CC BY
265
Проблема оценки мгновенной частоты дискретного сигнала.
Метод развертывания фазы дискретного сигнала
Ключевые слова:
дискретный сигнал, классификация сигналов, программно-зависимое радио, мгновенная частота сигнала
Освещается вопрос оценки мгновенной частоты дискретного сигнала. Рассмотрены существующие способы преодоления проблемы предельного перехода при вычислении производной фазы сигнала. Предложен метод развертывания фазы дискретного сигнала, не требующий громоздких вычислений.
Злобин ВА.,
аспирант Каф РЭС,
ГОУ ВПО Вятский Государственный Университет zlbinxxbasil@rambler.ru
Введение
Вопросы распознавания и классификации сигналов при мониторинге систем радиосвязи (СР), в работе программно-зависимого радио (SDR — Software Defined Radio) являются, пожалуй, первостепенными.
Радиосигналы могут представлять собой колебания по очень сложному закону: быть модулированы одновременно по амплитуде и частоте (или фазе). Поэтому в задачах распознавания закона модуляции сигнала определение его мгновенной частоты занимает одно из центральных мест.
Важный шаг в изучении мгновенной частоты сделал Габор, представивший способ получения уникального комплексного сигнала из существующего действительного:
■(t) = s (t)h jH [s (t)] = s (t )h jq (t )= A (t )e jp(
(1)
где в(г) — вещественный сигнал, Н[ • ] — оператор преобразования Гильберта и вычисляется:
(2)
Мгновенную частоту принято определять как производную мгновенной фазы аналитического сигнала:
f (t )=).
(3)
Мгновенная фаза определяется как аргумент аналитического сигнала:
p (t)= arg z (t)= arctg
q (t) s (t)
= Im
ln
■(t) •(t)
(4)
Но в данной статье речь идет о цифрых сигналах, то определение его частоты по формуле (3) затруднено, поскольку производная подразумевает работу с непрерывной формой сигнала.
Вычисление производной
Разностная аппроксимация первой производной
Для сеточньх функций нельзя ввести обычное понятие производной, включающее операцию предельного перехода при Ах ^0. Вместо производной здесь вводятся разностные отношения.
Для прямой разности:
p(n h l)-p(n)
для обратной разности:
p(n )-P(n -1)
(n ) = -
h
для центральной разности:
af\n ) =
p(n h 1) — p (n-1)
(5)
(6)
(7)
2h
Но при такой оценке производной имеют место соответствующие погрешности:
£+(n ) = ®l(n )-P'(n ) Ч (n)=®h(n)-P'(n) £h\n ) = ®h\n )-p(n).
(8)
(9)
(10)
Пусть ф(г) дважды дифференцируема на отрезке [| 1^], и запишем для нее формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
Уп+1 = ф(*„ + к)=9„ + 9'((„)И + )к2, 0<в < 1, (11)
\p"(t)|<M2, t1 < t < t2.
Таким образом,
£h(n )=±p(t„+eh )h2
|4h| < 2M2h
£-(n )=--2p(tn+eh )h
\£h\<- m 2h.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
T-Comm #4-2009
29
h
As
Следовательно, для прямой и обратной разности оценки не зависят от индекса. Запишем для центральной разности формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
9п+1 = 9(1, + к)=9п +ф'(*„)к + ^р'О,,)*2 + 1ф'"(г„+81 }})А3, °<в < 1, (17)
9,-1 = 9(‘п- Щ=9„~9’((„)к + 2р'(/„)й2- 6у”((-в2, ]})А3, 0<в < 1, (18)
|р”(ґ)<Мз, І! < і < іг.
Таким образом,
^={?" (п+^ пк )+ ф” (іп - ^2, к Ж
и;(о) <1М 3к2.
(19)
(20) (21)
Как мы видим, оценка также не зависит от индекса.
Центральная разностная оценка аппроксимирует первую производную со вторым порядком точности относительно Ь для функций, трижды непрерывно дифференцируемых в данном интервале.
Метод Рунге
Повышение точности происходит за счет вычисления производных низкой точности, но на разньх сетках:
ю(0)(п )-а(1(п )+
(О (п )=®к0)(п ) +
гр -1
О (кр+1),
(22)
р — число узлов точности (в данном случае р = 2), г — коэффициент растяжения сетки.
Интерполяция полиномом дифференцируемой функции
Наиболее удобной формой полинома для дифференцирования явля-
ется:
ф(п )=Х Як„к,
к=0
поскольку:
р
ю(п ) = ф (п )= ^ какпк-1.
(23)
(24)
Метод представления интерполяционного полинома в форме Лагранжа не подходит в данном случае, поскольку приходится его пересчитывать каждый раз при увеличении числа отсчетов:
ф (п ) = ^ф( а і (п )
І=0
а* і (п )=П — ■ і - і
(25)
(26)
Интерполяционный полином в форме Ньютона лишен такого недостатка, но тоже нам не подходит:
ф(п)= А0 + А(п-1) + А (п- 1)(п-2) +... + Ар (п-1)...(п- *). (27)
Интерполяционный полином Эрмита, хоть и имеет вид (23), но требуется знать значения производной интерполируемой функции, что для нас является невозможным.
Кубическая сплайновая интерполяция обладает тем свойством, что первая и вторая производные интерполяционного многочлена всюду не-
прерывны. Обычно дифференцирование кубического сплайна позволяет определить эти производные с хорошей точностью.
В промежутке между каждой парой соседних узлов интерполяционная функция является многочленом третьей степени, который удобно записывать в виде:
у()= а, + Ь,(-1-1)+ С-(-1-1 )2 + ^(!- 1-1 )\ < К (28)
В своих узлах многочлен принимает табличные значения функции.
, 1 <, < N (29)
(30)
(31)
ь = ф ф-1 + 2 1 <І< * к 2 6
находим из СЛАУ:
-1 + 2 (^+1 + к )с і + к+1с І+1 = 6
У І+1 - У І У І- Уі-1
к+1 к ]
1 <і< N-1.
Или, если обозначить А = к; Сі = 2 (к+1 + к); В і = к+1, то в матричном виде:
В1 0 0 ' Р'
А2 С2 В2 0 Р2
АN-2 С*-2 В«-2
0 0 АN-1 С N -1 . Р -1 _
(33)
Это решается методом прогонки:
1) Вычисляем прогоночные коэффициенты а и в:
А,аі + Сі
1_________________________1> І
Аа+ Сі
і = 1,2,..., N-1
а1 = 0, в1 = со;
2) Вычисляем остальные с:
С = а,+1с,+1 +Рі+и 0<І< *-1. Тогда производная функции:
(34)
(35)
(36)
® & ) = Ь, + С, ( ,- {,-1)+ у (,- {-1 )2 = Ь,+ С ,+ у ■ ^
По результатам моделирования выяснилось, что можно оценивать с хорошей точностью дискретную мгновенную частоту при помощи аппроксимации фазы кубическими сплайнами. Однако до вычисления производной необходимо фазу сигнала развернуть, поскольку из-за периодичности в моменты перехода из максимальных значений в минимальные модуль приращения фазы будет равен 2п, что соответствует значению мгновенной частоты, равному 1, а это не верно.
Развертывание фазы
Итак, в предыдущем разделе мы подошли к выводу, что для вычисления значений мгновенной частоты необходимо и развертывание фазы помимо подходящего алгоритма вычисления производной.
Существуют способы развертывания фазы, основанные на методе наименьших квадратов с использованием БПФ [2], на максимальном правдоподобии и анализе разницы фаз [3], при помощи локальных оценок частоты [4].
30
Т-Сотт #4-2009
Л
Но все данные алгоритмы должны либо оперировать с полным набором отсчетов сигнала сразу, либо использовать многоуровневые операции "если — то". Сейчас будет предложен алгоритм, лишенный этого недостатка.
Несмотря на дискретность фазы сигнала, её значение в предыдущий момент времени отличается от текущего на величину её приращения. В [10] был предложен метод оценки мгновенной частоты, не требующий вычисления мгновенных значений фазы:
Кобр (п )
f (n) = —arccos- „ ч „ ч, 2п A (n-l)A (n )
где
Кобр (n )=q (n - l)q (n )h s (n -1 )s (n )
A (n ) = ^J q2 (n )h s 2 (n ).
(38)
(39)
(40)
Данный метод оценки мгновенной частоты обладает одинаковыми свойствами с методом конечной разности фаз. Следовательно, выражение:
q(n - 1)д(п)+ я(п - 1)*(п)
Д a>(n) = г
■yjq2 (n)+ s2 (n)yjq2 (n -1)+ s2 (n - l)
--p(n)-p(n -1) (41)
можно использовать и для определения текущей фазы сигнала, поскольку:
1) фаза сигнала всегда возрастает;
2) п > агссоБ (х) > 0.
Итак, мы получаем следующую формулу для определения фазы сигнала:
p(n)=p(0)+^ a
q(n - l)q(n)+ s (n - l)s (n)
I------------- I-------------------'
n=l -Jq2 (n)+ s2 (n)yjq2 (n -1)+ s2 (n- l)
Или её рекурсивный вариант:
q(n - l)q (n)+ s (n-l)s (n ) p(n )=p(n -1)+ arccos-------------- ---------- -----
(42)
(4З)
’ I------------ I---------------
Jq2(nj+s2(n)Jq2(n-lj+s2(n-l)
Таким образом, мы получаем развернутую фазу сигнала. Единствен' ной неизвестной здесь остается начальная фаза колебания, но для опре деления мгновенной частоты она не играет роли, поэтому ее можно об нулить. Способ позволяет разворачивать фазу в реальном времени.
Заключение
Мгновенную частоту сигнала как производную развернутой мгновенной фазы сигнала лучше оценивать через интерполяцию имеющихся значений фазы кубическими сплайнами, поскольку это позволяет добиться хорошей точности. Предложен метод развертывания фазы, позволяющий без особых математических трудностей можно вычислять по алгоритму (42) или его рекурсивным вариантом (43) в реальном масштабе времени.
Литература
1. Boashash B. Estimating and Interpreting The Instantaneous Frequency of a Signal — Part 2Algorithms and Applications. — Proceedings of IEEE, 1992, v. 80, № 4, pp. 540-568.
2. Mark D. Pfilt and Jerome S. Shipman. Least-Squares Two-Dimensional Phase Unwrapping Using FFT's. — IEEE Transactions on geoscience and remote sensing , V 32, №3. — pp. 706-708, may 1994.
3. Fornaro G., Paudulb A, Sansosti E. Phase Difference-Based Multichannel Phase Unwrapping. IEEE Transactions on image processing, V. 14. — №7. — рp. 960-972. Juy 2005.
4. Emmanuel Trouve, Jean-Marie Nicolas, and Henri Make. Improving Phase Unwrapping Techniques by the Use of Local Frequency Estimates. IEEE Transactions on geoscience and remote sensing, V 36, №6, p. 1963-1972, November 1998.
5. Калиткин Н.Н. Численные методы [Текст] : учеб. пособие для вузов / Калит-кин Н.Н. — М. : Наука, 1978. — 512 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : [Учеб. пособие для студ. втузов : В 2 т.] / Н. С. Пискунов. — М. : Интеграл-пресс, 1998 — .Т.1. Изд.стереотип. — 415 с. — ISBN 5-89602-008-2. — ISBN 5-89602-009-0.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] : [Учеб. пособие для студ. втузов : В 2 т.] / Н. С. Пискунов. — М. : Интеграл-пресс, 1998. Т.2, Изд.стереотип. — 544 с. — ISBN 5-89602-008-2. — ISBN 5-89602-007-4.
8. Пономарев КК. Курс высшей математики для техников-программистов [Текст]: [Математический анализ. Учебник для техникумов: в 2 ч.]. — М.: Высш. школа, 1974. — Ч.2. — 415 c.
9. Костомаров Д.П., Фаворский АП. Вводные лекции по численным методам: Учеб. пособие. — М.: Универсальная книга, Логос. — 184 с.: ил. ISBN 5-98704-160-0.
10. Злобин ВА Оценка мгновенной частоты сигнала // Доклады 11-й Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", 25-27 марта 2009 г. — Том 1. — М.: РНТОРЭС им. А.С.Попова, 2009. — С. 154-156.
АСВТ открывает студии видеоконференцсвязи HD
Компания АСВТ объявила о начале предоставления организациям и частным лиирм новой услуги "Аренда студии видеоконференцсвязи (ВКС) высокой четкости (Нй)". Данная услуга разработана в рамках стартовавшей весной 2009 г. программы АСВТ по расширению пакета предложений в сфере ВКС.
В настоящее время АСВТ открыла две студии ВКС: в центре Москвы (ул. Пречистенка, д. 4) и в Северо-Восточном Административном Округе (ул. Яблочкова, д. 19б); в каждой из них может комфортно разместиться от15 до 30 участников. Студии оборудованы современными программно-аппаратными комплексами, в состав которых входит тщательно отобранное в ходе предварительного тестирования профессиональное оборудование и программное обеспечение ведущих мировых производителей. Особо отметим тщательно продуманный интерьер студий, позволяющий использовать их для самых ответственных переговоров с участием руководителей высшего звена, презентаций международных проектов, проведения социально-значимых конференций, круглых столов и других мероприятий. На столь же высоком уровне находится качество изображения и звука, создающие у участников эффект присутствия за одним переговорным столом.
Т-Сотт #4-2009
Обе студии позволяют проводить сеансы многоточечной ВКС с одновременным участием до 24 сторон. При этом эффективность видеосвязи как средства делового общения может быть значительно повышена за счет одновременного показа презентаций и видеоматериалов, демонстрации схем, таблиц, документов, а также изображений, создаваемых любым ПО на экране компьютера.
Качественная надежная система ВКС высокой четкости требует мощной специализированной инфраструктуры, развертывание которой для многих заказчиков неприемлемо из-за нехватки времени, средств и необходимости модернизации телекоммуникационной сети.
Оптимальным решением является именно аренда видеостудий, позволяющих в любой момент получить ВКС и сопутствующие услуги как гарантированный сервис, и при этом полностью контролировать расходы. Именно поэтому компания АСВТ уверена, что новая услуга "Аренда студии видеоконференцсвязи высокой четкости" будет востребована и станет для многих организаций и частных лиц входным билетом в мир современной видеосвязи.
31
л
