CC BY
28
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1657-1659
1657
УДК 539.3
ПРОБЛЕМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕОДНОРОДНЫХ СВОЙСТВ ТЕРМОУПРУГОЙ СРЕДЫ
© 2011 г. С.А. Нестеров
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
1079@list.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассмотрена задача об идентификации неоднородных свойств термоупругой среды. Предложен итерационный алгоритм, основанный на поэтапном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Приведены результаты вычислительных экспериментов.
Ключевые слова: неоднородный стержень, интегральные уравнения, термоупругость.
Введение
Постоянно расширяющееся применение функционально-градиентных материалов в различных областях техники требует учета существенной неоднородности свойств этих материалов, что позволяет оптимально проектировать конструкции. В связи с этим актуальной остается проблема неразрушающего контроля характеристик неоднородных материалов при изготовлении, кото -рая основывается на применении аппарата коэф -фициентных обратных задач (КОЗ). В настоящий момент накоплен большой опыт решения КОЗ теории упругости [1], теплопроводности [2] и термоупругости в случае малой связанности [3] для неоднородных тел, основанный на сведении прямых одномерных задач к уравнениям Фредгольма второго рода, а нелинейных обратных задач -к итерационной процедуре, на каждом шаге ко -торой решается линейная задача. При этом линеаризация проводится с использованием условия ортогональности, либо обобщенной теоремы взаимности, либо вариационного подхода. Данный подход применен для решения КОЗ связанной термоупругости неоднородного стержня.
Постановка задачи
Рассмотрим закрепленный на торце х = 0 термоупругий стержень длиной I, в котором ко -лебания возбуждаются при помощи внезапного приложенного к торцу х = I теплового потока. Считаем, что модуль Юнга, удельная теплоемкость, плотность, коэффициент теплового расширения есть произвольные положительные функции ко -ординаты х. Тогда уравнения связанной термо-
упругости примут вид:
дсх , ч d2u
дх
_э'
дх
= Р( х)
dt2
k( х)
Э0
дх
с х = E (х)
д0
ди дх
— а( х)0
(1)
= c( х)р( х) — + Т0а( х) E (х)
д 2u
_ dt 0 ' dxdt'
а граничные и начальные условия представимы в форме
u(0, t) = 0(0, t) = 0,
d0 (2) — k(l) —(l) = qoH(t), с x (l, t) = 0,
дх
du
0( x,0) = u( x,0) = — (x,0) = 0. (3) дх
Будем считать, что известна дополнительная информация о торцевой температуре 0(l, t) = ft). Цель решения обратной задачи — реконструкция одного из коэффициентов дифференциальных операторов термоупругости при известных остальных.
Сведение прямой задачи к системе интегральных уравнений Фредгольма
При заданных произвольных значениях теплофизических и механических коэффициентов краевая задача (1)—(3) может быть исследована лишь численно. Для этого вначале вводятся безразмерные параметры
х k( ) k (zl) ) c (zl) z = _, k (z) =-, c (z) =-,
l k0 c0 p(z) = PM, E(z) = , а(z) = а(zl)
т =
p0
k0t
c0p0l
2
E0
W (z, т) =
k00
U =
а0
l
u
1658
С.А. Нестеров
, 5 =
а о т0 Е0 соРо
е = -
После этого к полученной краевой задаче в безразмерном виде применяют преобразование Лапласа и сводят ее к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно трансформант безразмерной температуры Ж(г, р) и напряжения О(г, р):
1
Ж( г, р) = | КД г, р№ +
0
1
+1 К2( г, £ р)О& р^ + /1 (г, р), (4)
о
1
О(г,р) = |Кз(г,р) р)^+
о
1
■^(г, Ъ, р) р) ^. (5)
+
Здесь
*1( г, р) = - р (с (£, )р © + + 5а») | ^
т]п{ г,п} йп
К2( г, Ъ р) = - р5а ® | к
0 к(Л)' 1
Кз( г, р) = -е 2 р 2 а© |р(п№,
тп{ г ,п} 1
К 4
(г, р) = -е2 р2 Е(-) }р ,
/1 (г, р) =--1
тт{
1 г йг
1 ~2 1 ~ ~
|С„(г)р(г)Жл2-1(г,р)^ = — Ж -Ж^) |г=1 . ор
Аналогично были получены уравнения для нахождения поправок коэффициента теплопроводности
1
1К (г)
2
п—1
йг
1
йг = - (Жт - Жп-1) |г=1 р
и модуля Юнга
5|
1 ~ ~ Еп(г)Жп2-^г = т(Жт - Ж-1)|г=1 .
р 0к (г)
Решение обратной задачи
Обратная задача анализируется в пространстве трансформант. На первом этапе находим начальное приближение искомого коэффициента по известным его торцевым значениям. Так, например, для удельной теплоемкости начальное приближение С0(г) = с (0)(1 - г) + с(1)г . На втором этапе на основе метода линеаризации [1-3] строим итерационный процесс по уточнению реконструируемой функции, на каждом этапе которого необходимо решать интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Так, для реконструкции удельной теплоемкости при известных других коэффициентах получено уравнение
Решение этих уравнений является некорректной задачей, поэтому в работе для их решения применяется метод регуляризации Тихонова. Выход из итерационного процесса - по стабилизации функционала невязки
^-1 = |(Жп-1(1, р) - Жт (1, р))2 йр.
Результаты вычислений
В настоящем исследовании натурный эксперимент заменен вычислительным, при этом все безразмерные коэффициенты, кроме искомого, полагались равными единице. Восстанавливались гладкие функции: степенные, тригонометрические, экспоненциальные. В ходе вычислительных экспериментов выяснено, что постепенное увеличение параметра связанности 5 практически не влияет на результаты реконструкции, немного увеличивая погрешность восстановления. Наибольшая погрешность восстановления удельной теплоемкости возникала в окрестности торца г = 0, а коэффициента теплопроводности - в окрестности г = 1. Монотонные функции восстанавливались гораздо лучше немонотонных.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00194-а
Список литературы
1. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 222 с.
2. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Об одном подходе к восстановлению коэффициентов переноса // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2009. №3. С. 39-43.
3. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Коэффициентные обратные задачи термоупругости для неоднородных тел // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2009. №3. С. 24-30.
к
0
Проблемы идентификации неоднородных свойств термоупругой среды
1659
THE PROBLEMS OF IDENTIFICATION OF INHOMOGENEOUS PROPERTIES OF THERMO-ELASTIC MEDIA
S.A. Nesterov
The problem of identification of inhomogeneous properties of thermo-elastic media is considered. The iteration algorithm, based on step-by-step solution of Fredholm integral equation of the first kind is proposed. Results of the numerical experiments are given.
Keywords: inhomogeneous rod, integral equation, thermo-elasticity.
