CC BY
128
УДК 624.072.21.012.4.046
ПРОЧНОСТЬ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО НАКЛОННЫМ СЕЧЕНИЯМ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И МОМЕНТОВ
Ю.В. Краснощёков, д-р техн. наук
Аннотация. Разрушение железобетонных элементов по наклонным сечениям является следствием совместного действия поперечных сил и изгибающих моментов. Однако до сих пор расчёт прочности по наклонным сечениям выполняется раздельно на эти усилия и только с помощью эмпирических формул удаётся в определённой степени компенсировать погрешность упрощения. Разработана и проверяется обобщённая расчётная модель.
Ключевые слова: прочность железобетона, наклонное сечение, поперечная сила, момент, обобщённая расчётная модель.
Введение
Расчёт прочности изгибаемых элементов по наклонным сечениям изначально ведётся раздельно на действие поперечных сил О и изгибающих моментов М, хотя известно, что разрушение по наклонным сечениям является следствием совместного действия этих усилий. Ещё в 1978 г. задача влияния моментов на несущую способность по наклонным сечениям, оцениваемую предельной поперечной силой, рассматривалась как первостепенная, требующая скорейшего разрешения на основе совместного учёта уравнений равновесия поперечных сил и моментов в наклонном сечении [1]. Тем не менее, даже через 25 лет авторы последней редакции норм проектирования железобетонных конструкций были вынуждены признать, что, несмотря на многочисленные исследования в этой области, предлагаемые методы расчёта прочности железобетонных элементов при действии поперечных сил ещё не достигли такого уровня, чтобы могли быть приняты в качестве нормативных [2].
В новой редакции норм проектирования железобетонных конструкций (СНиП 52-012003 и СП 52-101-2003), в отличие от СНиП 2.03.01-84*, приняты разные расчётные схемы для О и М, что подчёркивает ориентацию составителей норм на раздельный учёт усилий при расчёте прочности наклонных сечений и затрудняет переход к обобщённому расчёту.
Нормативные требования и расчётная схема
Рассмотрим основные особенности современного расчёта прочности по наклонным сечениям на основе метода предельных состояний.
Прочность наклонных сечений рассчитывают из условий, по которым расчётные усилия О и М от внешних нагрузок, действующих в наклонном сечении с длиной горизонталь-
ной проекции с, должны быть меньше или равны внутренним предельным расчётным усилиям Ои и Ми в этом сечении, т.е.
О < Ои или О/Ои < 1, (1)
М < Ми или М/Ми < 1. (2)
Выражения (1) отражают статическое условие IY = 0 равенства нулю вертикальных проекций всех сил. Составляющие предельного значения Ои = ОЬ + Оот: поперечная сила ОЬ, воспринимаемая бетоном в наклонном сечении шириной Ь и рабочей высотой ^, которая
в настоящее время определяется по эмпири-
ческой формуле в зависимости от расчётного сопротивления бетона растяжению RЬt:
Оь = 1,5^ЬЛ02/ с , (3)
и поперечная сила Оот, воспринимаемая поперечной арматурой в наклонном сечении, которая определяется в зависимости от интенсивности усилий в этой арматуре при площади сечения А расчётном сопротивлении Rsw и шаге :
0J5сRsW (4)
Выражения (2) отражают статическое условие !М = 0 равенства нулю моментов всех сил относительно центра тяжести сжатой зоны бетона наклонного сечения, в котором приложена равнодействующая усилий этой зоны Составляющие предельного значения Ми = М, + М^: момент, воспринимаемый продольной растянутой усилием Ns арматурой, пересекающей наклонное сечение, и определяемый по формуле:
М, = NsZs (5)
и момент Мот, воспринимаемый поперечной арматурой в наклонном сечении, который определяется по формуле
Msw = 0,5 Оsw с . (6)
Плечо пары сил N и Мь, определяющих момент Мз, допускается принимать приближённо Zs = 0,9^.
Влияние моментов при расчёте на поперечную силу по условиям (1) напрямую не учитывается. Однако не исключено, что оно учитывается косвенно составляющими предельного значения Qu.
В любом случае проектировщика целесообразно вооружить обобщённым условием прочности, учитывающим совместное действие поперечных сил и изгибающих моментов.
Вывод обобщённой функции прочности наклонного сечения
Примем для дальнейшего анализа унифицированную расчётную схему (рис. 1). Её особенности: совмещение схем поперечных сил и моментов; расчётное наклонное сечение с длиной проекции с и высотой zs пересекает точки приложения равнодействующих усилий сжатой и растянутой зон.
Согласно расчётной схеме в наклонном сечении действует изгибающий момент от расчётных нагрузок:
М = М0 + Qc. (7)
Для вывода обобщённой функции воспользуемся условиями прочности (1) и (2) в форме относительных событий q = Q/Qu и т = М/Ми .
Эти события имеют вероятностный смысл, а условия (1) и (2) соответствуют вероятностям разрушения от поперечной силы р^ < 1) = р^) = q и от момента
р(т < 1) = р(т) = т .
Сумму двух событий q и т представим как пару несовместных (противоположных) событий, состоящих в том, что разрушение произойдёт или по поперечной силе, или по моменту. Согласно одной из основных теорем теории вероятностей сумма вероятностей противоположных событий равна единице [3], т.е.:
р^) + р(т) = 1. (8)
Заменим в формуле (8) вероятности на относительные значения расчётных усилий из (1), (2) и получим функцию прочности (надёжности) в обобщённом виде:
Q/Qu + М/Ми = 1. (9)
Таблица 1 -Характеристики опытных образцов
В теории надёжности сумму вероятностей состояний, равную единице, относят к одному из важнейших уравнений функционирования системы [4]. Подобные функции применяют при расчёте железобетонных элементов на кручение со срезом, а также на продавлива-ние от совместного действия продавливающей силы и момента.
Так как существует гипотетическая вероятность разрушения от одновременного действия поперечной силы и момента, то сумма вероятностей (8) уменьшается и равенство (9) превращается в условие надёжности:
Q/Qu + М/Ми < 1. (10)
Сущность условия (10) заключается в том, что исчерпание прочности железобетонного элемента по наклонному сечению всегда происходит с определённой вероятностью, как от действия поперечной силы, так и от момента. Если доля того или иного усилия незначительна, т.е. при Q = 0 или М = 0 условие (10) трансформируется в (1) или (2).
Анализ опытных данных
Для проверки эмпирических зависимостей (3), (4) и функции (9) выполнен анализ экспериментальных данных, извлечённых из сборника [5]. Рассмотрены результаты испытания 15 железобетонных балок прямоугольного сечения, загруженных двумя сосредоточенными силами на расстоянии с = 2Л0 от опор. Основные характеристики опытных изделий, в том числе значение поперечной силы Qоп при разрушении, приведены в таблице 1.
Функция (9) справедлива только при расчётных значениях исходных параметров, поэтому для проверки опытных данных потребовалось определение расчётных значений прочности бетона и арматуры, которые вычисляли по формуле:
R = Я(1 - 1,64у)/ут. (11)
при коэффициентах вариации прочности бетона vb = 0,135, продольной арматуры класса А^ ^ = 0,1 и поперечной арматуры класса В-1 vsw = 0,07, а также при коэффициентах надёжности по бетону Yb = 1,3, по арматуре Ys = 1,15 и Ysw = 1,05/0,75.
Результаты проверочного расчёта опытных балок на действие поперечной силы Q = Qоп по формулам норм проектирования приведены в таблице 2.
№ Размеры сече- Площадь сечения ар- Шаг Средние сопротивления бе- Ооп, кН
ния, см матуры, см2 хомутов тона і 1 арматуры , МПа
Ь Ьо Аз Asw см К К, к JXsw
1 | 15,2 | 27,0 | 3,08 | | | 26 | 724 | | 60
Продолжение таблицы 1_____________________________________________________________________
2 15,4 25,8 4,02 26 728 75
3 15,5 26,0 6,28 26 773 80
4 15,4 25,8 6,28 0,58 12 26 773 362 90
5 15,4 25,5 9,82 0,57 12 26 800 362 86
6 15,5 26,7 2,55 36 724 40
7 15,5 26,8 2,60 36 724 60
8 14,5 26,8 5,86 36 773 70
9 14,7 26,6 5,90 36 773 58
10 15,0 27,0 5,80 0,55 10 36 773 258 102
11 16,0 26,7 5,90 0,55 10 36 773 258 94
12 15,2 26,5 9,60 0,55 10 36 800 258 93
13 15,4 26,0 9,70 0,57 10 36 800 258 98
14 14,4 27,3 5,90 54 773 62
15 14,5 27,0 9,60 0,55 10 54 800 258 150
Таблица 2 - Результаты проверочного расчёта опытных балок на действие поперечной силы Q
№ Сопротивления бетона, МПа Сопротивления арматуры, МПа с, см Qb, кН (5) Qsw, кН (6) Н к £ О С = ^пЮи
В Rb Rbt Rs Ъм
1 20 11,5 0,9 526 54,0 27,7 27,7 2,17
2 20 11,5 0,9 530 51,6 26,8 26,8 2,80
3 20 11,5 0,9 562 52,0 27,2 27,2 2,94
4 20 11,5 0,9 562 229 51,6 26,8 42,6 69,4 1,30
5 20 11,5 0,9 582 229 51,0 26,5 41,7 68,2 1,26
6 28 16 1,14 526 53,4 35,4 35,4 1,13
7 28 16 1,14 526 53,6 35,5 35,5 1,69
8 28 16 1,14 562 53,6 33,2 33,2 2,11
9 28 16 1,14 562 53,2 33,4 33,4 1,74
10 28 16 1,14 562 171 54,0 34,6 36,4 71,0 1,44
11 28 16 1,14 562 171 53,4 36,5 36,1 72,6 1,29
12 28 16 1,14 582 171 53,0 34,4 35,8 70,2 1,32
13 28 16 1,14 582 171 52,0 34,2 36,3 70,5 1,39
14 42 23,2 1,42 562 54,6 41,9 41,9 1,48
15 42 23,2 1,42 582 171 54,0 41,7 36,5 78,2 1,94
Согласно ГОСТ 8829-94 прочность изделия проверяется по коэффициенту безопасности С = Юш/Юи, соответствующему несущей способности изделия, определенному расчетом с учетом расчетных сопротивлений материалов и принятой схемы нагружения. Значения коэффициента безопасности С при разрушении от достижения в рабочей арматуре нормального или наклонного сечений напряжений, соответствующих пределу текучести (условному пределу текучести) стали, ранее раздробления сжатого бетона принимают в зависимости от класса арматуры от 1,25 до 1,4. При разрушении от раздробления бетона сжатой зоны над нормальной или наклонной трещиной в изделии до достижения предела текучести (условного предела текучести) стали в растянутой арматуре, что соответствует хрупкому характеру разрушения принимается С = 1,6.
По коэффициенту безопасности надёжность большей части опытных балок, рассчи-
танных по нормам проектирования, близка к предельной или недостаточна.
Результаты проверочных расчётов
Результаты проверочного расчёта опытных балок на действие изгибающего момента М = Qoпc по формулам норм проектирования приведены в таблице 3. Они свидетельствуют о высокой вероятности разрушения каждой балки по нормальным сечениям от момента и необходимости учёта совместного действия расчётных усилий при расчёте прочности.
Результаты проверочного расчёта опытных балок на совместное действие поперечной силы Q = Qoп и изгибающего момента М = Qoпc приведены в таблице 4.
Сравнивали опытное значение поперечной силы Qoп с расчётным значением Q1, полученным из функции (10) по формуле:
Q1 = (с / Ми +1/Qu )-1 (12)
и формулам норм проектирования.
Таблица 3 - Результаты проверочного расчёта опытных балок на действие изгибающего момента М
№ II / h о z, см М, кНм NsZ, кНм Msw, кН м Ми, кНм М/Ми
1 0,34 21,4 32,4 34,7 0 34,7 0,93
2 0,46* 19,9 38,8 43,2 0 43,2 0,90
3 0,44* 20,3 41,6 41,4 0 41,4 1,00
4 0,44* 20,1 46,4 40,4 14,7 55,1 0,84
5 0,44* 19,9 43,8 39,5 14,2 53,7 0,82
6 0,20 24,0 21,4 32,2 0 32,2 0,66
7 0,21 24,0 32,2 32,8 0 32,8 0,98
8 0,44* 20,9 37,6 57,2 0 57,2 0,66
9 0,44* 20,7 30,8 57,0 0 57,0 0,54
10 0,44* 21,1 55,0 60,2 13,1 73,3 0,75
11 0,44* 20,8 50,2 62,6 12,9 71,6 0,70
12 0,44* 20,7 49,2 58,7 12,6 71,3 0,69
13 0,44* 20,3 51,0 57,2 12,6 69,8 0,73
14 0,36 22,4 33,8 74,3 0 74,3 0,45
15 0,44* 21,1 91,0 84,3 13,1 97,4 0,93
* Здесь £ = ^
Таблица 4 - Результаты проверочного расчёта опытных балок на совместное действие поперечной силы О и момента М
№ Q1, кН С = Qon/Q1 Qb, кН (15) Н к £ Q Q2, кН С2 = Qon/Q2 Qb, кН (Zs=ha) Н к £ Q Q3, кН Сэ = Qon/Q3
1 19,4 3.09 34,0 34,0 22,2 2.70 41,3 41,3 25,1 2.39
2 20,3 3,69 32,2 32,2 23,3 3,23 40,0 40,0 27,1 2,77
3 20,3 3,94 33,0 33,0 23,3 3,43 40,5 40,5 26,8 2,98
4 42,1 2,14 32,4 75,0 44,1 2,04 40,0 82,6 46,6 1,93
5 41,4 2,08 32,1 73,8 43,4 1,98 39,5 81,2 45,8 1,87
6 22,3 1,79 48,4 48,4 26,8 1,49 52,8 52,8 28,2 1,42
7 22,5 2,67 48,4 48,4 27,0 2,22 53,0 53,0 28,4 2,11
8 25,3 2,77 40,2 40,2 29,2 2,40 49,5 49,5 33,8 2,07
9 25,5 2,27 40,4 40,4 29,3 1,98 49,9 49,9 34,0 1,70
10 46,6 2,19 42,0 78,4 49,7 2,05 51,6 88,0 53,4 1,91
11 47,1 2,00 44,2 80,3 50,2 1,87 54,5 90,6 54,1 1,74
12 46,1 2,02 41,8 77,6 49,2 1,89 51,4 87,2 52,9 1,76
13 46,2 2,12 41,5 77,8 49,3 1,99 51,0 87,3 52,9 1,85
14 32,0 1,94 53,0 53,0 38,1 1,63 62,4 62,4 42,8 1,45
15 54,5 2,75 50,6 87,1 58,7 2,55 62,1 98,6 63,8 2,35
При этом предельное значение момента Ми определяли по формулам (5) и (6), принимая О5№ по формуле (4) без учёта коэффициента 0,75.
Большие значения коэффициентов безопасности С-| =Ооп/О1 свидетельствуют о высокой надёжности опытных балок, рассчитанных по нормам проектирования с учётом совместного действия расчётных усилий, и наличии резервов прочности. Эти резервы можно объяснить, в частности, заниженной оценкой поперечной силы Оь эмпирической формулой (3).
Предложения по реализации резервов прочности
Для реализации резервов прочности, подтверждаемых результатами исследования, представляется целесообразным, в первую очередь, уточнить расчётную модель поперечной силы Оь.
Примем расчётную величину Qb как вертикальную проекцию предельного значения сдвигающего усилия по наклонному сечению Qbmax. Из предпосылки равной вероятности разрушения железобетонного изгибаемого элемента по наклонному сечению под любым углом наклона а к горизонтали будем считать,
что Qbmax во всех наклонных сечениях при кон-
кретной расчётной ситуации имеет постоянное значение, которое определяется по формуле:
Qb max _
2,5RMbho (13)
и соответствует максимальному значению Qb, принятому в нормах проектирования. Вертикальная проекция этого усилия:
Qb = Qbmax sin a (14)
принимает максимальное значение при а = 90°.
Согласно расчётной схеме наклонного сечения (рисунок 1) sin a = zs/т]c2 + zi? и выражение (14) принимает вид:
Qb = 2,5Rbtbh0 Zs Цc2 + z|
(15)
s h0
Рис. 1. Схема усилий в наклонном сечении
В табл. 4 приведены результаты расчёта поперечной силы О2 по формуле (12) с учётом (15).
Расчётные значения Оь, вычисленные по формуле (15), на 20 - 35% больше нормативных, а О2 до 20% превышают О1 и в то же время обеспечивают необходимую надёжность опытных элементов.
Удовлетворительные результаты получены также при замене zs на ^ в уравнении (15) (см. значения О3 и С3 в табл. 4).
Выводы
1. Характеризуемую коэффициентом С (таблица 2) низкую надёжность отдельных опытных балок, изготовленных в лабораторных условиях, вряд ли можно объяснить технологическими или конструктивными причинами. Вероятнее всего она обусловлена несовершенством расчётных моделей (1) и (2).
2. Для получения адекватных результатов необходима гармонизация условий надёжности (1) и (10). Это достигается применением в условии (10) увеличенного расчётного значения Ои. Степень увеличения определяется из совместного решения уравнений (1) и (10), в результате которого получено:
Q10 (1 - M/Mu ) = Qu1.
(16)
3. Основой аналитического выражения для Qu10 может быть расчётная модель Qb (15), которая имеет реальную физическую природу и пределы существования, соответствующие функции sin а.
Библиографический список
1. Новое в проектировании бетонных и железобетонных конструкций. Под ред. А.А. Гвоздева. -М.: Стройиздат. - 1978. - 204 с.
2. Звездов А.И., Залесов А.С., Мухамедиев Т.А., Чистяков Е.А. О новых нормах проектирования железобетонных и бетонных конструкций // Бетон и железобетон. - 2002. - № 2. - С. 2 - 6.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа. - 1999. - 576 с.
4. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надёжности. - СПб.: БХВ - Петербург. - 2006. - 704 с.
5. Новое о прочности железобетона. Под ред. К.В. Михайлова. - М.: Стройиздат. - 1977. - 272 с.
Durability of reinforced concrete elements on sloping sections at the united action of transversal forced and bending moments
Y.V. Krasnoshekov
The generalized model of calculation of reinforced concrete elements is developed on durability of sloping sections at the united action of transversal forced and bending moments. The formula is specified for determination of transversal force, perceived the concrete of sloping section. The results of calculation on the new model are confronted with experimental information, got before, and confirm its reliability and efficiency.
Краснощеков Юрий Васильевич - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры «Строительные конструкции» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - взаимодействие элементов железобетонных конструкций. надёжность конструктивных систем. Имеет 120 опубликованных работ.
Статья поступила 18.05.2009 г.
