CC BY
15Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского
Серия «Философия. Культурология. Политология. Социология». Том 23 (62). 2010. N° 2. С. 261-266.
УДК 162.2
ПРОБЛЕМАТИКА АКСИОМАТИЗАЦИИ СИЛЛОГИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Рома Е.В.
В статье предлагается метод нахождения систем аксиом в силлогистике, позволяющий обобщить имеющиеся подходы к силлогистическим теориям. Отмечается, что в структуре аксиом дедуктивных систем многих авторов интерпретаций традиционной аристотелевской силлогистики присутствуют общие элементы. Утверждается что эти общие элементы могут быть сгруппированы в универсальную систему аксиом, с помощью которой возможно вывести все правильные модусы. Предложенный метод заявлен как обобщение результатов одних из самых известных интерпретаций силлогистики XX в. — это варианты Я. Лукасевича, И. М. Бохенского и Н. Крецмана.
Ключевые слова: силлогизм, дедуктивная система, метод, система аксиом, аксиоматизация, силлогистическая теория.
Цель статьи - исследовать возможность применения обобщенного метода нахождения систем аксиом в силлогистике.
Тема данной работы была выбрана с учетом сложившегося положения дел в современной силлогистике: начало XX века ознаменовано появлением ряда интерпретаций силлогистической теории. Возросший интерес именно к силлогистике был вызван выходом в свет монографии Яна Лукасевича «Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики».
Одним из вариантов обобщения теории Лукасевича можно назвать труд японского логика Кеши Исеки под названием «Системы аксиом аристотелевской логики». Данная работа, по словам самого Кеши Исеки, так же выступает неким продолжением исследований известных логиков ХХ века И.М. Бохенского и Н. Крецманна [1, с. 125].
Все теории, представленные в этих работах, остались на уровне разработок самих авторов, а в рамках учебного материала по логике - они, зачастую, не реализованы. Поэтому представляется не маловажным проанализировать еще одну интерпретацию силлогистической теории, проведенной Кеши Исеки. По этой причине статья «Системы аксиом аристотелевской логики» была избрана, соответственно как базис для дальнейших исследований в данной работе. В этом качестве данная работа уместна для анализа прогресса силлогистической теории.
Многие силлогистические теории имеют в своей основе определенный набор элементов, принимаемых на аксиоматическом уровне. Так они становятся аксиоматическими. Для справки: аксиоматическая теория - это «теория, построенная из конечного числа аксиом, из которых с помощью заданных правил вывода дедуктивно могут быть получены содержательно-истинные предложения (теоремы), сформулированные на языке данной теории» [2].
На основании всего вышеизложенного представляется возможным формирование метода нахождения систем аксиом в силлогистике, позволяющего обобщить имеющиеся подходы к силлогистическим теориям. Кеши Исеки предложил метод нахождения систем аксиом, утверждая, что в структуре аксиоматических теорий многих авторов интерпретаций традиционной аристотелевской силлогистики присутствуют общие элементы. Которые в свою очередь можно сгруппировать в универсальную систему аксиом, с помощью которой возможно вывести все правильные модусы и все предыдущие варианты дедуктивных систем [1, с. 125].
Но сначала следует отметить достоинства системы Кеши Исеки, дабы легитимировать нашу попытку исправления неудачного:
1) совмещает классические логические высказывания и формальную логику XX века;
2) система основана на положениях, принимаемых и другими наиболее известным логиком Я. Лукасевичем;
3) система в целом, дополненная методом нахождения аксиом претендует на статус универсализации.
В ходе исследования работы Кеши Исеки появляются следующие замечания:
1) в самом решении допущена ошибка: по дедуктивным правилам вывода из принятого модуса Datisi возможно вывести лишь один правильный стандартный модус Ferio и нестандартный модус второй фигуры вида AEE -но сам автор считает выведенным стандартный модус второй фигуры Camestres;
2) автор совершенно не пользуется в выводе законами рефлексивности - в таком случае, почему бы не отбросить их в данной системе?
3) выводя из уже принятых к системе дедуктивных правил оставшиеся модусы, автор воспользовался не всеми, что в дальнейшем позволяет сократить количество условий к системе;
4) так же выводя из этих же дедуктивных правил систему вывода модусов, Кеши Исеки не смог вывести все модусы без добавления уже оговоренных выше тезисов исчисления высказываний, которые представляют собой законы обращения и подчинения посылок, так как по этой структуре возможность вывести модусы лишь сводится к цепочке принимаемых модусов, число которых более двух, принятых ранее;
5) система вывода модусов несовершенна так же по причине невозможности вывода модусов четвертой фигуры (в системе из первой фигуры выводится вторая и третья, из второй - первая и третья, из третьей - вторая и первая, а из четвертой - лишь первая).
Да, система не идеальна, но в ней есть потенциал. После всех предложенных чуть позже исправлений, можно будет заявить, что возможно справиться с задачей и сформировать усовершенствованный метод нахождения систем аксиом для силлогистики.
Можно выделить следующие элементы в системе, предложенной Кеши Исеки:
Проблематика аксиоматизации силлогистической теории
1) два модуса: Barbara и Datisi;
2) варианты закона рефлексивности: Aaa и Iaa;
3) тезисы исчисления высказываний (представляют собой законы обращения и подчинения посылок);
4) дедуктивные правила (варианты сложного закона транспозиции и закона гипотетического силлогизма). Все эти элементы являются общими с дедуктивной системой Лукасевича. Посредством этих аксиом Кеши Исеки попытался вывести все оставшиеся 22 модуса.
Итак, для того чтобы метод нахождения аксиом работал, представляется целесообразным предложить произвести следующие изменения:
1 Принимаются следующие модусы:
Barbara AAA (I) Fresison EIO (IV)
2 Законы обращения и подчинения высказываний, записанные следующим образом:
D1 II1 - закон обращения типа I для большей посылки. D2II2 - закон обращения типа I для меньшей посылки. D3 AI1 - закон подчинения типа A для большей посылки. D4 AI2 - закон подчинения типа A для меньшей посылки. D5 EE1 - закон обращения типа E для большей посылки.
D6 EE2 - закон обращения типа E для меньшей посылки. D7 EO1 - закон подчинения типа E для большей посылки. D8 EO2 - закон подчинения типа E для меньшей посылки.
3 Положения системы, принимаемые для доказательства:
Ei CK XYZ 1 CK X NZ NY Сложный закон транспозиции
2 CK NZ Y NX
E2 CK XYZ, C FX CK FYZ Сложный закон гипотетического силлогизма
E3 CK XYZ, C FY CK XFZ Сложный закон гипотетического силлогизма
1) Где «С» - это знак импликации, который в традиционной силлогистике записывается знаком «^» и означает связку «если..., то...».
2) «К» - это знак конъюнкции, который в традиционной силлогистике записывается знаком «А» и означает связку «и».
3) «N» - это знак отрицания, который в традиционной силлогистике записывается знаком «—» означает связку «неверно, что ...».
Все эти обозначения заимствованы из системы Я. Лукасевича [2, с. 127 - 128].
Посредством этой системы аксиом все модусы выводятся довольно - таки быстро.
Показать ход решения можно на примере модуса Barbara (I).
Но прежде оговорим форму написания модусов: для удобства модус Barbara будет выглядеть следующим образом: AAA1 - где четко видно типы составляющих его высказываний (AAA) и номер фигуры (единица внизу). Такой способ обозначения заимствован из работы Кеши Исеки «Системы аксиом аристотелевской традиционной логики» [1, с.125].
Из модуса Barbara мы можем вывести посредством правила E1 модусы Baroco (II) и Bocardo (III).
Что будет выглядеть следующим образом:
CK Amp Asm Asp ^ 1) CK Amp NAsp NAsm = CK Amp Osp Osm = Baroco (II)
CK Amp Asm Asp ^ 2) CK NAsp Asm NAmp = CK Osp Asm Omp = Bocardo (III)
Для удобства написания, обозначим наш результат выведения 2 модусов следующим образом:
AAA1 [AOO2;OAO3] по E1 (1,2) - где в квадратных скобках обозначены модусы, выведенные из модуса Barbara и правило, по которому было проведено действие.
Далее из полученного модуса AOO2 и закона подчинения посылок D8 мы получим следующий результат:
АОО2 + ЕО2 по Б8 и Ез ^ АЕО4 - Сатепор (IV) ОАОз + ЕО1 по Бу и Е2 ^ ЕАО4 - Fesapo (IV) ЕАО4 + ЕЕ! по Б5 и Е2 ^ ЕАО1 - Се1агоП (I)
Далее записаны лишь результаты исследования без подробного изложения решений:
EAO1 [EAO2; AAI3] по E1 (1,2). EIO4 [EIO1; EIO3] по D5 , E2 и D2 EIO1 [EAE2; AII3] по E1 (1,2). EIO3 [AII1] по E1 (2).
E3
Проблематика аксиоматизации силлогистической теории
ЛИ! [ЛББ2] по Б! (1). АЕЕ2 [ЛББ4] по Б5 и Б2. БЛБ2 [еЛБ1] по Б5 и Е2. ЕЛЕ1 [ЕЮ2; 1Л1з] по Е1 (1,2). 1Л13 [1Л14] по Б1 и Е2. 1Л14 [Л111] по Б3 и Е2. ЛЛ11 [ЛЕО2; ЕЛОз] по Е1 (1,2).
Итак, выведены все 22 оставшиеся модуса, система адекватна. Цель исследования - построить дедуктивную систему вывода правильных стандартных силлогизмов выполнена. Была доказана универсальность и адекватность её работы. Так же на основе исследований Кеши Исеки другой японский логик Ш. Танака выводит свой вариант обобщения силлогистической теории; где на практике применены основные положения метода нахождения систем аксиом силлогистики, и выдвинута теория дедуктивно - эквивалентных групп [3, с. 194].
В качестве актуальности выбранной темы можно назвать тот факт, что современная логика изобилует различными направлениями и теориями и силлогистика - не исключение; но весь существующий материал, еще плохо проанализирован и не проверен. В области силлогистических теорий на данный момент насчитывается более шестисот различных обобщений, поэтому возникает вопрос: а выдерживают ли критику данные интерпретации?
Подробное исследование и их анализ представляет значительный интерес для современной силлогистики, поскольку дает возможность отбросить лишнее в структуре одних интерпретаций; и углубиться в изучение других. Это было сделано на примере варианта силлогистики, представленным Кеши Исеки.
К разработкам в этой области так же подталкивает тот факт, что почти во всех учебниках по логике мы находим одни и те же подходы к силлогистике, которые обычно принадлежат сфере традиционного понимания силлогистической теории. Да, трактовка классической силлогистики в учебном материале должна присутствовать, но нужно дополнять ее новыми интерпретациями. Что и было проделано в данной работе.
Поэтому выбранная тема, выступающая как вариант одного из подходов к силлогистике, сложившийся в середине XX века; является перспективой создания некоего учебного материала по расширению силлогистики новыми средствами.
Выводы. Проведенные Кеши Исеки исследования, дали нам возможность интерпретации аристотелевской силлогистики новыми средствами аксиоматизации силлогистической теории. В которой, с одной стороны, предметная область исследования схожа с традиционной интерпретацией силлогистики, а с другой -имеется ряд нововведений, не используемых ранее.
Такая интерпретация силлогистики интересна возможностью проанализировать логику XX в., что позволяет расширить и углубить область исследования силлогистики за счет того, что будут разработаны новые теории.
Теперь можно сделать вывод о том, что заявленные цель и задачи были постепенно выполнены:
1. Были найдены общие элементы для силлогистических теорий Я. Лукасевича, И. М. Бохенского и Н. Крецмана.
2. Проведенный анализ интерпретации силлогистики Кеши Исеки позволяет сделать вывод: существует возможность изложить силлогистику как теорию систем аксиом. Специфика заключается в оперативности метода вывода правильных модусов в дедуктивных системах.
Такой вариант уточнения дает возможность построения новой силлогистической теории. Это связано с выявлением ошибок в системе, предложенной Кеши Исеки. В первую очередь коррективы коснулись самого вывода аксиом: были допущены ошибки в решении; но все исправления, предложенные в данной работе, исправили все погрешности и неточности теории.
Список литературы
1. Исеки К. Системы аксиом аристотелевской традиционной логики / Исеки К. - Proc. Japan Acad., 43., 1967.- 490 с.
2. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики / Лукасевич Я. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. - 431 с.
3. Танака Ш. Системы аксиом аристотелевской традиционной логики. II / Танака Ш. - Proc. Japan Acad., 43, 1967. - 630 с.
4 Яковлева Е.В. Краткий словарь основных логических понятий / Яковлева Е.В., Синюк А.И. -Нижнекамск, 2008. - 350 с.
Рома К.В. Проблематика аксшматизацй силлопстичноК теорп // Вчеш записки Тавршського национального ушверситету iм. В. I. Вернадського. Сер1я: Фiлософiя. Культуролога. Политолога. Сощолога - 2010. - Т. 23 (62). - № 2. - С. 261-266.
У статт пропонуеться метод знаходження систем аксюм у силлопстищ, що дозволяе узагальнити наявш пiдходи до силлогiстичних теорiй. Вщзначаеться, що в структурi аксiом дедуктивних систем багатьох авторiв iнтерпретацiй традицшно! аристотелевской силогiстики присутнi загальнi елементи. Затверджуеться що цi загальнi елементи можуть бути згрупованi в ушверсальну систему аксiом, за допомогою яко! можливо вивести всi правильнi модуси. Запропонований метод, заявлений як узагальнення результатiв одних з найвiдомiших штерпретацш силогiстики XX в. - це варiанти Я. Лукасевича, I. М. Бохенского й Н. Крецмана.
Ключовi слова: силлопзм, дедуктивна система, метод, система аксюм, аксюматизация, силлопстична теор1я.
Roma K. V. Axiomatization problematics of syllogistics theories // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. Series: Philosophy. Culturology. Political sciences. Sociology. - 2010. -Vol. 23 (62). - № 2. - P. 261-266.
In article the method of a finding of systems of axioms in syllogistic is offered, allowing to generalise available approaches to syllogistics theories. It is noticed that at structure of axioms deductive systems by many authors of interpretations traditional Aristotle syllogistic there are general elements. Affirms that these general elements can be grouped in universal system of axioms with which help probably deduce all correct moods. The offered method is declared as generalisation of results of one of the most known interpretations syllogistic are variants XX century by J.Lukasiewicz, I. M.Bohenski and N.Kretzmann.
Keywords: a syllogism, deductive system, a method, system of axioms, axiomatization, syllogistic theory.
Поступило в редакцию 13.10.2009
