CC BY
11
удк 530.1
БелашовВ.Ю., БелашоваЕ.С.
ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ РЕШЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ КЛАССОВ КП И 3
Аналитически изучается устойчивость двумерных и трехмерных солитонов и нелинейных волновых пакетов, описываемых классами уравнений Кадомцева-Петвиашвили и На основе анализа трансформационных свойств гамильтонианов сформулированы достаточные условия устойчивости решений.
Ключевые слова: нелинейные волны, уравнения КП, неодномерные солитоны, устойчи-
вость, гамильтонов анализ.
В настоящей работе мы рассмотрим аналитические подходы и представим полученные с их помощью результаты изучения проблемы устойчивости неодномерных солитонов и нелинейных волновых пакетов, которые в случае пренебрежения диссипативными эффектами описываются классами обобщенного уравнения Кадомцева-Петвиашвили (КП) и трехмерного уравнения Шредингера с производной нелинейного члена (3-На основе исследования трансформационных свойств гамильтонианов Н произведем соответствующие оценки и сформулируем условия устойчивости решений уравнений данных классов в двумерной и трехмерной геометрии для всего диапазона изменения коэффициентов - отдельно для уравнений ОКП (раздел 1) и 3-БЫЬ8 (раздел 2). В приложении исследуется алгебраическое уравнение четвертой степени, возникающее при анализе существования экстремумов гамильтониана уравнения ОКП с Д±= ду в разделе 1.
1. Устойчивость решений обобщенного уравнения КП. Будем полагать, что в обобщенном уравнении КП (уравнение ОКП [1])
дх-а^д^ + 6 идхи — цд^и — едхи — Лдхи) = Д±и, (1)
/л=0 (диссипация в среде отсутствует). В этом случае уравнение (1) является гамильтоновским. Переписывая его в виде
дги = дх(8Н/8и) = - 5'(х - х') (£) ах', (2)
где
П = (дхи)2 +1 (д'и)2 + \ (У±дхр)2 - и3] йг, (3)
дхх> = и, получаем уравнение Гамильтона, где роль координат точки в фазовом пространстве М играет совокупность значений иеМ, матрица = ^'(х — х') - кососимметрична и вследствие обратимости оператора дх на функциях, убывающих при -»со, невырождена на и. Га-мильтонова структура при этом задается скобкой Пуассона [2]
00
{5,«}= /да/ададк/адл,
— 00
удовлетворяющей тождеству Якоби, так как а не зависит от точки ив М.
Задача исследования устойчивости солитоноподобных решений уравнения (2) на основе анализа трансформационных свойств гамильтониана (3) в двумерной и трехмерной (соответственно д2 = 0 и дуг Ф 0 геометрии для А = +1, £ ^ 0 (что соответствует различным типам сред) была рассмотрена в работе [3]. Стационарные решения уравнения (2) определяются из вариационной задачи
8{Н + уРх,) = 0 (4)
где Рх =~ / и2с1г- проекция импульса на ось х; V имеет смысл множителя
Лагранжа. Уравнение (4) иллюстрирует тот факт, что все финитные решения уравнения (2) являются стационарными точками гамильтониана при фиксированном Рх.
Рассмотрим задачу устойчивости. Согласно теореме Ляпунова, в динамической системе абсолютно устойчивыми будут те стационарные точки, которые реализуют минимум или максимум Н Если данный экстремум является локальным, то возможны локально устойчивые решения. Неустойчивые состояния соответствуют монотонной зависимости Н от своих переменных, т.е. случаям, когда стационарная точка является сед-ловой. В соответствии со сказанным требуется доказать ограниченность Н(снизу) при фиксированном Рх.
Аналогично тому, как это было сделано для «классического» уравнения КП [4], рассмотрим в действительном векторном пространстве Я масштабные преобразования вида
Чх.г^ Г1"^2^1"^72^*/^!/'7) (5)
(^ -размерность задачи; ЕЯ сохраняющие проекцию импульса Рх Гамильтониан как функция параметров т] примет вид
НЦ,г]) = аС2 + Ц2Г1~2 - с^-^а-ауг + (6)
где
а = /(д*и)2с*г,Ь = / = /иЧг, е = (Я/
2 )$д1и)2<1г.
Необходимым условием существования экстремума является одновременное выполнение равенств
д^Н = 0, длН = 0, (7)
что в случае существования экстремумов позволяет определить их координаты 77у). Выполнение неравенств
д2Н(^, л ^ д* И(С17 л,) д*^, л у) дл2Н(С1, л,) д2Н(с г, л у) >о
> о,
(8)
гарантирует положительную определенность соответствующей квадратичной формы и является достаточным условием существования минимума (локального) в точке с координатами 7^-).
Рассмотрим уравнение (2) для ё = 2 ( дг= 0 ). В этом случае равенства (7) представляют собой систему [5]
О = (с4/32Ь) г4 - (аг + 2е)3 = 0,
г = С2,
л = [(4Ь / с )2 С5 ]1/3.
(9)
Анализ уравнения (9) показывает (см. приложение и работу [3]), что для каждой четверки значений функций а, Ь, с, е е Я в случае е > 0, а > 0 оно имеет один положительный корень £ е Я, при е < 0, а > 0- два положительных корня ¿1,2 е Я, а в случае е < 0, а < 0 ¿0 Я.
Неравенства (8) при с!=2 с учетом уравнения (9) принимают вид
О - (С11 а 3г3 + С12 а 2 ег2 + С13 ае 2г + С14 е3) < 0, (10.1)
О - (С21 а 3г3 + С22 а 2ег2 + С23 ае 2г + С24 е3) < 0, (10.2)
где Cnm>0 - константы. Отсюда сразу следует, что на множестве решений 8( С К системы (9) в случае e > 0, a > 0 условия (8) выполнены, следовательно, Н( ^ ) ограничен снизу. Решая неравенства (10) в пространстве
Я для е>0, а< 0, получаем для п St(Ш■2) = Л( с к
supЛ, = (3Сц )-1 х [2С1 cos(ф1 /3) - С12 ]а~1е, inf Л, = 0 (значение £ = 0 не является корнем системы (9) и его мы отбрасываем), где
= (С122 - 3С11С13 У2, Ф1 = Arccos|(2C13 )-1 С12 (С122 - 3С2)- 27сС |
Учитывая равенства (П4) (отметим, что St п Л ^ 0 ), заключаем, что для е>0, а<0 достаточным условием существования локального минимума Н(^ ) является соотношение St С Л,, т.е.
(а / с)(Ь / е)1/4 >(6СП )-1 [С1 / 3)- С12/2]. (11)
Рассматривая аналогично неравенства (10) для е <0, а > 0, получаем:
иГ Б® =(3С21 )-1 [2С2С08^(ф 2/3)-С22 ]а "Ч 8ирБ,(1) =(3СП )-1[2С1Х
х cos(ф1 /3 + 4л/3) -С12]а_1е, МБ(2) =(3СП)-1[2С! ^^/3 + 2л/3)-- С12 ] а хе, где
БР) -БР = S(ЮЛ1 пЯг(1а2) = Л, С Р; С2 =С22 -3С21С23)1/2 ;
Аг cosh|(2c| )-1 [с22 (с22 -3С2 )- 27С21С241
ф2 = Аг (2с2 ) [с22 (с|2 -3С2 - 27С21С24
Учитывая (П8), находим Б® с St ^ Б,(1) п St = Б,(1), Б(2) п St = 0 . Заменяя неравенство (П5) на зРЬ/С'е < -24-33(Г1 ((>1), найдем, используя (П7), значение 0=-28-3"3(Т + 2) / Т2 (Т = тГ Б,(1) ае"1), отвечающее достаточному условию существования локального минимума Н(^):
т£ St = т£ Б®, которое теперь можно переписать в виде
а 4Ь / с4е < 2~4Т2 /(Т + 2). (12)
На рис. 1 показано изменение Н( С, л ) для тестовых значений интегралов при ё = 2, ^ = ±1, 8> 0.
на тестовых значениях
Рис. 1. Изменение H( С, л) при d=2 вдоль линий Л = [(4b / С) С 5 J интегралов: 1 - a = 0.5, b = 0.5, c=1, е = 0.02; 2 - a = -0.5, ¿=0.5, c = 0.5, е = 0.5; 3 - a = -0.5, b= 0.5, c =1, е =-0.02; 4 - a = 1, b = 1, c = 0.5, е = -1; 5 - a = 0.5, b = 0.5, c = 1, е = -0.02
Рассмотрим теперь уравнение (2) для d =3 ( 8yz Ф 0 ). В этом слу чае из равенств (7) для каждой четверки a, b, c, е е R (a^ü) сразу находим [2;
4]
С у =(16ab)1 [3c2 ±л/9c 4 - 512 ab 2е |
Л , =(2b / с)С 5/2, (13)
i = 1,2; j = 1,2,3,4.
Отметим, что при С i < 0 точки (С Лj) £ R , поэтому в дальнейшем
будем рассматривать только корни Су > 0 (равенство Су = 0 исключаем,
учитывая, что е Ф 0, в противном случае уравнение (2) вырождается в обычное уравнение КП).
Неравенства (8) с учетом выражений (13) примут вид
ас2 - (с2 / 2Ь)С + 10е /3 > 0, (14.1)
аС2 + (с2/48Ь)С + 10е/3 > 0. (14.2)
В случае е > 0, а > 0 условие С/ е К , т.е.
с4 > (512/9)аЬ2е (15)
влечет С1,2 > 0 . Элементарный анализ показывает, что п S^14'1) = 0
и в случае строгого неравенства в выражении (15) S^13) с S^14). Таким
образом, для существования локального минимума Н( С, л ) при е > 0, а >0 достаточно, чтобы
аЬ2е/е4 < 9/512. (16)
При e > 0, a < 0 для каждой четверки a, Ь, е, e е Я из первого равенства (13) имеем с < 0 , следовательно ^^ п Р = 0. Для элементарный анализ неравенств (14) дает S £3) с S( ). Таким образом, для любых е > 0, а < 0 функция Н(С, л ) ограничена снизу.
Аналогичный подход в случае е < 0 показывает, что при а < 0 и вы полнении условия (15) для каждой четверки а, Ь, е, ееЯ будем иметь
С 1,2 < 0, а значит ^234 п К = 0 ; при а > 0 с2 < ^з^ п К = 0
С > 0 , однако S (13) п S (14'1) =0.
1 С1 С1
При а = 0, е > 0 (е ^ 0) вместо (13) для каждой тройки Ь, е, е е Я будем иметь
С! = 16Ье/3с2, л ] = (2Ь / с)С 5/2, I = 1, 3 = 1,2.
Отсюда сразу следует, что при е < 0 Sл. п К = 0. Для е > 0 нетрудно показать, что £с с £(514).
На рис. 2 показано изменение Н( С, л ) для тестовых значений интегралов при ё = 3, Х = ±1 £> 0.
Обобщая полученные результаты, заключим следующее. В двумерном случае гамильтониан (3) уравнения (2) при фиксированном Рх ограничен снизу для е > 0, а > 0 (в выражении (3) Х=1, £< 0) и имеет локальные минимумы для е > 0, а < 0 (Л=1, £ > 0) и е < 0, а > 0 (X = -1, £ < 0) при выполнении условий соответственно (11) и (12). В трехмерном случае Н имеет локальный минимум для е > 0, а >0 (в выражении (3) Х = 1, £ < 0), если выполнено условие (16), а при е > 0, а< 0 (X = 1, £ > 0) ограни-
чен снизу. Отметим, что класс масштабных преобразований (5), естественно, не включает всех возможных деформаций Н, однако проведенные нами оценки свидетельствуют в пользу его ограниченности для отмеченных выше случаев, в которых, согласно теореме Ляпунова, должны иметь место абсолютно и локально устойчивые солитонные решения.
Рис. 2. Изменение Н( С,л) при й=3 вдоль линий л= (2Ь/с)С5/2 на тестовых значениях интегралов:
1 - а=1, Ь = 1, с = 1, е = 0.025; 2 - а = 1, Ь = 1, с = 1, е = 0.017; 3 - а =-0.5, Ь = 1, с = 0.5, е = 0.02; 4 -а=-0.5, Ь=1, с = 0.5, е=-0.02; 5 - а = 1, Ь = 1, с = 0.5, е= -0.02
В работах [1; 4] был выполнен анализ ограниченности Н на решениях уравнения (1), полученных численно в работах [6-8] для й = 2 и й = 3, который подтвердил представленные выше результаты.
2. Устойчивость решений уравнения 3-DNLS. Для изучения устойчивости трехмерных решений уравнения 3-ВЫЬ8 в бездиссипативном случае воспользуемся тем же подходом, что и в предыдущем параграфе. Запишем уравнение в гамильтоновской форме
а н = а х (б н/бн)
с гамильтонианом [9]
Н = Л [¿1 н\4 + ^нн*дхф +1 о(У±дх^) 2
д = Н, ф = аг§(Н)
й г,
(17)
(18)
и по аналогии с [10] будем исследовать ограниченность Н (снизу) при его деформациях, сохраняющих проекцию импульса системы Рх = 111 Н |2 йг , когда имеет место вариационное уравнение вида (4)
б(Н + уРх) 8
(19)
0
(у как и в (4) имеет смысл множителя Лагранжа). Аналогично тому, как это было сделано в разделе 1 для уравнения ОКП, рассмотрим в комплексном векторном пространстве С масштабные преобразования вида
И(х,г±) ^С"1/2Л_1 Кх/С,т± /л) (20)
(С, л е С), сохраняющие проекцию импульса Рх. Гамильтониан как функция параметров С, л примет вид
Н (С, л) = аС-1л-2 + ЬС-1 + сС2л-2, (21)
где
а =(1/2)|| К|4 Лг, Ь=Х4КК*дхфЛг, с= (ст/2)|(У±дхм>)2Лг.
Необходимые условия существования экстремума дсН = 0, дл Н = 0, позволяют сразу определить его координаты [10]
Сс = -ас"1, ла = [- аЬ"1(1 + а2с"2 )]1/2, (22)
где Ь < 0, если л е К С С, поскольку а > 0, а е > 0 по определению и Ь > 0, если л е С.
Достаточные условия существования локального минимума Н в точке с координатами (С / ,л;) имеют вид (8) и из них для Ь < 0 мы можем получить
ас"1 <Л = (2л/2)-1л/13 + л/185 . (23)
Из (21)-(23) следует, что гамильтониан уравнения (17) ограничен снизу
Н > -3ЬЛ/(1 + 2Л2), Ь < 0, (24)
если выполняется условие (23), и в этом случае трехмерные решения
уравнения 3-ВЫЬ8 будут устойчивыми, а при ас 1 > Л, Ь < 0 - неустойчивыми. Условие Ь < 0 отвечает волне с правой круговой поляризацией,
распространяющейся в плазме при р = 4шТ/В > 1, т.е. когда X = 1, ^ = -1 в уравнении (17), и волне с левой круговой поляризацией,
9
когда Х = -1, ^ = 1. Однако, необходимо заметить, что замена х = 1 ^-1, ^ = -1 эквивалентна замене I а и для отрицательных а
гамильтониан становится отрицательным в области, «занимаемой» трехмерной волной, слабо ограниченной в направлении к±, при этом условие (24) не выполняется.
Смена знака Ь на положительный (когда в уравнении (17) х = 1, ^ = 1 или х = -1, ^ = -1) эквивалентна аналитическому продолжению решений с действительных у, г на чисто мнимые: у ^ -гу, г ^ -гг и, следовательно, эквивалентна смене знака дифракционного коэффициента а в основных уравнениях. В этом случае вместо неравенства (24) будет иметь место противоположное неравенство
Н < -3Ъй/(1 + 2й2) (Ъ > 0). (25)
С физической точки зрения это означает, что если выполняется неравенство (25), то правополяризованные волны с положительной нелинейностью и левополяризованные волны с отрицательной нелинейностью будут устойчивы.
Отметим, что в частном случае, когда в уравнении (17) а = 0 (одномерное приближение), используя принятый подход, вместо неравенств (24) и (25) легко получить условия Н >0 и Н <0 соответственно, что полностью согласуется с результатами работы [11] для уравнения 1-ВЫЬ8.
Таким образом, анализ трансформационных свойств гамильтониана уравнения 3-ВЫЬ8 позволил нам выделить области значений коэффициентов и Н (имеющего смысл энергии), отвечающих устойчивым и неустойчивым трехмерным решениям. Задача же исследования структуры и динамики трехмерных альфвеновских волн, в связи с тем, что уравнение 3-ВЫЬ8 не является полностью интегрируемой системой, а следовательно не может быть проинтегрировано методом ОЗР [2], может быть решена только методами численного моделирования.
Несмотря на то, что рассматриваемые классы деформаций не включают всех возможных деформаций Н, произведенные оценки свидетельствуют об устойчивости решений классов ОКП и 3-ВЫЬ8 при выполнении некоторых, выписанных в работе в явном виде, условий, которые могут, по крайней мере, рассматриваться как не обходимые.
3 4
Приложение. Выполнив в уравнении (9) замену I ^ I '+8а"Ъ /с4,
4 2
получим приведенное уравнение /' +р1' +qt '+г = 0 (П 1).
Кубическую резольвенту z3 +2pz2 + (p2 - 4r)z- q2 = 0 заменой z—
x - 2p/3 приведем к виду x + p' x + q' = 0 (П 2), где
, 010, 3 / 4 , 014 2, 2 4 / 8 p = 2 Oe /с ; q =-2 а Ъ e /с , с дискриминантом
^ ->26,3 -12 8Í->4o-3 . 4, -4\ D = 2 Ъ с e 12 3 e+а Ъс I. (П 3)
В случае e > 0, а > 0 D > 0, следовательно, уравнение (П2), а значит и резольвента, в действительном векторном пространстве R для каждой четверки значений функций a, b, c, e g R имеют один корень. Отсюда, используя правило знаков Декарта, можно заключить, что уравнение (9)
при e > 0, а>0 будет иметь один положительный корень t g R (заметим, что t < 0 не удовлетворяет системе (9), так как при этом R). Как следует из анализа уравнения (9), в пространстве Rдля St С R справедливы равенства
inf St = supSt = 4(oe3 У'4 /c, inf St = 0. (П 4)
a>0 a<0 a<0
Рассмотрим теперь случай, когда e < 0, а > 0. Уже из вида уравнения (9)
следует, что при a < 0 оно не имеет в пространстве R корней t > 0, поэтому ограничимся анализом уравнения (9) для a > 0. При
F = а 4Ъ / с 4e <-243-3 (П 5)
из равенства (П 3) имеем D > 0, откуда следует, что уравнение (П 2) и резольвента имеют в пространстве R для каждой четверки a, b, c, e g R один корень, а уравнение (9) с учетом правила знаков - два положительных
корня ti,2 gR. Оценим границы множества St С R. Выполняя в уравнении (9) замены t — t + h и t —-t+h, придем к системам соответственно
с4 > &'а4-,'Ъ^'' (oh+2eJ-1, (П 6)
(-1)'' с4 > (-1)'' 81аА~'ЪИ~' (аh + 2e)-1, (П 7)
i = 1, 2, 3, 4.
Решая неравенства (П6) и (П7) с учетом условия (П5), получаем
supSt = 25 • 3-3 ^/lOcos(v!/3 + 2л/з)- 4]a_1e, V1 = Arccos[-11/(25 • 5л/1о)] (П 8)
inf S, = min{max(ft,1,h'2), 243-3(/То - 8)a_1e }
h'1 = 8 [д/- 2FF' cos(y2 /3)+ F]a_1e, h '2 = 8 2FF' cos(y2 /3 + 4л /3)+ F]a-1e,
V 2 = Arccos {(27 F2 + 3 • 23 F + 3)/(23 F' .J- 2FF')} FF' = 1 - 2F.
При нарушении условия (П5) будем иметь D < 0. В этом случае простой анализ показывает, что уравнение (П2) и резольвента для каждой четверки a, b, с, е в R (e < O, a>0 ) имеют один положительный и два отрицательных корня, следовательно, уравнения (П1) и (9) в действительном векторном пространстве R корней не имеют.
Источники
1. Белашов В.Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 162 с.
2. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. 319 с.
3. Белашов В.Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солитонов в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1991. T. 320, № 1. C. 85-89.
4. Кузнецов Е.А., Турицын С.К. О двумерных и трехмерных солитонах в слабо диспергирующих средах // ЖЭТФ, 1982. T. 82. Вып. 5. C. 1457-1463.
5. Belashov V. Yu., Vladimirov S.V. Solitary Waves in Dispersive Complex Media. Theory, Simulation, Applications. Springer-Verlag GmbH & Co. KG, Berlin-Heidelberg, 2005. 305 p.
6. Karpman V. I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, №. 3-4. P. 131-139.
7. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Evolution of three-dimensional nonlinear pulses in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, №. 3-4. P. 140-144.
8. Белашова Е.С., Белашов В.Ю. Солитоны как математические и физические объекты. Казань: КГЭУ, 2006. 205 с.
9. Белашов В.Ю. Неодномерные нелинейные волны в реальных средах с дисперсией. Казань: КГЭУ, 2002. 143 с.
10. Belashov V. Yu. Dynamics of the 3D Alfven Waves Propagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Proc.1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Na go ya, Japan, Sept. 9-13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V. 1. P. 954-957
11. Dawson S. P., Fontan C.F. Soliton decay of nonlinear Alfven waves: numerical studies // Phys. Fluids, 1988. V. 31. № 1. P. 83-89.
