Проблемы и перспективы применения численного моделирования русловых деформаций в нижних бьефах ГЭС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 627.422

М. В. IUecmoea, к m н., старший преподаватель, ВГАВТ. 603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а.

ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РУСЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В НИЖНИХ БЬЕФАХ ГЭС

В статье представлено современное состояние задачи численного моделирования русловых деформаций в нижних бьефах гидроузлов, уточнены параметры турбулизации

потока, сбрасываемого через ГЭС, и характер изменения транспортирующей способности потока, предопределяющей деформируемость русла и судового хода.

Анализ обширной литературы позволил выявить достаточное количество появившихся к девяностым годам XX века численных методов решения задачи русловых деформаций. Однако проблемным для всех этих методов оставался вопрос о способе учета в исходных уравнениях наличия повышенной турбулентности потока. Следствием этого являлась необходимость принятия различных допущений в расчетных схемах. Таким образом, для водных потоков в условиях нижнего бьефа ГЭС со значительными глубинами потока, когда силы турбулентного трения могут быть соизмеримы или существенно превосходить силы трения о дно, вопрос учета сил взаимодействия между струями остается актуальным.

Существуют различные подходы при постановке задачи моделирования водных потоков, в том числе применительно к условиям нижних бьефов гидроузлов. В свою очередь они определяются целью (видом) создания математической модели.

Одномерная задача. Поскольку река имеет явно выраженное одно направление (направление течения), то решение одномерной задачи сводится к решению серии одномерных задач на разных участках. Уравнения одномерного движения жидкости в гидравлике могут быть записаны в двух видах: в виде закона сохранения энергии и в виде закона изменения количества движения. Однако, поскольку постановка гидродинамической задачи может быть не только одномерной, но также двух- и трехмерной, то за основу всех уравнений движения Гришаниным К. В. рекомендуется использовать закон изменения количества движения. Для этой цели наиболее подходит уравнение Сен-Венана, которое должно решаться совместно с уравнением неразрывности.

Для замыкания системы уравнений одномерной модели используется дополнительное уравнение баланса массы наносов.

При этом на практике большинство исследователей используют три простейших допущения, которые приемлемы для русел незарегулированных рек (или свободных участков рек), берега которых сложены фунтами, более прочными, чем дно:

- деформация берегов считается пренебрежимо малой по сравнению с деформациями дна;

- расход наносов Qs принимается равным своему предельно возможному значению - транспортирующей способности потока

- местные потери считаются пренебрежимо малыми по сравнению с потерями энергии потока по длине.

Двухмерная задача. Двухмерная модель описывает плановое движение воды в открытом русле. При этом средние характеристики потока (скорости) рассматриваются в проекции на горизонтальную координатную плоскость, на которую проектируется по вертикальному направлению область течения. Постановка плановой задачи при-

надлежит Вернадскому Н. М. В дальнейшем в развитие его метода были исследования Мелещенко Н. Т., Леви И. И., Караушева А. В., Великанова М. А., Лапшина Г. Н. и другие работы, главное различие которых заключалось в определении сил турбулентного трения при интегрировании основных уравнений планового движения потока.

Уравнения двухмерной модели Вернадского Н. М. имеют следующий вид:

Я

¿4 81

(1)

8

и*

(2)

д(км>0) Ь^

31

= 0

(3)

где - модуль вектора средней скорости на вертикали; А - глубина на вертикале; г -радиус кривизны линии тока; индексы /ий- отмечают продольный и поперечный уклоны свободной поверхности.

Трехмерная задача Исходными системами уравнений, представляющими численное решение трехмерной задачи, являются уравнения движения вязкой жидкости На-вье - Стокса или Рейнольдса в трехмерной сетке в виде системы гидродинамических уравнений:

-=— V • (д% д2у +-Г- д2Ух) + —г- 1 др

Ж {дх2 ду2 дг2 } р дх

¿Уу (д% д2Уу + д2у; 1 ' 1 др

Л дхг \ У- р ду

¿К (д% д2У, д2у\ 1 др

к дх2 р дг

(4)

дК ¿К дК

дх ду дг

Р

¿Р с11

Как показали проведенные автором исследования, все попытки получения аналитических решений практических задач на базе вышеприведенных уравнений доказали бесперспективность этого пути. Даже для получения частных решений практически всегда приходиться брать упрощенные модели турбулентности, что искажает физическую картину явлений. Последнее обстоятельство делало полученные результаты решений мало приемлемыми для практического использования. Поэтому в дальнейшем целью исследований явилась возможность численного решения квазитрехмерной задачи русловых деформаций на основе уравнений Навье - Стокса.

Основная сложность при этом заключалась в количественном описании движения турбулентного потока, что в конечном итоге влияет на точность получаемых результатов. Для этой цели могут использоваться два подхода:

- статистический - когда применяются осредненные величины;

- теоретический - предусматривающий применение уравнений для определения количественных характеристик турбулентного потока.

Важным этапом также является задание плотностных характеристик речного потока, что опять замыкается на выборе метода описания характеристик турбулентного потока и, в первую очередь, вязкости речного потока. Согласно современным представлениям о природе турбулентных процессов эффективная вязкость V является алгебраической суммой кинематической /Лк и турбулентной вязкости. Кинематическая вязкость зависит от плотности жидкости р и может быть определена как:

Мт

/"*=—• (5)

Р

Сложность заключается в определении турбулентной вязкости. Анализ имеющегося опыта моделирования по литературным источникам [1,2] показал, что на практике чаще всего встречаются два пути ее определения:

- упрощенный - когда все турбулентные характеристики задаются исследователем и принимаются равными некоторой величине. В данном случае параметры турбулентности определяются зачастую интуитивно для конкретного участка реки. Например, в работах Бурланкова Н. Д. [2] для участка Городец- Н. Новгород величина турбулентной вязкости была принята равной 0.0025, но с оговоркой, что для других рек эта величина может меняться;

- путем замены турбулентной вязкости коэффициентом турбулентного обмена.

В случае выбора упрощенной схемы нами рекомендуется вычисление значения турбулентного коэффициента вязкости выполнять путем внесения, так называемой, поправки Эйнштейна, что справедливо для сред с небольшими концентрациями примесей, к каким можно отнести речной поток. Тогда исправленный турбулентный коэффициент вязкости смеси (речного потока) цт можно выразить через соответствующий коэффициент /л-]— для чистой воды. Таким образом, при наличии твердых примесей (наносов) сферических частиц турбулентная вязкость может быть определена по следующей зависимости:

/ит' = цг -(1 + 2.5а) (6)

где а - объемная доля примеси или концентрация смеси.

Однако неясными остается связь величины вязкости с параметрами потока, в том числе с такими, как изменение скорости и расхода воды.

Другим путем является замена турбулентной вязкости коэффициентом турбулентного обмена, который по величине должен быть значительно больше, чем вязкость потока. По данным проведенных исследований (Маккавеевым В. М., Колмогоровым А. С., Великановым М. А.) коэффициент турбулентного обмена В2, может быть выражен через гидродинамические характеристики потока:

Мс

где Т'- удельный вес воды; А - глубина на вертикале;

У (у) - скорость в точке вертикали на глубине у от поверхности воды; с - коэффициент Шези, который определяется по формуле Маннинга:

С = -Ииб (8)

п

где п - коэффициент шероховатости русла;

М-безразмерный коэффициент, определяемый по выражению:

М = 0.7с + 6 (9)

Для определения закономерности изменения скоростей течения по вертикали, в том числе определения донной скорости, может быть применена формула Караушева А. В.[3]:

V2

(10)

\п/

где У,10верх- поверхностная скорость течения;

у

--относительная глубина точки наблюдения;

И

Р - безразмерный параметр, определяемый по выражению 3 3

Р = 0.57 + — при 10 < с < 60,

с

Р = 0.0222с -0.000197с2 при60<с<90.

Связь между поверхностной УП0верх и средней скоростью течения Уср на вертикали Караушев А. В. устанавливает следующим соотношением:

Коверх = 1 • 11 х Кр (11)

Среднее по вертикали значение ^¿¿ср может быть определено по формуле:

Я22 (12)

22от 2 тс

где т = 22.3 м/с; дх- расход на единицу ширины потока, который можно принять

равным его транспортирующей способности.

Для оценки характера изменения турбулентной характеристики по длине потока с использованием зависимости (12) нами были рассмотрена динамика изменения этой величины на участке приплотинного участка нижнего бьефа Нижегородской ГЭС (рис. 1).

Рассмотренный подход основан на изучении и анализе структуры потока с точки зрения его гидродинамики, однако на данном этапе трудно сказать, каким образом эта величина будет изменяться в'нижнем бьефе ГЭС с течением времени. На основе исследования характера изменения турбулентности потока по его длине (рис. 1) можно предположить, что увеличение значения этого параметра на прилегающем к плотине участке обусловлено наличием повышенной кинетической энергии потока. По мере удаления от створа ГЭС турбулентность потока падает и на каком-то расстоянии достигает некоторой постоянной величины. С течением времени, очевидно, этот процесс будет стабилизироваться.

На практике же при решении конкретных инженерных задач, в том числе прогнозировании русловых деформаций, требующих определения турбулентных характеристик, приходится отказываться от теоретических строгих построений и искать другие более удобные инженерные решения.

В практике численного решения задачи взаимодействия потока и русла для замыкания системы гидродинамических уравнений (4) и количественного описания турбулентных характеристик подбирается та или иная дополнительная модель, которая максимально адекватно описывает физические особенности процесса турбулизации данного потока.

1000 2000 3000

Расстояние от створа ГЭС, м

ч

4000

Рис. 1 Динамика изменения показателя турбулентности потока на приплотинном участке нижнего бьефа ННГЭС(1957 г.)

Многочисленные исследования турбулентной структуры потока показывают, что наиболее доступным способом определения характеристик турбулентности является использование классической к-е модели для высоких (турбулентных) чисел Рей-нольдса, которая включает в себя уравнения переноса для энергии турбулентности к и ее величины диссипации с .

Согласно этому подходу, коэффициент турбулентной вязкости (коэффициент турбулентного обмена) определяется как:

Мт=срх— <13)

е

где ср-турбулентная константа среды.

Другим важным моментом является необходимость учета пристеночных шероховатых областей, где молекулярные эффекты и эффекты турбулентности становятся соизмеримыми. В этом случае обязательным является дополнение имеющейся модели турбулентности специальным алгебраическим выражением, называемым пристеночной функцией. Последняя описывает изменение скорости и турбулентной энергии в пограничном пристеночном слое.

Главными допущениями, на которых базируются применяемые в настоящее время функции стенки, являются:

- изменение скорости в преобладающей степени являются нормальными по отношению к стенке и однонаправленными;

- влияние эффектов от градиентов давления и усилий от тел пренебрежимо малы, что в конечном итоге ведет к равномерной напряженности сдвиговой нагрузки в пристеночном слое;

- сдвиговые напряжения и векторы скорости являются сонаправленными по всему слою;

- существует баланс между выделенной и рассеянной энергией турбулентности и изменение длины шкалы турбулентности происходит по линейному закону.

Результирующие классические формулы, описывающие эгпоры поперечных потоков в виде функции нормального расстояния от перегородки для скоростей имеют вид:

А + - In к

y+-D+\y+)y+

B + CR*

(14)

где и+ =(и-иа)/иГ ;

и - тангенциальная составляющая скорости жидкости; иа - скорость стенки (иа = 0);

Ты - сдвиговое напряжение стенки;

+ S-, 0.25 . 0.5 /

У =рс, к у//и-к- эмпирический коэффициент;

D+=pC,

0.25 ,0.5 & > К

И

= рС 0,25А:05 —.

И

Величины А, В, С являются константами, Э - толщиной смещения и у0 - эквивалентная высота шероховатости. Последние две количественные характеристики иллюстрирует рис. 2. Величина Б является такой, что скорость жидкости снижается

до нуля на расстоянии И + у0 от стенки.

Значение у+т зависит от применяемой формулы. Для полностью шероховатой стенки эта величина равна нулю. Значения постоянных в формуле (14) рекомендуется принимать А=8.5, В=0, С=1, Э=0.

Рис. 2. Иллюстрация типичного элемента шероховатости

При решении задачи деформации русла кроме решения системы гидродинамических уравнений необходимо разработать модель размыва и транспорта наносов.

Для «отслеживания» частицы фунта, влекомой по дну реки, наиболее эффективен метод объемного слежения статической сетки УОР-скаляра. Первоначально методика объемного слежения была предложена Бельчем и Харлоу [1]. Согласно ей отдельные частицы слежения используются в каждой ячейке расчетной области. Расчетная же область разбивается на некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, чтобы каждая узловая точка содержалась в одном контрольном объеме.

Основным фактором поступления УОГ-скаляра в расчетную область при решении задачи размыва русла может быть изменение размывающих и донных скоростей течения потока. Очевидно, что при Удон )Урази будет наблюдаться отрыв частиц фунта, т. е. размыв русла. При Удон (V начнется осаждение и, как следствие, аккумуляция наносов.

Для описания процесса фанспорта наносов автором был использован закон Нерн-ста для массопереноса, согласно которому масса вещества Ат$, которая поступает через малую площадку АБ за малый промежуток времени Аг, равна:

А/И5 = -^ХЯ0ХУСХМХА/ (15)

где кл - коэффициент диффузии.

Изменение количества вещества Ати в малом объеме среды А V при изменении концентрации в этом объеме на АС равно:

Ати = АСхАУ (16)

При выводе уравнения массопереноса уравнения (15), (16) распросфаняются на произвольный объем V среды. Далее составляется уравнение массового баланса для данного выделенного объема. При этом не учитывается возможное протекание растворенного вещества через поверхность объема V, а также наличие внутри области течения источников (стоков) вещества.

Таким образом, уравнение фанспорта частиц запишется в виде:

дС „ дС „ дС „ дС . (д2С д2С д2С

+ УХ— + Г9 — + Уг — = ка д1 " дх у ду г & 0

■ +-Г- + -

дх2 ду2 дг

2

(17)

При этом можно предположить, что изменение конценфации по ширине русла незначительно, также как и изменение самой ширины русла. Тогда уравнение (17) перепишется:

(18)

дС т/ дС .. дС .

-+ К-+К -

5/ дх &

д2С д2С +

дх2 дг

2

/

Окончательный выбор модели деформации русла делается прежде всего на основе универсальности, эффективности по зафатам счетного времени, а также наличия и достоверности исходных данных. При этом все же необходимо отметить, что единственно корректным путем решения задачи русловых деформаций является постановка расширенных натурных исследований и оценка ее адекватности реальным данным посредством использования полуобратного подхода.

Предложенный автором подход для выяснения его пригодности или, наоборот, непригодности как базы для посфоения модели динамики рек, приводит к необходимости дальнейшей разработки теории в следующих направлениях.

1. Эксперименты на лабораторных установках для выяснения характера изменения вязкости потока при различных концентрациях примесей.

В настоящее время подобные исследования в натурных условиях практически не выполняются. Поэтому требуются прежде всего лабораторные изучения изменения вязкости воды в зависимости от скорости, т.е. расхода воды. Наиболее подходящими для этой цели являются прямоугольные лотки. Вязкость может быть определена по известным формулам гидравлики в зависимости от расхода воды, уклона и давления на входе и выходе.

2. Теоретическое исследование возможностей применения метода VOF (Solid) - скаляра при решении задачи взаимодействия потока и русла реки в нижних бьефах ГЭС.

Метод VOF (Solid) - скаляра, предложенный автором в решении поставленной задачи, до сих пор в практике численного решения задачи размыва русла не применялся. Однако первые результаты проведенных автором исследований показали достаточную их приемлемость, что дает основание для дальнейшего изучения возможностей применения данной методологии.

Список литературы

[1] Липатов, И. В. Гидродинамика речных потоков и ее влияние на эксплуатационные параметры судоходных гидротехнических сооружений: методология исследований. Монография / И. В. Липатов. - Н. Новгород. Издательство ФГОУ ВПО ВГАВТ, 2006. - 96 с.

[2] Шестова, М. В. Гидрологический режим нижних бьефов ГЭС и его влияние на условия судоходства // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук / М. В. Шестова - Нижний Новгород, 2006. - 24 с.

[3] Караушсв, А. В. Теория и методы расчета речных наносов/ А. В. Караушев - Л.: Гидроме-теоиздат, 1977. - 286 с.

[4] Векслер, А. Б. Переформирования русла в нижних бьефах крупных ГЭС./ А.Б. Векслер, В. М. Доненберг. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 216 с.

[5] Векслер, А. Б. Опыт оценки трансформации русла рек в нижних бьефах гидроузлов. / А.Б. Векслер, В. М. Доненберг// Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, С-Пб., 1997. -Том 230. - С. 102-115.

|6] Лятхер В. М. Турбулентность в гидросооружениях / В. М. Лятхер- М.: Энергия, 1968. -311 с.

PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLICATION OF NUMERICAL MODELLING OF RIVER DEFORMATIONS BELOW HYDROKNOTS

M. V. Shestova

In article is presented the modern position of a problem of numerical modelling river deformations below hydroknots, parameters of the stream dumped through hydroelectric power station, and character of change of transporting ability-of the stream predetermining deformations of a river and a ship course.