CC BY
30
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 32-37
Математика
УДК 517.925.51
Признаки существования, единственности и устойчивости периодических решений нелинейных канонических систем
A.A. Жукова
Аннотация. Рассматривается нелинейная каноническая система второго порядка. Сформулирована и доказана теорема существования, единственности и устойчивости периодических решений в таких системах. Доказанная теорема представляет собой попытку перенести на нелинейные канонические системы критерия устойчивости (в нашей терминологии — в смысле Дирихле), полученного Н.Е. Жуковским для уравнения Хилла.
Ключевые снова: канонические системы, устойчивость но Дирихле, отображение Пуанкаре, матрица Гессе.
Рассмотрим каноническую систему двух нелинейных дифференциальных уравнений
х =
У =
du(t, х, у) ~д~у
du(t, ж, у) дх
(1)
где функция Гамильтона и(1, ж, у) — непрерывная по совокупности переменных и обладающая непрерывными по совокупности переменных частными производными первого порядка ди(Ь,х,у)/дх и ди(Ь,х,у)/ду. Кроме того, будем считать, что она периодична по I с периодом ш > 0.
Обычно каноническую систему (1) принято записывать в векторноматричном виде (см., например, [1, с. 208-210])
Л = grad u(i, 2),
где
J =
0 -1 1 о
grad u(t, z) =
( t)u(t, ж, у) ЇЇх du(t, ж, у) \ Wy
т.е. градиент строится по переменным ж и y.
Во всей статье предполагается, что существуют частные производные функции и(1,х,у) второго порядка, непрерывные по совокупности переменных. Выпишем соответствующую матрицу Гессе
По известной теореме Шварца [2, с. 404-407] непрерывная смешанная производная не зависит от порядка, в котором производятся частные дифференцирования. Поэтому матрица Гессе является симметрической,
Кроме того, матричная функция Гессе является периодической по і с периодом ш > 0. Мы предположим, что элементы матрицы Гессе (фактически матрицы Якоби по переменным х и у для системы (2)) являются ограниченными, т.е.
где С — некоторая неотрицательная (2 х 2)-матрица. Здесь |Я| есть модуль матрицы Н, т.е. неотрицательная матрица, получающаяся при замене всех ее элементов модулями; неравенство в (4) понимается поэлементно (сравни с [3,
Из сделанных предположений вытекает, что правые части канонической системы (1) (или уравнения (2)) по переменным х и у (по переменной г) удовлетворяют условию Липшица с неизменными постоянными, и поэтому для любых начальных условий ж (¿о) = и у (¿о) = Уо каноническая система (1)
(а, значит, и уравнение (2)) имеет единственное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, и это решение можно считать определенным при всех £ : — ос < £ < +ос [4, с. 274-278], т.е. нелокально продолжимым.
Дадим важное определение. Пусть г(1) — некоторое решение канонической системой (1), — ос < £ < +ос. Оно называется устойчивым по Дирихле [6, с. 3], если для любого е > 0 можно указать такое 6 = 6(е, ¿о) > 0, что
из ||С(*о) *(*о)|| < ^ вытекает \\ф) — 2^)|| < £ при — ос < £ < +ос, (5)
ГДС т — любое другое решение канонической системы (1). Если 6(е, 1$) в (5) можно выбрать не зависящее от ¿о, то говорят о равномерной устойчивости по Дирихле. Можно показать, что если г(1) есть периодическое решение канонической системы (1), то его устойчивость по Дирихле всегда имеет равномерный характер.
Пусть имеют место двусторонние ограничения
д2и(і, х, у) \ дхду
д2и(і, х, у)
Ну1 /
ТЕ
Н*(і,х,у) = Н(і,х,у).
(3)
(4)
с. 255-270]).
(6)
где А и В — некоторые постоянные симметрические и положительно определенные матрицы. Неравенство в (6) понимается в смысле квадратичных форм. Отмстим, что так как матрицы А и В симметрические и положительно определенные, то из неравенства А ^ В, вытекающего из (6), следует, что О < А ^ В, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда А = В.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (6). Пусть для некоторого целого неотрицательного числа п выполнены двусторонние ограничения
(^)2<,ыл<<ыв< ((" + 1),гУ. (7)
Тогда нелинейная каноническая система (1) имеет единственное ш-периодическое решение г(1) = {ж(^), у(^)} и это решение устойчиво в смысле Дирихле. Любое другое решение нелинейной канонической системы (1) является ограниченным.
Доказательство. Отметим, что если ограниченное решение нелинейной канонической системы (1) является устойчивым по Дирихле, то оно является почти периодическим (по этому поводу см. [1, с.444, задача 14]).
При доказательстве существования и единственности периодических решений канонических систем хорошо зарекомендовали себя различные вариационные методы (см., например, [7] и библиографию в пей). Однако мы прибегаем к прямому приему.
Рассмотрим каноническое уравнение (2). Мы знаем, что для любого начального условия 2 (¿о) = 2о уравнение (2) имеет единственное решение, которое мы обозначим 2о), и это решение определено при всех I:
—ос < I < ос. Введем в рассмотрение отображение Пуанкаре 2 —» г(ш, 0, г) и обозначим его Р. Отображение Пуанкаре — это взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение плоскости М2 па себя, т.е. гомеоморфное отображение плоскости на себя. Далее, так как и прямое отображение Р и обратное отображение Р-1 являются непрерывно дифференцируемыми, то отображение Пуанкаре является к тому же и диффеоморфным отображением плоскости на себя.
Рассмотрим уравнение
2 = ^2, (8)
определяющее неподвижные точки отображения Пуанкаре. Доказать существование ш-периодического решения канонического уравнения (2) — это все равно, что установить наличие неподвижной точки отображения Пуанкаре. Однако здесь неприменим классический принцип сжимающих отображений — в рассматриваемой ситуации отображение Пуанкаре никогда не является сжимающим. Запишем уравнение (8) в виде
Сг = 0, где Сг = 2 — Рг. (9)
Мы докажем однозначную разрешимость уравнения (9), если покажем, что в условиях теоремы отображение G является диффеоморфным отображением плоскости К2 на себя. Адамаром доказана следующая теорема [8, с. 138-139]: если отображение G непрерывно дифференцируемо, причем матрица Якоби G'{z) при каждом z G R является обратимой, и если существует такая постоянная с > 0, что справедлива оценка
lltc'o?)]-1!! ^ с, г £ К2,
то отображение G является диффеоморфным отображением плоскости К2 на себя. Возвращаясь к отображению Пуанкаре, мы видим, что нам нужно доказать, что матрица I — F'(z) при любом 2 является обратимой, причем можно указать такую постоянную с > 0, что имеет место оценка
||[/-F;(z)]_1|| <с, 2 еК2. (10)
Пусть 2 £ К2. Построим решение z(t) = z(¿,0,2), 0 ^ t ^ из. Тогда F2 = г(ш, 0; z). Рассмотрим линейное каноническое уравнение
J(Sz) = H(t)(Sz), где H{t) = H{t, z(t)). (11)
Обозначим через U(t,z) матрицант написанного уравнения. Известно, что
F'(z) = U(lu,z),
т.е. производная отображения Пуанкаре совпадает с матрицей монодромии уравнения в вариациях. Согласно (6) и (7) гамильтониан H(t) является сильно устойчивым и принадлежит п-й области устойчивости [5, таблица на с. 563 и теорема на с. 584].
Пусть dot Л = а2 и dot В = Ь2, где а > 0 и b > 0. Согласно условиям (7)
можно указать такие е+ > 0 и е_ > 0, что
П7Г + е+-(« + 1) 7Г — £-------- = а И =6, £+ + £_ ^ 7Г.
ш ш
Для мультипликаторов канонического уравнения (11), т.е. для собственных значений ц± матрицы монодромии U(ш, z) в силу условий теоремы (7) имеют место следующие оценки
ц± = e±tip, где пж + е+ ^ ip ^ (п + 1)7Г — е_.
Эти оценки показывают, что матрица монодромии и(ш, z) не имеет единицу собственным значением и поэтому матрица / — и(ш, z) является обратимой. Для проверки условия (10) нам нужно доказать ограниченность матрицы
(12)
Так как матрица Гессе H(t,z) по условиям ограничена, то согласно (4) ограничена и матрица монодромии U(u,z), а вместе с ней и присоединенная
матрица асЩ/ — и(ш,г)). Со знаменателем в формуле (12) дело обстоит также просто: нужно показать, что он отделен от нуля. Так как
с!с1;(/ — и(ш, г)) = (1 — /і+)(1 — /і-), (13)
то достаточно оценить снизу модули сомножителей. Имеем
|1-е±г(Н = 2
Sin — Á
Поэтому согласно (13) можем написать оценку снизу
| dct(/ — U(u,z))\ = |1 — (л+1|1 — ц- \ = 2(1 — eos tp) > 0.
Таким образом, на основании теоремы Адамара отображение Пуанкаре имеет единственную неподвижную точку; существование и единственность w-периодического решения нелинейной канонической системы (1) доказано.
Нелинейное отображение Пуанкаре — не только диффеоморфизм, сохраняющий ориентацию; это еще есть диффеоморфизм, сохраняющий площадь (в случае общей динамической системы — меру). В этом случае по теореме Э. Хопфа [9, с. 475-480] почти все точки плоскости R2 либо являются •уходящими, либо устойчивы по Пуассону. Поясним, что это значит. Пусть z € К2. Положим zq = z и построим двустороннюю последовательность
zk = Fkz0, Аг = 0,±1,±2-------
Здесь F° = I (тождественное отображение) и F^k при к > 0 есть отображение, обратное к-й итерации отображения F, т.е. Fk. Точка zq называется уходящей, если
II ¿/г II ~^ +00 ПРИ & ~^ ±ОС.
Можно показать, что в рассматриваемом случае (в условиях теоремы) таких точек нет. Точка zq называется устойчивой по Пуассону, если можно указать такие последовательности номеров —» +ос и п]Г —> —ос, что
z± —> zn при к —> +ос.
к
Можно показать, что в рассматриваемом случае (в условиях теоремы) из устойчивости по Пуассону вытекает устойчивость по Лагранжу, то есть в данном случае ограниченность двусторонней последовательности {г^}:
\\zk\\ ^ с, к = 0, ±1, ±2,... ,
где с — некоторая положительная постоянная.
Поэтому каждое решение нелинейной канонической системы (1) является ограниченным, а само w-псриодичсское решение z(t) — устойчивым по Дирихле. Теорема доказана.
Доказанная нами теорема представляет собой попытку перенести на нелинейные канонические системы критерия устойчивости (в пашей терминологии — в смысле Дирихле), полученного Н.Е. Жуковским для уравнения Хилла ([10], см. также [5, с. 595-599]).
Список литературы
1. Демидович Б.П. Лекции но математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. I. М.: Наука, 1970. 608 с.
3. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
4. Петровский И. Г. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964. 272 с.
5. Якубович И.Г., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.
6. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. II. М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. 416 с.
7. Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1981. 196 с.
8. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 560 с.
9. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 552 с.
10. Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения с12у/с1х + ру = 0 // Матем. сб. 1892. Т. 16, выи. 3. С. 582-591.
Поступило 15.06.2009
Жукова Анна Александровна (azhukova84@mail.ru), аспирант, кафедра нелинейных колебаний, Воронежский государственный университет.
Criterions of unique existence and stability of periodic solution of nonlinear canonical system
A.A. Zhukova
Abstract. The not linear canonical system of second order is considered. The theorem of unique existence and the stability of periodic solution in such systems is formulated and sustained. Proven theorem presents attempt to transfer on the not linear canonical systems of the criterion of stability (in our terminology in sense Dirikhle) received by N. Zhukovskiy for Hill equation.
Keywords: canonical systems, Dirikhle stability, Poincare mapping, Hessian matrix.
Zhukova Anna (azhukova84@mail.ru), postgraduate student, department of nonlinear vibrations, Voronezh State University.
