CC BY
4
УДК 532.517.3
Природа и время жизни локализованных возмущений при ламинарно-турбулентном переходе течения вязкой жидкости в трубе
А.Г. Потапов
ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., г.о. Ленинский, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, зд. 15, стр. 1 E-mail: A_Potapov@vniigaz.gazprom.ru
Ключевые слова
локализованные возмущения, время жизни порыва, энтропия, диссипация энергии.
Несмотря на многолетние систематические экспериментальные и теоретические исследования, причина нарушения ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах и возникновения турбулентности остается неясной. Существует известное решение Пуазейля, которое связывает расход с градиентом давления. Формально ламинарное течение Пуазейля существует для любых расходов, но реально при расходах больше некоторого критического оно теряет устойчивость.
Экспериментально для вязких (ньютоновских) жидкостей установлено, что существует критическое число Рейнольдса в пределах 1800...2320 [1]. Под верхним критическим числом подразумевается такое число Рейнольдса ^е), выше которого установившееся течение может быть только турбулентным. Под нижним критическим числом подразумевается такое Re, ниже которого установившееся течение может быть только ламинарным независимо от величины возмущений, вводимых в поток [2]. Таким образом, существует область ламинарного течения, где при вводе в поток возмущений возникает неустойчивость ламинарного профиля скорости, которая, однако, не приводит к возникновению установившегося турбулентного движения в трубе, а восстанавливается ламинарное течение. В настоящее время не определены границы этой области, а также причины ламинарно-турбулентного перехода.
Анализ расчетных и экспериментальных данных показал, что для вязких жидкостей при Re < 1000 при любых характеристиках пульсационного движения на входе вдали от начала устанавливается ламинарное течение; при Re = 1000 коэффициенты гидравлических сопротивлений, вычисленные по формулам для ламинарного и турбулентного течений, между собой равны [1]. Таким образом, если рассматривать ламинарно-турбулентный переход в целом как развитие кризиса ламинарного течения, тогда можно принять, что Re = 1000 при течении вязких жидкостей является «точкой бифуркации» (Ь), поскольку в теории самоорганизации систем точка бифуркации понимается как начало кризиса. В точке бифуркации система находится в состоянии временной нестабильности, которое соответствует начальным этапам кризиса, когда на фоне нарастающей неустойчивости относительно флуктуаций происходит активный поиск новых путей развития системы в условиях неопределенности. «Вот эта неопределенность будущего и есть главная особенность рассматриваемого
Тезисы. В статье на основе совместного анализа объединенного уравнения 1-го и 2-го законов термодинамики для простой системы и уравнения Дарси - Вейсбаха рассматривается возможный механизм возникновения и развития локализованных возмущений при ламинарно-турбулентном переходе. Принято допущение, что возникновение естественных возмущений в ламинарном течении связано с нарушением баланса между положительным производством и отрицательным потоком энтропии, что является, по определению И. Пригожина, условием стационарности процесса. В качестве характеристики дисбаланса использовано отношение энтропий турбулентного и ламинарного течений. Получена экспоненциальная зависимость отношения энтропий от числа Рейнольдса. Показано, что характерное время жизни порывов является экспоненциальной функцией отношения энтропий турбулентного и ламинарного течений. Определены три фундаментальные точки лами-нарно-турбулентного перехода.
типа механизмов. Она есть следствие того, что будущее состояние системы при переходе ее характеристик через критическое (пороговое) значение определяется прежде всего флуктуациями. А они присутствуют всегда» [3].
Постановка задачи. В рамках синергети-ческого подхода проведен упрощенный термодинамический анализ ламинарно-турбулент-ного перехода с учетом процессов образования упорядоченных диссипативных локализованных пространственно-временных структур. При этом принято, что обобщенные параметры состояния связаны обычными для локально-равновесной термодинамики соотношениями типа тождества Гиббса и др., которые остаются справедливыми и вдали от локального термодинамического равновесия.
Н.Н. Моисеев отмечает: «Когда природа допускает существование двух процессов, достигающих одной и той же цели, то реализуется тот, который требует меньших энергетических затрат» [4]. На основании математического эксперимента Н.Н. Моисеевым сформулирована гипотеза: «Уравнения движения вязкой жидкости, по-видимому, допускают целый спектр возможных почти периодических решений, и им при известных условиях соответствует целая система возможных установившихся течений жидкости. Одно из них - ламинарное течение Пуазейля. Остальные - это некоторые базовые турбулентные течения» [4]. При этом отмечено, что формально эти процессы существуют при любых числах Рейнольдса. При малых Re турбулентное течение на порядок менее «экономно», чем течение Пуазейля. С увеличением Re течение Пуазейля теряет устойчивость. «Но второй режим течения, который раньше реализовать не могли, теперь то и получает реальные возможности возникнуть. Возникает совершенно новый тип течения. Его трудно изобразить графически, и поэтому на печать следует выводить лишь некоторые интегральные характеристики, например, средний перепад давлений, под действием которого происходит это движение жидкости» [4].
Данную гипотезу можно отразить в виде совместного графика зависимостей коэффициентов гидравлических сопротивлений (X) от Re для ламинарного и турбулентного течений (рис. 1, см. экспликацию к формуле (1) ниже).
^ 0,2
0,1
Течение: О Xj ламинарное О 12J, турбулентное -
2 3 4 5 6
lgRe
Рис. 1. Зависимость коэффициента гидравлических сопротивлений от числа Рейнольдса
Расчет трендов коэффициентов гидравлических сопротивлений проводился для ламинарного режима по формуле 1 = 64^е и для турбулентного по формуле Миллионщикова [5]. Приняв эту гипотезу в качестве рабочей, для стационарных течений различных сред запишем уравнение Дарси - Вейсбаха в следующем виде:
vi
-dP dx,
p " 2D
(1)
где Р - давление; р - плотность жидкости; V -среднерасходная скорость потока; Б - диаметр трубы; I - индекс течения (/ = 1 - ламинарное течение Пуазейля; / = 2, ..., п - стационарные базовые турбулентные течения);] - индекс скорости потока (у = 1 - ламинарного; у = 2 - турбулентного).
И. Пригожин отмечает, что в неизолированных системах, обменивающихся с внешней средой энергией, изменение энтропии можно представить в виде суммы двух членов: первый член, определяемый как «поток энтропии», обусловлен происходящим обменом, второй -«производство энтропии» - обусловлен процессами внутри системы. «На поток энтропии второе начало термодинамики не налагает никаких условий. Таким образом, в стационарном состоянии положительное производство энтропии компенсируется отрицательным потоком энтропии: активность, производящая
0
энтропию, постоянно поддерживается за счет обмена с окружающей средой. Состояние равновесия соответствует частному случаю, когда и поток энтропии, и производство энтропии обращаются в нуль» [6].
Для простой системы объединенное уравнение 1-го и 2-го законов термодинамики [7] запишется в виде
d®<-SdT + -dP, Р
(2)
где Ф - изобарно-изотермический потенциал; S - энтропия системы; T - температура.
С приближением к состоянию равновесия изобарно-изотермический потенциал системы убывает, достигая минимума в состоянии равновесия, когда dФ = 0, при этом оба члена в правой части уравнения (2) равны нулю, поскольку при равновесии T = const и P = const.
Опираясь на определение И. Пригожиным состояния равновесия как частного случая стационарного состояния, можно предположить, что последнее наступает при условии T ф const и P ф const, dФ = 0. В этом случае из уравнения (2) для стационарного процесса получим следующее соотношение:
-dP = SdT.
Р
(3)
Исходя из совместного анализа уравнений (1) и (3), используя принятую для уравнения (1) индексацию, можно записать [8, 9]:
SjdT
v.. " 2D
(4)
Подставляя в соотношение (4) коэффициенты гидравлических сопротивлений как функции Re (X = /^е)), для ламинарного и турбулентного течений можно показать, что в обоих случаях соблюдается размерность джоуль на кельвин на килограмм, что соответствует размерности энтропии.
Используя уравнение (4) и рис. 1, можно получить следующие соотношения:
S22 I Re22
1 Sn V Я I Re„
S22 X21
V S11 V Un )
для условия Xjj = Х2:
для условия Уу
(5)
(6)
где Re = vpD/д; д Пас.
динамическая вязкость,
Согласно уравнению (4) с увеличением скорости течения повышается энтропия системы, что необходимо для сохранения упорядоченности потока в новых условиях. Можно предположить, что для вязких жидкостей по достижении Re = 1000 в точке пересечения трендов (см. рис. 1) в ламинарном потоке нарушается равенство между производством энтропии и потоком энтропии из-за недостаточной эффективности обмена системы с окружающей средой. Согласно определению И. Пригожина, если поток энтропии отрицательный и превышает по абсолютной величине производство энтропии, «то определенные стадии эволюции могут происходить при общем понижении энтропии... Согласно традиционной интерпретации энтропии, это будет означать, что в ходе эволюции разупорядоченность уменьшается за счет оттока энтропии» [10]. В этом случае часть энергии стационарного ламинарного течения переходит в энергию неупорядоченных процессов и в конечном счете в теплоту, т.е. происходит диссипация энергии.
Можно предположить, что именно с кинетическим нагревом при ламинарном течении образуются локализованные пятна [11, 12], называемые порывами (англ. puffs), которые со временем распадаются, затухают, и поток в конечном счете возвращается к ламинарному режиму. С увеличением скорости потока выше критического значения Re возникает 2-й тип локализованных структур в форме турбулентных пробок (англ. plug-shape), которые, двигаясь в потоке, расширяются и, сливаясь, образуют единую турбулентную область [13]. В настоящее время большое внимание уделяется исследованию эволюции порывов от возникновения до исчезновения и зависимости продолжительности их жизни от Re [14]. На основании экспериментальных результатов предлагались различные эмпирические формулы для расчета времени жизни порыва. По мнению некоторых авторов [11-14], наиболее точно экспериментальные результаты исследований характерного времени жизни порыва /(Re), мс, аппроксимируются суперэкспоненциальным законом
/(Re) = exp[exp(CjRe + C2)],
(7)
где С = 0,0057, С2 = -8,7.
Однако вопросы, в какой момент возникают эти порывы и какова природа их рождения, остаются нерешенными.
= У
21
Анализ связи времени жизни порывов с ростом отношений энтропий
Рассмотрим, как изменяется отношение энтро-пий в период ламинарно-турбулентного перехода при равенстве коэффициентов гидравлических сопротивлений для ламинарного и турбулентного течений (см. формулу (5)) с ростом Re по мере удаления от точки Ь (см. выше). Запишем кинетическое уравнение роста отношения энтропий для условия (3) в зависимости от Re в пределах ламинарно-турбулентного перехода в виде
а (Як ^ I Ян ,
■ = к
< Я ^
\ Л
(8)
Решаем уравнение (8) при начальном условии в точке Ь, где для вязких жидкостей
Re = 1000 и
"к 22 Хц
= 1:
(о А
= ехр[0,0029(Яе -1000)].
(9)
Численное значение коэффициента к = 0,0029 определили из условия кризиса ламинарного течения вязких жидкостей при
Re = 2060 и
(5 Л
5„
¡21,635 [7].
Если прологарифмировать уравнение (7) и, подставив численные значения коэффициентов С1 и С2, провести преобразование, получим следующее уравнение:
между производством и потоком энтропии переходит в теплоту, что и приводит к зарождению локализованных возмущений в виде турбулентных порывов. Уравнение (10) получено на основе экспериментальных результатов исследования времени жизни турбулентных порывов, искусственно создаваемых путем введения в поток струй воды, и опосредованно, как предполагалось, должно отражать процесс зарождения и существования порывов в ламинарном потоке. Согласно результатам расчетов (см. рис. 2), эти уравнения отличаются коэффициентами в правых частях и начальными значениями Re, при которых нарушается баланс между производством и потоком энтропии и возникают локализованные турбулентные возмущения в виде порывов. Вероятно, это связано с особенностями экспериментальной методики, использованной в исследованиях [11, 12]. Импульсное возмущение создавалось впрыскиванием струи воды через круглое отверстие размером 0,2 диаметра трубы. Типичный объем впрыска в отношении к массовому расходу в трубе составлял около 2,5 %. Продолжительность возмущения регулировали для каждой серии измерений в пределах от 8 до 20 мс.
Поскольку оба уравнения опосредованно описывают один и тот же процесс, можно принять их идентичность. В этом случае время жизни локализованных турбулентных возмущений можно выразить как экспоненциальную функцию отношений энтропий ламинарного
1п[/(Де)] = ехр[0,0057(Яе -1526)],
(10)
и Р4
40
где число 1526 является как бы аналогом числа Рейнольдса в точке Ь.
На рис. 2 представлены расчеты по уравнениям (9) и (10). Сравнение расчетов показывает их идентичность как по структуре, так и по аргументам, входящим в правые части уравнений. На рис. 2 отмечается точка пересечения расчетных трендов, которая соответствует критическому числу Рейнольдса Re = 2060 [7, 8]. Такое совпадение не может быть случайным. Можно предположить, что уравнения опосредованно отражают один и тот же процесс, протекающий в ламинарном потоке при увеличении Re выше точки бифуркации. Этим процессом, по-видимому, является диссипация той части энергии, которая при нарушении баланса
30
20
10
0
— 1п[г(Ке)], см. уравнение (1) — (£22/£и)л, см. уравнение (9)
1000 1200 1400 1600 1800 2000
2200 Re
Рис. 2. Экспоненциальные зависимости от числа Рейнольдса
и турбулентного течений (11) и, как следствие, как суперэкспоненциальную функцию числа Рейнольдса (12):
t (Re) = exp
f S, ^
V Sn Л
t (Re) = exp{exp[0,0029(Re -1000)]}.
(11)
(12)
Принимая, что расчеты по уравнению (12) определяют время жизни естественных локализованных возмущений, определим значения Re для предельных значений времени продолжительности впрыскивания воды в ламинарный поток в соответствии с экспериментальными данными [12]. Расчеты показали, что для /(Яе) = 8 мс естественные локализованные возмущения возникают при Яе = 1250, а для /(Яе) = 20 мс - при Яе = 1378. Поскольку естественные локализованные структуры имеют свои термодинамические характеристики, отличные от характеристик впрыскиваемой воды, можно предположить, что при Яе < 1526 естественные и искусственные локализованные турбулентные структуры взаимно ликвидируются (аннигилируют). Поэтому точка отсчета Ь в эмпирическом уравнении (10) сдвигается в сторону больших величин и равна 1526, в то время как уравнения (6) и (12) получены из условия, что точка бифуркации совпадает с Яе = 1000.
Следует отметить, что /(0) = 1 мс, что адекватно собственной частоте колебаний молекул
некоторых жидкостей и газов. Так, спектр частотных колебаний молекул воды очень широк: они включают колебания атомного ядра, электронной оболочкой атома, связи атомов в молекулы и др. При этом частота колебаний молекул воды достигает максимальной величины - порядка 1015 Гц [15], что корреспондируется с временем жизни флуктуаций, равным одной миллисекунде.
Таким образом, до нарушения баланса между производством и потоком энтропии при малых числах Рейнольдса (до точки b), имеющиеся в потоке флуктуации, которые, по определению Н.Н. Моисеева, «существуют всегда» [14], обусловлены собственной частотой колебаний молекул движущейся среды.
Анализ величины оттока энтропии при нарушении баланса в ламинарном потоке
Рассмотрим, как изменяется отношение энтро-пий в период ламинарно-турбулентного перехода при равенстве скоростей течения (см. формулу (4)) с ростом Re по мере удаления от точки бифуркации b. Численный анализ позволяет записать следующее линейное уравнение:
^21
Л + 0,00053(Re -1000).
(13)
На рис. 3 сравниваются тренд уравнения (13) и отношения коэффициентов X для турбулентного и ламинарных потоков при равенстве чисел Рейнольдса в соответствии
&3 ? 3
г-е4
О Д - расчет по формуле
М.Д. Миллионщикова и уравнению 'к = 64/Re — (S/S^-линейный тренд поуравнению(13)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Re
Рис. 3. Зависимость отношения энтропий турбулентного и ламинарного течений при равенстве числа Рейнольдса в области ламинарно-турбулентного перехода
4
2
1
0
с условием (6). На графике видно, что в пределах ламинарно-турбулентного перехода (1000 < Re < 2889) максимальное отклонение отношения коэффициентов от тренда уравнения (10) составляет менее 2 %.
Уравнение (13) можно привести к виду
t (Яе) = ехр
—^ = 0,00053(Яе -1000),
-п
ехр 5,47
V ^и у
(15)
(14)
где Д^ = £21 - £п - отток энтропии, участвующей в «уменьшении разупорядоченности» при заданном Re.
Таким образом, уравнение (14) отражает соотношение энергии, ушедшей на производство энтропии стационарного ламинарного течения, и энергии, перешедшей в неупорядоченный процесс, в котором при ее диссипации образуются локализованные турбулентные структуры. При этом в области ламинарно-турбулент-ного перехода при установившемся образовании порывов, вероятно, соблюдается бистабиль-ность потока, когда «.при одних и тех же граничных условиях одновременно сосуществуют два устойчивых стационарных состояния» [10]. При этом система остается на ламинарной ветви до тех пор, пока параметр не превысит критического значения, после чего происходит скачкообразный переход на турбулентную ветвь, на которой система и остается [10].
Совместный анализ уравнений (9), (11) и (14) позволяет получить следующее уравнение:
Таким образом, время жизни и размер локализованных турбулентных структур зависят от оттока энтропии при нарушении баланса между производством и потоком энтропии.
Характерные точки ламинарно-турбулентного перехода
Анализ экспериментальных зависимостей 1 от Re (рис. 4) для вязких жидкостей [14] позволяет определить три фундаментальные точки ламинарно-турбулентного перехода, связанные линейной зависимостью (13) с определенными соотношениями энтропий турбулентного и ламинарного режимов течения, при которых происходят изменения структуры потока:
1) точка Ь при Яв = 1000. При течении жидкости с Re < 1000 сохраняется ламинарное течение при любых возмущениях на входе в трубу. Отношения энтропий при соотношениях (5) и (6) в этой точке равны единице. При увеличении Re в ламинарном потоке появляются локализованные возмущения в виде порывов, растет время жизни порывов и появляется потенциальная возможность развития течения по турбулентному сценарию. Эту точку, по мнению автора, можно определить как точку бифуркации, в которой возникает бистабильность потока, в котором сосуществуют два устойчивых состояния в связи с нарушением баланса между производством и потоком энтропии,
^ 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01
0 3,0
ь 0,064
\
\ 5 ч-
\ "у-41 * ' *ч
С V "»•и».
\
4
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
Рис. 4. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса
(по М.Д. Миллионщикову) [14]
однако система остается в ламинарном режиме до точки кризиса (с);
2) точка с при Яв = 2060. При дальнейшем увеличении Яе возникает 2-й тип локализованных структур в форме турбулентных пробок [8, 9]. В этой точке возникает перемежающийся режим течения, происходит выбор направления и начинается переход к новому режиму течения. В настоящее время точка с определяется как точка кризиса ламинарного течения. Для условия (4) отношение энтропий составляет около 1,56...1,59;
3) точка 5 при Яв = 2889. В этой точке отток энтропии равен производству энтропии ламинарного течения (см. формулу (14)), а энтропия турбулентного течения превышает энтропию ламинарного в 2 раза. В точке 5 начинается стабилизация однородной турбулентности. При Яе > 5 стабилизируется однородная турбулентность, что согласуется с результатами численных расчетов [12]. Точка 5 дает начало новому упорядоченному режиму течения.
Список литературы
1. Павельев А.А. О нижнем критическом числе Рейнольдса для течения в круглой трубе / А.А. Павельев, А.И. Решмин,
С.Х. Тепловодский и др. // Изв. РАН. МЖГ. -2003. - № 4. - С. 47-55.
2. Никитин Н.В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений / Н.В. Никитин // Изв. РАН. МЖГ. - 2001. - № 2. - С. 42-55.
3. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1987.
4. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1979. - 223 с.
5. Миллионщиков М.Д. Турбулентное течение в пограничном слое и в трубах /
М.Д. Миллионщиков. - М.: Наука, 1969. - 51 с.
6. Пригожин И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И. Пригожин, И. Стенгерс. -М.: Едиториал УРСС, 2014. - 229 с.
7. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1976. - 535 с.
8. Потапов, А.Г. К вопросу о ламинарно-турбулентном переходе при течении вязких
и вязкопластичных жидкостей в круглой трубе / А.Г. Потапов // Вести газовой науки: Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. -М.: Газпром ВНИИГАЗ, 2013. - № 4 (15). -С. 69-75.
***
Появление в ламинарном потоке естественных локализованных турбулентных возмущений обусловлено диссипацией избыточной энергии при нарушении баланса между производством и потоком энтропии в стационарном процессе. В ламинарно-турбулентном переходе отношения энтропий турбулентного и ламинарного течений соответствуют экспоненциальной зависимости от Re. Показано, что характерное время жизни порывов является суперэкспоненциальной функцией отношения оттока энтропии к энтропии ламинарного течения. Стабилизация однородного турбулентного течения наступает, когда отток энтропии равен производству энтропии ламинарного течения, а энтропия турбулентного течения в 2 раза больше энтропии ламинарного при равенстве скоростей течения.
В пределах ламинарно-турбулентного перехода определены три характерные точки, в которых происходят изменения структуры потока и которые определяются конкретными значениями отношений оттока энтропии к энтропии ламинарного течения.
9. Потапов А.Г. Кризис ламинарного течения неньютоновской жидкости в круглой трубе /
A.Г. Потапов // ИФЖ. - 2018. - Т. 91. - № 6. -С.1537-1543.
10. Николис Г. Познание сложного. Введение / Г. Николис, И. Пригожин. - М.: Мир, 1990. -С. 78-80.
11. Hof B. Repeller or attractor? Selecting
the dynamical model for onset of turbulence in pipe flow / B. Hof, A. de Lozar, D.J. Kuik, et al. // Phys. Rev. Let. - 2008. - Т. 101. -№ 214501.
12. Avila K. The onset of turbulence in pipe flow / K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, et al. // Science. - 2011. - Т. 333. - С. 192-196.
13. Никитин Н.В. О поддержании колебаний
в локализованных турбулентных структурах в трубах / Н.В. Никитин, В.О. Пиманов // Изв. РАН. МЖГ. - 2018. - № 1. - С. 68-76.
14. Катасонов М.М. Возникновение и развитие локализованных возмущений в круглой трубе и пограничном слое / М.М. Катасонов,
B.В. Козлов, Н.В Никитин, и др. -Новосибирск: Изд.-полиграф. центр НГУ, 2019. - 244 с.
15. Лихарев В.А. О свойствах воды
(для специалистов) / В.А. Лихарев // BIM. -http://www.bim.bewell.ru/03.htm
Nature and lifetime of localized disturbances at laminar-turbulent transition of a viscous liquid in a tube
A.G. Potapov
Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy urban district, Moscow Region, 142717, Russian Federation E-mail: A_Potapov@vniigaz.gazprom.ru
Abstract. In the article, based on the joint analysis of the combined equation of the first and second laws of thermodynamics for a simple system and the Darcy-Weisbach equation, possible causes of the emergence and development of localized perturbations (puffs) during a laminar-turbulent transition are considered. It is shown that the cause of the appearance and development of gusts is the imbalance between the positive production of entropy and the negative flow of entropy, which is a condition for the stationarity of the process, according to I. Prigogine. The imbalance occurs with an increase in the Reynolds number, and up to Re > 1000 the imbalance is growing. An exponential dependence of the ratio of the entropy of a turbulent flow to the entropy of a laminar flow on the Reynolds number is obtained. It has been shown that the lifetime of impulses is an exponential function of the ratio of entropies turbulent and laminar flows.
Keywords: localized disturbances, lifetime puff, entropy, dissipation energy. References
1. PAVELYEV, A.A., A.I. RESHMIN, S.Kh. TEPLOVODSKIY, et al. On lower critical Reynolds number for flow in a circular tube [O nizhnem kriticheskom chisle Reynoldas dlya techeniya v krugloy trube]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza, 2003, no. 4, pp. 47-55, ISSN 0568-5281. (Russ.).
2. NIKITIN, N.V. Numerical study of laminar-turbulent transition in a circular tube against periodical input disturbances [Chislennoye issledovaniye laminarno-turbulentnogo perekhoda v krugloy trube pod deystviyem periodicheskikh vkhodnykh vozmushcheniy]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza, 2001, no. 2, pp. 42-55, ISSN 0568-5281. (Russ.).
3. MOISEYEV, N.N. Algorithms of evolution [Algoritmy razvitiya]. Moscow: Nauka, 1987. (Russ.).
4. MOISEYEV, N.N. Mathematics sets up an experiment [Matematika stavit eksperiment]. Moscow: Nauka, 1979. (Russ.).
5. MILLIONSHCHIKOV, M.D. Turbulent flow in a boundary layer and in tubes [Turbulentnoye techeniye v pogranichnom sloye i v trubakh]. Moscow: Nauka, 1969. (Russ.).
6. PRIGOGINE I., I. STENGERS. Order out Chaos. Man's new dialogue with nature. N.Y.: Bantarm Books, 1984.
7. SEDOV, L.I. Mechanics of continuous medium [Mekhanika sploshnoy sredy]. Moscow: Nauka, 1976. (Russ.).
8. POTAPOV, A.G. On the laminar-turbulent transition in the flow of viscous and viscoplastic liquids in a round pipe [K voprosu o laminarno-turbulentnom perekhode pri techenii vyazkikh i vyazkoplastichnykh zhidkostey v krugloy trube]. Vesti Gazovoy Nauki. Moscow: Gazprom VNIIGAZ LLC, 2013, no. 4 (15): Problems of operation of gas, gas condensate and oil and gas fields, pp. 69-75. ISSN 2306-8949. (Russ.).
9. POTAPOV, A.G. Crisis of the laminar flow of a non-Newtonian liquid in a pipe [Krizis laminarnogo techeniya nenyutonovskoy zhidkosti v krugloy trube]. Inzhenerno-Fizicheskiy Jurnal, 2018, vol. 91, no. 6, pp. 1537-1543. ISSN 0021-0285. (Russ.).
10. NICOLIS, G., I. PRIGOGINE. Exploring complexity. An introduction. N.Y.: W.N. Freeman and Company, 1989.
11. HOF, B., A. de LOZAR, D.J. KUIK, et al. Repeller or attractor? Selecting the dynamical model for onset of turbulence in pipe flow. Phys. Rev. Let, 2008, vol. 101, no. 214501, ISSN 0031-9007.
12. AVILA, K., D. MOXEY, A. de LOZAR, et al. The onset of turbulence in pipe flow. Science, 2011, vol. 333, pp. 192-196 ISSN 0036-8075.
13. NIKITIN, N.V., V.O. PIMANOV. On keeping up oscillations in localized turbulent structures at tubes [O podderzhanii kolebaniy v lokalizovannykh turbulentnykh strukturakh v trubakh]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika zhidkosti i gaza, 2018, no. 1, pp. 68-76. (Russ.).
14. KATASONOV, M.M., V.V. KOZLOV, N.V. NIKITIN, et al. Origination and development of localized disturbances in a circular tube and in a boundary layer [Vozniknoveniye i razvitiye lokalizovannykh vozmushcheniy v krugloy trube i pogranichnom sloye]. Novosibirsk: Novosibirsk State University, 2019. (Russ.).
15. LIKHAREV, V.A. On properties of water (for specialists) [O svoystvakh vody (dlya spetsialistov)]. BIM [online]. Available from: http://www.bim.bewell.ru/03.htm
