Про розподіл максимуму поля Ченцова на «Сходинках» Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

https://orcid.org/0000-0002-9143-9398 https://orcid.org/0000-0001-8505-2878 https://orcid.org/0000-0002-2878-6514 https://orcid.org/0000-0003-0797-7247

УДК 519.21

н.в. круглова*, о.о. диховичний*, 1.в. ллексеевл*, н.в. Богданова* ПРО РОЗПОД1Л МАКСИМУМУ ПОЛЯ ЧЕНЦОВА НА «СХОДИНКАХ»

Нацiональний технiчний унiверситет Украши «Кшвський полiтехнiчний iнститут iMeHi 1горя Сшэрського», м. Ки1в, Украша_

Анотаця. У cmammi узагальнено результати, отриман у роботах Параньяпа, Парка, Клесова, Кругловог. Зокрема, знайдено точний розподш максимуму поля Ченцова (Brownian sheet в англомовтй лтературi) на одиничному квадратi, яке звужуеться на певну ламану. Нeобхiднiсть розгляду таких задач пов'язана з задачами перколяцИ' (проттання) та фшьтрацИ Як наслiдки до^джено розподши супремуму на меж квадрата, а також на схiдчастiй лiнiг. Знайден розподши ствпадають iз розподшами, одержаними у роботах Парка i Параньяпа. Особливiстю ламаних, на яких вивчаеться розподш звуження поля Ченцова, е спещальне чергування горизонтальних i вертикальних ланок. Точний розподш для звуження поля Ченцова на таю ламан у попередтх роботах намагались одержати шляхом граничного переходу в n -кратних ттегралах. Такий граничний пeрeхiд потребуе додаткового обгрунтування. Запропонований у роботi метод параметризацИламаних виршуе проблему граничного переходу, але точн розподши визначаються через досить «громiздкi» ттеграли, навть наближена оцтка значень яких е проблемною. Як зааб розв'язання цег проблеми запропоновано комп'ютерне моделювання траекторИ випадкового процесу, який е вiдповiдним звуженням поля на лiнiг. Для моделювання було застосовано алгоритм, запропонований Кругловою i Диховичним. Цей алгоритм мае високу швидкодт, потреба в якт зумовлена великою ктьюстю точок розбиття траекторИ процесу. Пiдбiр розподшу супремуму здтснено засобами мови статистичного програмування R. Як найбшьш прийнятний розподш об-рано розподш Вейбулла, що тдтверджено критeрiем Колмогорова, а також Q-Q та P-P дiагра-мами.

Ключов1 слова: поле Ченцова, випадкове поле, перколящя, гауавський процес, розподш максимуму, моделювання, мова R.

Аннотация. В статье обобщены результаты, полученные в работах Параньяпа, Парка, Клесова, Кругловой. В частности, найдено точное распределение максимума поля Ченцова (Brownian sheet в англоязычной литературе) на единичном квадрате, которое сужается на определенную ломаную. Необходимость рассмотрения таких задач связана с задачами перколяции (протекания) и фильтрации. Как последствия исследованы распределения супремуму на грани квадрата, а также на ступенчатой линии. Найденные распределения совпадают с распределениями, полученными в работах Парка и Параньяпа. Особенностью ломаных, на которых изучается распределение сужения поля Ченцова, есть специальное чередование горизонтальных и вертикальных звеньев. Точное распределение для сужения поля Ченцова на такие ломаные в предыдущих работах пытались получить путем предельного перехода в кратный интеграл. Такой предельный переход требует дополнительного обоснования. Предложенный в работе метод параметризации ломаных решает проблему предельного перехода, но точные распределения определяются через достаточно «громоздкие» интегралы, даже приближенная оценка значений которых является проблемной. Как средство решения этой проблемы предложено компьютерное моделирование траектории случайного процесса, который является подходящим сужением поля на линии. Для моделирования был использован алгоритм, предложенный Кругловой и Дыховичным. Этот алгоритм имеет высокое быстродействие, необходимость в которой обусловлена большим количеством точек разбиения траектории процесса. Подбор распределения супремума осуществлен средствами языка статистического программирования R. Как наиболее приемлемое распределение избрано распределение Вей-булла, что подтверждено критерием Колмогорова, а также Q-Q и P-P диаграммами. Ключевые слова: поле Ченцова, случайное поле, перколяция, гауссовский процесс, распределение максимума, моделирование, речь R.

© Круглова Н.В., Диховичний О.О., Алексеева 1.В., Богданова Н.В., 2020 ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2020, № 1

Abstract. The paper generalized results that presented in the works of following authors: Paranjape, Park, Klesov, Kruglova. Presise maximum distribution educted in particular of Browian sheet on unit square that straiten on certain polygones. Trial nesessity of certain tasks regarding to percolation and filtration tasks. Supremum distributions researched on square border as well as on stepped line. The distributions found coincide with the distributions obtained in the works of Park and Paranjape. The peculiarity of the polygons on which the distribution of the Chentsov field is studied is the special alternation of horizontal and vertical links. The exact distribution for the narrowing of the Chentsov field to such polynomials in previous works was attempted by obtaining the boundary transition in multiple integrals. Such a boundary transition requires additional justification. The suggested method of polygons parameterization solves the problem of boundary transition, but the exact distributions are determined by rather complicated integrals, even approximate estimates of which are problematic. Computer simulation of a random process trajectory is proposed as a means of solving this problem, which is a corresponding narrowing of the field on the line. The algorithm proposed by Kruglova and Dykhovichny was used for modeling. This algorithm has a high speed, the need for which is caused by a large number of breakpoints of the process trajectory. Selection of the maximum distribution is made using the statistical programming language R. The most acceptable distribution is the Weibull distribution, which is confirmed by the Kolmogorov criterion, as well as Q-Q andP-P diagrams.

Keywords: Chentsov field, Brownian sheet, random field, percolation, Gaussian process, distribution of the maximum, simulation, R language.

DOI: 10.34121/1028-9763-2020-1-128-139

1. Вступ

Серед задач статистики випадкових полiв значне мюце займае задача знаходження ймовiр-шсного розподшу максимуму випадкового поля на певних пвдмножинах меншо'1 вимiрностi. Для поля Ченцова актуальною е задача знаходження розподшу максимуму по схвдчастих ламаних. Виникнення ще'1 задачi пов'язано з розв'язанням задач перколяцп ^зичне явище протшання рщини або газу через пористе середовище) [1].

2. Постановка проблеми

Нас щкавитиме задача знаходження розподшу звуження двопараметричного поля Ченцова X на ламаш спещального вигляду. Означення цього поля у термшах щшьносп розподшу поля X належить Ченцову (1955 р.). Скористаемося е^валентним означенням Йеха [2].

Означення. Полем Ченцова (двопараметричним броушвським листом) називаеться

дшсне сепарабельне гауавське поле {^(s) : s = (д,^) е [0,1] } , яке задовольняе умови:

1. = 0 для Bcix s : Sj • s2 = 0, s e [0, l]2.

2. £[X(i)] = 0 для Bcix s e [0, l]2.

3. E[X(s)X(tf\ = min^^min^,^} для Bcix 5 = (sx,s2)J = (h^h) е[0Д]2 •

У загальному випадку задача знаходження розподшу максимуму поля Ченцова на одиничному квадрат! не розв'язана. Як частинний випадок точний розподш максимуму

на ламашй з одшею вершиною було знайдено Параньяпом i Парком [3, 4]. Отже, цей результат.

Нехай ламана L з одшею вершиною (рис. 1) задаеться рiвнянням

L = \s:s2 = <s0;s2 = a2-a2sl,sl> s0,s е[ 0,1]2|, (1)

де tga = xl(\-ylTl =ax, tgjB = y^l-x^'1 =a2, = , 45° <a,(3< 90°.

axa2 -1

Теорема 1. (Параньяп, Парк) Нехай ламана Ь задаеться (1). Нехай {^(¿О : 5 е [0,1] } - поле Ченцова. Теда

Р ^ирВД < х| = Ф

V сЧаъ )

-ехр<

-2х

>Ф

х(а} -а{)

V ;

-ехр<

¿Ь I I «2л/а3 '

Рисунок 1 - Ламана з одшею вершиною

хф{_га3 1/2 (а2 1 — а3 -2)},

аЛа2-1) „ де а3 = --, х > 0 .

a2{al-\),

Розподш максимуму поля Ченцова на межi квадрата було знайдено Парком i Параньяпом [4] шляхом граничного переходу. Теорема 2.

р\ вир^ВД < XI = ф(х)-2ф(-х) + е4х2ф(-3х\

ЬеЖ I

де дИ - межа квадрата [0,1] .

Узагальнення цих результат було зроблено Клесовим i Кругловою у роботах [5-7], де знайдено точний розподiл максимуму поля Ченцова по ламаних з п вершинами (рис. 2).

Позначимо

0 = х0<х1<...<х„<х„+1=1, 1= .Уо - Л - ••• - >» - Уп+\ =

(2) (3)

Рисунок 2 - Ламана з л вершинами

Теорема 3. Нехай (Х(5): 5 е [0,1] } - це поле Ченцова на одиничному квадратi. Нехай м0 = 0. Нехай ламана Ь мае п вершин Ql,...,Qn з координатами (XI, У1),...,( хп, уп) вщповщно. Нехай координати цих точок задовольняють умови (4)-(5).

X-

Позначимо =0, =—, г = 1, п. Тодi для х >0

У

.V .V г 1 — — г

1 - ехр 1

) 1 1

г \Л \

X

--ип

) )

п

хП

;=1

1-ехр

- и.

.Я-1

- //,

У)

а

2

п

г=1

и

е

де (Ро 2 (и) = . - пцльшсть гауавського розподшу з параметрами 0 та г . ' у/2тг1

3. Результати досл1джень

Особливу увагу складають «схщчасп» ламанi, тобто таю, яю мiстять горизонтальнi й вертикальш сегменти. Проте, отриманi теореми не дають можливостi знаходити максимум поля Ченцова на «схвдчастш» лшп. Узагальнимо результати теореми 3, розглянувши «схвдчасп» ламанi з п вершинами. Змшимо умови (2), (3) про координати вершин на таю умови:

0 = *0<*1<...<*и<*и+1=1, (4)

1 = у0>ух>..>уп>уп+х=0, (5)

разом з цим додавши таку умову для 21,1 — 0, п, означених у теорем1 3:

0 = 70<71<...<7И<СО, (6)

Нехай ламана Ь мае п вершин Qn з координатами (хх,ух),...,(хп,уп)

вщповщно i задаеться рiвнянням

(— п п 1

* = , ¿2 ) : = Е /(аг,Ь,, (иХ = Е /(Сг, 4, (и) \, О)

¿=0 1=0 )

де / (а,Ь,и) = аи + Ь,

а, = ^Ахм (Лх,.+1 - Ау1+Х Г1, ь1 = (-Дс,-+1 + умум+х ){Ахм - Ду,.+1 )-1,

Дх,-+1 = - XI, Аум = ум - У1, Агм = гм - г,-, Ч = >/2Аум(Ахм -АумУ\ с1, = (-Аум + ум^Агм)(Ахм -Аум)~\

Ц - [(1 + - У, )2~1/2, (1 + хг+1 - ум )2~У1), / = 0,1,...л

Наведемо спочатку кшька допом1жних результате.

Лема 1. Кореляцшна функщя звуження Х^я) поля Ченцова Х(я) на ламану Ь дорiвнюе

3 ^ 1 3

п 5 ъ ) г

Лема 2. Функщя а(я) = Е-" ' ' /о (л), л е (0, л/2), е неперервною 1 монотонно

г=о г

зростаючою.

Лема 3. Для а(5) оберненою буде функщя

a-\s)=if{d^-bi)Lz z ){s)+2sy»-yl-y» Lz Us), se[0,^2),

Де = W V = 0,n.

Лема 4. Нехай v(.s ) = Х/=()/(с/>Ч )hï (s) ■■ a a ' (v) визначена в лем1 3. Тсцц

sjyj-i-yJ + Xj-Xj^

^ 1 ^ 1-х

5 +--

V Уп у

v(a (5)) г=\ Де Ъ = = п■

Доведения лем 1-4 повнiстю повторюе доведения вщповщних лем у [7], тому в дашй poooTi ми ïx наводити не будемо.

Теорема 4. Нехай {^(s) : s е [0,1] } - це поле Ченцова на одиничному квадрат!. Нехай ламана L мае n вершин Qi,...,Qn з координатами (х1зy^),...,(xn,yn) вщповщно i задаеться рiвнянням (7). Нехай координати цих точок задовольняють умови (4) - (6).

Позначимо zi = x^yj1, / = 0, п. Нехай и{) = 0 . Тод1 для будь-якого х > 0

X X

■ х >= \У1... Г"(1-е "" —" )х

Р\ supXO) <х\= ^ ):

[seL

п

хП

/=1

Г 2(ху^-и^Хху, 1-uj) ^

1-е

Az,

<P0,Az(Auiïdul---dun>

и

2 z

де <р0 z(u) —-- - щшьшсть гауавського розподшу з параметрами 0 та z .

■71Z

Доведения. Нехай процес XL{s) визначено в лем1 I, функщю а ^s) - в лем1 3, а

функцiю

via"1^))

визначено в лемi 4. Тодi маемо

def Г _ 1

P„W = P|supAr(s)<*| =

= Р\ sup SX /(а^ЦУЛс^А) 1^)<х\ =

= Р\ sup XL0)<x|> = ^ sup XL(a~\s))<x\. 15е[0,л/2] J [ie[0,co)

Оскшьки X(a~l (0), v(a~l (0)) = X(0,1) = 0, то

1

Рп(х) = Р\ 8ир Хь(а-х(*))<х\.

1 56(0,00)

Функщя V(5) > 0 для 5 >0, тому Рп(х) = Р\ 8ир

56(0,00)

Хь(а~\*)) х

Використавши перетворення Дуба, отримаемо

Рп{х) = Р\ 8ир №)-х!л(а\*)))<0\ =

[«е(0,оо)

= < хАх; (х^_х - )-1 - хАу1 (х^_х - Г1,^ Ом; ^ ], /' = 1 ,П,

< *(1 - хп) / уп + дю; 5 > 2п},

Рп{X) = Р|8_ирХ(?) <х\= ..£(1 -еГ2х2уп1+2хип)х

п

хП

г ЧхуЛ-Щ-хХщ 1~щ) ^

1-е

Аг;

Теорему доведено.

Розгляньмо деякi наслiдки теореми 4.

Наслгдок 1. Розподш максимуму поля Ченцова по межi квадрата. У цьому випадку п = 1, х^ =1, У1 =1. А звуження поля Ченцова на ламану Ь буде мати такий вигляд:

Х1 (и) = Х(-^2н, 1 )/г , л(и) + Х(1,2-у/2и)1г , ф).ие[0,^2).

га

Тодi функцiя а (5) буде такою:

а(5) = 1 Л (5) +-^/г 1 л (5), 5 е [0,л/2).

Знайдемо обернену до не! функцiю

-1.4 в т , ч 2-8

-1

Далi

Отже, отримаемо, що

а (Л) = 7з/|0Л |(Л>+ ур2 7|"'х ,(Л )'

у{а 1(5)) = /[0Д)(5) + 5 1/[0>оо)(5).

Р эирХО) < * ^ = Р{м>(э) < х, 5 е [0,1 ], < же, 5 > 1} =

1«еЖ I

(8)

(9)

(10)

(11)

х л:

1 т

=1

42л

г 2

и

-е

2 \ и ^ 2 ~

---2х +2 их

4

Ли =

Рисунок 3 - «Схщчаста» ламана

= Ф(х) + Ф(-Зх)е4х - 2Ф(-х).

Що повнiстю спiвпадае з результатом, отриманим Парком i Параньяпом [4].

Тепер розглянемо ламану з довiльною, непарною кшькютю вершин п (рис. 3). Для не! характерно те, що

Ун = Угм, *2/+1 = хн+2, /' = 0, (и -1) / 2.

(12)

Наслтдок 2. Нехай {Х(^): ^ е [0,1] } - це поле Ченцова на одиничному квадрать Нехай ламана Ь мае п вершин Ql,..., Qn з координатами ( хь У1),...,( Хп, Уп ) вiдповiдно. Нехай координати цих точок задовольняють умови (12). Нехай и = 0 . Тодi для будь-якого х >0

* —— í

= ГЛ Г>;7

1 - ехр \ -2х

х

-и,

V

\Уп

п-Ъ 2

*п

;'=0

(Г

1 - ехр \ -

2(*У2,-+1 -1'2М)(хУ2!+2 ~ "2;+2 )

Аг-

2У+2

<Р0М21+МиЪ+2)

и-1 2

*п

;'=0

1-ехр

2 х-иъУъ №2} ~иц+\)

Дх-

2/+1

б/»1... с!иИ

и

27

де 11

Ф.

щiльнiсть гаусiвського розподiлу з параметрами 0 та г .

712

Доведения. Поставивши спiввiдношення 12 у теорему 4, отримаемо необхщне твердження.

4. Моделювання результат1в

Розглянемо приклад застосування Теореми 4 та пiдбiр прийнятного ймовiрнiсного розподiлу.

Приклад 1. Розглянемо ламану з трьома вершинами, що мають координати

'1-Г

Ч2'2У

,бз

К

V ZУ

яка починаеться з (0,1) i закiнчуеться точкою (1,0) (рис. 4).

е

0

1

Рисунок 4 - Ламана з трьома вершинами Введемо параметризащю таку ж, як 1 в теорем1 4. Ламана задаеться р1внянням

/ = {5 : ^ = 21/2ы/[0 2_з/2 (ы) + 0.5/[2_з/2 2-1/2)(ы) + (21/2ы -0.5)/ 1/2 З 2_3/2 (ы) +/[3.2-з/2 21/=)(г0,

= ^[0.2~3/2)+ (-21/2ы +1 -5)^2-3/2^2-1/2^(«) + 0'^[2ч/2,3.2~3/2)(Ы) + (21/2Ы ~ 'Ы 6 ^^ )• (13)

За теоремою 4,

Г ^ 1 .т 2х 2х

/Ч эирХО) < х I = | | | (1 -ехр -Лх{х-щ) )х

5eL

—00 —00 —00

х(1 - ехр{-4(х - ?/| )(2х - и2)})(1 - ехр{-2х(2х - иъ)}) х х(1 - ехр [(-Ах + 2и2 ) 2х — г/3 })д>() 0 5 (щ )(р0 0 5 О2 - щ)% \ (щ - и2 )с!щс1и2с1и^.

Безпосередне обчислення останнього штегралу е достатньо складною процедурою. Тому застосуемо шший тдхщ.

Змоделюемо процес г/е[0, >/2) - звуження поля Ченцова на вищезгадану

ламану [ знайдемо емтричний розподш Р$(Х) = Р< Для моделювання

[ ^ \

скористаемось алгоритмом, описаним у [8, 9], в силу його високо'1 швидкодп. Звуження поля на ламану задаеться таким чином:

Хь(и) = Х(2тиЛ)1[0г3/2) (и) + Х(0.5, -2У1и +1.5)/[2_3/2;2_1/2)0) + +Х(21/2г/ — 0.5,0.5)/|-2_1/2 3 + —21/2г/ + 2)/|-2_з/2 21/2^(г/), не [0, л/2).

За теоремою Дуба [10] цi два процеси е стохастично е^валентними

□ м^(20'5 г/)/^2_1.5 ^ (и) + (-2° 5 и + 1.5)м^((3 - 21 5 г/)-1 )^2-1.5 ) +

+0.5»<21 5 г/ - 1)/[2-о.5 >3.2-1.5) О) + (-2° 5 и + 2)»<(-20'5 и + 2)"1 )/[3.2-1.5 2о.5} ОХ и е [0,20'5 ).

Означимо вузлов1 точки г/г = —-¡=, / = 1; 2; 3; 4 , а також функцп

2л/2

а(5) = 5л/2/[0 Н1)0)+(3 - гл/г?)"1/^ „2) О)+(-1+

2

1

1

Нехай tk = — ,к = 0,п . п

s е [0, л/2).

к , —

Aa(tk) = a(tk)-a(tk_l) ^ к = 0,п . Задаемо змодельований процес таким чином:

7(0) = ,

^(t) = v(t)!k^^М^, | = ,

-стандарты, незалежш raycoBi величини.

Наведемо фрагмент коду в середовищi R [11]. У ньому моделюються 104 копiй

траекторiй процесу XL (u) з розбиттям вiдрiзка на 1000 точок. Для кожно'1

траекторп обчислимо максимум, яю формують вибiрку з максимумiв, а далi пiдбираеться розподiл вибiрки.

library(fitdistrplus)

fit. 1 <- fitdist(data = vect, "norm", method = "mme") ks.test(unique(vect),"pnorm",mean=fit.1$estimate[1],sd= fit.1$estimate[2]) print(fit.1) plot(fit.1)

fit.2<- fitdist(data = vect, "gamma", method = "mme")

ks.test(unique(vect),"pgamma",shape=fit.2$estimate[1],rate=fit.2$estimate[2])

print(fit.2)

plot(fit.2)

fit.3<- fitdist(data = vect, "exp", method = "mme")

ks.test(unique(vect),"pexp",rate=fit.3$estimate[1])

print(fit.3)

plot(fit.3)

fit.4 <- fitdist(data = vect, "logis", method = "mme")

ks.test(unique(vect),"plogis",location=fit.4$estimate[1],scale=fit.4$estimate[2])

print(fit.4)

plot(fit.4)

fit.5<-mledist(vect[vect>0],"weibull",lower = c(1, 1))

ks.test(unique(vect[vect>0]),"pweibull",shape=fit.5$estimate[1],scale=fit.5$estimate[2]) plotdist(vect[vect>0], "weibull", para=list(shape=fit.5$estimate[1], scale=fit.5$estimate[2]))

Застосовуючи пакет fitdistrplus [11], для емпiричного закону розподшу пiдберемо прийнятний теоретичний розподш. Зробимо це на основi побудови пстограми, емтрично'1' функцп розподiлу та з використаннням P-P та Q-Q дiаграм. Серед розподшв оберемо найбшьш схожi: нормальний, експоненцiальний, логнормальний, гама i Вейбулла.

Нормальний розподiл (рис. 5), очевидно, не тдходить, що пiдтверджуеться графiками, дiаграмами та тестом Колмогорова-Смирнова (p-value < 2.2e-16).

Empirical and theoretical dens.

t / —

7 / h

0.0 0.5 1.0 1 5 2.0 2.5 3.0 Data

Q-Q plot

Theoretical quanti I es

Рисунок 5 - Нормальний розподш

Рисунок 6 - Гамма-розподш

Аналогично неприйнятним е гамма-розподш (рис. 6) (p-value = 6,737e-11). Також було вщхилено експоненщальний, логнормальний розподши.

Рисунок 7 - Розподш Вейбулла

Найбшьш прийнятним, як видно з рис. 7 i тесту Колмогорова-Смирнова (p-value =

0.1027., виявився розподш Вейбулла. Зауважимо, що це узгоджуеться з результатами, представленими в [12].

5. Висновки

1. В робот суттево розширено класс ламаних, на як вдаеться знайти точний розподш супремуму поля Ченцова, та знайдено вщповвдний розподш у виглядi iнтегралiв.

2. Запропоновано споаб знаходження достатньо точного наближення для такого розподшу, яке допускае безпосередне обчислення.

3. Проведено чисельне моделювання засобами мови R вщповщного випадкового процесу й знайдено найприйнятшший теоретичний розподш-розподш Вейбулла.

СПИСОК ДЖЕРЕЛ

1. Меньшиков М.В., Молчанов С.А., Сидоренко А.Ф. Теория перколяции и некоторые приложения.

Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1986. № 24. С. 53-110.

2. Yeh J. Wiener measure in a Space of Functions of Two Variables. Transactions of the American Mathematical Society. 1960. N 95. P. 433-450.

3. Paranjape S.R., Park C. Distribution of the supremum of the two-parameter Yeh-Wiener process on the boundary. Journal of Applied Probability. 1973. Vol. 10, N 4. P. 875-880.

4. Park С., Schuurmann F.J. Evaluations of barrier-crossing probabilities of wiener paths. J. Appl. Prob. 1976. N 13. P.267-275.

5. Kruglova N.V. Distribution of the maximum of the Chentsov random field. Theory of Stochastic Processes. 2008. N 1. P. 76-81.

6. Клесов I.I. Про ймовiрнiсть досягнення криволшшного рiвня вiнерiвським полем. Теоргя ймовгр-ностей таматематична статистика. 1995. Вип. 51. C. 63-66.

7. Клесов O.I., Круглова Н.В. Розподш функцiоналiв типу максимуму для поля Ченцова в R3. Нау-ков\ вгстг НТУУ «КП1». 2007. № 6. С. 145-150.

8. Dykhovychnyi O.O, Kruglova N.V. Simulation of Gaussian process with correlation function of a

special form. Stochastic Equations, Limit Theorems and Statistics of Stochastic Processes, dedicated to the 100-th anniversary of I.I. Gikhman: International Conference (Kyiv, 17-22 September 2018). Kyiv, Ukraine, 2018. P. 18-20.

9. ^hxobhhhhh O.O., KpyraoBa H.B., BupcTOK O.I. MeTogu 3Haxog^eHHa 3aKOHiB po3nogimB Bunag-kobhx BenHHHH 3a gaHHMH CTaTHCTHHHHx BHÖipoK 3aco6aMH mobh R. Mathematics in Modern Technical University. 2018. № 1. 91-100 .

10. Doob J.L. Heuristic approach to Kolmogorov-Smirnov theorems. Ann. Math. Statist. 1949. N 20. P.393-403.

11. URL: http://cran.us.r-project.org.

12. Gnedenko B.V. Sur la distribution limite du terme maximum d'une s'erie al'eatoire. Ann. Math. 1943. N 44. 423-453.

Cmammn nadiumna do pedaKU,ii 21.02.2020