Проблемы прочности: кинетическая концепция прочности, относительность и неопределённость Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.763

По мере развития науки нам хочется

получить нечто большее, чем просто формулу.

Сначала мы наблюдаем явления,

затем с помощью измерений получаем числа

и, наконец, находим закон, связывающий эти числа.

Но истинное величие науки состоит в том,

что мы можем найти такой способ рассуждений,

при котором закон становится очевидным.

Р. Фейнман [4]

М. В. Баранов, А. К. Шатров

ОАО «Информационные спутниковые системы» им. акад. М. Ф. Решетнева»,

г. Железногорск, Красноярский край, Россия

проблемы Прочности: кинетическая концепция прочности, относительность и неопределённость

На основании кинетического подхода обоснованы принципы относительности и неопределенности при разрушении. Приведены результаты математического эксперимента по определению констант, ответственных за темп расходования ресурса несущей способности при испытаниях до разрушения с постоянной скоростью увеличения нагрузки.

Ключевые слова: кинетическая концепция, относительность, неопределенность, остаточный ресурс.

M. V. Baranov, A. K. Shatrov

JSC «Academician M. F. Reshetnev «Information Satellite Systems»,

Zheleznogorsk, Russia

DURABILITY PROBLEMS: DURABILITY KINETIC CONCEPT, RELATIVITY AND UNCERTAINTY

This article presents principles of relativity and uncertainty during destruction based on kinetic approach. The results of mathematical experiment to determine constants, which are responsible for bearing capacity consumption during destructive testing with constant loading growth rate are shown.

Key words: kinetic concept, relativity, uncertainty, residual life.

Приведенный в [1, 2] экспериментальный материал показывает, что кинетическая концепция прочности является достаточно общей. Все проявления процесса разрушения в различных по строению и свойствам твердых телах при самых разнообразных условиях испытаний,

© Баранов М. В., Шатров А. К., 2012

режимах нагружения и видах напряженного состояния могут быть объяснены и описаны на основе кинетических представлений. Многочисленные последующие исследования [3] убедительно показали справедливость зависимости, предложенной Н. С. Журковым, определяющей долговечность или время до разрушения при действии постоянных напряжений:

V I ИСС/IEJ

Hav

ж г

ГРАДА

ti = to • exp(U0 -vaf)/ RT,

(1)

где t0 - период колебаний атомов, с (10-13); ио - энергия активации, ккал/моль; V - структурно-чувствительный коэффициент, ккалмм2/ молькг; о. - действующее напряжение, кг/мм2; R - газовая постоянная, ккал/моль К; Т - температура, градусы Кельвина.

Влияние скорости нагружения на разрушающую нагрузку образцов было обнаружено практически сразу, как только наука о прочности твердого тела получила экспериментальные подтверждения. Многие стандарты по определению механических характеристик материалов предполагают ограничение скорости нагружения для уменьшения фактических разбросов получаемых величин, отражающих стохастическую природу разрушения конкретного образца.

Формула Александрова - Журкова является следствием зависимости (1) и представляет собой критерий длительной прочности [2]:

j [(exp(va, / RT))/

0

/(t0 • exp(U0/ RT))]dt = 1.

(1а)

j[(exp(va, / RT -at / ak))/ 0/(t0 • exp(U0/ RT))]Pt = 1.

(1b)

B = U0 - 30RT = U0 - 0,06T.

0

(2)

испытаний и фундаментальной константы -энергии активации.

Тогда зависимость (1) может быть представлена в виде

tx = t0 • exp(U0 - Баг / ak)/ RT,

(3)

Если рассматривать вместо действующих напряжений о. отношение действующих напряжений к величине критического напряжения ок, характеризующего разрушение при действии постоянного напряжения в течение одной секунды, то формула Александрова -Журкова принимает вид

Здесь физико-механическими константами материала являются: ио - энергия активации (ккал/моль), численно равная энергии сублимации; vоk = В - константа разрушения, соответствующая времени пребывания под нагрузкой в течение одной секунды при температуре испытаний:

Впервые константа В описана в [2]. Формула (2) является одним из следствий зависимости (1) и справедлива для любого материала, так как зависит только от температуры

где a/ak - параметр, соответствующий отношению действующего напряжения перенапряженной зоны к предельному, равному напряжению разрушения при длительности действия, равной одной секунде, при температуре испытаний (эксплуатации).

Зависимость (3) является фактически принципом относительности: долговечность определяется не абсолютным значением действующего напряжения, а отношением действующего напряжения к фактическому разрушающему напряжению при длительности действия напряжения в течение одной секунды, подтверждая философскую концепцию «все в мире ОТНОСИТЕЛЬНО».

Энергетический барьер, который необходимо преодолеть при разрушении в течение одной секунды, определится из соотношения

(U0 - В)/ 2,3RT = 13 или (U0 - В) = 30RT. (4)

На рис. 1 приведена диаграмма предельных состояний для трех условных материалов, имеющих величину энергий активации U0 [30,0; 45,0; 52,0] ккал/моль. Логарифм времени до разрушения при постоянных напряжениях lgti для этих материалов соответствует прямым 1, 2, 3, проходящим через точку А1, имеющую координаты: lgt = 0 и a/ak = 1, равное отношению действующих напряжений к пределу кратковременной прочности при тeтпературе испытаний. Кратковременную прочность при температуре 293 градуса Кельвина принимаем равной ab - условному пределу прочности, получаемому при испытаниях в течение от одной до десяти секунд. На диаграмме прямые 1 и 1' соответствуют U0 = 30,0 ккал/моль, прямые 2 и 2' соответствуют U0 = 45,0 ккал/моль, прямые 3 и 3' соответствуют U0 = 52,0 ккал/моль.

Точке А2 соответствует величина энергетического барьера при температуре 20 °C (293 K)

30RT = 30 0,002 293 = 17,58 ккал/моль.

Неопределенность при разрушении соответствует неопределенности величины фактического разрушающего напряжения ak при длительности действия в течение одной секунды для данного образца или конструкции.

4

М. В. Баранов, А. К. Шатров

Проблемы прочности: кинетическая концепция прочности, относительность и неопределённость

Рис. 1. Диаграмма предельных состояний

Большой разброс времени д о разрушения, фиксируемый при длительных испытаниях с постоянным напряжением, может быть объяснен изменчивостью кратковременной прочности о связанной с уровнем остаточных напряжений, степенью дефектности и неоднородности напряженно деформированного состояния в зоне развития магистральной трещины, предшествующей разрушению образца или элемента конструкции.

Следствиемзависимтсти (1) и (3) являются формулы (4)-( 8):

• критеррй разрушения при ддииеленом действии постоя^]8ега^^^1^я-к^тии и постяеы-ной температуры определяется по формуле

} dt[tе

до- • овр(Ш- вуы,)-МТ] =

р°г - [Д- • овн(Ш- вуы,)-МТ] = ВН(

р Дг - [Д- • Рвн(Ш- в- Мыг- - ыс) - М0] = 1;

критерий разаушенМТ при постоянвой сво-рости увеличения напряжения ое и постоянной температура

Д

|[ехр(ус)£ /МТ• о-МI<зк/ е / [-о • ехр(Ш^ / МТ)] р (6)

р[овн( М-RТ•Oе-OkМj)]-- [М - МТТ • о--- окк • оврИ - МТ1))] р 1;

• время до разрушения при постоянной скорости увеличения напряжений и постоянной температуре

Д] р [а 4Р4(Ш- - МТ) и 1д Д- и 1д ы- в 1д ык и и 1дСл-<рк- мг>]- [Т, азаа(^ыУ( - аг) - (ок- к,)] = м [0, аРа(Ш- - МГ) и 1д а- и 1д(ы- - Ок) и (М) и 1д(М - МТ)] - [-, аза(М - ММТ) • ка- - ак)];

• расходование ресурса несущей способно-ыт) при ростдянннй темМер-туре и прсто-я н ной скор ости увеличения напряжений

1д г] р -, а3Т[(у 1к - МТ)ы- - ык • д] ] в 1д Д- в

в 1д(\,саз: - МГ- - 1д(ыo - ык)^ -, - в■^К))! р

= -,ар а[(М - М Т - ^--и^ tj■]-l()tо-в 1д(м - МТ) в lд(тo - ык) в -, аза(ш- - мт).

11 ИСС/IEJ

Hav

ж г

ГРАДА

Остаточный ресурс определяется зависимостью

1 - r

(9)

Прогнозирование остаточного ресурса несущей способности как образца, так и конструкции при известной истории нагружения на основе кинетической концепции прочности является тем этапом, по Р. Фейнману, когда наука дает инструмент для предсказания развития стохастического явления. В нашем случае наука дает возможность прогнозирования вероятности разрушения при ожидаемых условиях эксплуатации.

На рис. 2 в относительных координатах t/t. (где t. - время до разрушения, t - текущее время нагружения) показано расходование ресурса несущей способности r при нагру-жении с постоянной скоростью увеличения напряжения а0 при температуре 293 градуса Кельвина для двух материалов, имеющих значения энергии активации U0 = 30,0 ккал/моль и U0 = 45,0 ккал/моль. Уменьшение скорости нагружения а0 с 0,02 кг/мм2с до 0,0002 кг/мм2с привело к увеличению примерно на два порядка времени до разрушения, но в относительных координатах характер расходования ресурса практически не изменился.

Многие исследователи [5, 6], применявшие аппаратуру для фиксации эффекта акустической эмиссии, отмечают резкое изменение интенсивности и амплитуды акустических импульсов при нагрузке, соответствующей 90-95 % разрушающей величины.

Так, в работе [5] исследован процесс накопления повреждений при одноосном сжатии образца из композиционного материала, полученного смешиванием кварцевого порошка с диаметром частиц 10 мкм и эпоксидной смолы.

На рис. 3 приведены результаты расчета (кривая 3) остаточного ресурса образца из КМ, полученные по формуле (7) и кривые накопления повреждений из работы [5].

Практическое совпадение кривых 2 и 3, характеризующих темп накопления макротрещин и темп расходования ресурса несущей способности образца, свидетельствует о возможности прогнозирования разрушения на основании анализа интенсивности импульсов акустической эмиссии и знания закона расходования ресурса.

При экспериментальной проверке справедливости критериев разрушения необходи-

мо для слабейших звеньев однонаправленного углепластика, какими являются матрица и поверхность контакта волокно-матрица, определить энергию активации матрицы и кратковременную прочность, соответствующую продолжительности действия разрушающего напряжения, равной одной секунде.

Первый метод определения Ш- и ок связан с определением зависимости логарифма времени до разрушения 1дД/ от постояннодейству-ющих напряжений ог при постоянной температуре. Зависимость (а) показывает, что время до разрушения зависит от отношения действующего напряжения к напряжению, характеризующему кратковременную прочность.

Второй метод определения Ш- и о связан с определением - времени до разрушения образца с разными скоростями нагружения о-. Алгоритм определения констант материала диктуется зависимостью (6) и предполагает наличие достаточного объема результатов испытаний.

Для конкретного образца (или элемента конструкции) кратковременная прочность является случайной величиной, зависящей от многих факторов. Для композиционных материалов к таким факторам относятся случайные свойства волокон, нарушение адгезии волокна и матрицы, неустойчивость технологического процесса, возможность выявления опасных дефектов, контроль расслоений и пористости и т. д. и т. п.

Расчетно-экспериментальный метод определения 1дД и о основан на принципах планирования экстремальных экспериментов, широко применяемых в химической промышленности [7].

Анализируя зависимость (6), видим, что время до разрушения при известной скорости нагружения о- определяется константами материала Ш- и В, физическими константами М и Д-, температурой испытаний. Поэтому стратегический план испытаний может быть построен при варьировании двух контролируемых параметров: скорости нагружения и температуры (табл. 1).

Рассмотрим ортогональный план второго порядка для к = 2 и п = 1.

Благодаря ортогональности матрицы планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга по формуле

b= I .' IX

Л'

(10)

r

тек

6

Проблемы прочности: кинетическая концепция прочности, относительность и неопределённость

Рис. 2. Расходование ресурса несущей способности r при нагружении

7

0.1 0.2 0,3 0,4 0.5 0,6 0.7 0.8 0J9 1

tn¡

Рис. 3. Кривые накопления трещин при одноосном сжатии образца: 1 - общее число трещин; 2 - крупные трещины; а - начальный, б - стационарный,

в - ускоренный участки

« « HcaiEj

Hav

Ш г

ГРАДА

Таблица 1

№ п/п Х0 Х1 Х2 Х1Х2 Х1* Х2*

1 +1 +1 +1 +1 +1/3 +1/3

2 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3

3 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3

4 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3

5 +1 +1 0 0 +1/3 -2/3

6 +1 -1 0 0 +1/3 -2/3

7 +1 0 +1 0 -2/3 +1/3

8 +1 0 -1 0 -2/3 +1/3

9 +1 0 0 0 -2/3 -2/3

X* = Xj (2) - Xj (2) = X (2) - X Xß (2) / N.

Таблица 2

№ X1 X2 U0/RT B = U0-0,06T 0,434 U0/RT B/RT lgB/RT (6)-13 (9)+(2) (10)+(8) t, с

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 -1 293 8,221 9,547 10,38

2 -2 293 51,2 12,42 22,22 21,2 1,326 9,221 7,221 8,547 92,80

3 -3 293 6,221 7,547 820,0

4 -1 308 7,136 8,412 10,27

5 -2 308 48,7 11,52 21,13 18,87 1,276 8,136 6,136 7,412 90,50

6 -3 308 5,136 6,412 783,0

7 -1 273 9,870 11,263 10,48

8 -2 273 55,0 13,52 23,87 24,76 1,393 10,870 8,870 10,263 95,50

9 -3 273 7,870 9,263 862,0

В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами для квадратичных эффектов получим уравнение вида

y = b* + b X + b2 X2 + bn X X2 + bn X"* + b22 X2.

Чтобы перейти к обычной записи, b0 определим по формуле

b0 = b0 - b11 X1(2) - b22X2(2) .

Тогда получим

y = b* + b X1 + b2 X2 + b12 X X2 + + b11X1(2) + b22 X2(2).

Предполагая неадекватность линейного уравнения регрессии, рассмотрим композиционный план второго порядка для двух уровней.

Обозначим через Х логарифм скорости нагружения. Принимаем диапазон варьирования этой скорости от 0,1 до 0,001 мм/с.

Соответственно, +Х = -1 и -Х = -3.

Обозначим через Х2 температуру испытаний. Принимаем диапазон варьирования от

273 до 303 градусов Кельвина (от 5 до 35 градусов Цельсия).

Соответственно, +Х2 = 303 и -Х2 = 273.

Центр планаХ1 = 0 =2 -2 иХ2 = 0 = 293.

Проведем математический эксперимент, определяя время до разрушения по формуле (6) при U0 = 30,0 ккал/моль.

Результаты расчета времени до разрушения приведены в табл. 2.

Расчет коэффициентов регрессии приведен в табл. 3.

Коэффициенты уравнения регрессии равны:

b0= 17,7/9 =1,966; b1 = -5,69/6 = - 0,95; b2 = - 0,076/6 = - 0,0126;

b12 = 0,030/4 = 0,00725; b11 = b22 = 0.

Отсюда

y = 1,966 - 0,95Х1 - 0,0126Х2 +

+ 0,00725Хх2. (11)

В качестве проверки корректности уравнения регрессии по формуле (11) определены значения y*. Погрешность вычислений не более 0,2 %.

8

Проблемы прочности: кинетическая концепция прочности, относительность и неопределённость

Таблица 3

№ п/п ^0 Х2 X * X * У У*1 УХ2 У^ УX * УX * * у %

1 +1 +1 +1 +1 1/3 1/3 1,012 1,012 1,012 1,012 0,337 0,337 1,010 0,2

2 +1 +1 -1 -1 1/3 1/3 1,024 1,024 -1,024 -1,024 0,341 0,341 1,022 0,2

3 +1 -1 -1 +1 1/3 1/3 2,935 -2,935 -2,935 2,935 0,978 0,978 2,936 0,05

4 +1 -1 +1 -1 1/3 1/3 2,894 -2,894 2,894 -2,894 0,965 0,965 2,896 0,07

5 +1 +1 0 0 1/3 -2/3 1,016 1,016 0,0 0,0 0,339 -0,678 1,016 0,0

6 +1 -1 0 0 1/3 -2/3 2,914 -2,914 0,0 0,0 0,971 -1,942 2,916 0,1

7 +1 0 +1 0 -2/3 1/3 1,957 0,0 1,957 0,0 -1,304 0,652 1,953 0,2

8 +1 0 -1 0 -2/3 1/3 1,980 0,0 -1,980 0,0 -1,320 0,660 1,979 0,05

9 +1 0 0 0 -2/3 -2/3 1,968 0,0 0,0 0,0 -1,312 -1,312 1,966 0,1

9 17,700 -5,690 -0,076 0,03 0,0 0,0

9

Для сравнения приведем результаты расчета времени до разрушения образцов из алюминиевых сплавов, для которых энергия активации ио = 52 ±2 ккал/моль.

При Т = 293 градусов Кельвина для ио = = 50,0 ккал/моль имеем

В = 50,0 - 0,06 • 293 = 50,0 - 17,58 = = 32,42 ккал/моль.

Для и0 = 54,0 ккал/моль имеем В = 54,0 -- 17,58 = 36,42 ккал/моль.

Результаты расчета приведены на рис. 4.

Учитывая линейную зависимость логарифма времени до разрушения от величины разрушающего напряжения, достаточно иметь экспериментальные данные для двух максимально разнесенных по величине скоростей нагружения, исходя из возможностей испытательного комплекса INSTRON. Рекомендуемые скорости нагружения от 1 мм/мин до 0,0001 мм/мин, то есть скорости нагружения желательно иметь отличающимися на четыре порядка. При этом максимальная скорость нагружения не должна превышать значения, при котором начинают преобладать вязкоупругие свойства матрицы ЭХД МД.

Проведенный математический эксперимент продемонстрировал алгоритм расчет-но-экспериментального получения значений констант материала, определяющих долговечность конструкции, возможность прогнозирования остаточного ресурса несущей способности и принципиальную возможность фиксации методом акустической эмиссии момента перехода к катастрофическому разрушению конструкции.

Рис. 4. Результаты расчета

ЩШ ИССЛЕ)

АЛ

Ж г

ГРАДА

10

Таким образом, введение в закономерности длительной прочности константы материала В = и0 - 30RT = и0 - 0,06Т позволяет получить общие для любого материала зависимости долговечности от соотношения действующих напряжений и кратковременной прочности материала, определяемой температурой испытаний (эксплуатации).

Приведенные зависимости долговечности образца или конструкции дают возможность на основе известных (или определенных экспериментально) констант материала и кинетической концепции прочности твердого тела делать научно обоснованный прогноз вероятности разрушения с учетом времени действия нагрузок, температуры эксплуатации и уровня напряженно-деформированного состояния, имея результаты измерений параметров акустической эмиссии.

Относительность и неопределенность являются объективной реальностью, учет которой необходим при прогнозировании остаточного ресурса несущей способности инновационных конструкций из углепластика.

Библиографические ссылки

1. Журков С. Н., Абасов С. А. Температурная и временная зависимости прочности полимерных волокон // Высокомолекулярные соединения. -1961. - № 3, т. 3. - С. 441-445.

2. Регель В. Р., Слуцкер А. И., Томашевский Э. Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. -М. : Наука, 1974. - 560 с.

3. Бартенев Г. М., Френкель С. Я. Физика полимеров. -Л. : Химия, 1990. - 432 с.

4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. - Т. 4: Кинетика. Теплота. Звук : пер. с англ. - М. : Эдиториал УРСС, 2009. - 264 с.

5. Куксенко В. С., Орлов Л. Г., Фролов Д. И. Концентрационный критерий укрупнения трещин в гетерогенных материалах // Разрушение композитных материалов. - Рига : Зинатне, 1979. -С. 25-31.

6. Бергман Х. Механизм разрушения волокнистых композитов // Углеродные волокна и углекомпозиты / под ред. Э. Фитцера. - М. : Мир, 1988.

7. Ахназарова С. Л., Кафаров В. В. Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии. -М. : Высш. шк., 1978.