CC BY
8ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Aliyev G.G.
Doctor of physical and mathematical sciences, Professor Institute of Mathematics and Mechanics Azerbaijan National Academy of Sciences
Aliyev A.G.
Doctor Phd of economical science, Assistant Professor Azerbaijan State Oil and Industry University
STRENGTH OF MULTILAYER POLYMER PIPE TAKING INTO ACCOUNT CHANGE IN PHYSICAL AND MECHANICAL PROPERTIES OF THE MATERIAL
Алиев Г.Г.
д.ф.-м.н, профессор Заведующий отделом «Прикладная математика» Института Математики и Механики Национальной Академии Наук Азербайджана
Алиев А.Г. к.э.н., доцент кафедры «Экономика и менеджмент в отраслях ТЭК» Азербайджанского Государственного Университета Нефти и Промышленности
ПРОЧНОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ ПОЛИМЕРНОЙ ТРУБЫ С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА
DOI: 10.31618/ESSA.2782-1994.2021.2.75.156
Summary. Strength if a multilayer polymer pipe under the action of the system if external loads is studied taking into account the change in physical and mechanical properties of the material. Mechanical effect, the dependence of joint deformability of several polymer materials on the character of change if their physical and chemical properties was established. Occurrence and dependence of physical and chemical properties of the material and also breaking stresses between the layer determining adhesive strength of layered polymer pipe was established.
Аннотация. Исследована прочность многослойной полимерной трубы под действием систем внешних нагрузок с учетом изменения физико-химических свойств материала. Установлен механический эффект - зависимость совместной деформируемости нескольких полимерных материалов от характера изменения их физико-химических свойств. Установлено возникновение и зависимость распорных сил в слоях трубы от изменения физико-химических свойств материала; а также, максимальные отрывающие напряжения между слоями, определяющие адгезионную прочность слоистой полимерной трубы.
Keywords: Change in physical and mechanical properties of polymer materials arising from contact with aggressive liquid; changes in mechanical properties ofpolymers arising from contact with aggressive liquid.
Ключевые слова. Изменение физико-химических свойств полимерных материалов, возникающих при контакте с агрессивной жидкостью; изменение механических свойств полимеров при контакте с агрессивной жидкостью.
Постановка проблемы
Исследуется задача прочности достаточно длинной слоистой трубы с учетом влияния изменения физико-химических свойств полимерных слоев, которые возникают при контакте с агрессивной жидкостью.
Анализ последних исследований и публикаций
В работах [1,2] разработана теория прочности слоистых и армированных конструкций выполненных из полимерных материалов, с учетом изменяемости их физико-химической свойств. Для достижения этой цели предложен экспериментально-теоретический метод по определению изменяемости физико-механических
свойств полимеров и композитных материалов с учетом влияния возникающих при контакте с агрессивной жидкостью. На этой основе предложен обобщенный закон Гука с учетом изменяемости физико-химических свойств полимерного материала; предложен критерий адгезионной прочности слоистых и многослойно-армированных труб с учетом физико-химической изменяемости слоев конструкции; предложен критерий устойчивости одномерных элементов конструкций с учетом эффекта набухания материалов. А также выявлены такие новые механические эффекты, как изменяемость массовой силы полимерного материала с учетом эффекта набухания материала; выпучиваемость стержней под действием только
ив
ЦЩВ
эффекта набухания материала; экспериментально и теоретически установлен механический эффект -зависимость совместной деформируемости нескольких полимерных материалов от характера набухания слоев.
Выделение нерешенных ранее частей общей проблемы
В ряде прикладных проблем техники, в частности, использование слоистых труб из полимерных материалов в прокачке агрессивных жидких сред, в авиационной и ракетной технике при использовании полимерных материалов в работах их в контакте с различного рода агрессивными жидкими и твердыми топливными средами эксплуатационные характеристики производственных конструкций из них как правило резко ухудшаются. Это приводит к преждевременной их потери несущей способности. При этом отметим, на сегодняшний день в технике проектирования конструкций, работающих в контакте с агрессивными жидкими и газообразными средами отсутствуют надежные инженерные методы расчета на прочность конструкций с учетом влияния изменения физико-химических свойств материала. Это связано с тем, что учет влияния диффузионных процессов агрессивных сред в полимерах на прочностные характеристики конструкций вносит значительные трудности [5-9].
В этом контексте остается открытым вопрос -как зависят физико-механические свойства полимеров, композитных материалов, а также, элементов конструкций из них от физико-химической изменяемости материала.
На сегодняшний день имеются лишь отдельные экспериментальные исследования по данной тематике [3,4].
Формулирование целей статьи Исследуется задача прочности достаточно длинной слоистой трубы с учетом влияния изменения физико-химических свойств полимерных слоев, которые возникают при контакте с агрессивной жидкостью. Каждый слой предполагается кусочно-однородным с механическими свойствами Еп (Ап) , уп(Лп), (^п) и физико-химическими изменениями Хп, ап,
Фп&п), ¥п (к ) , Лп (к ) .
Изложение основного материала
Построение_физико-математической
модели, определение численных значений
перемещений, деформаций, а также, напряжений как по толщине слоев трубы, так и в точках контакта в зависимости от физико-химической изменяемости слоев конструкции.
Пусть труба состоит из (N — 1) кусочно-однородных слоев и (N) граничных поверхностей. Пусть слоистая труба находится под действием осевой растягивающей силы Р, внутреннего ра и внешнего р¡, давлений.
Целью задачи является определение величин напряжений и деформаций в слоях, а также, определение контактных напряжений между слоями, которые определяют адгезионную прочность, в зависимости как от внешних сил, так и от степени изменения физико-химических свойств слоев возникающего от контакта с агрессивной жидкостью, т.е. от Хп, ап, фп(Яп), 'Фп(^п), Цп(^п), а также, возникающего эффекта распорных массовых сил в слоях слоистой трубы от контакта с агрессивной жидкостью. Здесь параметр ^(t) = Q(tQ есть функции набухания во времени
полимерного материала находящегося в контакте с агрессивной жидкостью t1,t2,t3,...,tn время; Q(t) = Y(t) ■ V(t) = Y(t) ■ a(t) ■ b(t) ■ £(t) и Qo(t) = Yo ■ ^0 = Yo ■ ao ■ ■ lo - текущий и начальные веса полимерных образцов в моменты t > 0 и t = 0. Задача решается в предположении полного сцепления между слоями [1,2].
Рассмотрим п -ый слой связующего (rn < г < гп+1) в криволинейной цилиндрической системе координат и соответствующие этим слоям компоненты напряжений azz, ауу, агг и деформаций £zz, еуу, егг (рис.1).
Поскольку структура оболочки симметрична относительно оси и ее длина значительно больше размеров поперечного сечения, в основу расчета положена гипотеза обобщенной плоской деформации: плоские до деформации поперечные сечения всей трубы остаются плоскими и после деформации при всех значениях параметра набухания п -ого полимерного слоя Хп, т.е. осевая деформация ez постоянна по сечению z = const; все деформации и напряжения при всех значениях параметра набухания Лп не зависят от координаты z, если Р,ра,рь постоянны по длине оболочки или являются медленно изменяющимися по z функциями. Тогда для любого упругого слоя можно использовать соотношения:
dw w dezz , -
£rr = -, £vv = —, £ = £ = const, —— =0 , W = w(r)
У У V й-у *
дг
Рис.1. Многослойная труба из полимерного материала.
Обобщенный закон Гука с учетом фактора материала для точек каждого п -го слоя (гп < г < физико-химической изменяемости полимерного гп+1) будет в виде [1,2]:
= аопФп(^п) ■ в ■ 8Ц + 2Сопфп(Ап)еи - цоп ■ т^п{Хп) -ап-Хп- öLJ
{а(еЛп) = + - 3&пК)
V. 3а0п Wn(An)
Здесь Оц и еу- тензоры напряжений и деформаций; в = еи = егг + еуу + е22 - объемная деформация;
а =
еопУо
(1+von)(1-2v0n)
2Gon = ■
(2)
(3)
-коэффициенты Ляме для п -го слоя без учета поправочные коэффициенты фп(Ап), 'фп(^п),
набухания, т.е. при Лп = 0; Яп-есть параметр Цп(Ап), зависящие от параметра набухания п - го
набухания п -ого слоя полимерного материала; ап- слоя трубы Хп имеющие вид: коэффициент линейного набухания п -го слоя;
Фп(А) = Пп ,, ША) = Фп(Л)-^Ш,
1+^п-Лп
Von п
1+Von
1-2V0n
Лп(А) =
b&nmax
1-2Von
Лоп
Ео
1-2Von
Х„ = ■
- кп = von.
птах' "п
Ь = znmm а = а А
п п тах
(4)
(5)
Е0п и у0п - модуль упругости и коэффициент Дифференциальное уравнение равновесия
Пуассона для п - го слоя без учета набухания, т.е. элементарного объема п -ого слоя в радиальном
при Ап = 0; здесь о(е,Ап) = ои = огг + оуу + о22. направлении будет (гп<г < гп+1): есть зависимость объемного напряжения от полной объемной деформации в п -ом слое (гп<г < гп+1).
dtyrr dr
(6)
Подставляя (2) в (6) и учитывая при этом (1) и элементарного п -ого слоя сведется к
выражение еуу = уравнение равновесия дифференциальному уравнению относительно
дг прогиба вида:
Е
o n
o n
n
n
1
n
Я
n
o n
уу ^rr
r
общим интегралом которого будет:
dw w , .
-+7 = cnrn (7)
w(A) =Ar + - (8)
r
Тогда деформации (1) с учетом (8) примут вид:
w . , В dw .В ,
£„ = — = A+—, £тт = — = A —-, £vv = г = const (9)
УУ г г2' тг Qr r2 ZZ i /
Константы А и В определяются граничными условиями для п -го слоя слоистой трубы (гп<г< гп+1):
г = r„, W = w„
г = rn+i, w = wn+1 (10)
где шп и шп+1 - прогибы контурных точек п го слоя. Введем обозначения:
— — — /7 7)
^УУ = r lr=rn = ^уу = r lr=rn+1 = £п+1 (11)
Удовлетворяя условиям (10) с учетом (8) и (9), константы А и В будут выражены через контурные значения прогибов шп и юп+1 в виде:
„ _ (wr)n+1-(wr)n D _ (WMn+1-(WMn
A = -2-~ 2-,0= --2 _ -2--(12)
rn+1 rn rn+1 rn
Тогда деформации точек п -го слоя (9) (гп < г < гп+1) будут выражены через контурные значения деформаций еп и еп+1 в виде:
(£УУ ) _ £п+1гп+1-£пгп I 1 £П+1-£П /1 О)
Р ) r2 -r2 ±г2'г-2 -2 (13
t-rr / 'n+1 'n ' 'n+1 'n
Подставляя (13) и (3) в (2) определим химических свойств материала п -го слоя трубы Хп напряжения в точках п -го слоя слоистой трубы по в виде: толщине гп < г < гп+1 с учетом изменения физико-
1 (^уу\ _ ^оп фп(-^п) ^ ^ и ^ 2уоп фп £п+1^тг+1
УУ1 _ V°n Wn(An) , r„ , ° n Wn (Ап)1 '
2С°пФп(Лп)((7гг' 1 — 2v°n Фп(^п) Z l-2v°n фп(Ю
± 1 £n+1-£n Voti Vn^n) a Д (14)
-r2 r-l—2 2СопФп(^п) n n ' y
(для n = 1,2,........,N — 1)
1 г-i I V°n . 2^°n ШЛи) £и+1Ги+1 ^Wt
r- , ' °u t u v "ПУп . _ ' °u t u v "uy ~ u+1' u+1 n n
°zz =i1+-,-T— ■ . ,, Jgz + ■
2Gon<Pn (Än) 1 — 2v°n фп(Лп) 1 ° n n
— Von ЧАЫ ■„■$ (15)
п+1
Тогда из (14) радиальные напряжения на аг1г=Гп+± = оп+1 п - го слоя слоистой трубы, будут граничных поверхностях аг1г=гп = а+ и равны:
1 + = v°n Wn(.K) 1 [Г2 + ^ + 2v°n ■ Wn(^n)]r2]
2С°пфп(К) n 1 — 2v°n фп(Ю Z 1 — 2v°n фп(Лп) n
I 2rn+1 M I V0n $п(Яп)л „ ^on ^п(ЯП) ^ T /7/Л
+ 2 „2 [1 + ^п^1£п+1 - ■ ап ■К (16)
(для n=1,2,............., N-1)
1 vоп Фп(Ап) 2r£ v
о п п (Ап)
о п п п п о п п п
2&опфп(Ап) п 1 - 2уоп фп(Ап) Z 1 - 2оп фп(Ап)
+ № + (1+^^ ■ ^^-У^Етг+г - ЛтПпШ . ап-Хп (17)
1-2+1-г21п у 1-2Уоп фп(ЛпУ п+и п+1 2Сопфп(Хп) п п 1 у
(для п=1, 2 ,.......,N-1)
Адгезионная прочность слоистой трубы на п - напряжений о+ и о— действующие на п -ой ой граничной поверхности с учетом изменения граничной поверхности в виде [1,2] : физико-химических свойств слоев определим в виде равенства нулю разности радиальных
Аоп = о+ -о— = 0, (для п=1,2,.....,Ы) (18)
Из (17) определим о-. Для этого в (17) заменим индекс ( п + 1) на п, получим:
1 _ yon-1 ¥ n-1(^n-1> „ 2Гп-1
_ _ on 1 . .. 1 - 1. „ .. 1 Tl I Von-1 Ч>П-1(ЯП-1)1 I
—-----;;-:r~ U +----;-+
п-1
+ \-гп-\ + (1 + -^*Г^ап-1к-1 (19)
г2 — г2 1 — /1/ т (2 \ 2иоп-1фп-1(Лп-1)
'п'п-1 1 2У оп-1 Уп-1\/1п-1)
(для П=2,..........., N-1)
Используя (16) и (19) контактное условие на п -ой граничной поверхности(18) примет вид:
r,+1 - ' 1 - 2v. V > - r 1 - 2К„ V,<А >
I 2Gon-^n-1^n-1) Г„2 I Га I 2von-1 ^п-1(.яп-1)\„„211 „ i + г2 г2 ['п-1 + (1 + 1 п ЭГп\5 £п +
rn-rn-1 1-2von-1 Фп-1(яп-1)
r 2
I Л С1 ,» CI \ n-1 г., . Von-1 ^п-1(Яп-1)-1 „ .
+ 4Gon-1<Pn-1 (Л„-! > -Г—Г [! + I-onn-1 ■ ФП-10П-1]£П-1 +
'n 'n-1
, ог ^оп^оп ! л ^оп—1^оп—1 ! Л1 _ (7 \ 7 — ал 1
+ 2[л п.. ■ ™п(лп) Л о,, ■ ^п—1\лп—1)\£г = ЛопПп(лп)аплп Лоп—1Пп—1\Ап—1)ап—1лп—1 1 - 2 оп 1 - 2 оп—1
(для п = 2,...........,N-1) (20)
Значения радиальных напряжений первого о1— и последнего слоев определяются из граничных условий:
Г = Г1, о— = -ра (21)
г = гп, = -рь (22)
Из (18) контактные условия на 1-ой и N -ой граничной поверхностях будут в следующем виде:
ао1 = о+ - о— = 0 (23)
аом = о+-о— = 0 (24)
Из (23) и (24) и с учетом (21) и (22) определим
+-о{ и Gj-, в виде:
°N = Pb
(25)
(26)
Из (16) при п = 1 и (25) получим контактное условие на 1 -ой граничной поверхности, в виде:
■(1+-.
+
v01 ^1(Л1) 2'^01ф1(Л1)
Vol ^l(^l)
)е2
1
2 v
^1(Л1\ 2
1-2V01 Ф1(Л1)
=
1
2Goi<pi(Äi)
1 — 2vo1
1 ра]
ф1(Л1)
■)Г?]Е1 +
(27)
Из (17) при п = N — 1 и (26) получим контактное условие на N -ой граничной поверхности, в виде:
1
r2_r2 V N-1
N — N-1
[rN-1 + (1 +
2v0N-1 WN-1(^-N-1\ 2-|
1 2vON-1 фN-1(ЛN-1)
N N-1
[1 +
I V0N-1 I VON-1 ^N-l(^N-l) _
+ . _ ^ ■ s]fcN—1 + - ■ . , ^ 77 -
1-2v0N-1 фN-l(.^N-l) 1
2G0N-1фN-l(.^N-l)
1-2vON-1 фN-l(.^N-l) [10N -1 ■ 11n-1(^N-1) ■ aN-1 ■ ^N-1 ' ~Pb]
Продольная сила Р в толстостенной слоистой трубе равна:
Р — 'nYJN=1(TU+1 rui)<Jz:
(28)
(29)
Подставляя (15) в (29), получим:
N-1
Zv0n
GonWn(K)z-~-(£
1 — 2 v
'n+1l"n+1 ^Wn)
Zv°n Wn(^n) 1 — 2vn„ ФпКЛг,)
^z / KJ°n4,n\/l-n n=1
2v°n фп(Лп)
_Р + En=1 1°п1п(Лп)(Тп+1 )&пЛи
(30)
При этом отметим следующее. В системе алгебраических уравнений (27), (20), (28) и (30) присутствуют параметры набухания Лп и Ап_1 соответствующие разнородным полимерным материалам. Очевидно, что характер изменения физико-химического свойства каждого из полимерных материалов за одинаковый период времени их пребывания в агрессивной жидкой среде будет различным. В связи с этим явлением
Чп
нами в работе [9] предложено необходимое математическое условие связи между этими параметрами набухания. Поэтому при нахождении решения алгебраической системы (27), (20), (28) и (30) в качестве математического соотношения между параметрами набухания в п -ой и (п — 1) -ой слоями слоистой трубы следует использовать условие следующего вида [1]:
Лп „ Лп-1 Чп-1
(31)
Здесь цп и цп-1 - есть линейные коэффициенты в зависимостях параметра набухания Хп от времени £ в п -ой и (п — 1) -ой полимерных слоях слоистой трубы. Таким образом, система уравнений (27), (20), (28) и (30) представляет ^ + 1) линейно-алгебраическое уравнение с таким же числом неизвестных тангенциальных е1,е2,...,ек и продольной е22 деформаций с учетом физико-химической изменяемостью слоев трубы и эффекта
распорных массовых сил возникающих в слоях. Если решение системы уравнений (27), (20), (28) и (30) найдено относительно внешних нагрузок Р,Ра,Рь и параметров набухания Я„, то по формуле(14) - (15) нетрудно определить распределение напряжений по толщине слоев трубы, а также, адгезионную прочность, т.е. максимальное отрывающее напряжение между слоями по формуле:
(аотр) max
(32)
2 22
2
2 2
N-1
N-1
n=1
тах
Частный случай. При рассмотрении частного Напряженно-деформированное состояние
случая многослойной трубы находящейся только двухслойной трубы находящейся под действием
под действием эффекта набухания необходимо агрессивной жидкой среды и внешних нагрузок
будет в алгебраической системе (27), (20), (28) и Исследуем задачу прочности двухслойной
(30) внешние механические нагрузки Р,ра,рь трубы, состоящей из полимерных материалов с
приравнять нулю. Этот случай интересен в смысле учетом изменения физико-химических свойств
изучения характера распределения напряжений и слоев, а также, от возникающих распорных
деформаций за счет влияния физико-химического массовых сил в слоях слоистой трубы, которая
изменения материала слоев. При этом представляет возникает при контакте с агрессивной жидкостью
интерес знание максимальных отрывающих [1]. Предполагается, что слои трубы кусочно -
напряжений на границах между слоями (32) в однородные со следующими заданными
зависимости от изменения физико-химических механическими и физико-химическими
свойств материала слоев и распорных массовых свойствами: сил, возникающих в слоистой трубе.
1-ый слой - Е01, у01, С01,Л01, А1, а1, ф1(Л1), тр1(А1), Л1(А1)
2-ой слой - Ео2, Уо2, Со2,Ло2, К аъ Ф2&2), ^2(^2), Л2&2) (33)
Определим напряжения и деформации в слоях предыдущем параграфе общих уравнений . Для
и максимальные отрывающие напряжения между этого в системе уравнений (27), (20), (28) и (30)
слоями, определяющие адгезионную прочность примем п = 2. Задача сведется к системе 4
слоистой трубы, находящейся под совместным алгебраических уравнений относительно
действием внешних нагрузок ра, рь, Р и сил неизвестных контурных значений тангенциальных
набухания материала слоев Ап. Решение задачи е1,е2,е3и продольной ег = е4 деформаций, вида: будет определено с помощью полученных в
1 г 9 , ^ . 2V01 . 2Ч . V01 Ф1(А1)ч
У
^2 - г2 [Г2+(1 + 1- 2v01 фМ*1 ^ + Г22 -r2(1 + 1- 2v01 ф^'2 +
+ V01 ^1(Я1) -1-[„„п) ■ а1 ■ АА1 — ра] (34)
1-2У01ф1&1) ZZ 2С01ф1(Я1)1101 /1V 1 1 1 На} 17
rf V01 ^i(A^) 2С02ф2(А2) _ 2v02 Ф2(А2)
^w2 И + ^+««ьм а (1+tsozw)^ +
+2[£и^02ф2(А2) — ¡^ЫАЛ ■ £„ = П02П2(А2)а2А2 — ц,1п1(А1)а1А.1 (35)
1 r 2 , , 2V02 ^2^2! 2-, 2r22 V02 $2(А2\
_г 2 , Л1 I 2 V02 Ф2(А2\ 2Л 212 м , v02 Ф2(А2)1
r32—r?L 2 v 1 — 2V02 ф2 (А2) 3J 3 ri—r?L 1 — 2V02 ф2 (А2) + V02 МЫ =-1-[ (А2)а2А2 — рь] (36)
1-2У02ф2(Я2) ZZ 2Со2ф2(.Я2)1'02 l2K 2J 22 ^bl У J
22
4 / GопФп(Ап) 1 ^ (£п+1гп+1 — £пгп) + 2£zz / &опфп(Ап)(гп+1 — rn)(1 + 1 ^ . S-, О =
L-t 1 — 2v„„ L-t 1 — 2уп„ф„(А„)
п=1
= 1Р + Тт=111оп11п(Ап)(гп+1 гп)апАп (37)
При этом отметим следующее. В силу ого слоев трубы, математическое соотношение (31) разнородности полимерных материалов 1 -ого и 2- между параметрами А1 и А2 будет в виде:
А2=—Ал (38)
2 41 1
Где ц1 и ц2 представляют собою
значение А1 = А1тах, тогда ему соответствующее коэффициенты линейных зависимостей А = А( ) значение для параметра А2 будет определяться для каждого слоя слоистой трубы. Они соотношением (38) в виде: определяются экспериментальным путем. Например, принимая для материала 1 -ого слоя
А2 Ч1А 21тах (39)
п=1
Система уравнений (34)-(37) (2.3.2)-(2.3.5) есть относительно £1, е2, £3, £4 = е2. Эту систему линейно-алгебраическая система 4-х уравнений запишем в матричной форме:
aij£j — b (40)
Где
a11 — —^[ri + a12 — ^(1 + V01 *iai))
11 гЦ-Г^ 2 ^ 1-2V01 Ф1СЯ1У 1 J' 12 Г22-Г12^ 1-2Vo^l(Xi)J
a13 = 0 a14 = ^ёад' b1 = TG-фЖ) [101Л1(Л1)^1Л1— pa]
Vo1
^-Ti 1-2V01 Ф1(Л1У
an — 4Gorf1(Ä1)-jb(1 + ,Z_Z1(?.))>
- a22 = 2Gf2^ [r32 + (1 + ] + [Г12 + (1 + J^^ri]
r3 - r2 1 - 2v02 (Л2) Г2 -r1 1-2Vo1 Ф1(Л1)
a23 —4С02ф2(Л2)^РЧ(1+^°^^МТ1Х a24 — 2[G°^V0^W2(^2) — ~01~01W1(^1)],
r2-r2 1-2V02 фl(Tl) 1-2V02 1-2V01
b2 — 10212(Л2)^2^2 — 10111(Л1)а1^1, a31 — 0, a32 — +
r3-r2 1-2V02 Ф2(Л2)
a33 — [r22 + (1+^^МЫ)г2], a34 — V02 ф2(Я2),
33 ^-Г^ 2 У 1-2V02 Ф2&2У 3 J 34 1-2V02 Ф2(.*-2)'
b3 — 7r In )[10212(Л2)«2-Л2 — Pbl a41 — — 4001^1(Л1) ^, a42 —
2G02<P2(A2) 1-2V01
4r2[Go1W1(h)-^z--Go2-V^W2&2)l a43 — 4r2 002-^^2),
1-2 V01 1-2 V02 1-2 V02
a44 — 2 m=1 00пфп(Лп)(ги+1 — гиг) [1 + on a (t J' b4 — 1Р + ЕП=110п1п(Лп)(ги+1 — гп)апЛп
1-2Von Фп\iTn) П
(41)
По правилу Крамера деформации £ц будут равны:
1 \ац\4 П=1(-1)1+ка1кА1к (42)
Здесь А1к есть миноры определителя \ац\ ,а определяются однозначно в зависимости от
I ) \ 4
. внешних нагрузок ра, рь, Р с учетом эффекта
В.- есть миноры определителей Шг .| . Задаваясь .
ч * ^ I хЛ4 изменяемости физико-химических свойств слоев.
з£!
механическими и физико-химическими свойствами Определив численные значения тангенциальных и
слоев 2-хслойной трубы Е0ь, у0ь , , Х1, а0ь, , продольной деформаций е1, е2, £3, £4 = £2 1-ого и
Фь^д^^д^оь, Л&д, а также, геометрическими 2-ого слоя, по формулам (14)- (15) найдем
характеристиками конструкции ^, г2, г3, распределение напряжений по толщине слоев, в
деформации е1, ег, е3, £4 = £2 согласно (42) виде:
для 1-ого слоя:
1 (ауу\= v01 ^1(^1)^ 2v01 ^1(^1), £2r2 — £1Г1
2Go^1(X1)\orr) 1 — 2volфl(Xl)zz 1 — 2vo1 ф^Л^)
1 £2-£1 Vo1 V1(^1) „ у
+ ——2-т---алАл (43)
-г2 r-2-r-2 2Go^1(X1) 11 1 7
1 м , v01 WÄ^X , 2v01 W1&1) £2ri — £1Г?
■azz — [1+--г— ■ ,, Jez
2Go^1(Äj 1 — 2vo1 ф1(Л1) 1 — 2vo1 ф^Л^) 22 — 1
vo^n^Shl ^ X1 (44)
для 2-ого слоя:
1 (ayy\ _ v02 ^2(^2)^, M , 2v02 $2(h\ £3ri — £2^ |
(стуу\—^^ШЛ21£ +[1 + Л arr) 1 — 2vo2^2(^2) zz [
20о2ф2(л2)\°ГГ) 1—2V02ф2(Л2) 1 — 2vo2 Ф2(Л-2)
-,-2 г-Г2-*--2 2Go2 Ф2 (T2) 22
1 M , v02 ^2(^2), , 2V02 ШЪ) £3r£ — e2r2
■azz —[1+--r— ■ ,, j£zz +
20о2ф2(Л2) 1 — 2v02 Ф2 (Л2) 1 — 2V02ф2(Л2) r2—r2
Л^П2^ .a I (46)
При г = гг, г = г2 и г = г3 по формулам (43)- а- и, аналогично, тангенциальные напряжения на (46) определим радиальные напряжения а+, а2+, а2-, граничных поверхностях, в виде:
1 + voi Vi(Ai) , 2r% V01 Vi(Ai)
,J1(A1) , 212 r„ , "01 Ф1(А1)-.
£4 +2 ™.2[1 + A—— ■ ■ £2 —
2й01ф1(А1) 1 — 2У01ф1(А1) rf—r? 1 — 2V01 ф^)
2V01 ^1(^1)^,21 c 4 01 V1 1-2V01 ф1(Л1)) 1] 1 2С01ф1^1)
Ь [Г22 + (1+7^ ■ ^г?] ■ £1 — (47)
1 - V 01 ф1(А1) , 1 г 2 , „ , 2^01 ф1(А1\ 2,
2й01ф1(А1) 1 — 2V01 ф1(А1) г2 — г! 1 — 2V01 ф^А^
— (48)
r22-rll 1-2V01 ф1&1У 1 2С01 ф1(Х1) 11 1 7
1 + V02 Ф2 (А2) , 2ri V02 Ф2(А2)
+ 02 Т 2 \ 2 / . — 3 г^ . 0 2 Г 2 V 2 V -|
2С02ф2(А2) G = 1 — 2V02 ф2(А2)£4 Г32 — Г22 [ 1—202 ' ф2(А2)] ■ £з
— [Гз2 + (1+^°^ ■ ЫМ)Г2] ■ £2 — Л02Л2Ша2Х2 (49)
rl-r213 У 1-2V02 ф2&2У 2J 2 2С02ф2(*2) 22 ' У
_1_| 1 [Г2 | (1 | 2^02 ф2(А2) 2]
2С02ф2(А2) 3 1 — 2V02 ф2(А2) 4 г3 — г2 [ 2 ( 1 — 2V02 ф2(А2)) 3 ]
2r2 м , V°2 #2(.*2h „ 402 fafo) „ ö /trn]
., \ \1 +----] ■ £2---а2А2 (50)
Гз-Г2 1-2V02 ф2&2Г 2 2С°2 ф2&2) 22
3
Частный случай. Рассмотрим 2-хслойную трубу, состоящую из полимерного материала, находящейся под действием только влияния агрессивной жидкой среды. Этот случай интересен в смысле изучения и знания качественного и количественного характера распределения напряжений и деформаций в слоях конструкции за счет влияния физико-химического изменения материала слоев. При этом представляет также особый интерес определение максимальных отрывающих напряжений на границах между слоями в зависимости от изменения физико-химических свойств материала слоев и возникающих в слоях распорных массовых сил. Для решения этой задачи используем формулы(47)-(50) в которых приравняем нулю внешние механические нагрузки Р, ра и рь. Численный расчет проведем при следующих входящих данных. Внутренний слой 2-хслойной трубы выполнен из полимерного материала марки «полиэтилен низкой плотности» (ПЭНП) и наружного слоя - полимера марки «полистерол ударопрочный» (ПС). Со следующими геометрическими размерами, механическими свойствами и физико-химическими характеристиками слоев:
- геометрические размеры конструкции 2-хслойной трубы:
^ = 0,1м, г2 = 0,13м, г3 = 0,15м.
- механические свойства и физико-химические характеристиками внутреннего слоя (полимера ПЭНП):
ai = 0,3452, Aimax, Е01 = 34МПа, Voi = 0,4, Eomin, Vimax, ^ = 0,61765, ki = 0,035, qi = 0,0104, ai = aiAimax, 2G0i = 24,2857МПа, a0i = 48,5714, q0i = 170, фi(Ai)\^=1 = 0,6026, M*i)h1=i = 1,0082, Vi(Ai)\l1=i = 0,0274,
vi = 9025,2-H.
м3
- механические свойства и физико-химические характеристиками наружного слоя (полимера ПС):
a2 = 0,2333, A2max, Е02 = 153,5МПа, V02 = 0,33, V 2max, E2mn, ^ = 0,8795, k2 = 0,04, Я2 = 0,0072, &2 = a2^2max, 2Go2 = 115,4135МПа, ao2 = 112,019, Vo2 = 451,4706, ф2(A2)\l2=l = 0,8538, ip2(A2)\x2=i = 1,2518, V2(A2)k2=i = 00,023,
v2 = 10300,54.
' 2 м3
В этом случае алгебраическая система(40) относительно контурных тангенциальных деформаций ei, е2, е3 и продольной деформации г4 = будет в виде:
13,5977 ■ £1 + 21,29 ■ е2 + 0 ■ е3 + 3,3462 ■ £4 = 0,11 — 0,0683 ■ ра 184,3615 ■ £1 — 1836,6211 ■ е2 + 1918,6245 ■ £3 + 91,2574 ■ £4 = 0,8146 0^£1 — 14,6245 ■ £2 + 18,4705 ■ £3 + 1,423 ■ £4 = 0,0246 0,9794 ■ ^ — 3,0845 ■ е2 + 6,3102 ■ £3 + 1,776 ■ £4 = 0,0247 + 0,3185 ■ Р
Решением системы (51) при Р = pa = рь = 0 будет:
£1 = 0,0034, £2 = 0,0064, £3 = 0,006, £4 = 0,0057 (52)
В этом случае численные значения перемещений точек граничных поверхностей будут равны:
МГ1=о,1м = ^г^олм = а34^ ш^^зм = £2г1г2=о,13м = 0,832мм,
^|г3=о,15м = £1Аг3=о,15м = 0,9мм (53)
Подставляя численные значения найдем распределение напряжений по толщине
тангенциальных и продольной деформаций 1-ого и 2-ого слоя. Они будут в виде: £1, £2, £3, £4 = £2 (52), по формулам (43)-(46) для 1-ого слоя:
(М — 0,4654 + 0,0001 ■1
\arJ г2
\аг
azz — 0,1741 для 0,1м < ^ < 0,13м (54)
для 2-ого слоя:
(^ — —0,2759 ± 0,003 ■ Д-\arJ г2
azz — —0,0591 для 0,13м К^К 0,15м (55)
По формулам (54)-(55) определим численные значения радиальных напряжений в точках граничных поверхностей:
а+ = аг1г1=01м = 0,4754МПа, а- = аг1
г\г2=0,13м
— 0,4603МПа
°г1г2=0,13м — —0,4534МПа, а- — аг1Гз=оЛ5м — —0,4092МПа
(56)
Из (55) видно, что радиальные напряжения в точках граничных поверхностей двухслойной трубы, находящейся под действием только агрессивной жидкой среды, достигают порядка
кГ
4,7—-. Другими словами, это есть результат
возникающей распорной массовой силы от физико-химического изменения полимерных слоев трубы.
Выводы из данного исследования
1.Формулами (52)-(56) полностью определяются количественные значения перемещений, деформаций, а также, напряжений, как по толщине слоев трубы, так и в точках контакта в зависимости от физико-химической изменяемости слоев конструкции.
2. Во-вторых, результаты этих исследований позволяют для практических целей проектировать надежные конструкции, предназначенные для работ в агрессивных жидких средах.
Список литературы
1. Алиев Г.Г. Основы механики полимерных и композитных материалов с учетом изменения физико-химических свойств. /Баку.: Изд. «ЭЛМ» НАНА, 2012г.-286 стр.
2. Aliyev G.G., Naqiyev F.B. Engineering Mechanics of Polymeric Materials. / USA.: CPC Press,
Taylor and Frencis Group., 2013.- pp.267., ISBN 9781-926895-55-0.
3. Тынный А.Н., Прочность и разрушение полимеров под воздействием жидких агрессивных сред. / Киев: Наукова думка, 1975г., 206 с.
4. Степанов Р.Д., Шленский О.Ф., Расчет на прочность конструкций из пластмасс, работающих в жидких средах. / Москва: Изд. Машиностроение,1981г., 370 с.
5. Зуев Б.С. Разрушение полимеров под действием агрессивных сред. Москва, Изд. Химия, 1972г., 235с.
6. Манин В.А. , Громов А.Н. Физико-химическая стойкость полимерных материалов в условиях эксплуатации., / Ленинград.. Изд. Химия, 1980 г.
7. Саммерфилд М., Исследование ракетных двигателей на твердом топливе. / Москва, Изд. Иностранная Литература, 1963г.
8. Шапиро Я.М., Мазинг Г.Ю., Прудников Н.Е. Основы проектирования ракет на твердом топливе. /Москва, Изд. Военное ведомство, 1968г.
9. Shen F.C., ChEn T.S.. Huang I.M. The effect of main-flow radial velocity on the stability of developing laminar pipe flow. Appl. Mech., 1976, vol. 43, 2, p.209-213.
+ _
a
2
