CC BY
40
УДК 536
ПРИНЦИП МИНИМУМА ДИССИПАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ ИСПАРЕНИЯ
Р.П. ШПАКОВСКИЙ
Политехнический институт НГТУ им. Р.Е.Алексеева, г. Дзержинск
Принцип минимума диссипации (ПМД) имеет фундаментальное значение для необратимых процессов переноса. Особенно плодотворным представляется применение этого принципа для сложных процессов взаимодействия, примером чего является задача тепломассопереноса при испарении.
Ключевые слова: тепломассоперенос, испарение, термодинамика необратимых процессов.
Принцип минимума энергии диссипации был установлен в 1868г. Гельмгольцем для медленного стационарного движения несжимаемой вязкой жидкости по сравнению с произвольным движением такой же жидкости при том же распределении скоростей на поверхности, ограничивающей некоторый объем [1]. В 1931г. Онсагер формулирует для стационарных систем принцип наименьшей диссипации в форме
F = | Ф dV = min; SF = 0, (1)
V
1 n
где Ф = - X RikJJk ; (2)
2 i,k=1
Ji, J^ - термодинамические потоки в скалярном представлении; R^ = Li^ -соответствующие величины сопротивлений; L^ - коэффициенты Онсагера; V - объём;
варьирование по потокам (5 - обозначение операции варьирования).
В 1947г. Пригожин доказал теорему о том, что стационарному состоянию системы соответствует минимальное производство энтропии. О близости принципов Онсагера и Пригожина шла речь в [2]. Учитывая, что локальная величина энергии диссипации может быть выражена произведением абсолютной температуры на локальное производство энтропии, принцип минимума диссипации (ПМД) и принцип минимума производства энтропии (в его расширенной формулировке) представляются эквивалентными [3].
Из ПМД как вариационного принципа вытекает ряд следствий. В частности, рассматривая формулировку (1) как некоторую данность, из неё можно получить конститутивные линейные уравнения Онсагера.
На наш взгляд, в качестве исходной формулировки ПМД целесообразно использовать выражение для энергии диссипации, в которое непосредственно входят произведения термодинамических потоков на сопряжённые с ними термодинамические силы, понимая те и другие в соответствии с классической термодинамикой. Например, в соответствии со сказанным, энергию диссипации, образующуюся в процессе теплопроводности, можно выразить как
© Р.П. Шпаковский Проблемы энергетики, 2012, № 7-8
Едис = |у ^ТйУ , (3)
V
где д - плотность потока тепла; Т - абсолютная температура; д/Т - плотность потока энтропии; У - объём.
Рассматривая выражение (3) как функционал, варьирование в котором ведётся по потоку д и сопряжённой с ним «термодинамической силе» УТ, получим
дЪ(У Т) + У Т8д = 0 ; или 8( 1пд) = 8( 1пУТ). При равенстве вариаций соответствующие
им переменные могут отличаться на величину, не зависящую от этих переменных, т.е. 1п д = - 1п УТ - 1п X, где X - величина (коэффициент теплопроводности), не зависящая
от д или УТ. Соответственно далее д = -ХУТ .
Однако более важными следствиями ПМД нам представляются не уже известные линейные уравнения Онсагера (или соответствующие им известные феноменологические уравнения переноса), а возможность использования ПМД при решении практических задач.
В этой связи выделим следующие положения этого принципа.
1) Если условия на границах системы неизменны во времени, то термодинамическая система переходит из нестационарного состояния в стационарное, характеризующееся, по сравнению с предыдущими, минимумом образования энергии диссипации. (В соответствующей формулировке Пригожина и Глансдорфа 1954 года говорилось о минимуме производства энтропии. Теорема доказывалась ими при справедливости основных постулатов линейной теории Онсагера. Эта оговорка не содержится, однако, в изложении [4]. Позднее Пригожин и Глансдорф обобщили принцип минимального производства энтропии с помощью теории так называемых локальных потенциалов [2].)
При этом состояние термодинамического равновесия системы может рассматриваться в качестве частного случая стационарных состояний (стационарное состояние нулевого порядка по де Грооту).
2) Термодинамические стационарные процессы идут таким образом, что в них реализуется минимум образования энергии диссипации по сравнению с виртуальными процессами (термин «виртуальные» используется здесь в соответствии с его пониманием в теории вариационного исчисления).
3) ПМД реализуется прежде всего как локальный принцип и уже затем - как интегральный на соответствующей пространственно-временной конфигурации. Это положение выражается, в частности, и в том, что каждое из распределений термодинамических потенциалов (температуры, химического потенциала и т.д.) должно по отдельности удовлетворять принципу минимума диссипации (в условиях наложения определённых связей, в том числе обусловленных взаимовлиянием различных процессов) [3,5].
При этом условия на границах раздела фаз также связаны с принципом минимума диссипации. Для заданных условий на внешних границах сложной системы («закреплённые точки») любые внутренние точки являются «подвижными» (в том смысле, в котором этот термин употребляется в вариационном исчислении). Это означает, что термодинамические величины во внутренних точках, в том числе на внутренних границах раздела, не произвольны, а должны удовлетворять ПМД.
Заметим, что для задач теплового контакта двух сред изменение температурного профиля при переходе из одной среды в другую с позиций вариационного исчисления может рассматриваться как преломление температурной экстремали на фазовой границе. Применение ПМД к температурному распределению, в котором © Проблемы энергетики, 2012, № 7-8
соответствующая экстремаль даёт подвижную угловую точку на границе раздела, приводит к уравнению, выражающему баланс энергии на этой границе (т.е. к уравнению равенства тепловых потоков по обе стороны границы), в котором коэффициенты теплопроводности контактирующих сред играют роль соответствующих коэффициентов преломления.
Если сложный процесс происходит в одной среде, то нередко возможно его рассмотрение с позиции «отражения» экстремалей. Примером последнего может служить процесс совместного тепломассопереноса при испарении, происходящий в адиабатических условиях, отвечающих определению температуры «мокрого термометра» [6]. В этом случае (как и в других случаях подобия тепло- и массопереноса) можно говорить о том, что экстремаль безразмерных температур «отражается» в экстремаль относительных концентраций [3].
С принципом минимума диссипации связано определение температуры поверхности раздела фаз в процессах переноса. Достаточно простой иллюстрацией к этому является случай, когда для границы раздела фаз можно записать уравнение баланса энергии в форме
а1 (1 - ^ ) = а2 - Т/2 ), (4) где а,1,а2 - коэффициенты теплоотдачи, соответственно, со стороны первой (более горячей) и второй сред; Ту 1, Ту 2 - заданные температуры этих сред.
Понятно, что если выражение типа (4) задействуется в целях определения температуры границы раздела фаз, то коэффициенты а1, а2 (либо их отношение а1 / а2) должны находиться самостоятельно на эмпирической, полуэмпирической или чисто теоретической основе (см. в этой связи, например, [7]). При этом сами коэффициенты а1,а2 связаны с распределениями температур в средах, т.е. в теоретическом плане с решениями соответствующих дифференциальных уравнений, включающих диссипативные составляющие процесса, или с вариационными формулировками, находящимися в тесной увязке с ПМД и эквивалентными соответствующим краевым задачам (подробнее об этом в работах [3,5,8]).
Известно также, что температура границы раздела Тм, будет ближе к температуре той среды, со стороны которой больший а , т.е. меньше сопротивление процессу переноса и - с точки зрения ПМД - меньше величина диссипации. При весьма малом сопротивлении в одной из сред температура границы раздела фаз будет практически совпадать с температурой этой среды (или, по-другому, с температурой той стадии, участка процесса, где сопротивление переносу весьма мало) .
Обратимся к случаю нахождения температуры поверхности испарения, отвечающему дефиниции температуры «мокрого термометра» ТМ. Согласно работе [6], Тм - есть асимптотическая температура, которую принимает ограниченный объём жидкости, включая её поверхность, если этот объём находится в конвективном (и только) взаимодействии с установившимся газовым потоком. То есть, если температура конечного объёма жидкости изначально отличается от ТМ , то испаряющаяся жидкость, остывая (при высоких температурах газового потока возможен нагрев), принимает температуру «мокрого термометра».
Сказанное, очевидно, можно отнести и к таким предельным случаям, как точки плавления или кипения (точнее - «насыщения»), для которых эта температура определяется обратимой стадией, каковой в соответствующих задачах практически является само фазовое превращение. При этом указанная температура функционально связана с общим давлением в системе. © Проблемы энергетики, 2012, № 7-8
Как показывают экспериментальные и теоретические исследования, переходный период весьма мал при испарении капель, что связано с малой величиной самого жидкого объёма и высокой тепловой активностью жидких сред.
Если испаряющаяся жидкость представляет собой плоский слой, то дефиниция Тм подразумевает, что на внешней поверхности этого слоя, противоположной
поверхности испарения, должно выполняться условие дТ / дп = 0 , где п — нормаль к этой поверхности. Для испаряющегося «неограниченного» цилиндрического слоя жидкости, находящегося в условиях конвективного симметричного взаимодействия с газовой средой, либо для испаряющейся сферы (капли) соответствующее требование выглядит как (дТ / д г )г = о = 0, где г — радиальная координата, отсчитываемая от оси
цилиндрического слоя или от центра сферы.
Для сфер или цилиндрических слоёв указанное условие, как правило, реализуется вполне естественным образом.
Испаряющаяся чистая жидкость, достигшая ТМ, становится термодинамически внутренне-равновесной, а процесс испарения приобретает стационарный характер*.
(Представляется также возможным случай, когда интенсивность испарения в переходном периоде велика настолько, что жидкий объём испаряется, не успевая достичь ТМ.)
Определение температуры поверхности испарения Тм>, как в случае Т^ = ТМ, так и в более общем случае, можно связать с требованием минимизации энергии диссипации для основных процессов, определяющих тепло- и массоперенос в пограничных слоях, а именно теплопроводности и концентрационной диффузии. Тогда в приближении одномерной задачи и с учётом законов переноса [3,10] (см. также [11]) можно записать
/
Едис = | у=0
,2
Т 1ду
X (дТ,2 Бр ЯЯ № V 0(X, (дТ,2 , . (5)
' ] + од^к) ]^+КЫж^ (5)
где у — координата, нормальная к поверхности испарения (в случае испарительного охлаждения стенок поверхность испарения совпадает с поверхностью стенки, обращённой в газовый поток) и отсчитываемая от этой поверхности; Б — коэффициент взаимной диффузии; р - общее давление бинарной парогазовой смеси; С -концентрации (мас. доли) компонентов; Я - газовые постоянные.
Индексы: / - основной газовый поток; 1,2 - соответственно пар и второй компонент; ж - жидкость. Свойства без индексов относятся к парогазовой смеси в целом.
Выражению (5) соответствует уравнение баланса энергии на поверхности испарения:
д = ]г + Яж, (6)
где я — плотность потока тепла от газовой фазы к поверхности испарения; у — плотность потока пара; г - удельная теплота фазового перехода; дж - плотность потока тепла от поверхности испарения в жидкость.
*Некоторые авторы (см., например, [9]) полагают, что процессы с движущейся поверхностью раздела фаз принципиально не могут быть стационарными, а их «в лучшем случае» следует классифицировать лишь как «квазистационарные». Последний термин часто применяют также к процессам, практически близким стационарным.
Заметим, что хотя уравнение (6), как и равенство (4), выражает баланс энергии на границе раздела фаз, качественно оно соответствует более сложному случаю.
При достижении жидкостью температуры «мокрого термометра» имеем: (дТ / ду )ж = 0; уж = 0; диссипативный процесс в жидкой фазе отсутствует. Остаётся
только взаимодействие поверхности жидкости с газовой фазой. Величина энергии диссипации, соответствующая жидкой фазе, при этом равна нулю; жидкость оказывается лишь в роли поставщика массы в газ. Вариации от тепловой и диффузионной частей, выражающих диссипацию в газовой фазе, равны по модулям и противоположны по знаку.
Выражений (5) или (6), как и в более простом случае, соответствующем (4), недостаточно для определения температуры поверхности раздела фаз. Нужна связь коэффициентов тепло- и массоотдачи в газовой фазе, а в общем случае - также связь или знание коэффициента теплоотдачи со стороны жидкой фазы.
Для случая Т^ = Тм связь коэффициентов тепло- и массоотдачи со стороны газовой фазы может быть дана или через «отражение» экстремалей безразмерных температур и относительных концентраций [3], или на основе аналогии соответствующих критериальных уравнений [6]. Последнее приводит к соотношению
Ки/(КитС2„ ) = Ьеп , (7)
где Ки =--г-, Ки т =-у^--г- - числа Нуссельта, соответственно,
Х/ (/ - ТW ) (В р)/ (С 1^- С1 / )
для тепло- и массоотдачи; Ье/ = (Орср! А,) - число Льюиса; р - плотность, ср -
удельная изобарная теплоёмкость парогазовой среды; за определяющие в числах подобия приняты условия в основном газовом потоке; показатель степени у числа Льюиса зависит от условий обтекания и находится в пределах 0,33...0,43; индекс <ш».относится к поверхности испарения (у = 0).
С учётом соотношения (7) получаем следующее выражение для определения температуры «мокрого термометра»:
Бк/ЬеП = 1
:Де/ = 1, (8)
г>7 г + Уж/-С1/ (Бр\ при этом Ок =-—--—I-I , С\„ =/(Т„), а также в данном случае
Т/ - Тм> С 2w V ^ У/
Тж = ^ = ТМ, Уж = 0 (9)
(здесь Тж - температура термически равновесной жидкой фазы).
Можно полагать, что при этом условие подобия тепло- и массопереноса (8) связано с условием (9). Эта связь устанавливается с помощью принципа минимума диссипации.
Действительно, если рассматривать «чистые» процессы тепло- и массоотдачи в газовой фазе, то они должны быть подобны (при аналогичных формулировках соответствующих краевых задач и в силу близости чисел Прандтля и Шмидта), т.е. их решения будут давать близкие (подобные) распределения безразмерных температур и относительных концентраций, соответствующие также минимуму образования энергии диссипации в каждой из задач. Как следует из экспериментальных и теоретических данных, тепловое число Нуссельта и при наличии массопереноса остаётся практически тем же, что и при чистом теплообмене, если параметр поперечного потока вещества
-г- < 0,1 [12,13]; при этом а - коэффициент теплоотдачи от газовой фазы;
(а/ СР)0
индекс «0» означает чистый теплообмен. При условиях, отвечающих дефиниции температуры «мокрого термометра», действие на жидкость термических сил («термического принуждения») на её внешних границах отсутствует. Происходит подстройка диффузионного и теплового процессов в газовой фазе, стремящаяся сохранить минимум диссипации в каждой из указанных частей; соответственно сохраняется подобие тепло- и массопереноса, аналогичное существующему при
раздельных процессах тепло- и массоотдачи. Если же —У—г- >0,1; то влияние
(а/ СР)0
поперечного потока вещества, связанное с «разбуханием» пограничного слоя, на распределения безразмерных температур и относительных концентраций ощутимо, но для данного процесса испарения остается практически симметричным, т.е. опять-таки выполняется условие подобия.
Формула (8) для рассматриваемого случая достаточно хорошо оправдывает себя при заметных изменениях температур газовой среды [6,14], так для испарения воды расчёт температуры «мокрого термометра» по (8) даёт результаты, близкие к определяемым по 1-ё диаграмме и экспериментальным данным [15] до температур воздуха 700 0С.
Обратимся к другому случаю сопряжённой по фазам задачи испарения. Положим, что жидкая фаза может рассматриваться как полуограниченная среда, в которой тепло от (к) поверхности испарения распространяется теплопроводностью. Полагаем известными температуру Ту- и концентрацию Су в основном газовом потоке, а также температуру в глубине жидкости Т^.
На основе обработки наших экспериментальных данных по температурным измерениям при испарительном охлаждении плоской пористой стенки с подводом тепла к поверхности от потока воздуха в режимах, близких указанному случаю, было получено следующее соотношение [16]:
Т„ = Тм + а(Ть - Тм) = Ть - (1 - а)(ТЬ - Тм), (10)
где а = 0,96 .
Соотношение (10) было получено в опытах по испарению воды, этанола, ацетона при Ту- > Т^ , разность (Т^ - Тм) не превышала 35 К. Значения Тм при этом определялись по выражению (8).
Согласно (10) температура поверхности испарения Тм, близка к температуре в
глубине жидкости Т^ ; при этом в большинстве опытов имело место Т^ > ТМ . В то же время можно обратить внимание, что это соотношение удовлетворяет и случаю, отвечающему температуре «мокрого термометра»: т.е. когда Т^ =м, то и Тм, = ТМ. (Кстати это говорит ещё и о том, что при непрерывной подаче жидкости к испаряемой поверхности (для жидкой фазы в приближении полуограниченной среды) строгое соответствие Т^ = ТМ возможно лишь, если поступающая жидкость уже имеет температуру, равную Тм ).
Модельные представления также показывают, что Т^ должна быть близка к Т^. Так, если обычную сопряжённую задачу контакта двух полуограниченных сред рассматривать как некоторый предельный случай для задачи испарения, то для
T - TL bf
контакта газ-жидкость (без учета испарения) имеем —-— = и, например, для
Tf - Tw bL
системы воздух-вода:
bf = ^(Ясрр) f =V2,59 -10-2 -1,005 • 103 • 1,205 = 5,6 Дж/ (м2- К-с1/2), bL QcpP)L = V59,9 • 10-2 • 4,183 • 103 • 998,2 = 1581 Дж/ (м2- К-с1/2),
и соответственно Tw - T— =0,0035( Tf - Tw). (Свойства в этом расчёте брались в
единицах СИ при 20°С.)
Таким образом, температура границы раздела фаз близка к температуре среды, имеющей больший коэффициент тепловой активности, т.е. в данном случае к температуре в глубине жидкости. Если дополнительно действует ещё и фактор испарения, то по смыслу это должно вести к ещё большему уменьшению различия в значениях Tw и T—, так как при испарении происходит как бы постоянное «срезание» приповерхностного слоя.
Положим, что к контакту газ-жидкость можно применить решение Стефана-Неймана (контакт двух полуограниченных сред с фазовым переходом на их границе, но
в отсутствие диффузии). В соответствии с [17] примем (Kr )ж =—^= = 1, где
2V аж
2 /.л/т
р = —--= const. При этом для системы воздух-вода имеем
Рж
9= bolL = _0,73^-0 022 . (11)
Tf - Tw Tf - Tw
Таким образом, согласно (11) температурное отношение 9 зависит от разности температур Tf - Tw. При Tf - Tw=100 К величина 9« 0,005. При Tf - Tw < 70 К
разность Tw - T— становится практически постоянной и равной примерно 0,6-0,7 К.
Обратимся к уравнению баланса энергии (6) на границе газовая среда -испаряющаяся жидкость. Для стационарного (квазистационарного) процесса испарения жидкости как полуограниченной среды можно записать
Яж = /сж (Tw - TL) (12)
и, следовательно,
a(Tf - Tw) = /г + /сж (Tw - TLX (13)
где сж - удельная изобарная теплоёмкость жидкости; а - коэффициент теплоотдачи от газовой фазы.
В уравнении (13) величина /сж (Tw - Tl ) в практических задачах испарительного охлаждения (Tf > T—) намного меньше, чем jr . Если даже ориентироваться на самые «неблагоприятные» в этом плане возможные разности Tw - T—, то и в этом случае произведение сж (Tw - T—) вряд ли может составить более 10% от r , т.е. представляет собой величину, на порядок меньшую. Членами одного порядка в (13) являются jr и a(Tf - Tw). Если все члены в выражении (13) поделить на одну и ту же величину, то
их порядок сохранится прежним. Поделим уравнение (13) на /сж (Tf - Tw), тогда
а г Т^ - ТЬ получим выражение -=--1--, в котором отношение
^ . / л7-] /тт \ гт~1 гт~1 7
]Сж сж (Т/ - Тм>) Т/ - Тм> (Т^ - ТЬ )/(Т/ - Тм,) - величина, по крайней мере, на порядок меньшая, чем два других члена уравнения.
Наиболее близкой эмпирическому уравнению (10) является модель, в которой Тм рассматривается как предел охлаждения испаряющегося приповерхностного слоя при условии его «почти адиабатичности» от остальной массы жидкости. Однако в реальности для жидкой фазы в приближении полуограниченной среды определяющую роль играет её высокая тепловая активность в переходном периоде и непрерывность движения границы раздела фаз, приводящая к постоянному срезанию поверхностного слоя. Это в конечном итоге и определяет величину Т^, весьма близкую к Т^ .
При высоких температурах газового потока очевидно, что температура «мокрого термометра» может превышать температуру в глубине жидкой фазы. Эмпирическое уравнение (10) «работает» и в этом случае, хотя при этом нельзя исключить, что оно потребует уточнений.
Близость в рассматриваемом случае температуры поверхности испарения к температуре в глубине жидкости означает выполнение положения принципа минимума диссипации: при определённых условиях, заданных на её внешних границах, система стремится обеспечить минимум диссипации в любой своей части. В данном случае это означает и минимально возможные значения производной (дТ / ду)ж, соответствующие, естественно, минимальным различиям температур Т^ и Т^ .
Представляло интерес определить величину образующейся энергии диссипации для задачи тепломассопереноса на конкретном примере. Было рассмотрено испарение в плоский ламинарный пограничный слой воздушного потока. Энергия диссипации, обусловленная теплопроводностью и диффузией в пограничном слое газового потока, может быть с некоторым приближением выражена как
)Г|Т)2 # + М^2 ^ #, (14)
Т АТ 0{дУ) С1С2Я2 АС 0 ^ дУ
где Т = (Т - Т- Т); С1 =( С - С^ )/(С / - Сы ); у = у/Ат (или, соответственно,
у = у/Ас ); Ат , Ас - толщины условных пограничных слоёв, соответственно, теплового и диффузионного; горизонтальная черта над обозначениями величин означает, что берутся их среднеинтегральные значения (в наших расчётах заменялись на среднеарифметические). Интегралы в выражении (14) подсчитывались с использованием аппроксимирующих функций. Для безразмерной температуры Т использовалась известная аппроксимация кубической параболой, поскольку закон теплообмена оказывается консервативен (независим) по отношению к параметру
(р^!Ьеу) [13]; для относительной концентрации С использовалась аппроксимация параболой пятой степени [18]:
При достаточно больших концентрациях пара на поверхности испарения, заметно
превышающих концентрацию в основном газовом потоке, более точную величину энергии
диссипации, обусловленную диффузией, можно получить, если выразить:
С1 = С1^ + С1 (С1/ -С1^); С2 =1 - С1.
% 5 10., „\ ~2 5- ~3 5 л
С = зСу + — (1 -ц)У -з(1 -С)У -зУ + У ; при этом в исследованиях по
испарительному охлаждению стенок имело место [13] ^ = (ЬеПу ) < 1.
Величины указанных интегралов оказались практически одинаковыми, в том
числе для 11 —^ dy устойчивы к изменению параметра ^. Для принятых
■л
1 Гэт%1 Гэс ^
аппроксимаций [I — (у равен 1,20; [I —1 (у равен 1,204 при ^ = 1/2 и 1,231 при
0] 0 {8у]
с = 1/20 .
Для расчёта были взяты следующие исходные данные: испарение воды в воздух, Ту =800С, Су =0,0092. Для ламинарного пограничного слоя (ЛПС) на плоской
поверхности толщина скоростного слоя Д « 5х/\]Яех , где х — расстояние от начала поверхности [19]. Если принять Яех=105 (близким к переходу в турбулентный
пограничный слой), х=0,2 м, то Д =3,2 -10 3 м. Далее, пренебрегая различиями в числах Прандтля и Шмидта и считая их близкими к единице, будем полагать Дт = Дс = Д *.
Сначала был рассмотрен случай Т^ = Тм = 310С. При этом величина энергии диссипации, обусловленная теплопроводностью в газовой фазе, равна
)т
(-Едис )т = 79,6 Вт/м2 ; та же величина, обусловленная диффузией,
(-дис )С = 30,8 Вт/м2 ; в сумме 110,4 Вт/м2. Далее
допустим, что вследствие изменения
условий в жидкой фазе температура поверхности испарения уменьшилась и стала равна 260С. При этом (Едис )т увеличится и станет равна 95,3 Вт/м2; (Едис )с уменьшится и
станет равна 15,6 Вт/м2; их сумма почти не изменится и будет равна 110,9 Вт/м2.
Положим, что при сохранении тех же условий в основном газовом потоке температура поверхности испарения Т^ будет равна 360С. При этом (Едис )т =65,8
Вт/м2; (Едис )с =54,3 Вт/м2, в сумме 120,1 Вт/м2.
Оценим, какой вклад в общую величину энергии диссипации при указанных отклонениях Т^ от Тм может внести теплопроводность в жидкой фазе; последнюю рассматриваем в приближении полуограниченной среды. При этом
(у=-ТЬ)2 = -Т-(-ТЬ).
£ ^1 ]ж 2Тж 2Тж
*Теоретический анализ и, в частности, построение аппроксимации для профиля С по методу осреднения продольной скорости в плоском ЛПС [20], заставляет предполагать, что при заметной концентрации пара на поверхности испарения С\щ (около 0,5 и выше), вследствие возрастания относительной роли стефанова потока в общем потоке пара, возможно несколько более раннее увеличение толщины пограничного слоя по сравнению со «стандартным».
Для оценки примем7=10_3 кг/(м2 с), / Тм, — Ть /=1К. Даже при этих, завышенных по отношению к рассматриваемому случаю, величинах значение энергии диссипации в жидкой фазе получается примерно равным 6-10"3 Вт/м2, т.е. является несущественным.
Существенной в данном случае является лишь диссипация в газовой фазе, где при обозначенных отклонениях температуры и, соответственно, концентраций на поверхности фазового перехода происходит перераспределение величин (£дис )т и
(Едис )с , но их суммарное значение меняется слабо.
Действительно, при неизменных граничных условиях величина диссипации должна определяться свойствами системы и характером происходящего в ней процесса. В случае, рассматриваемом выше, изменение условий в жидкой фазе практически не влияет на величину диссипации в этой части системы. В то же время это изменение «передаётся» на другой уровень — на значения температуры и концентраций поверхности раздела фаз. Причём в данном случае изменения температурной разности
((/ - Т^) и разности концентраций (С^ - С1 /) идут в противоположные стороны и
при не очень больших отклонениях в величинах Т^ и С^ будут почти линейны.
В практических задачах необходимо считаться с тем, что даже при непрерывной подаче жидкости к поверхности испарения жидкость в массоотдающем устройстве может не отвечать модели полуограниченной среды. Например, в экспериментах по испарительному охлаждению пористых стенок жидкость поступала в массоотдающее устройство через отдельные отверствия (штуцера), образовывая в корпусе устройства плоский слой. Поэтому необходимо уточнение, когда для испарительного устройства возможно приближение жидкости как полуограниченной среды.
Для жидкости в приближении полуограниченной среды можно ввести понятие условного пограничного слоя 8ж , определяемого через соотношение
Яж = Аж Т-ТЬ 2/5ж =]С-ж Т-Ть ) , (15)
°ткуда 8ж = А-ж/(]с-ж2[13].
Если 8ж < Ь , где Ь — толщина слоя жидкости в массоотдающем устройстве, то очевидно, что жидкую фазу можно рассматривать в приближении полуограниченной среды. При испарении ацетона плотность потока массы пара достигала в наших опытах
5 • 10 3 кг/(м2 с), при этом 8ж оказывалась достаточно близкой к Ь .
(Рассмотрение фазы, соседней с газовым потоком, в приближении полуограниченной среды постоянно используют для процессов вдувания газов в пограничный слой основного потока; указанное приближение в этом случае совершенно оправдано, поскольку при этом имеют место большие величины 7 при малых коэффициентах теплопроводности вдуваемого газа.)
При сравнительно небольших интенсивностях испарения величины 8ж будут заметно превышать толщину слоя жидкости в испарительном устройстве Ь. Это однако может не иметь существенного значения, если величины Т^ и ТЬ близки между собой и отток тепла дь через корпус массоотдатчика незначителен.
Если же величина дь заметна, то вместо выражений (12,15) для (квази)стационарного процесса следует использовать более общую формулу:
Яж = 7сж (ТМ, - ТЬ ) + Яь. (16)
В литературе уже отмечалось, что в ПМД по сути содержится расширенный принцип Ле Шателье: если условия на внешних границах системы изменяются, то система отвечает таким образом, чтобы минимизировать влияние этого воздействия.
Рассмотрим случай, когда величина ql для жидкости в испарительном устройстве была близка к нулю, но затем произошло заметное повышение температуры газового потока. Это должно вести к увеличению количества тепла, поступающего к поверхности испарения от газовой среды. Наиболее очевидная реакция системы - это увеличение интенсивности испарения. Однако для этого должно также произойти усиление диффузионного процесса, т.е. определённое повышение температуры поверхности испарения и соответствующее увеличение концентрации пара на этой поверхности. Повышение температуры поверхности испарения действует также в сторону уменьшения количества тепла, поступающего к поверхности испарения от газового потока.
Увеличение Tw в области (почти) экспоненциальной зависимости концентрации пара от температуры может вести к заметному увеличению величины энергии диссипации, соответствующей её диффузионной составляющей. Однако если жидкость, находящаяся в массоотдающем устройстве, практически представляет собой плоский слой, то более «экономным» (т.е. удовлетворяющим ПМД) для рассматриваемого случая может оказаться вариант, при котором системе выгоднее заметную часть тепла отводить наружу через жидкий слой и корпус массоотдающего устройства. Другими словами, заметное повышение температуры газового потока может привести (и приводит [13]) к появлению такого перепада температур в жидкостном слое, при котором величина тепла, отводимого от поверхности испарения через жидкую прослойку, становится одного порядка с количеством тепла jr, идущим на фазовый переход.
Таким образом, принцип минимума диссипации даёт фундаментальную базу для анализа необратимых процессов переноса, что наглядно видно на примере сопряжённой по фазам задачи совместного тепломассопереноса при испарении.
В заключение процитируем слова академика Н.Н. Моисеева: «Принцип минимума диссипации - это один из важнейших принципов отбора реальных движений из числа виртуальных Законы сохранения, как правило, не выделяют единственного решения. Природа этим принципом нам демонстрирует удивительную особенность: она допускает не просто те движения, при которых энтропия растет, а только те, при которых рост энтропии минимален (в частности, нуль)» [21].
Summary
The principle of minimum dissipation is fundamental for irreversible transport processes. Particularly useful is the application of this principle for complex processes of interaction, an example of which is the challenge of heat when evaporation.
Key words: heat transfer, evaporation, thermodynamics of irreversible processes
Литература
1. Helmholtz H. Zur Theorie der stationären Ströme in reibenden Flüssigkeiten. // Verhandl. der naturalist.-med. Vereines, Okt.1868.
2. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир, 1974.
3. Shpakovskii R.P. The Minimum Dissipation Principle and Heat-Mass-Transfer Problem // Journal of Engineering Thermophysics. 2010. Vol.19, No.1. PP.9-16.
4. Вукалович М.П., Новиков И.И. Термодинамика. М.: Машиностроение, 1972.
5. Шпаковский Р.П. Принцип минимума диссипации // Матем. методы в технике и технол. ММТТ-22. Псков, 2009. Т.3. С.34.
6. Шпаковский Р.П. К определению температуры «мокрого термометра» // Теор. основы хим. технол. 1995. Т.29, №3. С.330.
7. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчёт тепломассообменных процессов. Казань: изд-во Казан.ун-та, 2007. 500 с.
8. Шпаковский Р.П. Вариационные принципы термодинамики и задача тепломассопереноса // Матем. методы в технике и технологиях. ММТТ-14. Смоленск, 2001. Т.1. С.37.
9. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976.
352с.
10. Шпаковский Р.П. Производство энтропии и температура мокрого термометра // Теор. основы хим. технол. 2000. Т.34, №6. С.657.
11. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука,
1967.
12. Бобе Л.С., Лебедев П.Д, Пинский Б.Я. Некоторые вопросы тепло- и массообмена в парогазовой фазе при испарении жидкости // Инж.-физ. журн. 1976. Т.30, №1. С.27.
13. Шпаковский Р.П.,.Пастухова Г.В. Массотеплоотдача при испарении в газовый поток // Теор. основы хим. технол. 1998. Т.32, №3. С.256.
14. Лукашов В.В. К определению температуры поверхности испаряющейся жидкости // Теор. основы хим. технол. 2003. Т.37, №4. С.351.
15. Полищук Д.И. Испарение капель воды при температурах среды, превышающих температуру кипения // Журн. техн. физ. 1953. Т. 2, вып. 12. С.2151.
16. Шпаковский Р.П. К определению температуры поверхности испарения // Инж.-физ. журн. 1995. Т.68, №4. С.693.
17. Шпаковский Р.П. О квазистационарных моделях теплопроводности в жидкой фазе при испарении с ее поверхности // Инж.-физ. журн. 1995. Т.68, № 3. С.500.
18. Шпаковский Р.П. Аппроксимация профиля концентрации в газовой фазе при испарении // Теор. основы хим. технол. 2002. Т.36, №2. С.135.
19. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1970.
325с.
20. Шпаковский Р.П. Моделирование диффузии при испарении в плоский ламинарный пограничный слой // Матем. методы в технике и технологиях ММТТ-16. С.-Петербург, 2003. Т.3. С.191.
21. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979. 224с.
Поступила в редакцию 05 июня 2012 г.
Шпаковский Ростислав Павлович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Процессы и аппараты химической и пищевой технологии» Дзержинского политехнического института Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е.Алексеева. Тел.: 8 (8313) 22 41 01. E-mail: rst-shp@list.ru.
