Принцип Онзагера и функция Ляпунова применительно к описанию энтропии биологических систем в представлении Пригожина Текст научной статьи по специальности «Математика»

У девушек, регулярно занимающихся спортом, такое реверсирование не очень характерно, все они устойчиво дают повышение СИМ после тренировок и снижение ПАР (в 1,5-2 раза). У нетренированных лиц эти изменения (до и после тренировок) велики, особенно у нетренированных юношей. Для них характерно изменение индекса Баевского (до - 71,1, после - 417,3).

Нетренированные девушки давали изменение индекса Баевского на значительно более меньшую величину (до - 40, после -223,34) для среднеарифметических значений. Тренированные девушки отличались от нетренированных по индексу Баевского: до тренировок у девушек, занимающихся физкультурой, индекс составил 73,89, а после - 181,16. Соответственно юноши имели показатели индекса Баевского от 72,77 единиц до 260,47 после тренировок. Что касается студентов, регулярно занимающихся спортом, то здесь мы можем видеть ту же самую картину, что и у остальных, но регистрируемые показатели изменяются, не так значительно, как у занимающихся, а тем более у незанимающих-ся спортом студентов. Из табл. 5, видно, что показатели ВНС спортсменов лучше приспосабливаются к меняющимся условиям, и можно сделать вывод, что чем выше физическая подготовка, тем компенсаторные механизмы функциональных систем выше, а адаптация организма к факторам среды происходит быстрее.

Литература

1. Еськов В.М., Хадарцев А.А. Системный анализ, управление и обработка информации в биологии и медицине. Ч. IV: Монография. - Самара: Офорт, 2005.- 153 с.

2. Еськов В.М. и др. Экологические факторы ХМАО. Ч. II: Монография.- Самара: Офорт, 2005.- 171 с.

3. Климов О.В. и др. // Экологических вестник Югории-2005.- Т. II, № 3-4.- С. 42-51.

УДК 576.75:536.75

ПРИНЦИП ОНЗАГЕРА И ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОПИСАНИЮ ЭНТРОПИИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРИГОЖИНА

И. Г. ГЕРАСИМОВ*

В последнее время развиваются подходы к описанию функционирования биологических систем с позиций неравновесной термодинамики. Ключевую позицию в этих построениях, призванных приблизить воспринимаемую нами картину физического мира к реальной, занимает производство энтропии. С этим представлением связана так называемая стрела времени, т. е. наличие возможности обращения времени в биологических системах и омоложение их. Положительный ответ о реальности стрелы времени открывает определенные перспективы, которые в проекции на биологические объекты, дают ключ к увеличению продолжительности жизни. Судя по фундаментальным исследованиям, основным кандидатом на роль функции производства энтропии является функция Ляпунова [1]. Свойства функции Ляпунова следующие: она положительно (или отрицательно) определена, в изолированной системе постоянно возрастает со временем и асимптотически устойчива в равновесном состоянии, которое поэтому представляет собой аттрактор (область притяжения) данной функции.

И. Пригожин [1] считает, что энтропия в виде функции Ляпунова может представлять собой сумму квадратов элементов матрицы, диагональные члены которой (ДЧ) соответствуют вероятностям, а внедиагональные члены (ВЧ) - корреляциям. Не исключено, что такая матрица, с другой стороны, определенным образом может соответствовать матрице феноменологических коэффициентов линейных потоков и сил, связанных между собой, согласно принципу Онзагера. Принцип Онзагера положен в основу термодинамического описания равновесного состояния открытой системы, в которой действуют термодинамические силы, вызывающие термодинамические потоки (например, броуновское движение), являющиеся линейными функциями сопряженных термодинамических сил [2]. В состоянии равновесия матрица коэффициентов потоков и сил симметрична,

* НИИ медицинских проблем семьи ДГМУ им. М. Горького, Донецк

неотрицательно определена, а произведение двух сопряженных ВЧ меньше произведения соответствующих ДЧ [3, 4]. Очевидно, что обе матрицы подобны (термин не математический) в смысле линейности элементов, положенных в основу их построения.

В случае биологической системы представление энтропии эквивалентной (ЭЭ) величиной, полученной в результате трансформирования корреляционный матрицы (Я-матрицы), в численном выражении впервые предложено относительно недавно [5]. Наряду с этим было показано, что в течение жизни биологической системы происходит ее эволюция от 1) одинакового состояния всех составляющих элементов (высокая энтропия, исторически старое состояние, определяемое сжимающим многообразием) через 2) предельно различные состояния элементов (оптимальная минимальная энтропия, достижению которой соответствует расширяющее многообразие) вновь к 3) одинаковому состоянию элементов системы (высокая энтропия, биологически старое состояние, сжимающее многообразие). Позднее проанализированы необходимая и достаточная размерность матрицы (п=3) для расчета ЭЭ, оценен вклад в нее информационной составляющей (ДЧ), а также гипотетически прослежена судьба системы при вырождении такой матрицы в двумерную [6]. Теперь нас интересует, насколько матрица, использованная для расчета ЭЭ, соответствует матрице феноменологических коэффициентов термодинамических потоков и сил (матрице Онзагера) и в каком смысле первую можно рассматривать как функцию Ляпунова.

Представление энтропии в связи с матрицей Онзагера. Поскольку расчет ЭЭ производится после не изменяющей симметрию трансформации Я, то и новая матрица симметрична. Напомним, что ЭЭ = 8(ДЧ)2 + 8(ВЧ)2 [1, 5], и поэтому матрица для его расчета положительно определена. Трансформированная Я обладает двумя первыми свойствами матрицы Онзагера. Еще одно свойство матрицы Онзагера, а именно: меньшее

произведение сопряженных ВЧ по сравнению с соответствующими произведениями ДЧ - в случае матрицы для расчета ЭЭ очевидно выполняется далеко не всегда. Это обусловлено взаимодействием нелинейных параметров, которое по причине сложной регуляции может приводить к линейным взаимосвязям, наблюдаемым в случае векторных процессов в очень широком диапазоне изменения величин силы [4]. Иными словами, в данной ситуации мы сталкиваемся как с относительно медленными процессами, линейно протекающими вблизи равновесия, так и с быстрыми процессами, требующими более высокого порядка взаимосвязи. Кроме того, именно уклонение элементов матрицы для расчета ЭЭ от свойств матрицы Онзагера указывает на то, что наблюдаемые в системе линейные корреляции опосредованы более сложными взаимодействиями. Как заметил И. Дьярмати, «к сожалению, природа иногда предпочитает нелинейные взаимодействия, тогда как физики не любят нелинейных уравнений» [7]. Можно уточнить, что

природа, как правило, предпочитает нелинейные взаимодействия, и добавить, что биологи, за редким исключением, не любят вообще никаких уравнений, разве что нулевого порядка. Приближение к описанию реальных систем, как бы мы не противились этому, требует все большего усложнения используемых моделей. В случае биологической системы такое описание осуществимо, в частности, посредством матрицы для расчета ЭЭ, которая описывает состояние (и это соответствует свойствам биологической системы) в достаточной степени удаленное от устойчивого неравновесного (стационарного). В общем случае, в биологической системе соотношения между потоками и силами нелинейны. В Я-матрице ДЧ можно рассматривать, как нормированные по сумме всех ВЧ суммы феноменологических коэффициентов каждого из потоков (или каждой из сил) [5]. Сделанное преобразование придает матрице для расчета ЭЭ смысл трансформированной матрицы Онзагера применительно к системе, которая сильно неравновесна, зачастую далеко нелинейна, но, вместе с тем, достаточно устойчива - свойства, характерные для биологических систем.

Стохастическое представление энтропии. Напомним, что энтропия - экстенсивная величина, определяемая размерами системы, а ЭЭ - величина интенсивная, т.е. не зависит от предыстории и определяется состоянием. Поэтому для приведения ЭЭ в соответствие термодинамической энтропии необходимы определенные преобразование последней к новому экстенсивному параметру со следующими основными

свойствами. В изолированной системе энтропия постоянно возрастает, в равновесном состоянии она максимальна, а в стационарном состоянии ее производство существенно снижено. Попробуем разобраться, что представляет собой ЭЭ, впервые введенный в [5]. По аналогии со стохастической матрицей [8], назовем гиперстохастической матрицей такую, которая удовлетворяет следующим условиям: она квадратная, все ее ВЧ>0, а сумма всех элементов равна единице (в случае стохастической матрицы единице равна сумма только строк или только столбцов). Матрица для расчета ЭЭ обладает двумя первыми свойствами, но очевидно не обладает последним. Однако Я-матрицу легко привести к гиперстохастической, нормировав ее таким образом, чтобы выполнялось последнее условие. Нормировка заключается в делении каждого их элементов исходной матрицы на величину ЭЭ.

По этому, несколько тавтологическому определению, ЭЭ представляет собой отношение двух сопряженных матриц: трансформированной Я-матрицы и гиперстохастической. Значит, ЭЭ можно рассматривать как энтропию, приведенную к стохастической. Важное свойство гиперстохастической матрицы (равенство единице суммы элементов матрицы) указывает на то, что представленная таким образом энтропия учитывает вероятности пребывания системы в том или ином состоянии, т. е. описывает марковский процесс, свойственный системам с историей [1]. Введение, кроме информационной, статистической и термодинамической энтропий, еще одной - стохастической, как кажется, не увеличивает (извините за каламбур) энтропию наших представлений о биосистемах, а является необходимостью, призванной упорядочить их, пусть лишь на уровне нынешнего понимания вопроса. В дальнейшем мы будем вести речь об ЭЭ, который хотя и лишен того дополнительного смысла, который вложен в стохастическую энтропию, но численно ей равен.

Функция Ляпунова в представлении энтропии. Анализируя возможность представления функции плотности распределения, отражающую энтропию системы, функцией Ляпунова, И. Пригожин приходит к выводу [1], что, если такое представление и возможно, то функция Ляпунова может быть только оператором. Но и этого, как ясно из последующего анализа, недостаточно, и для соблюдения всех законов термодинамики необходимо сопряжение функции Ляпунова (оператора) с другим оператором. Не претендуя на общность, мы попытаемся сопоставить свойства ЭЭ, рассчитанной для открытой биологической системы во временной динамике [5], и термодинамической энтропии, если к первому применить соответствующие операторы.

Рис. Сопоставление свойств ЭЭ, рассчитанной для открытой биологической системы во временной динамике, и термодинамической энтропии (S)

Заметим, что трансформация R-матрицы и расчет ЭЭ [5] требуют применения С-оператора (оператора Клоузера, Closer's operator), который переводит экстенсивные параметры (корреляции) в интенсивный (ЭЭ=CR), тем самым, закрывая систему и лишая ее возможности совершать эволюции (рис.). Более того, после применения оператора Клоузера вообще невозможно сказать, с какой системой мы имеем дело: стареющей или той, где идет процесс омоложения, сжимающим или расширяющим многообразием. Однако если изолировать биологическую систему, это приведет к очевидному бесконечному росту корреляций, возрастанию ЭЭ и энтропии [6]. Следовательно, в

соответствии со вторым началом термодинамики, энтропия, представленная R-матрицей, в изолированной системе постоянно возрастает во времени (t). Убывание ЭЭ в динамике биологического возраста (вплоть до третьего-четвертого десятилетий для человека) связано с ростом и развитием системы [5] и согласуется с S-теоремой, по которой энтропия самоорганизующихся систем может не только не возрастать, но и уменьшаться [9].

Ничто не препятствует применить к CR оператор, который зеркально отражает убывающий (и только убывающий с увеличением t) ЭЭ (^ЭЭ)МКО) относительно линии, проходящей параллельно оси времени через точку с минимальным значением ЭЭ. В результате мы получаем новую функцию термодинамической энтропии (S), постоянно возрастающую со временем (рис.). Смысл примененного M-оператора (Mirror operator), осуществляющего зеркальное полуотражение, заключается в том, что он приводит к термодинамическому описанию системы без учета ее роста и развития. Применение M-оператора к ЭЭ уменьшает полноту описания, что, согласно [9], сопровождается ростом энтропии системы. Тем не менее, сделанное преобразование необходимо в качестве промежуточного, если мы хотим описать энтропию функцией Ляпунова. Поскольку в области t, следующей за точкой перегиба, d2S/dt2 > 0, функция (MCR) все еще не функция Ляпунова.

Чтобы ЭЭ стал функцией Ляпунова, необходимо применить еще один оператор, такой, который после времени, следующем за точкой перегиба (t = to), приводит к замене t на -t, т. е. к обращению времени (Transformation operator). Как видно из рис, в представлении MCR первая производная энтропии по времени функции dS/dt = [(t - a)2 + b] положительно определена. При t < to очевидно d2S/dt2<0, и это неравенство оказывается справедливым также при t>to в результате применения оператора T, а сама функция становится асимптотически устойчивой. В новом представлении ЭЭ=TMCR - уже функция Ляпунова, но для этого потребовалось применение целого ряда операторов. Возникает вопрос, насколько оправдано было поступить подобным образом? Справедливость предложенного термодинамического описания биологических систем могут и должны подтвердить (или опровергнуть) физики. Мы же лишь используем обнаруженные физические закономерности применительно к биологии. В этом плане важно, что в области t=to на кривой ЭЭ(^) имеет место изменение знака корреляций [10], которое можно интерпретировать как обращение биологического времени.

Цена омоложения. К сказанному добавим, что уменьшение ЭЭ сразу после момента возникновения биологической системы (по мере роста и развития) может указывать на наличие корреляций, которые И. Пригожин характеризует как аномальные [1], и их затухание во времени. После момента обращения времени (t0) эти аномальные корреляции уступают место другим (аналогия - изменение направления скоростей после соударения частиц), величина которых возрастает (аналогия - рост силы корреляций непосредственно после соударения). Поскольку система не замкнута не только в момент t0, а на всем временном интервале, такой рост силы корреляций происходит не скачкообразно, как описано в примере, приведенном в [1], а постепенно, приводя к росту ЭЭ. После шестого десятилетия для человека ЭЭ вновь уменьшается [5], а знаки корреляций соответствуют таковым в третьем десятилетии [10]. Следуя за И. Пригожиным, можно утверждать, что произошло омоложение системы (хотя бы частичное), однако цена, которая была уплачена за такое омоложение, равна не только суммарному производству энтропии за время, прошедшее до этого момента от t=0 [1], вернее, выражается не только производством энтропии. Эта цена за омоложение включает в себя гибель части индивидуумов, выбывших из исследуемой выборки [6] или попросту - умерших. Поэтому можно говорить об омоложении популяции, но не индивидуальном омоложении, цена за которое будет принципиально иная. Новые теоретические построения указывают на возможность омоложения популяции только в результате смерти части ее особей, а организма - вследствие смерти части его клеток, т. е омоложение системы может быть осуществлено исключительно ценой гибели элементов этой системы [11].

Судя по тому, что энтропия и масса тела по завершении роста и развития коррелируют между собой [12], и, начиная с определенного возраста, масса тела уменьшается [13], можно ожидать индивидуальное уменьшение энтропии у долгоживущих индивидуумов. Такая динамика энтропии также указывает на

определенное омоложение долгоживущих лиц, чему должно предшествовать обращение времени. Второе начало термодинамики в формулировке И. Пригожина [ 1 ] налагает запрет на состояния, которым соответствует расширяющее многообразие, если до обращения времени многообразие было сжимающим: омоложение системы оказывается невозможным по термодинамическим соображениям. Но мы имеем дело с открытыми системами, замечательное преимущество которых в том, что они являются частью большей по объему системы, где энтропия ведет себя так, как ей предписывают физические законы, тогда как локальные изменения в открытых системах могут быть прямо противоположными.

Литература

1. Пригожин И. От существующего к возникающему.- М.: Наука, 1985.- 326 с.

2. Крайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов.- М.: Мир, 1990.- 607 с.

3. ВолькенштейнМ. Б. Биофизика.- М.: Наука.- 1988.- 92 с.

4. Кеплен С. Р., Эссинг Э. Биоэнергетика и линейная термодинамика необратимых процессов.- М.: Мир, 1986.- 384 с.

5. Герасимов И. Г. // Пробл. старения и долголетия.- 1996.-Т. 6, № 1-2.- С. 32-35.

6. Герасимов И. Г. // Пробл. старения и долголетия.- 1998.-Т. 8, № 2.- С. 39-44.

7. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика.- М.: Мир, 1974.- 301 с.

8. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.- М.: Наука, 1972.- 232 с.

9. КлимонтовичЮ.Л. От существующего к возникающему.-М.: Наука, 1985.- С. 283-312.

10. Герасимов И. Г. // ВНМТ.- 2001.- Т. 8, № 2.- С. 95-97.

11. Вахтин Ю. Б. // Цитология.- 2002.- Т. 44, № 2.- С. 218.

12. Герасимов И. Г. Ионы водорода и энтропия / В кн.: Максимович В. А. и др..- Донецк: Изд-во Донецкого мед. ун-та, 2003.- С. 83-97.

13. Sp№cerRP. // Med. Hypoth.- 1996.- Vol. 46, № 2.- P. 59.

THE ONZAGER PRINCIPLE AND LJAPUNOV'S FUNCTION APPLIED TO DESCRIPTION OF BIOLOGICAL SYSTEMS'S ENTROPY IN PRIGOGINE REPRESENTATION

I. G. GERASIMOV Summary

The entropy represented by transformed correlation matrix was analysed for possibility of its representation as matrix of streams and strengths of Onzager and Ljapunov's function. The conformity between all entropy representations may be reсeived as result of operators row application. In new viewing the possibility of biological system rejuvenation was examined.

Key words: Onzager and Ljapunov's function

УДК 681.51:621.391.008.05

НЕЙРОСЕТЕВОЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ СОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАТИВНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

А.С. НОВИКОВ*

Введение. Современный уровень знаний в области полей и излучений позволяет утверждать: одним из базовых направлений современного медицинского приборостроения, теоретической и экспериментальной биофизики и биоинформатики является исследование жизнедеятельности и информационных процессов организма человека, а изучение собственных электромагнитных полей (ЭМП) биологических объектов (БО) считается первоочередной задачей. При разработке современной терапевтической и диагностической аппаратуры важно уметь оценивать собственное интегративное электромагнитное поле (СИ ЭМП) пациента, которое объективизируется в окрестностях биологически активных точек (БАТ) и рефлексогенных зон (РГЗ) кожного покрова.

* Тульский государственный университет, факультет кибернетики

Сложилось представление о собственном ЭМП БО, как о поле материальной среды, имеющем относительно высокую концентрацию структурных элементов. Физиологические процессы, связанные с переносом электрических зарядов; (электрохимические реакции, протекающие в организме); квазиэлектрет-ная поляризация живых тканей; колебания индуцированных зарядов, возникающие вследствие действия атмосферного электричества; вторичное ЭМИ, возникающее в результате воздействия на организм внешних ЭМП и связанное с механическими колебаниями в живом организме на всех его уровнях (молекулярная цитология утверждает, что каждая клетка живого организма имеет свой индивидуальный ритм колебаний. Клетки, молекулы, атомы, участки клеточных мембран живых организмов различной сложности являются источниками спектрокогерентных электромеханических автоколебаний в диапазоне 30..1000 ГГц) создают электрические и магнитные поля, следовательно, живой организм является генератором ЭМП. Доказано существование электромагнитного гомеостаза в человеческом организме, т.е. системы, способной обеспечивать взаимодействие ЭМП внешней среды и внутренних ЭМП, генерируемых БО [1, 2]. На базе НИИ новых медицинских технологий и факультета кибернетики ТулГУ был разработан программно-аппаратный комплекс для регистрации и визуализации на экране ПЭВМ сигналов СИ ЭМП БО и проведены эксперименты по изучению этих полей [3, 4].

Материал и методы исследований. С помощью созданного макетного образца установки была проведена следующая серия экспериментов: опыты по снятию СИ ЭМП БО без наличия патологии; снятие сигнала после введения смертельной дозы адреналина; изучение динамики изменения интегративного поля после моделирования у подопытного животного лихорадки путем введения лейкопирогена. Было выполнено три серии экспериментов с соответствующими контрольными опытами: кратковременный вынос животного за пределы зоны регистрации, регистрация СИ ЭМП БО во время естественного сна и пробуждения, снятие сигналов с мертвого животного и неживого объекта.

Во всех опытах использовались здоровые молодые самцы крыс линии Wistar. Снятие сигнала СИ ЭМП происходило параллельно телу животного по оси позвоночного столба, начиная с головы, с учетом анатомо-физиологических особенностей передачи информации по нисходящим нейронным путям от коры головного мозга к подкорковым ядрам, далее к структурам лимбической системы и ретикулярной формации, имеющим ведущее значение в регуляции вегетативных процессов и отвечающим за связь органов и систем с БАТ, РГЗ и проекционными зонами (ПЗ). Работа велась в те дни, когда по метеосводкам атмосферное давление было в пределах нормы, и отсутствовала солнечная активность (отсутствие выраженных магнитных бурь). Исключение этих факторов способствует чистоте экспериментов, учитывая барическую и геомагнитную чувствительность животных.

Результаты. На рис. 1а - типичная осциллограмма облучения бодрствующей крысы. Здесь ^ - аппаратура выключена, на экране фиксируется верхний нормированный уровень сигнала. Осциллограмма на рис. 1б снята со спящей крысы с последующим активным пробуждением в процессе эксперимента. Как видно из осциллограммы, периоду сна соответствуют неизменные потенциалы БАТ и РГЗ, что можно объяснить известными фактами акупунктурной терапии - в состоянии сна у здорового организма потенциалы БАТ и РГЗ стабилизируются. Соответственно, и снимаемое в нашем эксперименте СИ ЭМП отличается выраженным постоянством. После пробуждения крысы картина адекватна рис. 1а. Для подтверждения специфики снимаемого сигнала опыт повторили с удалением крысы из зоны облучения. При этом значение снимаемого напряжения падает до нуля (рис. 1в), после возвращения животного на прежнее место осциллограмма принимает первоначальный вид. Минимальные всплески на осциллограмме - инструментальная погрешность АЦП.

На рис. 2а приведены результаты контрольного эксперимента: облучение неживого объекта (деревянный брусок). Во время эксперимента сигнал не формируется. Подтверждением отсутствия СИ ЭМП мертвого организма является максимальное угасание и отсутствие сигнала при облучении мертвой крысы (рис. 2б). Умерщвление животного осуществлялось путем передозировки эфирного наркоза. Коэффициент предусиления установки увеличен при этом с 10 до 50. Как видно, сигнал отсутствует. Всплески незначительной амплитуды объясняются тем, что с момента смерти прошло около часа, т.е. не полностью угасли