Принципы построения математической модели процесса биосорбции ионов кадмия и свинца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942:579.695

Э. В. Рахимова, А. С. Абросименкова*, А. С. Скичко

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Москва, Россия 125480, Москва, ул. Героев Панфиловцев, д. 20 * e-mail: anna-abrosimenkova@yandex.ru

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА БИОСОРБЦИИ ИОНОВ КАДМИЯ И СВИНЦА

Работа посвящена разработке подходов к математическому моделированию процесса биологической очистки сточных вод от ионов тяжёлых металлов. Проведён анализ экспериментальных данных из литературных источников. Выполнена декомпозиция системы.

Ключевые слова: очистка сточных вод; ионы тяжёлых металлов; биосорбция; математическое моделирование; метод декомпозиции.

В настоящее время при решении проблем, связанных с загрязнением среды

промышленными водами, особое внимание уделяют биологическим методам очистки. Для этого исследуют новые штаммы бактерий, способных развиваться в загрязнённых средах. Одним из таких микроорганизмов является бактерия Bacillus sp. L14 (EB L14), выделенная из листьев чёрного паслёна и проявляющая устойчивость к ионам тяжёлых металлов (ИТМ), в частности кадмия и свинца. Кинетика роста штамма на средах, содержащих ионы этих металлов, а также их сорбция исследованы в работе [1].

Анализ экспериментальных кривых позволяет выделить три стадии процесса.

1-я стадия соответствует достаточно быстрой сорбции ИТМ в период лаг-фазы культуры. Её продолжительность - около 2 часов.

2-я стадия соответствует крайне медленному поглощению ИТМ клетками в период экспоненциальной фазы их роста. Длительность стадии составляет около 6 часов.

3-я стадия - это стадия быстрого поглощения ИТМ и замедления роста биомассы. В работе [1] наличие данной стадии объясняется понижением защиты клеток вследствие сильного токсического эффекта.

Таким образом, изучаемый процесс протекает достаточно сложно, и разработка математической модели, учитывающей все биохимические эффекты, является трудной задачей, которую следует упростить, используя метод декомпозиции.

Выделим в общей задаче моделирования процесса две подзадачи (рис. 1):

1) моделирование процесса роста культуры;

2) моделирование процесса сорбции

ИТМ.

Обе подзадачи не являются обособленными, они непосредственно влияют друг на друга. Так, скорость поглощения ИТМ зависит от количества клеток, а рост биомассы, в свою очередь, ингибируется поглощёнными ионами

металлов. Таким образом, раздельное решение подзадач невозможно. Тем не менее, практическое использование метода

декомпозиции будет осуществимо, если разорвать одну из связей между подзадачами. Для этого нами была выбрана связь, учитывающая влияние 1-й подзадачи на 2-ю (рис. 1).

Рис. 1. Разрыв одной из связей между подзадачами

Разрыв данной связи означает, что 2 -я подзадача будет независимой, в то время как зависимость роста биомассы от количества поглощённых клетками ИТМ сохранится. То есть, нам необходимо иметь информацию по изменению концентрации ИТМ в среде для каждой расчётной точки вне зависимости от выбора шага по времени. Для этого было решено через экспериментальные точки провести интерполяционную кривую с помощью кубической сплайн-интерполяции в среде MathCad [2]. Наилучший результат по генерации кривой сорбции ИТМ был получен с использованием функции ^рНпе (рис. 2). Таким образом, кривая сорбции ИТМ может быть задана в качестве исходных данных для моделирования кинетики роста

микроорганизмов (т.е. для реализации 1 -й подзадачи).

Рис. 2. Кривая извлечения ионов кадмия из среды штаммом EB L14, сгенерированная в среде MathCad по экспериментальным точкам из [1]

Математическая модель 1-й подзадачи должна включать дифференциальные уравнения, описывающие рост биомассы и динамику потребления лимитирующего субстрата:

— = МХ, (1) Ш

^ = _^Х (2) У

где х - биомасса, OD/л; ц - удельная скорость роста биомассы, ч-1; 8 - субстрат, мг/л; У - выход биомассы по субстрату, OD/(мг/л); t - время, ч.

Уравнение для удельной скорости роста должно содержать ингибирующую составляющую, зависящую от количества ИТМ, адсорбированных клетками:

^qS

8 + К8 + Г(сМе "сме)

где К - константа насыщения, мг/л; ц -

-1

максимальное значение ц, ч ; сМе - концентрация

ИТМ в среде, мг/л; сМе - начальная концентрация

ИТМ в среде, мг/л.

Конкретный вид функции в знаменателе выражения (3) должен быть найден в результате проведения вычислительных экспериментов.

-,(3)

Рахимова Эльвира Винеровна, студентка 4 курса бакалавриата факультета Информационных технологий и управления РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.

Абросименкова Анна Сергеевна, студентка 1 курса магистратуры факультета Информационных технологий и управления РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.

Скичко Алексей Сергеевич, к.т.н., доцент кафедры Кибернетики химико-технологических процессов РХТУ им. Д. И. Менделеева, Россия, Москва.

Литература

1. Bioremediation of heavy metals by growing hyperaccumulaor endophytic bacterium Bacillus sp. L14 / Guo H. [et al.]. Bioresource technology. 2010. V. 101. №. 22. P. 8599-8605.

2. Электронный курс по MathCAD. Функции линейной и сплайновой аппроксимации. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://detc.ls.urfu.ru/assets/amath0021/l7.htm (Дата обращения 30.03.2015).

Rakhimova Elvira Vinerovna, Abrosimenkova Anna Sergeevna*, Skichko Alexey Sergeevich D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia * e-mail: anna-abrosimenkova@yandex.ru

PRINCIPLES OF DEVELOPMENT OF THE MATHEMATICAL MODEL OF BIOSORPTION OF IONS OF CADMIUM AND LEAD

Abstract

The work deals with mathematical modeling of microbiological waste-water treatment in order to remove heavy metal ions. The analysis of the experimental data from publications was carried out. The decomposition of the system was realized.

Key words: waste-water treatment; heavy metal ions; biosorption; mathematical modeling; decomposition.