Природно-антропогенные режимы в модификациях модели Шефера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.5

ПРИРОДНО-АНТРОПОГЕННЫЕ РЕЖИМЫ В МОДИФИКАЦИЯХ МОДЕЛИ ШЕФЕРА

Александр Владимирович Рыженков

Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 17, доктор экономических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, тел. (383)330-25-46, e-mail: ryzhenko@ieie.nsc.ru; Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, профессор кафедры политической экономии экономического факультета, тел. (383)363-42-49

В статье применена теория бифуркаций и катастроф к развитию модификаций модели рыболовства Шефера. Ключевыми переменными выступают запасы биоресурса, его естественный прирост, а также уровень промысловой деятельности. Глобальный и локальный анализ выявляет количественные и качественные характеристики регулирования природопользования по открытому или замкнутому контуру. Особую опасность представляют режимы с обострением, возникающие при доминировании положительной обратной связи между ресурсом и темпом его прироста. Выведены уравнения воспроизводства биоресурса при разных вариантах чрезмерной или щадящей добычи. Определены временные рамки до коллапса при разновидностях непомерного улова. Исследование облегчает создание более сложных и реалистических биоэкономических моделей.

Ключевые слова: режим природопользования, возобновляемый ресурс, истощение, максимальный устойчивый улов, регулирование воспроизводства, бистабильность, седлоуз-ловая бифуркация, теория катастроф.

NATURAL-ANTHROPOGENIC REGIMES IN THE SCHAEFER MODEL MODIFICATIONS

Alexander V. Ryzhenkov

Institute for Economics and Industrial Engineering SB RAS, 17, Аkademik Lavrentiev Prospect, Novosibirsk, 630090, Russia, D. Sc., Associate Professor, Leading Researcher, phone: (383)330-25-46, e-mail: ryzhenko@ieie.nsc.ru; Novosibirsk State University, 2, Pirogova St., Novosibirsk, 630090, Russia, Professor, Department of Political Economy the Faculty of Economics, phone: (383)363-42-49

The theory of bifurcations and catastrophes is applied to the development of modifications of the Schaefer fishery model. The key variables are the reserves of the bioresource, its natural increase, as well as the level of fishing activities. The global and local analysis reveals quantitative and qualitative characteristics of open or closed loop control. Especially dangerous are the aggravation regimes arising from the dominance of the positive feedback between the resource and the rate of its net change. The equations for the reproduction of bioresource for different variants of excessive or sparing catch are derived. The timeframes for excessive catch have been determined. The study facilitates creation of more complex and realistic bio-economic models.

Key words: nature management regime, renewable resource, depletion, maximum sustainable yield, regulation of reproduction, bistability, saddle-node bifurcation, catastrophe theory.

Введение

Запасы рыбы и других ресурсов растительного и животного мира, благодаря естественной репродуктивной способности, могут возрастать, способствуя

сохранению и увеличению всего природного капитала. Однако, по свидетельству экспертов Мирового банка [1, 2], уменьшением биомассы глобальных рыбных запасов вследствие их чрезмерного вылова создана угроза устойчивому рыболовству. Эти выводы разделяют и аналитики ОЭСР [3].

Назрела необходимость перехода к принципиально более благоприятным природно-антропогенным режимам. Этот переход должен опираться на глубокие исследования контрастных режимов эколого-экономического взаимодействия на базе системно-динамических моделей, начиная с простых. Большая конструктивная роль в развитии подобных моделей принадлежит математической теории управления [4].

Согласно последней, регулирование по разомкнутому контуру полностью определяется в начальный момент ¿0, здесь интегрирование уравнения (или уравнений) движения при фиксированных начальных условиях задает фазовую траекторию х(?) состояний системы [5: 367]. Регулирование по замкнутому контуру (с обратной связью) предполагает определение управления как функции фазовых координат и времени (там же). Эти понятия имеют широкое теоретическое и прикладное значение для экономической теории и хозяйственной практики.

1. Упрощенные модели Ферхюльста - Шефера - Арнольда

1.1. Хрестоматийная модель Ферхюльста

Логистическое уравнение, также известное как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения. Обозначая через х численность популяции, через ? > 0 - время, модель можно представить нелинейным автономным дифференциальным уравнением:

х = ф(х)= Р*(1 -ох). (1)

где параметр Р характеризует потенциальный темп прироста (размножения) при отсутствии внутривидовой конкуренции, а а - обратная величина к поддерживающей емкости среды (то есть, величина, обратная к максимально возможной численности популяции).

Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении попу-ляционной динамики выглядят следующим образом: скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности; второй член уравнения отражает внутривидовую конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции.

Производная естественного прироста численности популяции по времени определена как

фх' = Р- 2аРх . (2)

Когда фx' = 0, чистый прирост ф(х) максимален при xs=1/ (2а). Стационарные состояния находятся из условия равенства правой части (1) нулю. Они качественно и количественно различаются. Если x1 = 1/а является асимптотически устойчивым узлом, т.к. ф 'x (xi) = -р < 0, то x2 = 0 неустойчивый

узел т.к. фx'(x2) = р > 0.

1.2. Модель Шефера- Арнольда

Модель [6] дополняет посылки логистического роста биомассы предположением, что промысловая деятельность сокращает прирост популяции на величину улова у, величина которого линейно зависит от наличной биомассы без запаздывания:

x = fx) = Р*(1 -ax) - у, (3)

где у = kx, 1 > k = const > 0.

Для простоты и без потери общности принято, что a = 1 и р = 1 [7: 98-99]. Тогда

x = (1 -k - x)x, (4)

где x0 > 0 для t0 = 0, fx'(x) = 1 - k - 2x.

Имеет место отрицательная линейная зависимость темпа прироста запаса от положительной величины последнего:

x = 1 -k - x. (5)

Темпы изменения улова и запаса одинаковы:

у = x = 1 -k - y/k. (6)

Видно, что для темпа изменения улова характерна линейная отрицательная зависимость от величины самого улова, предотвращающая его чрезмерный рост или непомерное падение. Этому служит отрицательная обратная связь

x ^ x ^ x. В модели выполнено необходимое и достаточное условие dx

ее доминирования — = - 1 < 0, что придает равновесию глобальную асимпто-

dx

тическую устойчивость.

Рассмотрим пристальней свойства стационарных состояний. Первое из них есть x1= 1 -k > 0. Оно является устойчивым узлом, ибо fx'(x^= k - 1 < 0. Значение x1 гладко зависит от параметра управления k, изменения которого в указанных границах качественно не затрагивают установившийся режим.

Кроме того, присутствует второе стационарное состояние x2= 0. Оно выступает как неустойчивый узел, т.к. fx'(x2) = 1 -k > 0. Если x0> 0, x1 = 1 -k, решением (6) является

Эта формула обобщает свой частный случай (1)для к = 0,у = 0 выше.

Легко определяется улов

__УУ0__(8)

у=-ТГкъ-. (8)

Уо - е-(1-к)' (Уо - У1)

Утверждение 1. Для у ^ У1 = к(1 - к). Максимальный устойчивый улов МБУу^ = с = 0.25 достигается при к = к8 = 0.5, когда объем биомассы определяется условиями устойчивого узла х^ = х5 = 1 - к = 0.5.

Как отмечено в [8: 6], "с биологической точки зрения, концепции МБУ не достает вескости. Тем не менее, ... она обеспечивает ценную грубую оценку для производственного потенциала. В качестве первого грубого правила для политики управления крупными рыбными промыслами концепция МБУ является, наверное, приемлемой. Однако, если уровень МБУ достигнут, следует ожидать, что его не удастся поддерживать длительное время."

Общественное производство представлено в моделях Шефера и Шефера -Арнольда весьма абстрактно. В более сложных моделях этот недостаток преодолевается с помощью явного учета целей капиталистического производства и методов их достижения [2, 9-13]. По экономическим причинам, экономические субъекты, которые максимизируют прибыль и / или ренту, как правило, выбирают кфк3. Технологические возможности, отношения собственности, а также особенности конкуренции сужают границы выборак и У.

1.3. Модифицированная модель Шефера- Арнольда

Модифицируем модель Шефера - Арнольда, сохраняя логистический естественный прирост биоресурса (1), однако заменяя для улова линейную зависимость на квадратичную:

2

У =тх , (9)

где т > 0.

Чистый прирост биомассы определен теперь как

X = Дх) = х[1 - (1+т)х], (10)

где х0 > 0 для ^ = 0, Дх'(х) = 1 - 2(1+т)х.

По сходству с предыдущей модели, темпу прироста запаса присуща отрицательная линейная зависимость от положительной величины последнего

х = 1 - (1+т)х, (11)

однако теперь произведение (1+т)хзаменило алгебраическую сумму к + хв (5).

Темп прироста улова теперь вдвое превышает темп прироста запаса. Ему присуща нелинейная отрицательная зависимость от величины самого улова:

y = 2 x = 2 - 2(1 + m\ У . (12)

V m

dx

Производная—= const = -(1+m) < 0 гарантирует доминирование стабили-dx

зирующей отрицательной обратной связи x-> x ^ x . Отпала угроза перерегулирования, присутствующая в модели Шефера - Арнольда выше для к > 1.

Рассмотрим стационарные состояния для m > 0.

Утверждение 2. Система располагает двумя состояниями равновесия. Одно из них есть устойчивый узел x1 = 1/(1+m) > 0, т.к. fx '(x^^ -1 < 0. Другое является неустойчивым узлом x2= 0, т.к. fx'(x^) = 1 > 0.

Следствие. Значение x^ гладко зависит от параметра управления m, изменения которого качественно не затрагивают установившийся режим.

Решением уравнения (9) является логистическая функция

x =--р--(13)

x0 + e (X1 — х0)

Данная формула справедливы для модели Ферхюльста (1) выше, как частного случая, в котором m = 0.

Улов задан соотношением

У =-/л . (14)

[1 + e

т

Утверждение 3. Улов у ^ у\ =-— при ^ю. Максимальный устойчи-

(1 + т)2

т

вый улов ys =-^—2 = 025 достигается при т5 = 1 и = х8 = 1/(1+т5) = 0.5.

(1 + т8 )2

Для малых величин популяции в исходный момент времени, улов по предложенной нами квадратичной формуле в отличие от улова по линейной формуле Шефера - Арнольда дает в интегральном выражении более низкий результат при интегрировании на коротких отрезках (несколько лет) и более высокий при интегрировании на более длительных отрезках (5-10 лет).

Переход от улова по линейной формуле к улову по квадратичной формуле усиливает предосторожность в природопользовании, благодаря своей ориентации на более долговременную перспективу, что способствует преодолению "квартального капитализма", нацеленного на немедленную прибыль.

2. Режимы с обострением и катастрофы в модели Арнольда

Воспользуемся понятием режима с обострением, исследованном в разных контекстах, в частности, в работах [2, 10-12, 14,15].

Пусть естественный прирост биоресурса определен как прежде, а улов У

задан константой с [7: 98]. Тогда чистый прирост запаса определен как

2

х = Дх) = х - х- у = ф(х) - с, (15)

где с > 0, х0> 0, /х '(х) = 1 - 2х.

Выявлена нелинейная зависимость темпа прироста запаса от него самого х с

х = — = 1 - х - —, где последний гиперболический элемент таит в себе режим с

хх

обострением. На самом деле, х ^ -ад прих ^ 0.

Если режим с обострение возникает, своим рождением он непосредственно обязан переходу от доминирования отрицательной обратной связи к преобла-

(х с

данию положительной обратной связи, когда уже выполнено —= -1 0,

(х х 2

(х,

причем--»ад для х ^ 0. Условия возникновения режима с обострением и

(х

формы его протекания детально описаны ниже.

Для краткости определим вспомогательный параметр

а =

л/к~-с. (16)

Утверждение 4. Стационарным состоянием для с = с = 0.25 и а = 0 служит х5 = 0.5. Стационарные состояния для а> 0 определены как

0 < х12 = 0.5 ± а. (17)

Меньшее стационарное состояние х2 = 2 - а является неустойчивым уз-

жж, тж. ,/Лх2) = 2а > 0, то™ как больше стационарное состояние х, = 2 + а

выступает устойчивым узлом, т.к. /х'(х1) = -2а < 0.

Максимальный улов у5= с8 = 0.25 предполагает запас х5. Величина с8 является критической, или бифуркационной, с ней сопряжены скачкообразные изменения динамических режимов.

Утверждение 5. Пусть 0 < с < с8 и х0 < х2< х5. Происходит монотонное уменьшение биомассы вплоть до полного исчерпания; решением (15) является

х=

х2 — х1 в2ш

Хц — Х0

1 — х2 — х0 е2аг

(18)

Х1 — Хо

Исчерпание х = 0 происходит в момент

Т= —1п

2 а

х! — хо х2 х1 х2 — хо

(19)

Например, для х0 = 0.46 < х2 = 0.49 и с = 0.2499 Т1 = 23.54. Утверждение 6. Пусть с > с8. Стационарного состояния не существует. Происходит монотонное уменьшение наличной биомассы вплоть до ее гибели; решением (15)является

х х^ ^

2

а tg(—at) + а(х0 — х5)

а — tg (—at)(х0 — х5)

Исчерпание х = 0 происходит в момент

(20)

Т2= '

а

arсtg

Гх0 ^ ^ а

+ arсtg

V а у

(21)

Например, для х0 = 0.52 и с = 0.2501 Т2 = 265.81.

Легко заметить, что оба стационарных состояния х12 сливаются в одном х$,

если а = 0. Здесь имеет место катастрофическое изменение режима системы в ответ на плавное изменение данного параметра управления.

Утверждение 7. Для а = 0 имеет место седлоузловая бифуркация. Это состояние седло-узел неустойчиво для х слева от и устойчиво для х справа от .

Доказательство.

Выполнены необходимы и достаточные условия седлоузловой бифуркации [16: 84-84]: слияние узлов с превращением в седло подтверждено обращением производной в критической точке в ноль /х'(х$, сс) = 1 — 2х$ = 0 при отсутствии в ней вырожденности, т.к. /х"(, ) = -2 ф 0, и соблюдении условия трансверсальности /с'(х5, с8 )= -1 ф 0.

Заметим дополнительно, что для левой (неустойчивой) ветви решений х < х$ характерно /х'(х, сс) = 1 — 2х > 0, тогда как для правой (устойчивой) ветви решений х > х$ /х'(х, сс) = 1 — 2х < 0. Иными словами, х$ - аттрактор для х > х$ и репеллер для х < х$.

Если а = 0 и х0 < х$, истощение ресурса происходит по гиперболической кривой; решением (15) выступает

x= xs +-1—. (22)

t +-

-0 ^

Полное истребление биоресурса происходит в момент

Тъ =2 -0-1-. (23)

0.5 - -о

Например, для -0 =0.2 и а = 0 Т3= 1.33.

Утверждение 8. Устойчивый установившийся режим с аттрактором -1 погибает, столкнувшись с неустойчивым режимом с репеллером -2, причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика.

дхл 1 д-2 1

Доказательство. Для с ^ с5 имеет место-=---> -ад,-=--> ад.

дс 2а дс 2а

Утверждение 9. Для х > -2 и значений параметра с, все более близких к критическому с5, неограниченно возрастает время запаздывания Тг, характеризующее асимптотическое приближение х к устойчивому узлу -1.

Доказательство сводится к сведению к нашему рассматриваемому случаю более общего доказательства [17, 18: 244].

Вблизи приблизительно верна линейная зависимость

x = X (xi-x), (24)

где X =—= 2a.

T ±r

В результате интегрирования(24) получаем

x= xi - (xi - x0 )e-Xt. (25)

При c ^ cs выполнено X^-0 при неограниченном росте величины запазды-

гт i

вания T в преодолении исходного отклонения xот аттрактора xi .

Поясним важный аспект. Непомерно растущий временной интервал, требуемый для устранения неравновесия, может выступать предвестником катастрофы.

Итак, продемонстрированы возможные катастрофические режимы даже при улове, локально близком к критическому cs = const. Коллапс случится от-

1 В других биоэкономических моделях встречаются седлоузловые бифуркации и гистерезис при начальном наличии трех, а не двух, как в нашем случае, стационарных состояний. Примерами служат [19-21]. В них выполнены свойства, аналогичные тем, что представлены в восьмом и девятом утверждениях.

носительно быстрее, если принять, что улов в тенденции растет - например, малым экспоненциальным темпом по отношению к cs. Напротив, своевременное и выверенное уменьшение улова в принципе позволяет избежать коллапса.

Заключение

Рассмотрены типичные режимы природопользования при регулировании по разомкнутому или замкнутому контуру. С использованием теории бифуркаций и катастроф обоснована политика оптимизации улова и возобновления биоресурса, с улучшенной долгосрочной эффективностью по отношению к политике, предложенной в биоэкономической модели Шефера - Арнольда.

Полученные результаты, относящиеся к сопоставленным режимам природопользования, носят для фазового пространства не только локальный, как это часто случается в приложениях теории катастроф, но и глобальный характер. Для всех рассмотренных режимов выведены оригинальные формулы интегральных кривых для запасов и уловов.

Более конкретное представление эколого-экономического воспроизводства и его нынешнего глобального кризиса предполагается осуществить в дальнейших исследованиях с детальной проработкой технологических и институциональных аспектов.

Перспективен переход от изложенного упрощенного анализа устойчивости на уровне воспроизводства запаса биоресурса к исследованию эволюционной экологической устойчивости взаимодействующих биоресурсов [22]. Следует также переходить к построению вероятностных биоэкономических моделей.

Однако не вызывает сомнений, что, перерасход биоресурсов - это дамоклов меч для мировой экономики. Управление воспроизводством на базе научного предвидения становится все более настоятельным. Только на этом пути открываются возможности для преодоления глобального кризиса природопользования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. World Bank and FAO. 2009. The Sunken Billions: The Economic Justification for Fisheries Reform. Washington, DC: World Bank. - 100 p.

URL:

https://openknowledge.worldbank.org/bitstream/handle/10986/2596/476060PUB0Sunk1010fficial0 Use00nly1.pdf? sequence=1&isAllowed=y

2. World Bank. 2017. The Sunken Billions Revisited Progress and Challenges in Global Marine Fisheries Washington, DC: World Bank. - 99 p.

URL: https://openknowledge.worldbank.org/handle/10986/24056

3. OECD. 2012. Rebuilding Fisheries: The Way Forward. Paris: OECD Publishing.

URL: http://www.oecd.org/tad/rebuilding-fisheries-9789264176935-en.htm

4. Емельянов С. В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: Управление при неопределенности. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 352 с.

5. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. -М.: Прогресс, 1975. - 605 с.

6. Schaefer, M.B. 1954. Some aspects of the dynamics of populations important to the management of commercial marine fisherie // Bulletin of Mathematical Biology 53 (1/2): 253-279, 1991 ed., 1 (2): 27-56.

7. Арнольд В. И. Теория катастроф. 3-е изд., доп. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - С. 128.

8. Larkin P. 1977. An epitaph for the concept of maximum sustained yield // Transactions of the American Fisheries Society 106 (1): 1-11.

9. Рыженков А.В. Проблема земельной ренты в Российской экономике / под ред. С.Е. Ильюшонка ; ИЭОПП СО РАН. - Новосибирск, 1997. - 172 с..

10. Рыженков А.В. Модели циклического роста / ИЭОПП СО РАН. - Новосибирск, 2003. - 240 с.

11. Рыженков А. В. Ресурсная рента и правило Хотеллинга в модели Солоу-Стиглица -необходимость коренного пересмотра // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2016. XII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Экономическое развитие Сибири и Дальнего Востока. Экономика природопользования, землеустройство, лесоустройство, управление недвижимостью» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 18-22 апреля 2016 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. Т. 3. - C. 95-99.

12. Рыженков А. В. Неразрешенные проблемы в "неоклассическом" моделировании эколого-экономической макросистемы // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2015. XI Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Экономическое развитие Сибири и Дальнего Востока. Экономика природопользования, землеустройство, лесоустройство, управление недвижимостью» : сб. материалов в 4 т. (Новосибирск, 13-25 апреля 2015 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. Т. 2. - С. 79-84.

13. Morecroft J. 2007. Strategic Modelling and Business Dynamics. John Wiley& Sons, Chichester, UK. - 430 p.

14. Курдюмов С. П. Режимы с обострением. -М.: Физматлит, 2006. - 312 с.

15. KorotayevA., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. -Moscow: URSS Publishers, 2006.-128 p.

16. Kuznetsov, Y. A. 1998. Elements of Applied Bifurcation Theory (Second ed.). Berlin a.o.: Springer. ISBN 0-387-98382-1. - 612 p.

17. Wissel C. 1984. A universal law of the characteristic return time near threshold/ Oecologia: 101-107.

18. Wissel C. Theoretische Oekologie. Eine Einfuerung. Springer. Berlin a.o. 1989. - 299 S.

19. May R. 1977. Thresholds and breakpoints in ecosystems with a multiplicity of stable states // Nature 266 (6): 471-477.

20. Jones D., Walters C. 1976. Catastrophe theory and fisheries regulation // J. Fish. Res. Board Cah. 33: 2829-2833.

21. Chong K., Samarasinghe S., Kulasiri D., Zheng J. 2015. Computational techniques in mathematical modelling of biological switches // Proc. of 21st International Congress on Modelling and Simulation, Gold Coast, Australia, 29 November to 4 December 2015. URL: www.mssanz.org.au/modsim2015 573-584.

22. Van den Bergh J. 2007. Evolutionary thinking in environmental economics // Journal of Evolutionary Economics 17:521-549.

© А. В. Рыженков, 2018