CC BY
33
Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 3. С. 117—123
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 517.97
Принцип максимума для задачи оптимального управления тепловым процессом *
В. П. Поплевко
Иркутский государственный университет Е. А. Лутковская
Иркутский государственный университет
Е. В. Тучнолобова
Иркутский государственный университет
Аннотация. В статье рассматривается задача оптимального управления тепловым процессом. Правая часть дифференциального уравнения нелинейна по совокупности своих аргументов, в набор аргументов входят независимые переменные (пространственная и временная), управление и состояние. Для данной задачи получено необходимое условие оптимальности типа классического принципа максимума.
Ключевые слова: тепловой процесс; оптимальное управление; необходимое условие оптимальности; принцип максимума.
Задачи оптимального управления, в которых связь между состоянием и управлением определяется параболическими уравнениями, имеют многочисленные приложения при изучении процессов теплопроводности, диффузии, фильтрации и др. В данной статье под управлением тепловым процессом понимается управление процессом теплопроводности.
Существует значительное число работ, посвященных разнообразным аспектам задач оптимального управления процессами, описываемыми параболическими уравнениями и системами. Однако их подавляющая
Введение
* Работа выполнена при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (Соглашение № 14.B37.21.1124)
часть посвящена либо построению математических моделей в форме задач оптимального управления, либо в них изучаются задачи оптимального управления более частного характера. Так, в работе [1] изучаются линейные по состоянию и управлению задачи. В [2] рассматриваются хотя и многомерные задачи, но также в основном в их линейном варианте и для функционала в виде среднеквадратической невязки.
Существенной особенностью нашего исследования является значительная общность постановки задачи оптимального управления: нелинейная правая часть дифференциального уравнения по совокупности своих аргументов, в набор аргументов входят независимые переменные (пространственная и временная), управление и состояние.
Можно отметить чисто теоретическую направленность многих работ в области оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными. Многие авторы ограничиваются только получением условий оптимальности того или иного вида и, в общем случае, теоретическими схемами методов.
Цель нашего исследования — получение принципа максимума Понт-рягина и его следствий для задачи оптимального управления тепловым процессом для дальнейшей разработки конструктивных методов решения, основанных на этих условиях оптимальности.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующее уравнение
Xt - Xss = f (x,U,S,t), (1.1)
(s,t) e П, n = S x T,S = [so,si],T = [to,ti],
где x = x(s,t) - функция состояния, u = u(s,t) - управляющая функция.
Начально-краевые условия
x(s,to)= x0(s), s e S; x(so,t) = q0(t), x(si,t) = ql(t),t e T. (1.2)
В качестве множества допустимых управлений выберем совокупность ограниченных и измеримых на П функций, удовлетворяющих почти всюду ограничениям
u(s,t) e U, (s, t) e П, (1.3)
где множество U компактное. Требуется найти допустимое управление, доставляющее минимум целевому функционалу
J(u) = j x(s,tl),s) ds + jj F(x,u,s,t) dsdt ^ min. (1.4)
Задача (1.1)-(1.4) рассматривается при следующих предположениях:
1) функции х0 (в) и д0(Ь), д1(Ь) — непрерывны на Б и Т соответственно;
2) функции / (х,и,в,Ь), Г(х,и,в,Ь) и х(в,Ь1),в) — непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные и ограниченные частные производные по х.
На основании результатов работ [3, 4, 5, 6] о свойствах обобщенного решения, будем считать, что хг, х3, х33 являются измеримыми существенно ограниченными в П функциями.
2. Формула приращения
Рассмотрим формулу приращения целевого функционала на двух допустимых процессах: исходном — {и, х} и проварьированном {и = и+ Ди,х = х + Дх}. Обозначим Бх = хг — х33. Тогда задача в приращениях имеет вид:
БДх = Д/(х, и, в, Ь),
Дх(в, ¿о) = 0, в е Б; Дх(во,ь) = о, Дх(въь) = о,ь е Т, (2.1)
а приращение функционала Д,1 (и) = ,1 (и) — ,1 (и) вычисляется по правилу
ДJ(и) = У Д^(х(в,Ь1),в) йв + JJ ДГ(х,и,в,Ь) йвйЬ. я п
Заметим, что в силу (2.1) справедливо равенство
J! ф(в, Ь)[БДх — Д/(х, и, в, ¿)] йвйЬ = 0 п
при произвольном выборе функции ф. Далее применим формулу интегрирования по частям:
J! ф(в, ¿)БДх йв йЬ = Ц[ф(в, Ь)Дхг] — [ф(в, Ь)Дх33] йв йЬ = пп
= ![ф(в,11)Дх(в,11) — ф(в,Ь0)Дх(в,Ь0)] йв — !! фгДхйвйЬ— я п
— ^[ф(в1,Ь)Дх3(в1,Ь) — ф(во,Ь)Дх3(во,Ь) — ф3Дх(в1 ,Ь) +
+ф3Дх(в0,Ь)] йЬ — JJ ф33Дх йвйь. п
т
Учитывая условия (2.1), получаем
А.1 (и) = У Аф(х(8,г\),8) йв + 1 ф^в^^Ах^в^г) йв-я я
— JJ 0*фАх йвй — JJ Ф(в,^)А/(х,и,8,г) (1,8(Ц —
п п
-//АГ
п
где Б*ф = ф + (ф)ss■
Приращение Аф разложим по формуле Тейлора первого порядка
др^х&Ь), в) дх
Аф(з,11),з) = ^ ' ¿1) + о^(\Ах(з, ¿!)|).
Введем функцию Понтрягина
Н(ф, х, и, 8, г) = ф(в, г), ¡(х, и, 8, г) — Г(х, и, 8, г).
Тогда
АН(ф, х, и, 8, г) = АуН(ф, х, и, 8, г) + А%Н(ф, х, и, 8, г).
Приращение А%Н(ф,х,и,8,г) разложим по формуле Тейлора первого порядка, выделив линейную часть относительно Ах
АхН(ф, X, и, 8, *) = ^ + 0нцАф}
Потребуем, чтобы функция ф(8,г) являлась решением следующей сопряженной задачи
I) Г = -Нх{ф,х,и,8,1), ф{8М) = —> (2-2)
ф(80,г) = ф(8г,г) = 0.
Теперь, формула приращения функционала примет вид:
А.1 (и) = — JJ Аън (ф(8, г),х(8, г),и(8, г), 8, г) й8йг + п. (2.3) п
ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 121 Здесь
П = ! о^(\Дх(в, ¿1 )|) йв — Л (он (\Дх(в,Ь)\) —
я п
—ДуИх(ф(в, Ь),х(в, Ь),и(в, Ь), в, Ь)Дх(в, ¿)) йвйЬ.
3. Принцип максимума
Рассмотрим игольчатую вариацию допустимого управления
V — и(в, ь), (в, ь) е П£,
*£ .
Ди(в,Ь) = ^о, (в,ь) е П\П£.
Здесь П£ = (£ - х (т - у/е,т), £ € г € (¿0,^1], числа е > О,
V е и.
Результаты работы [5] позволяют считать, что на игольчатой вариации для данной задачи оптимального управления будет справедлива следующая оценка
\Дх(в,Ь)\ ~ е.
Тогда остаточный член в формуле (2.3) имеет больший порядок малости, то есть
П ~ о(е).
Формула приращения функционала на игольчатой вариации управления имеет вид
? г
Д,1 (и) = — ! J Дуи(ф(в,г),х(в,г),и(в,г),в,г) йвйь + о(е). (3.1)
(,-у/ёт-у/ё
Для почти всех т. (^, т) (т. Лебега функции ДуИ) будет справедлива теорема о среднем. Получим
Д1 (и) = —ДуИ(ф(£,т),х(£,т),и(£,т),£,т) ■ е + о(е), е> 0. (3.2)
Из формулы (3.2) следуют теоремы
Теорема 1. Пусть и*(в,Ь), (в,Ь) е П - оптимальное управление в задаче (1.1)-(1.4), х*(в,Ь), ф*(в,Ь) решения соответственно исходной (1.1) и сопряженной задач (2.2) при и = и*(в,Ь). Тогда управление и*(в,Ь) удовлетворяет почти всюду на П условию максимума
И(ф*(в, Ь),х*(в, Ь),и*(в, Ь),в, Ь) = тахИ(ф*(в, Ь),х*(в, Ь),и, в, Ь). (3.3)
иЕи
Теорема 2. Пусть в дополнение к условиям задачи (1.1)—(1.4) функции f и F дифференцируемы по управлению и, а множество U - выпуклое. Тогда оптимальный процесс {u*,x*} удовлетворяет линеаризованному принципу максимума:
Ии(ф*,x*,и*,s, t) ■ и* = maxИи(ф*,x*, и*,s, t) ■ v, (s, t) £ П.
v£U
Теорема 3. Если в рассматриваемой задаче (1.1)-(1.4) функции f и F имеют вид
f (x, и, s, t) = B(s, t)x + d(u, s, t),
F(x, и, s, t) = G(x, s, t) + д(и, s, t),
а функции ф(x), G(x,s,t) выпуклы, тогда поточечный принцип максимума (3.3) будет необходимым и достаточным условием оптимальности.
Аналогично результатам [6], полученные необходимые условия оптимальности носят конструктивный характер, так как позволяют построить серию методов последовательных приближений, основанных на приведенных условиях оптимальности.
Список литературы
1. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М. : Наука, 1965. - 474 с.
2. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. - Новосибирск : Науч. кн., 1999. - 352 с.
3. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В. П. Михайлов. - М. : Наука, 1983. - 424 с.
4. Годунов С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. - М. : Наука, 1979. - 392 с.
5. Терлецкий В. А. Метод последовательных приближений в параболической начально-краевой задаче / В. А. Терлецкий, Е. В. Тучнолобова, Н. Ю. Ульянова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2013. - Т. 6, № 2. -С. 77-83.
6. Васильев О. В. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 2. Оптимальное управление / О. В. Васильев, В. А. Срочко, В. А. Терлецкий. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 151 с.
V. P. Poplevko, E. A. Lutkovskaya, E. V. Tuchnolobova Maximum principle for optimal control problem by thermal process
Abstract. An optimal control problem by thermal process is considered. Function of the right side of differential equation is non-linear and contains independent variables, control function and phase state. A classic necessary optimality condition is given for the optimal control problem.
Keywords: thermal process; optimal control; necessary optimality condition; maximum principle.
Поплевко Василиса Павловна, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)20-13-07 ([email protected])
Лутковская Екатерина Александровна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)52-12-82 ([email protected])
Тучнолобова Екатерина Владимировна, аспирант, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952)52-12-82 ([email protected])
Poplevko Vasilisa, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)20-13-07 ([email protected])
Lutkovskaya Ekaterina, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)52-12-82 ([email protected])
Tuchnolobova Ekaterina, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, Phone: (3952)52-12-82 ([email protected])
