Продольный удар сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении Текст научной статьи по специальности «Физика»

' dw ^

ni и записи полученного урав-

awfe)- ¡{vnw + G(on - Vnw - Gton jds + (#w -Hw) | - \Фdo = 0. (18)

С .Ca

Коэффициент a определяется так же, как в уравнении (15). Уравнение (18) для точек \ е С является ГИГУ с неизвестными значениями функций w, со„, F, G на контуре С. Краевые условия позволяют исключить две неизвестных величины в каждом из уравнений (15), (18). Это делает возможным найти две оставшиеся величины в (15), а для нахождения неизвестных в (18) вводится дополнительное уравнение, получающееся из (18) применением

формулы дифференцирования

W//

I —

нения в точках £ е С. При численном решении ГИУ записываются в точках некоторого дискретного разбиения контура, интегральные члены заменяются с использованием формул численного интегрирования. Решение ГИУ сводится к решению двух систем линейных алгебраических уравнений на каждой итерации. Следует отметить особый характер применяемых формул численного интегрирования, т.к. ядра ГИУ для уравнений (14), (17) имеют особенности типа 1/г при г -» 0, а ГИУ для сог - особенность типа \/г2.

X' л » 4t' I

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975. 328 с.

2. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М: Машиностроение, 1975.400 с.

3. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982,248 с.

4. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.494 с.

Грибов Александр Павловичу доктор физико-математических паук, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики оболочек.

Малахов Владимир Георгиевич, старший научный сотрудник КНЦ РАИ. Имеет публикации в области механики оболочек.

УДК 622.233.6 В.К. МАНЖОСОВ

А «

ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССЫ ПО ПОЛУОГРАНИЧЕННОМУ СТЕРЖНЮ СУПРУГОЙ ПРОКЛАДКОЙ В УДАРНОМ СЕЧЕНИИ

Рассмотрена задача продольного удара сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении. Представлены дифференциальные уравнения движения ударной массы и поперечных сечений стержня. Получены решения уравнений и определены значения ударной силы при различных параметрах ударной системы.

я V I

Продольный удар сосредоточенной массы по полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении описан в работах [2,3,4]. Расчетная схема ударной системы изображена на рис. 1.

Ч

к

о

м

7 X

А оо

ХМ О

Рис. 1. Расчетная схема ударной системы

Ударная масса М, перемещающаяся вдоль оси х со скоростью У0, наносит удар по неподвижному полуограниченному стержню с упругой прокладкой в ударном сечении х = 0. Жесткость упругой прокладки равна к, положение ударной массы определяется координатой хм.

Движение поперечных сечений описывается волновым уравнением вида

д2и(х^) 1 д2и(х^)_

дх2 а2 Ы

где и{х,{) - продольное перемещение поперечного сечения стержня, положение которого определяется координатой х; время, а - скорость звука в материале стержня.

При / = 0 (начальные условия)

и(х, 0)=0, = 0 < х < со. (2)

2 = 0' 0)

дг

Граничные условия:

при х = 0 ЕА - £[ц(0,/)- хм] = О, если хм >м(0А (3)

дх ^ • ц и .. м Г; ¿г ч

-^ = 0, если *„<«((>,/), "(4)

ди(оо, ( л при х = 00 —--:- = 0, (р)

дх

где £ - модуль упругости 1-го рода материала стержня; А - площадь поперечного сечения стержня.

Движение ударной массы описывается дифференциальным уравнением

Мхм =к[и(если хм >и(О,*) ; (6)

хм =0, если хм <и(0,{)

при следующих начальных условиях:

при * = О хм = 0, (7)

По методу Даламбера решение волнового уравнения (1) можно представить в виде

и{хл) = /(а/ - х)+ <р(я/ + х), (8)

где /(а1-х) - функция, описывающая параметры прямой волны деформации, распространяющейся в стержне в направлении оси х; <р(я*+ - функция, описывающая параметры обратной волны деформации.

Учитывая начальные условия (2), а также то, что обратная волна формируется на бесконечно удаленной границе х = оо, можно принять, что для конечного интервала времени

+ х) = 0. (9)

Следовательно, из (8)

к(*,/) = /(*/-;с). (10)

Из (3) перемещение ударной массы

хм = ~ /'(а? - 0) + /{а1 - 0), (11)

к

а ее скорость и ускорение

*М = ^а/"(а(-0)+а/'(а1-0), (12)

к

= -7- а2/т(ш - 0)+ а2/"(а/ - 0). (13)

к

Учитывая (13), (10) и (11) в (6), получим дифференциальное уравнение

~ Г (аг- 0)+/ V - 0)+/ V - 0)=0. (14)

к Ма

Начальные условия (7) при этом с учетом (11) и (12) примут вид:

при Г-0 /'(0)=0, Г(0) = ±Х (15)

Ел а

Решение (14) позволяет найти функцию /(я/-0), определяющую параметры прямой волны, формируемой в ударном сечении. В работе [4] дано решение дифференциального уравнения (14), когда жесткость упругого элемента удовлетворяет условиям:

,4Е2А2 к М , гк л Г к Г, м к> —-,--->4, кМ> 4, к = —, М =--

а М А к А т Ак А т

/{си - 0) =

V,

о

Ч

7\а

— (е'1Я/ — 1)-

1

а(г, - ад)

(е(1-ая)« _

/'{сИ - О) = — ~ епе" (1 - е~ае,а1),

ад

(17)

(18)

4 ~ М ~ к ЕА

где д = л/1 - -^г; М =-; к = —; Ак =--продольная жесткость еди-

Мк А т Ак А/

ницы длины А/ стержня; Ат = оАА1 - масса единицы длины А/ стержня.

Деформация в ударном сечении

ударная сила

сЦ0,/)_ У0 1

дх ад

V,

е^'(\ - е^')

\

(19)

а

относительное значение ударной силы

Р(0,/) = ——е^0' (1 - е~щм),

д

Рг

(20)

(21)

где Р(0,/)= - Р0 ~-ЕА—; \Р0\ - максимальное по модулю значение

в -- ■

О Я

ударной силы при ударе по стержню сосредоточенной массой без упругой прокладки в ударном сечении. Так как из [4]

I 4 А/

д = , А? = —.

(22)

Мк а

где Д/ - время, в течение которого волна деформации распространится на расстояние, равное единице длины АI стержня, то при условии кМ > 4

Мк

(23)

Если жесткость упругого элемента не удовлетворяет неравенствам (16), решение дифференциального уравнения (14) имеет вид

а

—а/

где р = ,

а

/'(а/-0) = е 2 (С,с<мра1 + С2микМ <4,

Л

к

(24)

а =

£4

Р =

Ма

2 '

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий (15): при * = 0 /'(0) = 0, тогда из (24) С, = 0;

при £ = О /"(о) =

к У0

ЕА а

, а так как из (24) при С, = 0

а —а!

-- С4| X Ч

/V"0)=С2е 2 йтурМ),

Г {а! - 0) = С

/ \ <*

а

ч

а

в 2 С2е 2 рсоя(рм) =

= С,е 2

а / —л/

ОС 'Ч \ р соз(раг) - — зт(рм)

\

V

то, учитывая (15), имеем С2 =

2

£ У0 1

У

ЕЛ а р

Выражение (25) с учетом (27) имеет вид

К0 к 1 -"«' .

/V- 0)=

—е - вт

а ЕА р

{реп) .

Так как

Л 1

£4 р

^ Г~ 1 1 , ит

, ра1 = кг, ^г-т > сш1 = кг ,

1 1

кМ 4

Ш 4

то имеем

/ V - 0)=

к

/

0

а

1 1

Л

V

кМ 4

-1

¿Г0-5*7

ч

- ,_1__1

К I „ | г^

кМ 4

л

у

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Деформация в ударном сечении (если кМ < 4)

эи(о,0= у0

дх

а

ударная сила

К

г

\

/

1 1

л

кМ 4

/

-1

-0,5 кТ •

е ят

/

7 •—

кг

1 1

\

V

^ /V

кМ 4

/

о

а

1 1

л-1

V

кМ 4

е-0ЯТ зЫ

У

Г

1 1

л

\

кМ 4

у

и

(31)

(32)

относительное значение ударной силы

р{ о,0=

1

V

кМ

I

4

Л-1

<Г°'5*Г ап

/

1

кМ

4

и

/

(33)

г •

В табл. 1 приведены значения ударной силы для различных мо-

ментов времени при различных соотношениях жесткости

к е {l;2;3;3,99;4,01;5;10;20;50;oo|. Соотношение масс М = М/Ат равно еди-

нице

(л? = 1).

Значения ^(О,?) при к е{ 1;2;3;3,99;} вычислены по формуле (33), значе-ния р{о, 7) при к е {4,01;5;10;20;50} вычислены по формуле (23), значения Р[0,7) при к =ос вычислены по формуле

I

Р(0,7)=е~й} (34)

W

описывающей изменение ударной силы при ударе сосредоточенной массы по стержню при отсутствии упругой прокладки в ударном сечении [1,4]-

Соотношение жесткостей к =3,99 и к =4,01 приняты для того, чтобы

иметь возможность оценить значения Р(0,г), когда значения к близки, но

вычисления ударной силы при к =3,99 производится по формуле (33), а при

^ > • ' ' »^ Л ' ' . - > 1 1 • • I

к =4,01 по формуле (23).

На рис. 2 приведены диаграммы, характеризующие изменение ударной

силы Р(0,7) во времени при различных соотношениях жесткостей к при М. = 1: диаграмма 1 - для к =4,01; диаграмма 2 - для к = 5; диаграмма 3 -

для к = 10; диаграмма 4 - для к = 50; диаграмма 5 - для к = оо (отсутствие упругой прокладки в ударном сечении). Во всех этих случаях произведение

^ /Ч/ />-/

кМ > 4 и расчет ударной силы производился по формуле (23), а при к - оо -по формуле (34). , < . !

Из диаграмм видно, что чем меньше соотношение жесткостей к , тем явно прослеживается формирование переднего фронта, когда происходит рост ударной силы. Причем максимальное значение этой силы уменьшается. Дли-

тельность переднего фронта тем меньше, чем больше к .

При больших значениях к (&>5о) диаграмма ударной силы Р(0,7)

близка к диаграмме при к = оо, когда отсутствует упругая прокладка в

ударном сечении. Максимальное значение ударной силы (если кМ>4) может быть найдено по формуле (23), когда 7 = 7т, причем

qk 1 + q

(35)

%

где = —; Тт - время, когда ударная сила достигает максимального значе-

■ ^ |Г 1 'V-" | - V', •' .'V Г Г и

ния. ' .. ' . . 1

Если параметры ударной системы таковы, что кМ > 4, то ударная сила имеет бесконечную длительность (удар по полу ограниченному стержню).

Значение ударной силы Р(0, 7) при М = 1, У0/а = 0,001 для различных 7 Таблица!

Ударная сила Р(0,7) при М = 1 , У0/а = 0,001

7 = — Д/1 к = 1 к = 2 к =3 к = 3,99 ¿=4,01 к - 5 к = 10 к =20 к =50 к - со

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0,02 0,0198 0,0392 0,0582 0,0766 0,077 0,095 0,181 0,329 0,63 0,98

0.04 0,0392 0,0768 0.1129 0,1473 0,148 0,181 0,328 0,547 0,853 0,96

0,06 0,0582 0,1129 0,1644 0,2124 0,213 0,258 0,448 0,69 0,925 0,941

0,08 0,0768 0,1475 0,2126 0,2721 0,273 0,328 0,544 0,781 0,94 0,923

0,1 0,095 0,1806 0,2578 0,3268 0,328 0,39 0,621 0,837 0,933 0,904

0,12 0,1128 0,2123 0,3001 0,3768 0,378 0,445 0.682 0,869 0,919 0887

0,14 0,1302 0,2426 0,3396 0,4224 0,424 0,495 0,729 0,885 0,902 0869

0,16 0,1472 0,2715 0,3763 0,4639 0,465 0,539 0,765 0,89 0,885 0,852

0,18 0,1638 0,299 0,4105 0,5015 0,503 0,577 0,792 0,887 0,867 0,35

0,2 0,18 0,3253 0,4422 0,5354 0,537 0,611 0,811 0,88 0,849 0,818

0,22 0,1959 0,3502 0,4716 0,5659 0,567 0,641 0,824 0,869 0,832 0,802

0,24 0,2113 0,3739 0,4987 0,5932 0,594 0,666 0,831 0,856 0,816 0,786

0,26 0,2263 0,3964 0,5236 0,6174 0,618 0,688 0,834 0,841 0,799 0,771

0,28 0,241 0,4177 0,5465 0,6389 0,64 0,706 0,833 0,826 0.783 • 0,755

0,3 0,255 0,4378 0,5674 0,6578 0,659 0,722 0,830 0,81 0,767 0,741

0,32 0,2692 0,4568 0,5864 0,6742 0,675 0.734 • 0,824 0,795 0,752 0,726

0,34 0,2827 0,4747 0,6036 0,6883 0,689 0,744 0,816 0,779 0,736 0,711

0,36 0,2958 0,4915 0,6192 0,7002 0,701 0,751 0,807 0,763 0,721 0,697

0,38 0,3086 0,5073 0,6331 0,7102 0,711 0,757 0,796 0,747 0,707 0,683

0,4 0,3209 0,522 0,6454 0,7183 0,719 0,76 0,785 0,732 0,693 0,67

0,42 0,3329 0,5358 0,6563 0,7247 0,725 0,762 0,773 0,717 0,679 0,657

0,44 0,3446 0,5486 0.6658 • 0,7295 0,73 0,762 0,76 0,702 0,665 0,644

0,46 0.3558 • 0,5605 0,674 0,7328 0,733 0,76 0,747 0,687 0,651 0,631

0,48 0,3668 0,5714 0,6809 0,7348 0,735 0.758 0,733 0,673 0,638 0,618

0.5 л 0,3773 0,5815 0,6866 0,7354 0,736 0,754 0,719 0,659 0,652 0,606

0,55 0,4021 0,6031 0,696 0,7321 0,732 0,739 0,684 0,625 0,594 0,577

0,6 0,4247 0,6197 0,6993 0,7228 0,723 0,72 0,65 0,593 0,565 0,548

0,65 0,4452 0,6318 0,6972 0,7086 0,708 0,697 0,616 0,562 0,537 0,522

0,7 0,4636 0,6398 0,6906 0,6906 0,69 0,672 0,584 0,534 0,51 0,496

0,75 0,4799 0,6439 0,6801 0,6696 0,669 0,644 0,552 0,506 0,484 0,472

0,8 0,4943 0,6446 0,6664 0,6463 0,645 0,616 0,523 0,48 0,46 0.449

0,85 0,5068 6422 0,6499 0,6214 0,62 0,587 0,494 0,455 0,437 0,427

0,9 0,5175 0,6369 0,6312 0,5954 0,594 0,558 0,467 0,432 0,416 0,406

0,95 0,5263 0,6291 0,6106 0,5687 0,567 0,529 0,442 0,41 0,395 0,386

1,0 0,5335 0,6191 0,5887 0,5418 0,54 0,501 0,418 0,389 0,375 0,367

1,05 0,539 0,607 0,5658 0,5147 0,513 0,473 0,395 0,369 0,357 0,35

1,1 0,5429 0,5933 0,5421 0,488 0,487 0,447 0,373 0,35 0,339 0,333

1,15 0,5453 0,578 0,518 0,4616 0,46 0,421 0,353 0,332 0,322 0,316

1,2 0,5462 0,5614 0,4936 0,4359 0,435 0,396 0,333 0,315 0,306 0,301

1,25 0,5458 0,5437 0,4691 0,4108 0,406 0,373 0,315 0,298 0,291 0,286

1,3 0,5441 0,5252 0,4448 0,3866 0.385 0,35 0,298 0,283 0,276 0,272

1,35 0,5411 0,5058 0,4208 0,3633 0,362 0,329 0,282 0,268 0,262 0,259

1,4 0,5369 0,486 0,3972 0,3409 0,34 0,308 0,266 0,255 0,249 0,246

1,45 0,5317 0,4657 0,3741 1 * 0,3195 0,318 0,289 0,251 0,242 0,237 0,234

1,5 0,5254 0.4451 0,3517 0,2991 0,298 0,271 0,238 0,229 0,225 0,223

1,55 0,5181 0,4244 0,3299 0,2796 0,278 0,254 0,225 0,217 0,214 0,212

1,6 0,5099 0,4036 0,3088 0,2612 0,26 0,238 0,212 0,206 0,203 0,201

Ударная сила Р(0, Т) при M = 1 , V0/a = 0,001

~ д7 к =1 к =2 к =3 к = 3,99 к =4,01 и Oh к=\0 к =20 £ = 50 к - оо

1,65 0,5009 0,3828 0,2886 0,2437 0,234 0,2230 0,201 0,195 0,193 0,192

1.7 0,4911 0,3623 0,2691 0,2272 0,226 0,208 0,19 0,185 0,183 0,182

',75 0,4806 0,3419 0,2505 0,2116 0,211 0,195 0,179 0,176 0,174 0,173

1,8 0.4694 + 0,3219 0,2327 0,1969 0,196 0,182 0,169 0,167 0,166 0,165

1,85 0,4576 0,3022 0,2158 0,183 0.182 0,17 0,16 0,158 0,157 0,157

1,9 0,4453 0,283 0,1998 0,1701 0,169 0,159 0,151 0,15 0,149 0,149

1,95 0,4325 0,2643 0,1846 0,158 0.157 0,149 0,1433 0,1426 0,1424 0,1422

2,0 0,4192 0,2461 0,1702 0,1466 0,146 0,139 0,1355 0,1353 0,1353 0,1353

2,05 0,4056 0,2284 0,1566 0,1359 0,1.358 0,13 0,128 0,1284 0,1286 0,1287

2,1 0,3917 0,2114 0,1439 0,126 0,1258 0,1216 0,121 0,1217 0,1222 0,1224

2,15 0,3775 0,1949 0,1319 0,1167 0,1166 0,1136 0,1144 0,1155 0,1161 0,1164

2,2 0,363 0,1791 0,1206 0,108 0,1079 0,1061 0,1081 0,1095 0,1103 0,1108

2,25 0,3484 0,164 0,1101 0,1 0,1 0,0991 0,1022 0,1039 0,1048 0,1053

2,3 0,3336 0,1495 0,1003 0,0924 0,0924 0,0925 0,0966 0,0986 0,0996 0.1002

2,35 0,3188 0,1357 0,0912 0,0854 0,0855 0,0864 0,0913 0,0935 0,0946 0,0953

2,4 0,3039 0,1225 0,0827 0,0789 0,079 0,0807 0,0863 0,0887 0,0899 0,0907

2,45 0,289 0,11 0,0748 0,0729 0,0729 0,0753 0,0816 0,0841 0,0854 0,0862

2,5 0,2741 0,0982 0,0675 0,0673 0,0674 0,0703 0,0771 0,0798 0,0812 0,082

2,55 0,2592 0,087 0,0607 0,0621 0,0622 0,0657 0,0729 0,0757 0,0772 0,078

2,6 0,2445 0,0765 0,0544 0,0573 0,0574 0,0613 0,0689 0,0718 0,0733 0,0742

2,65 0,2299 0,0667 0,0487 0,0528 0,0529 0.0572 0,0651 0,0681 0,0697 0,0706

2,7 0,2154 0,0574 0,0434 0,0487 0,0488 0,0534 0,0615 0,0646 0,0662 0,0672

2,75 0,2011 0,0487 0,0385 0,0448 0,045 0,0498 0,0582 0,0613 0,0629 0,0639

2,8 0,187 0,0407 0,0341 0,0413 0,0414 0,0465 0,055 0,0581 0,0598 0,0608

2,85 0,1732 0,0332 0,03 0,038 0,0382 0,0434 0,052 0,0551 0,0568 0,0578

2,9 0,1596 0,0263 0,0263 0,035 0,0352 0,0405 0,0491 0,0523 0,054 0,055

2,95 0,1462 0,0199 0,0229 0,0322 0,0324 0,0378 0,0464 0,0496 0,0513 0,0523

3,0 0,1332 0,014 0,0199 0,0296 0,0298 0,0353 0,0439 0,0471 0.0487 0,0497

3,05 0.1205 г 0,0086 0,0171 0,0272 0,0274 0,0329 0,0415 0,0446 0,0463 0,0473

3,1 0,1081 0,0037 0,0146 0025 0,0252 0,0308 0,0392 0,0423 0,044 0,045

3,15 0,096 0 0,0123 0,023 0,0232 0,0287 0,037 0,0402 0,0418 0,0428

3,2 0,0843 0 0,0103 0,0212 0,0213 0,0268 0,035 0,0381 0,0397 0,0407

3,25 0,073 0 0,0084 0,0194 0,0196 0,025 0,0331 0,0361 0,0377 0,0387

3,3 0,062 0 0,0068 0,0178 0,018 0,0233 0,0313 0,0343 0,0359 0,0368

3,35 0,0514 0 0,0054 0,0164 0,0165 0,0218 0,0295 0,0325 0,0341 0,035

3,4 0,0413 0 0,0041 0,015 0.0152 0,0203 0,0279 0,0308 0,0324 0,0333

3,45 0,0315 0 0,003 0,0138 0,0139 0,0189 0,0264 0,0292 0,0308 0,0317

3,5 0,0221 0 0,002 0,0126 0,0128 0,0177 0,025 0,0277 0,0292 0,0301

3,55 0,0131 0 0,001 0,0116 0,0117 0,0165 0,0236 0,0263 0,0278 0,0287

3,6 0,0045 0 0,0003 0,0106 0,0108 0,0154 0,0223 0,0249 0.0264 0,0273

3,65 0 0 0,0097 0,0099 0,0144 0,0211 0,0237 0,0251 0,0259

3,7 0 0 0,0089 0,0091 0,0134 0,0199 0,0224 0,0238 0,0247

3,75 0 0 0,0082 0,0083 0,0125 0,0188 0,0213 0,0226 0,0235

3,8 0 0 0,0075 0,0076 0,0117 0,0178 0,0202 0,0215 0,0223

3,85 0 0 0,069 0,007 0,0109 0,0168 0,0192 0,0204 0,0212

3,9 0 0 0,0063 0,006 0,0102 0,0159 0,0182 0,0194 0,0202

3,95 0 0 0,0058 0,0059 0,0095 0,015 0,0172 0,0184 0,0192

4,0 0 0 0.0053 0,0054 0,0088 0,0142 0,0163 0,0175 0,0183

' • » / I

Рис. 2. Диаграммы, характеризующие изменение ударной силы во времени

при к > 4

¥

V » 1 / |Г »

Эффективность передачи кинетической энергии сосредоточенной массы в энергию волны деформации, формируемой в ударном сечении, растет с уве-

личением £ . Однако для ударных систем, когда кМ> 4, уже к моменту 7 = 2 эффективность передачи энергии достигает 0,98. В этом плане дли-

тельность Т формируемой волны деформации практически можно ограничить величиной Т = 2, т.е. не учитывать «хвостовой» участок волны бесконечной длительности, содержащий менее 2% энергии и малые значения ударной силы.

На рис. 3 приведены диаграммы, характеризующие изменение ударной силы

г) во времени в случаях, когда кМ<4(диаграмма 1 - для

Лчу ГЧ-» ^

к = 3,99; диаграмма 2 - для к = 3; диаграмма 3 - для к = 2; диаграмма 4 -для к = 1). Расчет ударной силы производился по формуле (33) при М = 1.

ГЧ/ »V

Рис. 3. Диа!рам1мы> характеризующие изменение ударной силы во времени

при к < 4

Здесь хможно проследить также тенденцию увеличения переднего фронта ударной силы и уменьшения ее максимального значения с уменьшением к . Заметим, что при к = 3,99 значение ударной силы

I) близки к значениям при к =4,01, хотя расчет осуществляется по разным формулам.

Близость этих значений можно заметить как по данным табл. 1, так и по диаграммам

Р( о,

г) на рис. 2 и 3.

При кМ < 4 длительность формируемой волны деформации ограничена и составляет величину

~ 7Г

т= , . (36)

кМ 4

При кМ-> 4 длительность ударной силы Г-»со, при к0 длитель-ность Т также с!ремится к бесконечности. Следовательно, существуют такие значения к в диапазоне 0 < кМ < 4, при котором длительность Т• достигает

/ч/

минимального значения. Дифференцируя (36) по £ и приравнивая полученное выражение к нулю, получим

ТС 1 1 7Г 1

к,} К М

Г**, / N

1 1

\КМ 4

/

к; 1 1

= 0,

ук,М 4

откуда следует, что значение к* М, при котором ударная сила имеет мини-мальную длительность, равно к+М = 2. Длительность ударной силы при этом составляет Т+ «3,14 (при М = 1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

* • 1 - "Тк ► >

1. Алимов О.Д., Дворников Л.Т. Бурильные машины. М.: Машиностроение, 1976.

2. Алпеева В.А., Манжосов В.К. Возбуждение волны деформации при соударении массы со стержнем // Динамика механических систем переменной структуры. Фрунзе: ФЩ 1990. С. 35-43.

3. Васильевский Ю.И. Продольный удар по полуограниченному стержню через упругую прокладку // Прикладная механика. Т. 3. Выи. 4. Киев, 1967.

4. Манжосов В.К. Удар массы по полуограниченному стержню через сосредоточенный упругий элемент // Прикладные задачи механики. Ульяновск: УлГТУ, 1998. С. 7-24.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стерэ!сневых системах, преобразования продольных воли деформаций в механических волноводах.