Принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях Текст научной статьи по специальности «Биологические науки»

—О 2002 2003

- ¿Г 2004

2005

2006

Дата

Рис. 3. Динамика численности ходулочника за 2002-2006 гг.

9 и к последней группе - посещающих, относятся виды, отмеченные во время кормления с разной степенью периодичности, к ним относятся 17 видов;

2. Виды, гнездящиеся на территории стационара, относятся к 5 отрядам: Воробьинообразные, Ржанкообразные, Гусеобразные , Журавлеобразные, Соколообразные.

3. К доминантным видам по плотности относятся: озёрная чайка, чибис, полевой воробей, кряква, ходулочник, перевозчик.

4. Сроки прилёта модельных видов на территории стационара в 2002 - 2006 годах не совпадают.

список литературы

1. Артоболевский В. М. Материалы к познанию птиц юго-востока Пензенской губернии // Бюлл. МОИП. Новая сер. Отд. биол. 1923-1924. Т. 32. Вып. 1/2. С. 162-193.

2. Денисов В. П., Муравьев И. В. Видовой состав птиц города Пензы // Фауна и экология животных Поволжья. Пенза, 1987. С. 49-58.

3. Мищенко А. Л., Белик В. П., Равкин Е. С. и др. Оценка численности и её динамика для птиц Европейской части России («Птицы Европы - II») М., 2004. С.1- 44.

4. Муравьев И. В. Методы и приемы наблюдений за птицами в природе и их количественный учёт Пенза: ПГПУ, 2000. 36 с.

5. Муравьев И. В. Орнитофауна г. Пензы // Экологические проблемы урбанизированных территорий. Мат-лы научно-практической конференции Елец, 2007. С. 129-132.

6. Муравьев И. В., Фролов В. В. Особенности орнитофауны пригородной зоны г. Пензы // Охрана и воспроизводство птиц пригород. лесов и зеленых насаждений. Львов, 1992. С. 62-65.

7. Муравьев И. В., Фролов В. В. Характеристика орнитофауны г. Пензы // Птицы городов Среднего Поволжья и Предуралья. Казань: «Мастер Лайн», 2001. С. 133-147.

8. Фролов В. В., Муравьев И. В., Коркина С. А., Анисимова Г. А. Пензенская область. // Ключевые орнитологические территории России (ключевые орнитологические территории международного значения в Европейской России / под ред. Т. В. Свиридовой, В. А. Зубакина). Т. 1. М., 2000. С. 410-415.

9. Mischenko A., Belik V., Borodin O. et al. Birds in Europe: population estimates, trends and conservation status. Cambridge: BirdLife Int., 2004. 374 pp.

принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях

И.В. МУРАВЬЕВ, О.В. СУХОВА, К.И. ЮДИН Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это терема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении... Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер

Для проведения оологических исследований необ- Основная трудность, с которой приходится стол-

ходимым является умение вычислять площадь поверх- кнуться при вычислении площади поверхности и объ-

ности и объема яйца по заданным линейным размерам. ема яйца, заключается в нехватке данных.

В данной статье мы предлагаем методику расчета этих Если рассматривать яйцо как поверхность, состав-

геометрических показателей, основанную на принци- ленную из двух полуэллипсоидов, то необходимо знать

пе «золотого сечения». длины их полуосей, то есть а и Ь или их отношение.

Измерение линейных размеров яйца этих сведений не дает (рис. 1).

Рис. 1. Яйцо птицы.

Для решения этой проблемы обратимся к принципу «золотого сечения».

Учение о золотом сечении возникло в результате тщательного исследования природы чисел. Считается, что деление отрезка в среднем и крайнем отношении впервые было осуществлено 2500 лет назад великим философом и геометром древней Греции Пифагором.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему: а : Ь = Ь : с или с : Ь = Ь : а (рис. 2).

С

V--------- ---------------V--------------

а Ь

Рис. 2. Геометрическое изображение золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

С золотым сечением связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших дней. Особые свойства пропорции золотого сечения в настоящее время привлекают все большее внимание многих исследователей в самых различных областях науки. Особое значение золотому сечению отводится в сфере организации систем живой природы.

Первые работы, посвященные проявлениям золотого сечения во многих явлениях и закономерностях биологических объектов, появились в конце 18 - начале 19 в.в. Среди них видное место занимают труды А. Цейзинга, который рассматривал золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон проявляется в пропорциях тела человека и в телах красивых животных. Г.Т. Фехнером была установлена связь между психо-

физическим восприятием человека и “золотыми” формами предметов.

Т. кук уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения.

Еще Архимед изучал форму спирально завитой раковины и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем (рис. 3).

Рис. 3. Спираль Архимеда.

Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. В процессе совместной работы математиков и ботаников выяснилось, что в расположении листьев на ветке (рис.4), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет закон «золотого сечения».

Рис. 4. Ряд Фибоначчи.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы -симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в середине XX столетия во второй его половине вновь наметилась тенденция более серьезного

к нему отношения со стороны ученых-специалистов. Появились крупные работы в различных отраслях знаний, в том числе и в биологии, где золотая пропорция и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа самоорганизующихся природных и технических систем, их структурной гармонии.

Возникает вопрос: можно ли использовать принцип «золотого сечения» в оологии?

Установлено, что всевозможные формы яиц колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем у[г = у/1,618 (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость параметров яиц.

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Как известно, выделяют несколько форм яиц (рис. 6), поэтому расчет формул площади поверхности и объема проведем отдельно для каждого случая.

Рис. 6. Форма яиц: а - моноасимметрическое; б - биоасимметрическое; в - симметрическое.

Следовательно, зная линейные размеры яйца, а значит и радиус основания и высоты данных полуэл-липсоидов, можно вычислить объем и площадь поверхности яйца.

Проведем необходимые математические расчеты. Вычислим объем полуэллипсоида с осью вращения Oz, при z > 0.

Обозначим высоту полуэллипсоида (параллельную оси Oz) за И, а радиус окружности лежащей в его основании (параллельном плоскости хОу) - Ы, где

1=1,2. Тогда: V = |, где 5 = п г2

о

Уравнение окружности, лежащей в плоскости

2 2 —+У-=1

7 = а, параллельной хОу, имеет вид: \ г2 г2 ,

радиус окружности г = ^

Таким образом, получаем, что площадь окружности, лежащей в плоскости параллельной хОу, равна:

S = п (х2 + у2).

(1)

Так как каноническое уравнение эллипсоида име-2 2 2 2 X У 7 Л 2 2 1 2 /1 7,

ет вид: — +^-г +—2 = 1, то х + у = Ь, (1 —-). Подставь, Ь I, К

ляя последнее выражение в равенство (1), находим, что площадь окружности, лежащей в плоскости параллельной хОу, вычисляется по формуле:

_2

S = п b2(1 - —).

(2)

Таким образом, находим, что объем полуэллипсо-ида равен:

.2 Л

V = ||п b2(1 - 72)

2

I У

dz =

.3 Л

п b2( z-—)

37

= п b2 •2 l = -п b2l.

(3)

Площадь поверхности полуэллипсоида, образованного при вращении вокруг оси Oz полуэллипса, заданного каноническим уравнением

2 2 ■Ху+Z, = 1 b- l-

(4)

где z > 0 и Ь <1 (Oz - большая полуось) вычисляется по формуле:

P = п b b +1

arcsin в

(5)

Как было отмечено ранее, яйцо можно разбить на 2 полуэллипсоида, поэтому, площадь поверхности яйца и его объем можно представить соответственно в виде суммы площадей поверхностей и объемов этих полуэллипсоидов:

V = V + V2 5 = 5 + 5

пое пое1 пое2

где в =

(12 - b2)

эксцентриситет эллипса.

Для площади поверхности полуэллипсоида, образованного вращением вокруг оси Oz полуэллипса с

каноническим уравнением — +— = 1, при z > 0 и 1 < Ь

z = а

и

в

l

2

(Oz - меньшая полуось), имеем следующую вычислительную формулу:

P = п b

, l2 1 + е

b +--------------ln

2be 1 - е

(6)

(Ь2 -/2)

где е = Л-—— есть эксцентриситет эллипса.

3. После выведения всех необходимых формул для вычисления объемов и площадей поверхностей полуэл-липсоидов, нетрудно вывести формулы объема и площади поверхности яйца любой формы (моноасимметричес-кого, биоасимметрического, симметрического).

Обозначим линейные размеры яйца / и Ь (/ > Ь ).

Моноасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида: один из которых представляет

собой полушар (Ь1 = /1, где Ь1 = Ь ), а другой является полуэллипсоидом вращения (Ь2 < 12 ,где Ь2 = Ь и /2 = I-Ь ).

2 2 2 2 2

А значит его объем равен: V = У1 + У2, где У1 = — п Ь13, У2 = — п Ь22/2. Следовательно, приходим к следующей вычислительной формуле: 3 3

rz 2 ,з 2 ,2, 2 (b ]3 2 (b ]2 (. b ] 2 (b ]2 (b . b ] 1 ,2,

V = — п b, +— п b,l, =— п I —| +—п I —| 11 —|= — п I —| I — +1 —|=— п bl.

3 1 3 2 2 3 I 2 J 3 12J ( 2 J 3 12 J (2 2J 6

(7)

Биоасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида. Один из них представляет собой

Ь , 3-л/5,

полуэллипсоид, которому по золотому сечению соответствует меньшая часть: Ь1 < /1, где Ь1 = и /1 =

-l, а дру-

гой является полуэллипсоидом соответствующим большей части золотого сечения: Ь2 < /2 ,где Ь2 = — и /2 = ——1 /.

2 2 2 2

Тогда его объем равен: V = V + У2, где У1 = — п Ь12/1 , У2 = — п Ь22/2. Имеем:

ТГ 2 , 2, 2 2, 2 (b

V= — пb, l. +—пb,l, = —п I — 3 1 1 3 2 2 3 1 2

2

3

л

2 (b +— п I — 3 I 2

2 (£z1,'

2

2

3-л/5 + л/5 -1

2

= — пb2l.

6

(8)

Симметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для одного из которых Ь1 < /1, где

Ь / Ь /

Ь1 = и /2 = , аналогично для другого Ь2 < /2 ,где Ь2 = и /2 = .

22

А значит его объем равен: V = V + У2, где У1 = — пЬ12/1 У2 = — пЬ^/2. Следовательно, приходим к следующему

результату: 3 3

V=fп*12,1 + 3п^ = 3пíll Ш+f”({I Ш =1п(2) (2+{)=6пЬ''-

(9)

Сравнивая формулы (7), (8), (9), получаем, что объем яйца не зависит от его формы, а следовательно объем любого яйцо может быть вычислен по формуле:

V =1 п b2l.

6

(10)

4. Выведем формулы площади поверхности яйца.

Моноасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида: один из которых представляет собой полушар: Ь1 = /1, где Ь1 = , а другой является полуэллипсоидом, для которого Ь2 < /2, где Ь2 = и /2 = / - Ь.

А значит, площадь его поверхности равна:

S = S • + S 2, где S ■ = 2п fe2 S 2 = п b2

пов пов 1 пов 2 пов 1 1 пов 2 2

b2 + l2

V

(l22 - b2) l2

(l22 - b2) l2

l

2

2

2

Следовательно, находим:

3П Ь Ь г ч

S =----------------+п — -(2/ - b)-

пов 4 4 ^ ’

arcsin ((2/ -b)2 -b2)

(2/ - b )2

((2/ - b)2 - b2)

(2/ - b)2

(ii)

Биоасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для одного из которых Ь1 < /1, где Ь1 = Ь и /1 = 3 ^ / (по золотому сечению ему соответствует меньшая часть), а для другого Ь2 < /2, где Ь2 = Ь и

,2 - -/ (по золотому сечению ему соответствует большая часть).

Площадь его поверхности равна:

S =S ,+S 2

пов пов1 пов2

ГДе Snoe1 = П b1

Получаем:

arcsin

b1 +/1

(/,2 - b,2)

/,2

(/,2 - ь,2) /,2

, S = п b

пов2 2

arcsin

Ь2 + /2

(/22 -Ь2) 12

(/22 - Ь2)

/22 У

(((з-л/5)/)2 -b2)

s =—+^-•( з-V5) / •

и0е 2 4 V )

n —--------:

j ((3/) +ЖЬ_

(((з-S) / )2 - b2) 4

arcsin

+ ж — -{у[5 -lj l ■

(((V5-l)l) -_2)

V (И-»)

(((n/5 -1) l) - _2)

№ -1) l)

(12)

Симметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для каждого из которых Ь < /, где Ь1 = Ь и / = ^ , (¡=1,2). Следовательно, площадь его поверхности равна:

S S S

пов пов1 пов2

ГДе Sпов1 = п b1

b1 + k-

V

(/,2 -b,2) 5

/2

(/,2 - b,2) /,2

S = п b

пов2 2

b2 + /2

(/22 - b2)

/2

(/2 - b2) /2

Таким образом, находим:

arcsin

п b п b/

S =-------------+----------

пов 2 2

(13)

Т. K. £ =

(/2 - Ь2)

-—^ есть эксцентриситет эллипса, тогда:

^-1 .b2 </2 -b2,

' \з^л/з

з -Vs

2

(

2

2

а значит

75-1

з-л/5

ь2 - Ь2)

,л ,

л/5-1 з -л/5

ь2 - Ь2)

ь2

л/л/5 -1 -73-75 1(/2 -Ь2) (2/5-7

л/3^75 "V ь2 "V 3-75

V

-/75-1 -73-75

-73-75

¡0,52155503

2/5-4

3 —75

¡0,786151377

0,52155503"4/(/ „Ь) "0,786151377

0,52155503"е "0,786151377

1,051993469 " агс81П £ "1,150614144

Из всего выше описанного можно сделать вывод, что без особого отклонения в точности искомой площади, есть возможность избавиться от отношений вида агс51П>/^ , где 0,52155503 <X < 0,786151377 .

Внеся данные изменения в формулы (11), (12), (13) и сравнивая их, получаем, что площадь поверхности яйца не зависит от его формы, а следовательно площадь поверхности любого яйцо может быть вычислена по формуле:

п Ь п Ь/

Б =------------+--------

„в 2 2

(14)

(

2

Ь

Ь

Ь

е

гистограммы яркости как средство определения рас серой цапли

И. В. МУРАВЬЁВ, Т. А. АБРАМОВА*

Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г. Белинского *Пензенский государственный университет

Обычно для исследования птичьих яиц используются такие широко распространенные методы, как описание структуры скорлупы яйца, наличие характерного рисунка, измерение индекса удлиненности и т.д. Но представим себе ситуацию, когда профессиональный исследователь не имеет возможности выехать на место, а вместо этого может получить лишь цифровые изображения. Принадлежность к определенному виду во многих случаях можно определить, лишь взглянув на изображение. но как быть с более глубоким изучением кладок, например внутривидовой изменчивостью?

Для сравнения приведем изображения двух яиц цапли из разных кладок (условно обозначим их номерами I и II).

Перед нами встает задача определения их рас.

Как видно на рисунке, довольно проблематично по довать различные цветовые характеристики цифровых

этим изображениям на глаз сказать что-то определен- изображений птичьих яиц цапли для лучшего понима-

ное. В приводимой ниже методике предлагается иссле- ния внутривидовой изменчивости [2, 3].