder, S. Vernalde, and D. Durackova. A new algorithm for elimination of common subexpressions. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 18, No. 1, pp. 58-68, Jan. 1999.
5. Lefèvre, V. Multiplication by an integer constant: Lower bounds on the code length. In Proc. 5th Conference on Real Numbers and Computers, pp.131146, 2003.
6. R.I. Hartley. Subexpression sharing in filters using canonic signed digit multipliers. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 43, No. 10, pp. 677-688, Oct. 1996.
7. D.R. Bull and D.H. Horrocks. Primitive operator digital filters. IEE Proceedings G - Circuits, Devices and Systems, Vol. 138, No. 3, pp. 401-412, Jun. 1991.
8. A.G. Dempster and M.D. Macleod. Use of minimum-adder multiplier blocks in FIR digital filters. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, Vol. 42, No. 9, pp. 569-577, Sep. 1995.
9. R.L. Bernstein. Multiplication by integer constants. Software - Practice and Experience, Vol. 16, No. 7, pp. 641-652, 1986.
10. H. Choo, K. Muhammad, and K. Roy. Complexity reduction of digital filters using shift inclusive differential coefficients. IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 52, No. 6, pp. 1760-1772, Jun. 2004.
11. Y. Voronenko and M. Puschel. Multiplierless multiple constant multiplication. ACM Transactions on Algorithms (TALG), Vol. 3, No. 2, pp. 1-39, May 2007.
12. Spiral Generated Transform Libraries. Date Views 07/12/2017 URL: spiral.net/codegenerator.html.
13. V.M. Amerbaev, R.A. Soloviev, and D.V. Telpukhov. Open Engineering Sciences Journal, Vol. 1, No. 1, pp. 1-6, 2014.
14. P. Patronik, K. Berezowski, S. Piestrak, J. Biernat, and A. Shrivastava. In Proceedings of the 17th IEEE/ACM International Symposium on Low Power Electronics and Design, pp. 385-390, Aug. 2011.
15. FIR Filter data found in the literature. Date Views 07/12/2017 URL: firsuite.net/FIR/FromPublication.
16. Solovyev R.A., Telpukhov D.V. Vychislitel'nye tekhnologii. 2014. vol. 19, no. 4, pp. 99-106.
17. E.S. Balaka, A.S. Mikhmel, V.N. Severtsev, G.N. Gulyakovich Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4115/.
18. D.V. Telpukhov, V.S. Rukhlov, I.S. Rukhlov Inzhenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2016/3504/.
19. B. Chen and I. Nedelchev. Power Compiler: A Gate Level Power Optimization and Synthesis System. In Proc. IEEE International Conference on Computer Design: VLSI in Computers and Processors, pp. 74-79, Oct. 1997.
20. Synopsys Power Compiler User Guide. Version D-2010.03-SP2. June 2010. Synopsys, 2010. 453 p.
