Научная статья на тему 'Принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях'

Принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях Текст научной статьи по специальности «Биологические науки»

CC BY
808
38
Поделиться

Похожие темы научных работ по биологическим наукам , автор научной работы — Муравьев И. В., Сухова О. В., Юдин К. И.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях»

—О 2002 2003

- ¿Г 2004

2005

2006

Дата

Рис. 3. Динамика численности ходулочника за 2002-2006 гг.

9 и к последней группе - посещающих, относятся виды, отмеченные во время кормления с разной степенью периодичности, к ним относятся 17 видов;

2. Виды, гнездящиеся на территории стационара, относятся к 5 отрядам: Воробьинообразные, Ржанкообразные, Гусеобразные , Журавлеобразные, Соколообразные.

3. К доминантным видам по плотности относятся: озёрная чайка, чибис, полевой воробей, кряква, ходулочник, перевозчик.

4. Сроки прилёта модельных видов на территории стационара в 2002 - 2006 годах не совпадают.

список литературы

1. Артоболевский В. М. Материалы к познанию птиц юго-востока Пензенской губернии // Бюлл. МОИП. Новая сер. Отд. биол. 1923-1924. Т. 32. Вып. 1/2. С. 162-193.

2. Денисов В. П., Муравьев И. В. Видовой состав птиц города Пензы // Фауна и экология животных Поволжья. Пенза, 1987. С. 49-58.

3. Мищенко А. Л., Белик В. П., Равкин Е. С. и др. Оценка численности и её динамика для птиц Европейской части России («Птицы Европы - II») М., 2004. С.1- 44.

4. Муравьев И. В. Методы и приемы наблюдений за птицами в природе и их количественный учёт Пенза: ПГПУ, 2000. 36 с.

5. Муравьев И. В. Орнитофауна г. Пензы // Экологические проблемы урбанизированных территорий. Мат-лы научно-практической конференции Елец, 2007. С. 129-132.

6. Муравьев И. В., Фролов В. В. Особенности орнитофауны пригородной зоны г. Пензы // Охрана и воспроизводство птиц пригород. лесов и зеленых насаждений. Львов, 1992. С. 62-65.

7. Муравьев И. В., Фролов В. В. Характеристика орнитофауны г. Пензы // Птицы городов Среднего Поволжья и Предуралья. Казань: «Мастер Лайн», 2001. С. 133-147.

8. Фролов В. В., Муравьев И. В., Коркина С. А., Анисимова Г. А. Пензенская область. // Ключевые орнитологические территории России (ключевые орнитологические территории международного значения в Европейской России / под ред. Т. В. Свиридовой, В. А. Зубакина). Т. 1. М., 2000. С. 410-415.

9. Mischenko A., Belik V., Borodin O. et al. Birds in Europe: population estimates, trends and conservation status. Cambridge: BirdLife Int., 2004. 374 pp.

принцип «золотого сечения» при расчете геометрических показателей в оологических исследованиях

И.В. МУРАВЬЕВ, О.В. СУХОВА, К.И. ЮДИН Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это терема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении... Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер

Для проведения оологических исследований необ- Основная трудность, с которой приходится стол-

ходимым является умение вычислять площадь поверх- кнуться при вычислении площади поверхности и объ-

ности и объема яйца по заданным линейным размерам. ема яйца, заключается в нехватке данных.

В данной статье мы предлагаем методику расчета этих Если рассматривать яйцо как поверхность, состав-

геометрических показателей, основанную на принци- ленную из двух полуэллипсоидов, то необходимо знать

пе «золотого сечения». длины их полуосей, то есть а и Ь или их отношение.

Измерение линейных размеров яйца этих сведений не дает (рис. 1).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 1. Яйцо птицы.

Для решения этой проблемы обратимся к принципу «золотого сечения».

Учение о золотом сечении возникло в результате тщательного исследования природы чисел. Считается, что деление отрезка в среднем и крайнем отношении впервые было осуществлено 2500 лет назад великим философом и геометром древней Греции Пифагором.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему: а : Ь = Ь : с или с : Ь = Ь : а (рис. 2).

С

V--------- ---------------V--------------

а Ь

Рис. 2. Геометрическое изображение золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.

С золотым сечением связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших дней. Особые свойства пропорции золотого сечения в настоящее время привлекают все большее внимание многих исследователей в самых различных областях науки. Особое значение золотому сечению отводится в сфере организации систем живой природы.

Первые работы, посвященные проявлениям золотого сечения во многих явлениях и закономерностях биологических объектов, появились в конце 18 - начале 19 в.в. Среди них видное место занимают труды А. Цейзинга, который рассматривал золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон проявляется в пропорциях тела человека и в телах красивых животных. Г.Т. Фехнером была установлена связь между психо-

физическим восприятием человека и “золотыми” формами предметов.

Т. кук уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения.

Еще Архимед изучал форму спирально завитой раковины и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем (рис. 3).

Рис. 3. Спираль Архимеда.

Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. В процессе совместной работы математиков и ботаников выяснилось, что в расположении листьев на ветке (рис.4), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет закон «золотого сечения».

Рис. 4. Ряд Фибоначчи.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы -симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в середине XX столетия во второй его половине вновь наметилась тенденция более серьезного

к нему отношения со стороны ученых-специалистов. Появились крупные работы в различных отраслях знаний, в том числе и в биологии, где золотая пропорция и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основе анализа самоорганизующихся природных и технических систем, их структурной гармонии.

Возникает вопрос: можно ли использовать принцип «золотого сечения» в оологии?

Установлено, что всевозможные формы яиц колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой - в прямоугольник с модулем у[г = у/1,618 (рис. 5).

Рис. 5. Зависимость параметров яиц.

Такие формы птичьих яиц не являются случайными, поскольку в настоящее время установлено, что форме яиц, описываемых отношением золотого сечения, отвечают более высокие прочностные характеристики оболочки яйца.

Как известно, выделяют несколько форм яиц (рис. 6), поэтому расчет формул площади поверхности и объема проведем отдельно для каждого случая.

Рис. 6. Форма яиц: а - моноасимметрическое; б - биоасимметрическое; в - симметрическое.

Следовательно, зная линейные размеры яйца, а значит и радиус основания и высоты данных полуэл-липсоидов, можно вычислить объем и площадь поверхности яйца.

Проведем необходимые математические расчеты. Вычислим объем полуэллипсоида с осью вращения Oz, при z > 0.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Обозначим высоту полуэллипсоида (параллельную оси Oz) за И, а радиус окружности лежащей в его основании (параллельном плоскости хОу) - Ы, где

1=1,2. Тогда: V = |, где 5 = п г2

о

Уравнение окружности, лежащей в плоскости

2 2 —+У-=1

7 = а, параллельной хОу, имеет вид: \ г2 г2 ,

радиус окружности г = ^

Таким образом, получаем, что площадь окружности, лежащей в плоскости параллельной хОу, равна:

S = п (х2 + у2).

(1)

Так как каноническое уравнение эллипсоида име-2 2 2 2 X У 7 Л 2 2 1 2 /1 7,

ет вид: — +^-г +—2 = 1, то х + у = Ь, (1 —-). Подставь, Ь I, К

ляя последнее выражение в равенство (1), находим, что площадь окружности, лежащей в плоскости параллельной хОу, вычисляется по формуле:

_2

S = п b2(1 - —).

(2)

Таким образом, находим, что объем полуэллипсо-ида равен:

.2 Л

V = ||п b2(1 - 72)

2

I У

dz =

.3 Л

п b2( z-—)

37

= п b2 •2 l = -п b2l.

(3)

Площадь поверхности полуэллипсоида, образованного при вращении вокруг оси Oz полуэллипса, заданного каноническим уравнением

2 2 ■Ху+Z, = 1 b- l-

(4)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где z > 0 и Ь <1 (Oz - большая полуось) вычисляется по формуле:

P = п b b +1

arcsin в

(5)

Как было отмечено ранее, яйцо можно разбить на 2 полуэллипсоида, поэтому, площадь поверхности яйца и его объем можно представить соответственно в виде суммы площадей поверхностей и объемов этих полуэллипсоидов:

V = V + V2 5 = 5 + 5

пое пое1 пое2

где в =

(12 - b2)

эксцентриситет эллипса.

Для площади поверхности полуэллипсоида, образованного вращением вокруг оси Oz полуэллипса с

каноническим уравнением — +— = 1, при z > 0 и 1 < Ь

z = а

и

в

l

2

(Oz - меньшая полуось), имеем следующую вычислительную формулу:

P = п b

, l2 1 + е

b +--------------ln

2be 1 - е

(6)

(Ь2 -/2)

где е = Л-—— есть эксцентриситет эллипса.

3. После выведения всех необходимых формул для вычисления объемов и площадей поверхностей полуэл-липсоидов, нетрудно вывести формулы объема и площади поверхности яйца любой формы (моноасимметричес-кого, биоасимметрического, симметрического).

Обозначим линейные размеры яйца / и Ь (/ > Ь ).

Моноасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида: один из которых представляет

собой полушар (Ь1 = /1, где Ь1 = Ь ), а другой является полуэллипсоидом вращения (Ь2 < 12 ,где Ь2 = Ь и /2 = I-Ь ).

2 2 2 2 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А значит его объем равен: V = У1 + У2, где У1 = — п Ь13, У2 = — п Ь22/2. Следовательно, приходим к следующей вычислительной формуле: 3 3

rz 2 ,з 2 ,2, 2 (b ]3 2 (b ]2 (. b ] 2 (b ]2 (b . b ] 1 ,2,

V = — п b, +— п b,l, =— п I —| +—п I —| 11 —|= — п I —| I — +1 —|=— п bl.

3 1 3 2 2 3 I 2 J 3 12J ( 2 J 3 12 J (2 2J 6

(7)

Биоасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида. Один из них представляет собой

Ь , 3-л/5,

полуэллипсоид, которому по золотому сечению соответствует меньшая часть: Ь1 < /1, где Ь1 = и /1 =

-l, а дру-

гой является полуэллипсоидом соответствующим большей части золотого сечения: Ь2 < /2 ,где Ь2 = — и /2 = ——1 /.

2 2 2 2

Тогда его объем равен: V = V + У2, где У1 = — п Ь12/1 , У2 = — п Ь22/2. Имеем:

ТГ 2 , 2, 2 2, 2 (b

V= — пb, l. +—пb,l, = —п I — 3 1 1 3 2 2 3 1 2

2

3

л

2 (b +— п I — 3 I 2

2 (£z1,'

2

2

3-л/5 + л/5 -1

2

= — пb2l.

6

(8)

Симметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для одного из которых Ь1 < /1, где

Ь / Ь /

Ь1 = и /2 = , аналогично для другого Ь2 < /2 ,где Ь2 = и /2 = .

22

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А значит его объем равен: V = V + У2, где У1 = — пЬ12/1 У2 = — пЬ^/2. Следовательно, приходим к следующему

результату: 3 3

V=fп*12,1 + 3п^ = 3пíll Ш+f”({I Ш =1п(2) (2+{)=6пЬ''-

(9)

Сравнивая формулы (7), (8), (9), получаем, что объем яйца не зависит от его формы, а следовательно объем любого яйцо может быть вычислен по формуле:

V =1 п b2l.

6

(10)

4. Выведем формулы площади поверхности яйца.

Моноасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида: один из которых представляет собой полушар: Ь1 = /1, где Ь1 = , а другой является полуэллипсоидом, для которого Ь2 < /2, где Ь2 = и /2 = / - Ь.

А значит, площадь его поверхности равна:

S = S • + S 2, где S ■ = 2п fe2 S 2 = п b2

пов пов 1 пов 2 пов 1 1 пов 2 2

b2 + l2

V

(l22 - b2) l2

(l22 - b2) l2

l

2

2

2

Следовательно, находим:

3П Ь Ь г ч

S =----------------+п — -(2/ - b)-

пов 4 4 ^ ’

arcsin ((2/ -b)2 -b2)

(2/ - b )2

((2/ - b)2 - b2)

(2/ - b)2

(ii)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Биоасимметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для одного из которых Ь1 < /1, где Ь1 = Ь и /1 = 3 ^ / (по золотому сечению ему соответствует меньшая часть), а для другого Ь2 < /2, где Ь2 = Ь и

,2 - -/ (по золотому сечению ему соответствует большая часть).

Площадь его поверхности равна:

S =S ,+S 2

пов пов1 пов2

ГДе Snoe1 = П b1

Получаем:

arcsin

b1 +/1

(/,2 - b,2)

/,2

(/,2 - ь,2) /,2

, S = п b

пов2 2

arcsin

Ь2 + /2

(/22 -Ь2) 12

(/22 - Ь2)

/22 У

(((з-л/5)/)2 -b2)

s =—+^-•( з-V5) / •

и0е 2 4 V )

n —--------:

j ((3/) +ЖЬ_

(((з-S) / )2 - b2) 4

arcsin

+ ж — -{у[5 -lj l ■

(((V5-l)l) -_2)

V (И-»)

(((n/5 -1) l) - _2)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

№ -1) l)

(12)

Симметрическое яйцо (рис. 6) можно разделить на два полуэллипсоида, для каждого из которых Ь < /, где Ь1 = Ь и / = ^ , (¡=1,2). Следовательно, площадь его поверхности равна:

S S S

пов пов1 пов2

ГДе Sпов1 = п b1

b1 + k-

V

(/,2 -b,2) 5

/2

(/,2 - b,2) /,2

S = п b

пов2 2

b2 + /2

(/22 - b2)

/2

(/2 - b2) /2

Таким образом, находим:

arcsin

п b п b/

S =-------------+----------

пов 2 2

(13)

Т. K. £ =

(/2 - Ь2)

-—^ есть эксцентриситет эллипса, тогда:

^-1 .b2 </2 -b2,

' \з^л/з

з -Vs

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(

2

2

а значит

75-1

з-л/5

ь2 - Ь2)

,л ,

л/5-1 з -л/5

ь2 - Ь2)

ь2

л/л/5 -1 -73-75 1(/2 -Ь2) (2/5-7

л/3^75 "V ь2 "V 3-75

V

-/75-1 -73-75

-73-75

¡0,52155503

2/5-4

3 —75

¡0,786151377

0,52155503"4/(/ „Ь) "0,786151377

0,52155503"е "0,786151377

1,051993469 " агс81П £ "1,150614144

Из всего выше описанного можно сделать вывод, что без особого отклонения в точности искомой площади, есть возможность избавиться от отношений вида агс51П>/^ , где 0,52155503 <X < 0,786151377 .

Внеся данные изменения в формулы (11), (12), (13) и сравнивая их, получаем, что площадь поверхности яйца не зависит от его формы, а следовательно площадь поверхности любого яйцо может быть вычислена по формуле:

п Ь п Ь/

Б =------------+--------

„в 2 2

(14)

(

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

Ь

Ь

Ь

е

гистограммы яркости как средство определения рас серой цапли

И. В. МУРАВЬЁВ, Т. А. АБРАМОВА*

Пензенский государственный педагогический университет им. В.Г. Белинского *Пензенский государственный университет

Обычно для исследования птичьих яиц используются такие широко распространенные методы, как описание структуры скорлупы яйца, наличие характерного рисунка, измерение индекса удлиненности и т.д. Но представим себе ситуацию, когда профессиональный исследователь не имеет возможности выехать на место, а вместо этого может получить лишь цифровые изображения. Принадлежность к определенному виду во многих случаях можно определить, лишь взглянув на изображение. но как быть с более глубоким изучением кладок, например внутривидовой изменчивостью?

Для сравнения приведем изображения двух яиц цапли из разных кладок (условно обозначим их номерами I и II).

Перед нами встает задача определения их рас.

Как видно на рисунке, довольно проблематично по довать различные цветовые характеристики цифровых

этим изображениям на глаз сказать что-то определен- изображений птичьих яиц цапли для лучшего понима-

ное. В приводимой ниже методике предлагается иссле- ния внутривидовой изменчивости [2, 3].