CC BY
20
Список литературы
1. Дукельский А. И. Подвесные канатные дороги и кабельные краны. Л-М.: Машиностроение, 1966. 485 с.
2. Бовский Г.Н., Жегульский И. В. Пассажирские канатные дороги. М.: [б. и.], 2016. 79 с.
3. Троллей (Zip Line) - аттракцион для всех. URL: https://zextrem.com/vozdux/dzhamping/spusk-na-trollee-zip-line.html.
4. Металлические конструкции. В 3 т. Т. 2. Конструкции зданий / под ред. В. В. Горева. М.: Высшая школа, 2004. 528 с.
5. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 242 с.
6. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. 372 с.
7. Щербаков В. П. Прикладная механика нити. М.: Изд-во МГТУ, 2007. 301 с.
8. Поляков Ю. С., Гилета В. П., Чусовитин Н. А., Бредихина А. Н., Парц К. А. К выбору параметров канатного спуска // Актуальные проблемы в машиностроении. 2015. № 2. С. 325-329.
УДК 539.3
ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГО-ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЯХ LONGITUDINAL STRESS WAVES IN VISCOELASTIC PLASTIC RODS
Н. Е. Проскуряков, И. В. Лопа
Тульский государственный университет, г. Тула, Россия
N. E. Proskuriakov, I. V. Lopa
Tula State University, Tula, Russia
Аннотация. Рассматривается динамическое нагружение стержневой конструкции из упруго-вязкопластического материала. Для решения задачи о распространении волны напряжений сжатия в стержне предлагаются взаимосвязанные гипотезы, которые позволили получить аналитическое решение. Предложено удобное аналитическое представление распределения напряжений по длине стержня для волны напряжений сжатия, распространяющейся в упруго-вязкопластическом материале стержня при ударе по его торцу жесткой массой. Показано удовлетворительное согласование с результатами численных расчетов и данными предыдущих исследователей, что делает использование этого метода практически осуществимым для решения прикладных задач.
Ключевые слова: удар, стержень, упруго-вязкопластический материал, волна, распределение напряжений.
DOI: 10.25206/2310-9793-7-1-136-141
I. Введение
Стержневые конструкции широко применяются в машиностроении, авиа- и судостроении, строительстве и других областях промышленности. Расчет таких конструкций существенно усложняется, если нагружение носит динамический характер, а в некоторых случаях и ударный. Например, в приводах затворов трубопроводов при гидравлическом ударе динамическому нагружению подвергается шпиндель [1], который представляет собой стержень, имеющий винтовую резьбу, что дополнительно ослабляет эту деталь [2, 3]. Ударное нагружение может привести к потере продольной устойчивости стержнем, его изгибу и, как следствие, к отказу выполнения механизмом своих функций [4-6]. При ударе в материале стержня распространяются продольные волны нормальных напряжений сжатия. Причем распределение напряжений в волне крайне неравномерно по длине стержня и быстро меняется во времени. Для упругих волн существует известное аналитическое решение. В начальный момент удара, как правило, напряжения достигают больших значений, существенно превышающих предел упругости. В этом случае происходит вязкопластическое затухание амплитуды напряжений и определение реального распределения напряжения по длине стержня для прикладных инженерных задач становится актуальным.
II. Постановка задачи
Решение задачи о распространении продольных волн нормальных напряжений сжатия строится в рамках гипотезы плоских сечений, и напряженно-деформированное состояние материала стержня полностью описывается компонентами тензоров напряжений а (в дальнейшем ст) и деформаций е (в дальнейшем е). Систе-
ма уравнении, описывающая задачу, включает уравнение движения, условие неразрывности и определяющее соотношение [7]:
[дСТМ {г, X)
дг дx
дV {г, X )_ де{г, X) дг ~ дХ д&{г,X) _ дст{г,X)
(1)
Е
дг
дX
Е -Ф(ст, е)
где р - плотность материала стержня; V (г, X) - скорость частиц стержня; Ф{ст, е) - функция, аппроксимирующая своиства материала стержня.
В начальный момент времени материал стержня не напряжен, не деформирован и неподвижен:
ст{г ,о) _ е{г ,о) _ V {г ,о) _ о.
Граничные условия описываются функцией: ст{0, X)• _ Р(X), где Р(X) - наперед заданная функция, причем Р (0) Ф 0 .
В качестве определяющего уравнения использовалась зависимость вида:
Е а^ + Еу(и( г, X)-ст ^);
дX дX Л
(2)
где у - коэффициент динамической вязкости, зависит от свойств материала и определяется путем обработки экспериментальных кривых динамического нагружения материала методом наименьших квадратов; ст ж - динамический предел текучести материала.
На рисунке 1 представлены кривые динамического нагружения стали 3 [8]. Сплошные линии получены экспериментально, штриховые - аппроксимацией этих данных уравнением (2). При этом ст = 410 МПа,
у =4-10-6 (МПа-с)-1. Наблюдается удовлетворительное согласование результатов с экспериментом.
Рис. 1. Кривые динамического нагружения стали 3
Система (1) представляет собой систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа и поэтому ее целесообразно решать методом характеристик [9].
Дополним ее тождественными соотношениями для полных дифференциалов искомых функций:
Са(2, г) = ¿2 + д^(2,г ) сг у ' д2 дг
¿е^г) = декА¿2+деМ¿г [. (3)
У ' д2 дг
У (2, г ) = д-кА 2+дКЫ ¿г
д2 дг
В результате получили систему шести линейных алгебраических уравнений (1) и (3) с неизвестными функциями:
га га де. де дУ дУ
д2 дг д2 ' дг' д2 ' дг
Потребуем, чтобы полученная система имела бесконечное множество решений. Для этого необходимо, чтобы ее главный определитель равнялся нулю. Из этого условия получили три семейства уравнений характеристик: ¿2 = 0, ¿2 = ±аСг. Чтобы решение вдоль характеристик было конечным, необходимо рассмотреть равенство нулю других определителей системы. Для этого заменим последний столбец главного определителя соответствующими правыми частями уравнений (1), (3) и рассмотрим его равенство нулю. Последовательно подставляя в полученное равенство уравнения характеристик, построим дифференциальные соотношения между искомыми функциями. Окончательно соотношения между дифференциалами искомых функций вдоль характеристических направлений в фазовой плоскости 20г с учетом определяющего уравнения (2), запишутся так [7]:
- вдоль характеристического направления ¿2 = 0:
Са(2, г) - ЕСе(2, г) + Еу(а(2, г) -аж )Сг = 0 ; (4)
- вдоль характеристического направления ¿2 = аСг :
Са(2, г) + арСУ (2, г) + Еу(а(2, г) -а 5 )Сг = 0, (5)
- вдоль характеристического направления С2 = -аСг:
Са(2, г) - арСУ(2, г) + Еу(а(2, г) -а5 )Сг = 0 . (6)
Таким образом, интегрирование квазилинейной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа (1) при заданных начальных и граничных условиях сводится к интегрированию соотношений (4)-(6) вдоль соответствующих характеристических направлений. В общем виде решение может быть получено только численно, что существенно усложняет его инженерное применение. Построение аналитического представления распределения напряжений по длине ударно нагруженного стержня является актуальной задачей и темой исследований данной статьи.
III. Теория
В некоторых случаях, например, при моделировании разрушений винтов приводов затворов трубопроводов при гидравлическом ударе [10] или при потере продольной устойчивости ударно нагруженным стержнем [11] достаточно получить приближенное решение задачи о продольных волнах напряжений в стержнях в удобной аналитической форме. Примем следующие взаимосвязанные гипотезы.
1. Скорость деформации материала ударно нагруженного стержня в окрестностях контактной поверхности (нагружаемого торца) настолько высока, что материал там (особенно в начальный период удара) в рамках конституционного соотношения Малверна-Соколовского [9] ведет себя как линейно-упругий.
2. Характер изменения напряжений вдоль положительного характеристического направления сетки характеристик аналогичен соответствующему изменению на переднем фронте волны напряжения сжатия, для которого начальным условием является условие на нагружаемом торце стержня в момент начала удара.
В качестве граничного условия примем удар жесткой массой по торцу стержня. При этом начальные условия остаются нулевыми, а граничные записываются в виде задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
Ы^-ат-З. (7)
Сг
Тогда в момент времени / = 0 из начала координат г = 0 вдоль стержня начинает распространяться прямая волна, на фронте которой претерпевают разрыв напряжения первого рода, деформации и скорость частиц. При этом величины разрывов не могут задаваться произвольно, так как они подчиняются некоторым условиям, вытекающим из гипотез механики деформируемого твердого тела и законов классической механики. Используя гипотезу сплошности материала в процессе деформирования и закон сохранения количества движения материала, получили условия динамической и кинематической непрерывности в виде:
а = -а-р-У и V = -а-г
(8)
На фронте справедливо соотношение (5). Подставляя в это уравнение первое из условий (8), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения на переднем фронте волны:
2d - а(г, = -Е -у(а(г, -а ^ .
(9)
Правая часть уравнения (9) является следствием первой гипотезы.
Решение уравнения (7) для изменения напряжения на контактной поверхности во времени записывается так:
- Р
а(0,/) = а0 - е
М
- Б -1
(10)
где а0 = а - р - У0 - напряжение на нагружаемом торце в момент удара.
Используя вторую гипотезу, соотношение (8) и уравнение (10), а также уравнение, описывающие изменение напряжения на переднем фронте волны (9), получаем зависимость для определения напряжения сжатия в любой точке фазовой плоскости:
(
а( г, 0 =
а - е
о! "\
а-р-Б г
—1— I —
М .
Л
-а,
—а -р-у-г 2
е 2 +а
Б .
(11)
IV. Обсуждение результатов
Результаты численного расчета и его сопоставление с решением волновой задачи [7] (сплошная линия), представлены на рисунке 2. Штриховая линия иллюстрирует решение волновой задачи в форме (10) в рамках принятой системы гипотез при следующих исходных данных: М = 0,015 кг, У0 = 1000 м/с, Б =2-10-5 м2, I =2,89-10-6 с.
а
мпа
2800
2100
1400
700
\ N
V \ ч
12 г,"Юм
Рис. 2. Различные варианты решения волновой задачи
Расхождение с результатами численного решения [7] (сплошная линия) связано с погрешностью аппроксимации свойств материала (рис. 1) и может быть уменьшено на основе учета неоднородности динамических характеристик материала стержня, привносимой неупругим деформированием материала в волне напряжений. Для этого предлагается в определяющем уравнении (2) динамический предел текучести материала представить в виде функции, учитывающей уменьшение предела текучести по длине стержня при уменьшении скорости деформации:
1
У
с (г) = 800 - 3,79 • 104 • г
МПа,
а коэффициент динамической вязкости в виде зависимости распределения по длине стержня вследствие уменьшения вязкопластического затухания амплитуды напряжений при уменьшении скорости деформации:
у(г) = 3,78 + 110 •
(МПа^с)-1
Штрихпунктирная линия на рисунке 2 иллюстрирует эти изменения в определяющем уравнении. Отсутствие в полученных графиках так называемого плато деформаций (участок у нагружаемого торца с малым затуханием напряжения), которое наблюдается при численных расчетах, связано с невозможностью уравнениями типа Соколовского-Малверна (с линейной аппроксимацией вязкопластических свойств материала) описать этот эффект. Для этого необходимо пользоваться определяющими соотношениями типа П. Пэжины. С учетом того, что этот участок составляет всего 1...2 мм, можно сделать вывод не только о количественном, но и качественном согласовании результатов.
На рисунке 3 представлено изменение напряжения по длине стержня при следующих исходных данных: диаметр стержня ё = 10 мм, ударяемая масса М = 0,061 кг, скорость удара К0 = 100 м/с при различных коэффициентах вязкости.
Рис. 3. Изменение напряжения по длине стержня: кривая 1 - у =10-5 (МПа-с)"1, кривая 2 - у =5 10-6 (МПа-с)"1
Анализ рисунка позволяет сделать вывод, что с уменьшением коэффициента вязкости затухание напряжения в волне происходит медленнее, но при других равных условиях напряжение достигает предела упругости в одной и той же координате. Следует отметить, что коэффициент вязкости не оказывает влияния на максимальную величину напряжения.
На рисунке 4 представлено изменение напряжения по длине стержня при тех же исходных данных при различных скоростях удара.
Рис. 4. Изменение напряжения по длине стержня при различных скоростях удара: кривая 1 - У0 = 100 м/с, кривая 2 - У0 = 200 м/с
Анализ рисунке 4 позволяет сделать вывод, что с ростом скорости удара возрастает амплитуда напряжений, но при этом скорость не влияет на интенсивность затухания. Аналогичные результаты были получены в работах [12, 13].
V. Выводы и заключение
Предложено удобное аналитическое представление распределения напряжений по длине стержня для волны напряжений сжатия, распространяющейся в упруго-вязкопластическом материале стержня при ударе по его торцу жесткой массой.
Показано удовлетворительное согласование с результатами численных расчетов и данными предыдущих исследователей, что делает использование этого метода практически осуществимым для решения прикладных задач.
Список литературы
1. Лопа И. В., Ефимова А. И., Жукаев А. И. Определение перепада давления при закрытии шиберного затвора // Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. №11-1. С. 186-191.
2. Лопа И. В., Патрикова Т. С., Патрикова Е. Н. Определение момента инерции поперечного сечения винта // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. № 2. С. 236-247.
3. Лопа И. В., Патрикова Т. С., Ефимова А. И. Поперечный изгиб винта с учетом изменения момента инерции по его длине // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. № 2. С. 241-245.
4. Proskuriakov N. E., Lopa I. V. Calculation of Spindle of Pipeline Fittings on the Longitudinal Stability // Procedia Engineering. 2016. Vol. 152C. P. 265-269.
5. Hirofumi Minamoto H., Seifried R., Eberhard P., Kawamura S. Analysis of repeated impacts on a steel rod with visco-plastic material behavior / European Journal of Mechanics - A/Solids, May-June 2011. Vol. 30, Is. 3. P. 336-344.
6. Wang H., Yin X., Deng Q., Yu B., Hao Q., Dong X. Experimental and theoretical analyses of elastic-plastic repeated impacts by considering wave effects / European Journal of Mechanics - A/Solids, September-October 2017. Vol. 65. P. 212-222.
7. Баранов В. Л., Лопа И. В. Продольные упруго-вязкопластические волны в стержнях конечной длины // Известия ВУЗов. Машиностроение, М.: 1993, № 1. 54 с.
8. Баранов В. Л., Лопа И. В., Чивиков З. Ч., Симеонов П. С. Устойчивость ударно нагруженных стержней. Тула: ТулГУ, 1997. 128 с.
9. Баранов В. Л., Лопа И. В. Радиальные волны кручения и продольного сдвига в упруго-вязкопластической толстой пластине в неизотермической постановке // Известия ВУЗов. 1989. № 7. С. 27-35.
10. Proskuriakov N. E., Lopa I. V., Trapeznikov E. V. Control of influence of a thread on a bending of screws // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Т. 858, № 1. С. 012028.
11. Баранов В. Л., Лопа И. В. Неустойчивость ударно нагруженных стержней // Известия ВУЗов. 1995. № 1-3. С. 45.
12. Пат. 2064647 Российская Федерация, МПК F 41 H 1/02 5/04. Многослойная броня / Авраамов Г. В., Баранов В. Л., Геворкян А. М., Лопа И. В. № 93 93041824; заявл. 20.08.1993; опубл. 27.07.96, Бюл. № 15.
13. Баранов В. Л., Зубачев В. И., Лопа И. В., Щитов В. Н. Некоторые вопросы проектирования пуль стрелкового оружия. Тула: ТулГУ, 1996. 116 с.
УДК 621.8:539.3
КОНТАКТНОЕ ДАВЛЕНИЕ В СОЕДИНЕНИИ С НАТЯГОМ, МОДИФИЦИРОВАННОМ КАНАВКАМИ МАЛОЙ ГЛУБИНЫ
CONTACT PRESSURE IN INTERFERENCE JOINTS WITH THE MODIFIED GROOVES
OF SHALLOW DEPTH
И. Л. Рязанцева, И. П. Згонник, М. А. Федорова
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
I. L. Ryazantseva, M. A. Fedorova and I. P. Zgonnik
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В статье описан аналитический метод определения средней величины контактного давления в цилиндрическом соединении с натягом, модифицированном канавками малой глубины. Он позволяет учитывать геометрические особенности соединяемых посадкой деталей и их взаимное расположение. Расчетные зависимости, приведенные в публикации, базируются на формулах Ляме. Их можно использовать для оценки несущей способности соединения при любой макрогеометрии стыка, независимо от количества, формы, размеров канавок и их расположения. Метод отличается простотой, наглядностью и обеспечивает достаточную для инженерных расчетов точность получаемых результатов.
