CC BY
40
УДК 65.011.56
А.Г. Шумихин, С.И. Сташков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ ИЗВЕСТНОГО СОСТАВА К ЗАДАННОМУ ПРИ МИНИМАЛЬНЫХ ДОБАВКАХ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ КОМПОНЕНТОВ
В химической, нефтяной, нефтеперерабатывающей и многих других отраслях промышленности получение большого числа видов продукции происходит путем смешения некоторых исходных, как жидких, так и твердых, компонентов для получения гомогенизированного продукта заданного состава. Во всех случаях целью процесса приготовления многокомпонентной смеси является приведение показателей ее качества в соответствие с предъявляемыми к ним требованиями. Соответствие показателей качества продукции заданным требованиям достигается при определенном количественном соотношении компонентов смеси, которое задается рецептурой.
На практике часто возникает ситуация, когда приведение многокомпонентной смеси известного состава к заданному, например техническими условиями или стандартом на товарную продукцию, связано с ограничениями на объем резервуара (емкости) для хранения перед отгрузкой потребителям или на имеющееся количество компонентов или их смесей, добавлением которых осуществляется «стандартизация» состава товарной продукции. Процесс стандартизации состава может быть осуществлен как добавлением (дозированием) компонентов в емкости для хранения продукции, так и непосредственно на потоке с помощью системы автоматического регулирования соотношения расходов стандартизируемого основного продукта, поступающего на смешение, и стандартизирующих добавок.
В обоих рассмотренных вариантах при известных составах основного продукта и добавок необходим расчет количества или расхода добавок, алгоритм которого включается в состав задач системы автоматизации управления технологическим процессом. Таким образом, существует задача приведения смеси известного состава к заданному методом минимальных добавок компонентов.
Рассмотрены два альтернативных метода минимизации качества добавляемых индивидуальных компонентов при приведении известного состава гомогенных и гетерогенных многокомпонентных смесей к заданному. Первый метод основан на применении второго правила приведения сложных смесей, впервые сформулированного М.Ф. Нагиевым для процессов нефтепереработки, которые можно распространить, очевидно, на смеси жидких, твердых и газообразных компонентов, как гомогенных, так и гетерогенных, и на решении задачи, второй метод - на решении задачи линейного программирования.
Ключевые слова: нефтепродукты, многокомпонентная смесь, исходный и заданный состав, метод минимальных добавок, линейное программирование, алгоритмы.
A.G. Shumikhin, S.I. Stashkov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
BRINGING MULTICOMPONENT MIXTURE WITH CERTAIN COMPOSITION INTO A SPECIFIED COMPOSITION BY ADDING MINIMAL ADDITIVES OF INDIVIDUAL COMPONENT
Numerous sorts of production are obtained by mixing some given components, liquid as well as solid in order to manufacture product with specified composition in chemical industry, oil-refining industry and many other fields of industry. In all cases the process of preparing multicompo-nent mixture is aimed to obtain mixture, which meet all quality requirements. An accordance production quality indices and quality requirements (standards, norms, technical conditions) is reached by using certain proportions of each component, which are defined by receipt.
In manufacture conditions bringing multicomponent mixture with given composition into a specified composition is often complicated by technological constraints, for example tank volume available or base component quantity, with which the mixture is to be «standardized».
Standardization process can be accomplished by addition components into storage product tank as well as stream flow rate control by automatic control system, which controls flow rate proportions of base component and standardize additives. Composition of the base component and additives defined for each standardization variant. Calculation additives quantity and flow rate is nessesary, calculation algorithm is included into duties of process control automation system. Thus, there is a problem of bringing multicomponent mixture with certain composition into a specified composition by adding minimal amount of individual component.
This study has shown two alternative methods of minimizing quality of individual component, when given composition homogeneous and heterogeneous mixture is brought into a specified composition. The first method is based on application the second Rule of constituting compound mixtures, which was adduced first time by M.F. Nagiev. The second method is based on linear programming problem solving, and it can be used for oil-refining processes, which apply to the liquid, the solid and the gaseous state homogeneous and heterogeneous mixtures.
Keywords: petrochemicals, multicomponent mixture, given composition, specified composition, minimal additives method, linear programming, algorithms.
При решении практических задач нередко возникает необходимость расчета количества и расхода различных добавок [1-3].
Алгоритм метода минимальных добавок компонентов включает следующие шаги [2, 3]:
1. Определение (измерение) массовых (объемных) долей компонентов в исходной смеси и при необходимости в добавках, представляющих собой не индивидуальные компоненты, а их смеси.
Обозначим массу исходной смеси даисхсм, а массовые доли компонентов № 1, 2, 3, ..., K в исходной смеси ю'1, ю'2, ю'3,..., ю'K , в требующейся - ю1, ю2, ю3,..., юK .
Пусть даны массы компонентов исходной смеси m '1, m '2, m'3,..., m'K и массовые доли требующейся конечной смеси ю1, ю2, ю3,..., юK, тогда массовые доли компонентов в исходной смеси будут определяться выражением
m' -
ю • =-^, i = 1, K,
m
исх.см
где m \ - масса компонента в исходной смеси; m^ см - масса исходной смеси.
Задача усложняется, когда для получения конечной смеси известного состава в заданную смесь приходится добавлять вновь вводимые компоненты K + 1, ..., N, определяемые, например, составами стандартизирующих добавок. В этом случае масса конечной смеси
K N
m = m + V Am + V Am .
к.см исх см / - ! / , j
i =1 j=K +1
Причем
К N
Е Ю + Е Ю =
I=1 У=К +1
К N
Е (Ю' -Ю )+ Е Ю = 0
I =1 ]=К+1
2. Расчет критерия приведения смеси для каждого компонента Кп, равный отношению массовых долей компонентов в исходной и требуемой смесях [2, 3]:
Кпг = -*-, I = 1, N.
ю-
3. Нахождение компонента с максимальным значением критерия приведения смеси и принятие добавки этого компонента равной нулю.
В соответствии со вторым правилом приведения смесей [3] необходимо добавку компонента с максимальным критерием приведения смеси Кп принимать равной нулю:
Ат. = 0,
где 1-м компонентом является компонент с максимальным значением критерия приведения смеси.
4. Определение массы конечной смеси. Согласно выражению
К
т = т + X Ат
к.см исх см /
I=1
массу конечной смеси можно определить в соответствии с выражением
т'.
тк.см =—,
ю-
где 1-м компонентом является компонент с максимальным значением критерия приведения смеси.
5. Определение массы компонентов в конечной смеси. Массы компонентов в конечной смеси определяются как
т =Ютк.см, 1 = 1, N .
6. Определение добавок для получения конечной многокомпонентной смеси заданного состава.
Добавка /-го компонента для получения конечной многокомпонентной смеси заданного состава:
Ami = mi - m \, i = 1, N.
В случае применения объемных дозирующих устройств или объемных расходомеров в вышеприведенных вычислениях для величин с размерностью в единицах массы следует учесть плотность индивидуальных компонентов как функций их температуры.
Для осуществления в автоматизированной системе управления расходами компонентов нагруженного резервирования (программного) алгоритма приведения смеси известного состава к заданному методом минимальных добавок компонентов разработан альтернативный алгоритм, основанный на решении следующей задачи линейного программирования [4, 5, 6], в которой минимизируется целевая функция, заданная в виде линейной формы:
K N
R(Am) = " Ami + " Am. ^ min,
i =1 j=K +1 Am
при ограничениях, заданных в виде неравенств (или равенств и неравенств), имеющих вид
m'. + Am.
-----< w '
K —
m + V Am
исх см / - -
i=1
m'. + Am.
-j-j-< w '
m + "V Am
исх.см .
i=K +1
Amt > 0;
Am. > 0,
с нормировочным условием
K N
V w + V w =1.
i =1 j=K +1
С целью проверки рассмотренных методов и иллюстрации работы алгоритмов решены числовые контрольные примеры и выполнен
сравнительный анализ результатов, полученных для компонентного состава неэтилированного автомобильного бензина А-92.
Пример 1. Приведение смеси известного состава к заданному методом минимальных добавок.
Согласно работе [7] неэтилированный бензин А-92 может иметь состав, представленный в таблице.
Возможный компонентный состав неэтилированного бензина А-92
Номер Наименование Массовая доля
компонента компонента компонента в смеси, %
1 Бензин каталитического риформинга 80,75
2 Бензин прямой перегонки 13,19
3 Метил-трет-бутиловый эфир (МТБЭ) 6,06
Обозначим массу исходной смеси даисх.см, а массовые доли 1-, 2-и 3-го компонентов в исходной смеси ю'1, ю'2, ю'3, в требующейся -
ю1, ю2, ю3. Известны также массы компонентов в исходной смеси
m'j, m'2, m'3.
Рассмотрим работу алгоритма приведения многокомпонентной смеси известного состава к заданному в таблице методом минимальных добавок компонентов для исходной смеси при следующих значениях массы смеси и компонентов:
m = 5 т'
"'исх.см 1 ■>
m \ = 3500 кг;
m '2 = 850 кг;
m '3 = 650 кг.
1. В соответствии с алгоритмом приведения смеси известного состава к заданному определяются массовые доли компонентов:
m' 5000 Л „ ю \ =-=-= 0,7;
1 m 3500
исх.см
m '2 5000 Л1„
ю '2 =-^ =-= 0,17;
2 m 850
исх.см
m '3 5000 _
ю '3 =-^ =-= 0,13.
3 m 650
исх. см
2. Вычисляются значения критерия приведения смеси Knt для
каждого компонента.
Критерий приведения смеси для бензина каталитического ри-форминга
70
Kn =-= 0,867.
1 80,75
Критерий приведения смеси для бензина прямой перегонки
17
Kn2 =-= 2,8.
2 6, 06
Критерий приведения смеси для МТБЭ
Kn3 = 0,986.
3 13,19
3. Находится компонент с максимальным значением критерия приведения смеси. Добавка этого компонента принимается равной нулю.
В данном случае компонентом с максимальным значением критерия приведения смеси является бензин прямой перегонки. Для него принимается
Am2 = 0.
4. Определяется масса конечной смеси (кг) по массе бензина прямой перегонки, имеющего максимальное значение критерия приведения:
m '2 850
=—2 =-= 14 026.
ю2 0,0606
5. Вычисляются массы индивидуальных компонентов в конечной смеси (кг):
m' = ю^ см =0,8075 -14 026 = 11326;
1 1 к.см ' '
m '2 = o>2m =0,0606 -14 026 = 850;
2 2 к.см 5 '
m '3 = o>3m =0,1319-14026 = 1850.
3 3 к.см 5
6. Определяются массы добавок (кг) для получения конечной многокомпонентной смеси заданного состава:
Am = m1 -m'j = 11326-3500 = 7826;
Am2 = m2 - m '2 = 850 - 850 = 0; Am3 = m3 - m '3 = 1850 - 650 = 1200.
Пример 2. Решение задачи линейного программирования для приведения смеси известного состава к заданному добавлением компонентов.
Для задачи линейного программирования, обозначив
Am1 = x1; Am2 = x2; Am3 = x3,
составляется целевая функция, ограничения, и формулируется следующая задача линейного программирования:
jR(x) = x1 + x2 + x3 — min | < ограничения > j —— x0,
где xi, x2 и x3 - приращение масс компонентов бензина каталитического риформинга, бензина прямой перегонки и МТБЭ соответственно. Ограничения имеют вид
3500+ x1 < 0,8075;
5000 + x1 + x2 + x3
850 + x2
2 < 0,0606;
5000 + x1 + x2 + x3
650 + x3 Л
-3-< 0,1319;
5000 + x1 + x2 + x3
x. > 0, i = 1,3. Ограничения преобразуются к виду
0,1925x1 - 0,8075x2 - 0,8075x3 < 537,5; 0,0606x1 - 0,9394x2 + 0,0606x3 > 547; -0,1319x1 -0,1319x2 + 0,8681x3 < 9,5; x > 0; x2 > 0;
x3 > 0.
Решение задачи реализовано в пакете прикладных программ МЛТЬЛБ [8, 9, 10]. Копия листинга программы нахождения минимума целевой функции представлена на рисунке.
ШЕ(№ог - G:\Untitled123.m г
□ Q» 3 * Щ ъ с # fa fw ^ЦВ ^ ^ ЦТ ЛЩЛ Stack: Г
I Ш В & \
1 - L = [1 1 1] ;
2 - А=[О.1925 -0.8075 -0.8075; -0.0606 0.9394 -0.0606; -0.1319 -0.1319 0.8601; -1 О О; 0 -1 О; О О -1];
3 - В=[537.5; -547; 9.5; О; О; О];
4 - lb=seros (3,1) ;
5- options = optimset[1LargeScale1, 'off1, 'Simplex1, 'on');
6- [x,fval] = linprog [L, A, Б, [],[] д lb, [],[], options) ;
7 - x
8 - fval
Untitled! .m * | Untitled2.m * | Untitled3.m * || Untitled123.m * |
| Figures | Editor I
Command Window
1. 0e+003 7.8263
Рис. Листинг программы нахождения минимума: Ь - критерий; Л - матрица коэффициентов в неравенстве; Б - вектор свободных членов в неравенстве;
ЬЬ - ограничения на переменные
Получено следующее решение задачи:
х0 = 7826,3; х0 = 0; х30 = 1200,1.
Таким образом, добавки компонентов имеют следующие значения (кг):
Лщ = 7826,3;
Лт2 = 0;
Лт3 = 1200,1.
При плотности индивидуальных компонентов р1(71) = 730 кг/м3, р2(Т2) = 743 кг/м3 и р3(Т3) = 740 кг/м3, где Т1, Т2, Т3 - температуры индивидуальных компонентов, объемные добавки компонентов будут следующие (м3):
АУ1 = 10,72; АУ2 = 0; Ау3 = 1,62.
Высокая сходимость результатов, полученных методами М.Ф. На-гиева и линейного программирования, позволяет рекомендовать оба алгоритма в программное обеспечение соответствующей автоматизированной системы управления.
Список литературы
1. Управление химико-технологическими процессами приготовления многокомпонентных смесей / Я.Е. Гельфанд, Л.М. Яковис, С.К. Дороганич [и др.]; под ред. Я.Е. Гельфанда. - Л.: Химия, 1988. - 288 с.
2. Сташков С.И., Шумихин А.Г. Алгоритм приведения многокомпонентной смеси известного состава к заданному методом минимальных добавок компонентов // InnoTech-2012: матер. IV Междунар. науч.-техн. интер-нет-конф., Пермь, 1 ноября-30 декабря 2012 г. - Пермь, 2013.
3. Нагиев М.Ф. Учение о рециркуляционных процессах в химической технологии. - Баку: Азерб. гос. изд-во, 1965. - 474 с.
4. Агальцов В.П. Математические методы в программировании: учеб. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Форум, 2010. - 240 с.
5. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. - М.: Факториал, 1998. - 176 с.
6. Ашманов С.А. Линейное программирование. - М.: Наука, 1981. - 340 с.
7. Топлива, смазочные материалы, технические жидкости. Ассортимент и применение: справ. / И.Г. Анисимов, К.М. Бадыштова, С.А. Бнатов [и др.]; под ред. В.М. Школьникова. -2-е изд., перераб. и доп. - М.: Техин-форм, 1999. - 596 с.
8. Половко А.М., Бутусов П.Н. MATLAB для студента. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 320 с.
9. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.
10. Ferris M.C. Linear programming with MATLAB. - USA: Society for Industrial Mathematics, 2008. - 280 р.
References
1. Gelfand Ya.E., Yakovis L.M., Doroganich S.K. [et al.]. Upravlenie khi-miko-tekhnologicheskimi protsessami prigotovleniya mnogokomponentnykh sme-sey [Control of chemical technology procecces of preparing multicomponent mixtures]. Еd. Ya.E. Gelfanda. Leningrad: Khimiya, 1988, 288 p.
2. Stashkov S.I., Shumikhin A.G. Algoritm privedeniya mnogokomponentnoy smesi izvestnogo sostava k zadannomu metodom minimalnykh dobavok komponentov [Algorithm of bringing mixture with certain composition into a specified composition by minimal additives component method]. Materialy IVMezhdunarodnoy nauchno-tekhnicheskoy internet-konferentsii "InnoTech-2012". Perm, 2013.
3. Nagiev M.F. Uchenie o retsyrkulyatsionnykh protsessakh v khimicheskoy tekhnologii [Study of recycling procecces in chemical technology]. Baku: Azer-baydzhanskoe gosudarstvennoe izdatelstvo, 1965, 474 p.
4. Agaltsov V.P. Matematicheskie metody v programmirovanii [Mathematical methods in programming]. Moscow: Forum, 2010, 240 p.
5. Vasilev F.P., Ivanitskiy A.Yu. Lineynoe programmirovanie [Linear programming]. M.: Faktorial, 1998, 176 p.
6. Ashmanov S.A. Lineynoe programmirovanie [Linear programming]. Moscow: Nauka, 1981, 340 p.
7. Anisimov I.G., Badyshtova K.M., Bnatov S.A. [et al.]. Topliva, sma-zochnye materialy, tekhnicheskie zhidkosti. Assortiment I primenenie [Fuel, lube materials, technical fluid. Assortment and application]. Ed. V.M. Shkolnikova. Moscow: Tekhinform, 1999, 596 p.
8. Polovko A.M., Butusov P.N. MATLAB dlya studenta [MATLAB for student]. St.-Peterburg: BKHV-Peterburg, 2005, 320 p.
9. Anufriev I.E., Smirnov A.B., Smirnova E.N. MATLAB 7 [MATLAB 7]. St.-Peterburg: BKHV-Peterburg, 2005, 1104 p.
10. Ferris M.C. Linear programming with MATLAB. USA: Society for Industrial Mathematics, 2008, 280 р.
Получено 15.06.2013
Об авторах
Шумихин Александр Георгиевич (Пермь, Россия) - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматизации технологических процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29; e-mail: atp@pstu.ru).
Сташков Сергей Игоревич (Пермь, Россия) - ассистент кафедры автоматизации технологических процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29; e-mail: atp@pstu.ru).
About the authors
Shumikhin Aleksandr Georgievich (Perm, Russian Federation) - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Automation Technological Processes, Perm National Research Polytechnic University (Komsomolsky av., 29, Perm, 614990, Russian Federation; e-mail: atp@pstu.ru).
Stashkov Sergey Igorevich (Perm, Russian Federation) - Assistant, Department of Automation Technological Processes, Perm National Research Polytechnic University (Komsomolsky av., 29, Perm, 614990, Russian Federation; e-mail: atp@pstu.ru).
