CC BY
46
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №2_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 511
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов, К.И.Мирзоабдугафуров ПРОБЛЕМА ВАРИНГА ДЛЯ КУБОВ С ПОЧТИ РАВНЫМИ СЛАГАЕМЫМИ
В 1770 г. Варинг [1] выдвинул гипотезу, что при каждом целом п >1 существует такое число г = г(п) , что всякое натуральное число N может быть представлено в виде
хп1+хп2+...+хпг =Ы (1)
с целыми неотрицательными х,..., хг. Эта гипотеза получила название проблема Варинга, и в
1909 г. она была решена Гильбертом [2].
В 1920 г. новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литтлвуд [3]. Они ввели две функции g(n) и С(п); g(n) - наименьшее к такое, что (1) разрешимо при N > 1; С(п) -наименьшее к такое, что (1) разрешимо при Л^>Л^0(и). Ясно, что G(n)<g(n). Харди и Литтлвуд доказали, что
п < G(N) < п2п /г; \\mh = 1 •
Я—» СО
Самым же важным было то, что Харди и Литтлвуд при
г >(п — 2)2”4 + 5
для числа I(N) представлений числа N в виду (1) нашли асимптотическую формулу вида
, „ (Г(1 + 1 /n)Y --і I(N)=y у ” N" <j + 0{Nn ), (2)
Г (г/п)
где <7 - некоторый особый ряд, сумма которого, как они показали, превосходит некоторое число c (n, r) и c (n, r )> 0 .
В 1924 г. И.М.Виноградов [4] применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм. Это не только сильно упростило доказательство проблемы Варинга, но и открыло путь к принципиальному уточнению полученных здесь результатов и решению новых проблем. Он доказал [5], что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (2) имеет место при
г > 2[п2 (2 In п + lnln п + 3)].
В 1934 г. он доказал [6] также, что G(n) < и(61пи + 10), затем несколько раз уточнил эту оценку и, наконец, в 1959 г. доказал [7], что
G(n) < и(21пи + 41п1пи + 21п1п1пи + 13).
А.А.Карацуба [8] применил к оценке G(n) свой p -адический метод и получил более точный результат
G(n) < и(21пи + 21п1пи + 12).
Фактически величина G(n) известна только для к = 2 и к = 4, именно
G (2) = 4, G (4) = 16.
Последний результат доказал Davenport [9]. Ю.В.Линник [10] доказал, что G(3)<7, упрощенное доказательство которого, дал Watson [11]. Vaughan [12] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда (2) имеет место при r = 8 и n = 3 .
В этой работе асимптотическая формула в проблеме Варинга для девяти кубов доказывается с более жесткими условиями, а именно, в когда слагаемые почти равны.
Теорема. Пусть N - достаточно большое натуральное число, I(N, H) - число
представлений N суммою девяти кубов чисел x, i = 1,9 с условиями
— ( nY/3
\x,-N1\<H, / = 1,9, N,= - .
V 9
Тогда при Н > дг3/10+г справедлива асимптотическая формула:
ПМ,Н) = 2І912^ н> "
2240 N213
kN2,3L* j
где сг(Ы) - особый ряд, сумма которого превосходит некоторое число с{К) > 0. Всюду ниже будем придерживаться следующих обозначений.
0,5
( з Л ап
Т(а;х,у)= ^ е(ап3),/(Л;х,у) = | е(А(х-у/2 +уи)3)(1и,8(а^) = "£е
х—у<п<х _0,5 И=1 V ^ У
Доказательство теоремы проводится круговым методом Г.Харди, Д.Литтлвуда и С.Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова с последующим применением оценок коротких кубических тригонометрических сумм (лемма 1) и среднего значения восьмой степени таких сумм (лемма 2).
а 1
Лемма 1. Пусть х>х0>0, ^<0.01х, г>\2ху, q<т, а = —1-Л; (а,д) = 1, \Л\<—.
2 1 2 1
Тогда при {3 Лх }< —, Л > 0 или {ЗЛх }>1----------, Л< 0 имеет место соотношение
2д 2д
Т(а, х, у) = Т(Л; х, у) + 0(д1/2+£),
Ч
а при выполнении условия {3 Ах }> —, А>0 или {3 Ах }<1-------------------, А < О имеет место
2д 2д
соотношение
Т (а, х, у) = ^й’ ^ Т (А; х, у) + 0(д213 \пд + дшхУ2).
Я
(Л
Следствие 1. Пусть х>х0>0, ^<0,01х, г>\2ху, д<т, а = —\-А; (а,д) = 1,
Я
I А |< —Тогда имеет место соотношение бдх2
Т (а, х, >>) = — £(я, д)у(А; *, >>) + 0(д1/2+е).
Я
(Л
Следствие 2. Пусть х>х0>0, ^<0,0Ъс, г>12ху, q<T, а = — + А; (а,д) = 1,
Я
' ■ <\А\< —. Тогда имеет место оценка
бдх2 ' ' дт
Т(а, х, у) <SC q213 In q + qy6xy2.
Лемма 2. При х > х0 > О, Vx < j ! < 0,01 х имеет место оценка
1
||Г(а;дс,^)|8 da<g.y5+e
Институт математики Поступило 04.04.2008 г.
АН Республики Таджикистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Waring E. Meditationes algebraicae. Cambridge, 1770.
2. Hilbert D. - Math. Ann., 1909, № 67, p. 281-300.
3. Hardy G.H., Littlwood J.E. - Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl. 1920. p. 33-54. IV: Math. Z.
1922, № 12, p. 161-188.
4. Виноградов И.М. - Мат. сб., 1924, т.31. с.490-507.
5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2 -е изд. М.: Наука, 1980.
6. Виноградов И.М. - Изв. АН СССР. 1934, т.5, № 6, с.1455-1469.
7. Виноградов И.М. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т.23, № 5, с.637-642.
8. Карацуба А.А. - Изв. АН СССР. Сер. мат., 1985, т.49, № 5, с.935-947.
9. Davenport H. - Ann. of Math., 1939, № 40, p.731-47.
10. Линник Ю.В. - Мат. сб., 1943, т.12, №54, с.218-224.
о
11. Watson G.L. - J. London Math. Soc., 1951, №26, p. 153-156.
12. Vaughan R.C. - J. Reine Angew. Math., 1986, № 365, p.122-17G.
З.Х,.Рах,монов, К.И.Мирзоабдугафуров МУАММОИ ВАРИНГ БАРОЙ КУБ^ОИ ЦАРИБ БАРОБАР
Фоpмyлаи асимптотикй баpои мик;доpи TacBHpx,OH адади натypалии кифояи калони N ба шмуди сyммаи нух, ку6и ададх,ои натypалии xi, i = 1,9, бо шаpтx,ои I x. — (Л79)1' I<H, H> jV3/10+6 , исбот карда шудааст.
Z.Kh.Rakhmonov, K.I.Mirzoabdugafurov WARINGS PROBLEM FOR CUBES WITH ALMOST EQUAL SUMMANDS
An asymptotic formula is obtained for number of representations of sufficiently large natural number N by a sum of eight cubes natural number x;, / = 1,9 with conditions | x. -(M9)131<H,
H > n3,10+£ .
8б
