Принцип длинных волн и дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решёток в модели диполь-дипольных взаимодействий Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1

ПРИНЦИП ДЛИННЫХ ВОЛН И ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЁТОК В МОДЕЛИ ДИПОЛЬ-ДИПОЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

© 2009 В.Е. Холодовский, И.О. Мачихина

Брянский государственный университет Поступила в редакцию 12.01.2009

В работе исследуются колебания моноатомных кристаллических решеток, вызванные Ван-дер-Ва-альсовскими силами. Построена динамическая модель и получены уравнения, описывающие колебания моноатомных кубических решёток в адиабатическом приближении. Показано, что согласно принципу длинных волн, в предельном случае полученные уравнения переходят в известные уравнения теории упругости, что позволяет выразить силовые константы динамической модели через упругие константы вещества. Решение полученных уравнений позволило получить дисперсионные соотношения для ОЦК и ГЦК решеток без каких-либо свободных параметров. Произведенные расчеты дисперсионных кривых для № и А1, показали хорошее согласие с экспериментальными данными. Ключевые слова: динамическая модель, диполь, кристаллическая решетка, упругие константы, дисперсионные соотношения, дисперсионные кривые.

Как известно, динамические процессы, происходящие в веществе, так или иначе определяются тем, каким образом взаимодействуют между собой отдельные атомы. Поэтому для теоретического исследования свойств вещества возникает необходимость адекватного количественного описания механизма межатомного взаимодействия, позволяющего построить динамическую модель и произвести необходимые расчеты.

В настоящее время существует два подхода к построению такого описания - первопринцип-ный и полуэмпирический. Первый основан на определении волновых функций электронов в кристалле и последующем решении уравнения Шредингера для системы электронов и ядер (или ионных остовов) всего кристалла. Однако решение подобной задачи осложняется наличием огромного числа взаимодействующих частиц и практически невозможно без каких-либо упрощений и привлечения эмпирических поправок или свободных параметров. Все это так или иначе приводит к исчезновению самой сути перво-принципного подхода.

Полуэмпирический подход имеет ряд возможностей для своей реализации и, тем самым, сохраняет свою актуальность по сей день. Традиционные подходы предполагают задание для каждого вещества функций межатомных взаимо действий [1-2] или функции распределения электронной плотности в кристалле или в мо-

Холодовский Владимир Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент. E-mail: tfbgubry@mail.ru. Мачихина Инна Олеговна, аспирант. E-mail: ingibordit@yandex.ru.

лекуле [3]. И те и другие определяются исследователем из физических соображений, а входящие в них параметры находятся из условий совпадения рассчитанных и экспериментально измеренных физических характеристик исследуемого вещества.

Оба рассмотренных подхода не лишены противоречий. Основное противоречие состоит в том, что для описания свойств какого-либо вещества необходимы экспериментальные данные об этом веществе. При этом отсутствует возможность привлечения микроскопических первопринципных методов для расчета параметров моделей.

Из сказанного следует, что при использовании полуэмпирического подхода важно определить механизм межатомного взаимодействия таким образом, чтобы, во-первых, построенная на его основе динамическая модель не приводила к сверхсложным расчетам, а ее выводы давали достаточно хорошее совпадение с экспериментом, и, во-вторых, не исключалась возможность расчета параметров модели из первых принципов.

В настоящей работе исследуются колебания моноатомных кубических кристаллических решеток, при силовом взаимодействии между отдельными атомами, имеющем Ван-дер-ваальсов-ский характер. Атом кристалла рассматривается как структуризованный объект, состоящий из ионного остова и электронов на внешних оболочках. Считается, что остов колеблется как единое целое, а колебания электронов на внешних оболочках сводятся к колебаниям их центра заряда.

Исходные предпосылки построения такой модели для металлов заключаются п следующем.

1. Количество валентных электронов, находящихся в зоне проводимости, мало по сравнению с количеством тех валентных электронов, которые адиабатически связаны с колеблющимися остовами. Данное предположение анализируется в работах [4]. [5].

2. Электронная плотность валентных электронов. связанных с остовом отдельно взятого атома определяется взаимным расположением последнего с остовами соседних атомов из первой п второй координационных сфер. При этом центр заряда внешней электронной оболочки атома не обязан совпадать с положением его остова. Это значит, что в атоме наводится дниольнып момент, плечо которого зависит от взаимного расположения его остова и остовов соседних атомов.

3. Днпольный момент, наводимый ватомесо стороны остовов атомов из первой координационной сферы, зависит не только от радиального, а также п от тангенциального взаимного перемещения остова рассматриваемого атома и остовов его соседей. Присутствие тангенциальной составляющей дпнольиого момента приводит к возникновению сил нецентрального характера, действующих на остовы, что позволяет объяснить нарушение соотношения Коши в кубических металлах. Согласно этому соотношению, дчя кубических кристаллов, в которых действуют только центральные силы, должно выполняться равенство О, = С.^. Однако.экспериментом установлено. что во всех металлах это условие нарушено. В работе [6] это обстоятельство объясняется наличием многоионного взаимодействия.

4. Наводимые в атомах динамические ди-польные моменты излучают электромагнитную энергию. Излучаемую атомом энергию можно рассматривать как результат работы силы реакции на излучение по перемещению его остова. В первом приближении, с учетом размеров плеча диполя, сила реакции пропорциональна плечу диполя. В адиабатическом приближении можно считать, что энергия, излучаемая атомом за некоторый временной промежуток, равна энергии, поглощаемой им за счет излучения остальных атомов решетки. Данное условие будет выполнено. когда сила реакции па излучение диполя атомауравновешнваег внешние силы, в том числе кулоновскпе. действующие на его остов со стороны остальных атомов решетки. Последнее предположение существенно упрощает построение динамической модели.

5. Согласно принципу длинных волн, сформулированному М. Борном [ 1-2). уравнение колебаний остовов атомов решетки в предельном случае сводится к классическому уравнению рас-

пространения волн упругих деформаций в кубических кристаллах, что позволяет выразить силовые константы модели черезу пругие константы рассматриваемого вещества.

Все указанные выше предпосылки позволили построить динамическую модель, в кото ро реализован принцип длинных волн и произведены расчеты дисперсионных кривых для ряда .элементов 1 - 5 групп таблицы Д.И. Менделеева, без каких бы то ни было подгоночных параметров.

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ДИПОЛЬ-Д1ШОЛ>НОГОВЗАИМО ДЕЙСТВИЯ

Рассмотрим моноатомную кристаллическую решетку. Каждый атом решетки мы будем представлять какструктуризованный объект, состоянии! из остова (ядро и внутренниеэлектронные оболочки) и электронов на внешних электронных оболочках (в. э. о.) считая, что остов совершает колебания как единое целое, а колебания электронов на в. э. о. сводятся к колебаниям их центра заряда. Обозначим через и - массу остова. через ¿/-его заряд, п пусть ¡3 = ■ 4ле0.

Пусть А - какое-нибудь множество индексов, с помощью которою можно занумеровать все атомы решетки. Для каждого _*е .1 обозначим через Ас соответствующий атом решетки, через ¿д узел, являющийся положением равновесия атома Ар , а через М= смещение остова атома Ар из положения равновесия в некоторый момент времени Л Обозначим, далее, через 5';и(д) - множество индексов из \ . нумерующих атомы решетки, находящиеся на т-ой координационной сфере атома А* . Пусть А^> - атом, соседний сатомом А^. Перемещение остовов атомов А* п Ас' относительно друг друга вызывает изменение степени перекрытия орбиталей их в. э.о.. что приводит к возникновению у этих атомов соответствующих дниольных моментов. Будем считать, что перекрытие орбиталей может происходить у атомов, лежащих друг относительно друга на первой и второй координационных сферах. Причем, для атомов, лежащих друг относительно друга на первой координационной сфере изменение степени перекрытия орбиталей будет происходить как при радиальном, так и при тангенциальном (вращательном) перемещении их друг относительно друга. Для атомов же. лежащих друг относительно друга на второй координационной сфере, изменением степени перекрытия их орбиталей при тангенциальном перемещении мы будем пренебрегать. Обозначим через единичный направляющий вектор вектора А а через И'ар- = 7/с> — /Ь - вектор относительного перемещения остововатомов

и %. Пусть Г££> = е^' < п-^ > - радиальная, а Г^' = нч^ -г^'- тангенциальная составляющие вектора н*^ где в скоб-

ках обозначено скачярное произведение векторов ¿Чс и Тогда плечо днпольного момента. р^-. на ве ленного в атоме Ас состороныато-ма , лежащего на его первой и второй координационной сферах соответственно можно определить формулами

Рк' ~ к\гг%' + К\'Т££,= = С^Чг - < > + ' (1 •1)

Р&> = г < >• ('1.2)

где \->г - числовые параметры, посто-

янные для данного кристалла.

Плечо ре полногоднполыюго момента, наведенного в атоме со стороны всех его соседей, вычисляется путем суммирования по всем соседним атомам из первой п второй координационных сфер

Р5 = I IШ' Поч

Соответствующая сила, действующая на остов атома Ас, выражается формулой

I.

где от - поляризуемость атома.

На внутриатомный диполь атома А* действует сила А'г. вызванная излучением остальных атомов решетки и внешними факторами. В результате действия силы центр заряда в.э.о. атома Ар и следовательно плечо его днпольного момента, получает некоторое приращение

и становится равным — р* + ^р* .Наведенный дополнительный днпольный момент создает част нч ну ю экра и иза иию с! ы ы . С у четом этой экранизации внешняя сила, действующая на внутриатомный диполь, становится равной ^ = К: -р\р!С(. При этом энергия, поглощаемая атомом за счет действия внешних сил на

временном промежутке [¿0, равна .

»4

Атом Ас. представляющий собой систему подвижных зарядов, излучает электромагнитную энергию. Излученную атомом энергию на некотором временном промежутке [¿0, можно рассматривать как результат работы силы Р: реакции на его излучение, приложенной к обоим полюсам внутриатомного диполя и имеющей на них противоположные направления. Тогда энергия, теряемая атомом за счет излучения.

выразится интегралом \R -.dP-. .

и

С учетом всех сил. действующих на остов атома Ас, уравнение его движения принимает вид

ии = I) + Г|. (1.4)

В состоянии термодинамического равновесия средняя но достаточно маюму объему энергия. излучаемая атомами решетки должна совпадать с энергией, поглощаемой ими. Следовательно. не принимая во внимание отдельные флуктуации, можно считать, что в рассматриваемом случае на любом временном промежутке [¿0, справедливо равенство

Щ + )>5Щ - |(Л. + Щ =0,(1.5)

го '» '©

которое будет выполнено, если считать, что силы Яс и Г, уравновешивают друг друга, т.е.

Таким образом, в состоянии термодинамического равновесия уравнение (1.4) движения остова атома принимает вид

п Р

ш/ =2) =-—Рг.

* * а *

2. ПРИНЦИП ДЛИННЫХ волн

(1.6)

Как уже говорилось во введении, создавая своюдинамическуютеорию, М. Бори сформулировал положение, называемое принципом длинных волн, согласно которому уравнения, описывающие колебания кристаллической решетки, в предельном случае, когда расстояния между атомами стремятся к нулю, должны переходить в классические уравнения распространения волн упругих деформации. Ниже показывается, что получаемые таким способом уравнения полностью соответствуют уравнениям теории упругости. что позволяет выразить силовые коэффициенты исследуемой динамической модели через упругие константы рассматриваемого вещества.

Рассмотрим крнстачл. имеющий объемно-центрированную кубическую (ОЦК) или гране-центрированную (ГЦК) кристаллическую решетку. Будем считать, что он имеет форму куба, содержащего /г3 элементарных кубических ячеек. и обозначим через О параметр решетки. Положим N = {1.2....2/?}. Зададим в пространстве систему кристаллографических координат Охуг с единичными направляющими векторами ех,Су,е2 координатных осей так, чтобы положение каждого узла Р= Рук решетки могло быть задано по формуле:

(2.1)

где и), к ОХ - некоторый набор чисел. Обозначим через Ь подмножество в у3. образованное всем! I такими наборами (¡¿М). дтя которых формула (2. ^определяет узел решетки. Тогда дтя О! ЦС решетки

Ь= {(¡¿,к ) О Л'3 5 - все нечетные или все четные числа}, адляГЦК решетки

Ь = { (¡¿Ж) О сумма /+/+А нечетна }.

Подставляя (1.1), (1.2) в (1.6), полагая <т1г = ¡Зх1г /о., о 1, = а, а2г = рк2г/а и занося знак '*-" под знак суммы, приходим к уравнению

= >в# оч

Пусть

$=(/,./,*)€ Л и = 5^),

7И = 1,2 . П о л ож им = 1 -/, = ; -у ,

=*'-*> Рт = • Тотда вектор

указывающий направление от узла А к узлу равен

Обозначим через , Н^' у, И'^'_ ко-

ординаты вектора Записывая уравнение

(2.2) в проекции на ось Ох, получим

и V л SS..JT <V у.'.i'' 2г V- .

...

< ^ (2.3)

Введем обозначения: г= OPx,Dr = ВД' , iix(rJ) = Uz.x, Ux(r + ir.T) = U^x.

Функция Ux(r,t) выражает проекцию на ось O.v отклонения остова атома Ас в момент времени t из положения равновесия Рс .радиус-век-тор которого равен г. Если считать, что она описывает колебания решетки длин волн много больших ее параметра, то при изменении аргумента на величину порядка а она ведет себя как, по крайней мере, дважды дифференцируемая функция. Следовательно, дня вычисления ее приращения при переходе в соседний узел решетки можно воспользоваться формулой Тейлора до дифференциалов второго порядка. Считая момент времени t постоянным и опуская его в обозначениях,получим

их(г + Дг)-их(г) =

= V?/XAг Arf(V wx)Ar >( (2.4)

где V?/x - градиент функции 2/д., а ( ) -матрица, строки которой соответственно равны:

Для произвольного узла решетки, положение которого определяется вектором г . вектор I)/-смешения в положение соседнего узла равен

а

D г=D (Vi + + ,

где £ ц' ,€ ¡¡'SM' определяются также как и выше. Подставляя Ar в выражение < Ar,(V ?/x)Ar >, приходим к равенству

4 er ör cz~

2

; 2 -2 -2 ever COT " ¿JCT

(2.5)

Пусть, как и выше, §=(/,/,£)€ А и £' =_(/', /. А* ) € Sw (i*) , т -1,2 • Обозначим через £ s S„, (¿; ) индекс атома, соседнего к Ас, расположенного противоположно атому Д:-. Пусть, далее. - набор индексов какой-

нибудь полусферы т - ii координационной сферы атома А^ . Тогда, например,

4 'е Sm(4) при этом, согласно (2.4),

+ = vJr ux(r - Лг|Г) - 2их(г) =

= <Ar||..(V'wx)A^> (2.6)

IIepexo;w в формуле (2.3) к суммированию но полусферам, заменяя при этом х на jf + -д. п тд.. в случае ОЦК решетки приходим к уравнению

er з ör п* er

CIC\ ÖXZ

<27)

Соответствующее уравнение в случае ГЦК решетки имеет вид

сгит а2«. . .Си , . .Си Л

ОГ* 4 Сл С\' СЕ'

(fu, (fu +2(cru+oruX—

CVC\ ClCt

(2.8)

Классические уравнения распространения упругих волн деформации в кристаллах в проекциях на ось О.гдля ОЦК и ГЦК решеток соответственно имеют вид [8]:

Эх д2иг о С« ,Эх —- = я*(-—--+-—(--+-^-1 +

И дг ак 2 аг 2 ^

ах' ¿v' аг •

i ax-dv- dxdz

»(2.9)

' дГ 4 дх: 4 ¿>v: д::

а(С.2 + С„) д2и, ЭУ 4 Э.тду ~ дхдг

(2.10)

где Си, С^,, С4< - упругие константы рассматриваемого вещества.

Сравнивая уравнения (2.6) и (2.7) соответственное (2.8) м (2.9), приходим к соотношениям между коэффициентами динамической модели нупругими константами.

В случае ОЦК решетки:

= 4<С12 + 2САА), Ои = ^(С^ - С12) ,

(2.11)

а

OlT =— (Сц-С44).

В случае Г1I.K решетки:

-^(ЗСц +5С44), ОЦ =|(С44-С12),

<У2г = g(2C„ -С12 -ЗС44).

я1

И; = и? = н; (0^ = вш(--ОХ)£ . (3.1)

п

Рассмотрим произвольный атом Л* , и пусть / = тогда <= Оп,. Пусть т = 1,2; положим «ц' = £в'*х + £ у* у + £и'ег » Г = А%"' и Оц- - тогда I' = I + Векторы Не. Н'££< и е^' теперь можно выразить так:

"£' = . и'||' = («Л • = - /рЛ .

Для каждого атома Д*' соседнего атому Де обозначим через ^г- атом, соседний к А*, расположенный противоположно атому и пусть /'? номер плоскости. на которой находится атом лг,. Тогда £>г> — н потому /' = / — </*

Положим

=2ul-ul-d~tlud-Подставляя (3.1) в (3.2). получим

(3.2)

м

= 4м, sin

а'

2»

(3.3)

(2.12)

3. МЕТОД СВЕДЕНИЯ КОДНОЦЕПОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрпмуравнение(2.2) и будем искать его решение в виде бегущих волн, заданных формулой

" (0= и(г, Т) = $ш( Кг - o)T)g .

(или u(rJ) = co$(Kr-(or)g), где £ = (/,,/,£) eA,g-единичный вектор.указывающий направление поляризации волны,

а

у = — (+ }е, + ке. ) - радиус-вектор уааа ре-2л

шетки,а А" = —(к, е, -¡-к е +к.е.) — волновой па

вектор. Для сокращения записи положим 4 = - }*у + квг. к = £лед - куеу -г к-е- ■

2 л

тогда К = —к . При этом дня того, чтобы были па

выполнены условия цикличности Борна-Кармана, можно считать, что кх,ку,кг =0„..,я-1. Поскольку скалярное произведение Кг определяет фазу колебании, плоскости постоянной фазы задаются уравнением = кх1 + А-у_/ + к;к = 1. где / натуральное число, постоянное дня данной плоскости, которую мы обозначим (^.Колебания любых двух атомов Л£ и А^ ■, узлы которых находятся на плоскости 0; совпадают и задаются формулой

Учитывая формулы (1.1), (1.2) и (3.3),приходим к равенствам:

+ Р;Г = 4«/ sm- Оч^ц-ец- + k:.S) , (3.4)

. •> xdrp

Ptf + Ptf- = ч, sin- . (3.5)

где =< S&,g >, V, =(Klr_-Ku)/pl .

Пусть <5 = (i,j,k) € A ,a S„,(i) ? какая-ни-будь полусфера координационной сферы

/и = 1,2.Тогда 5>«-= I СР« -РггЬ формула (1.3) представляется в виде:

Pi=»/(4 ^ sin2-2- fagg e^- + jq,g)+

letb)

■ Vj, ^ sm

f«-Vi>

2/i

Z^ii s

- &l *s )

(3.6)

Подставляя (З.б) в уравнение (1.6), приходим куравнешпо

ц(о-g = 4 У sin2 —+a„g) +

i'ci.ii) i<st (4)

1п

Tidif

zn

(3.7)

которое распадается на систему уравнений в проекциях на координатные оси следующего вида: <*х8х +Ьгёу +Ьу£г Ь2ёх +ау£у + Ьх5г = , (3.8)

где Я = //(У2 /4-

Пол\чеш 1ая С1 ктема линейн ых \рав1 кч и п яатя-ется однородной и имеет симметрическую матрицу.

Следовательно, ее собственные числа X действительные, а собственные векторы g = gxeх + gyey + gzez, отвечающие различным собственным числам, ортогональны. Для нахождения собственных чисел матрицы системы (3.8) необходимо решить характеристическое уравнение

(ax- лХау- лХа -X)- bX (ax-X)-

-bfay -X)-b](az-X) + 2bxbybz = 0. (3.9)

Таким образом, по заданному волновому вектору K , направление и величина которого определяются набором чисел kx, ky, kz, уравнение (3.9) позволяет найти соответствующие частоты ®2 = jXm, а система (3.8) - соответствующие три ортогональных направления векторов поляризации gm, m = 1,2,3 .

Наиболее просто уравнение (3.9) и система (3.8) могут быть решены, если направление волнового вектора совпадает с каким-то из основных кристаллографических направлений. В этом случае можно получить явную зависимость между величиной волнового вектора и направлением поляризации с одной стороны, и частотой соответствующей бегущей волны - с другой. Такая зависимость носит название дисперсионного соотношения. Ниже приводятся дисперсионные соотношения для ОЦК и ГЦК решеток соответственно в выражении через упругие константы для основных кристаллографических направлений, продольных и поперечных поляризаций.

В направлении [111] : продольные волны

,2 _ ( (

„2

Ka

„2

3Ka

a _— ((2C44 -C12)sln + (2C44 + C12)sln "4/f +

■ + (C11 - C44)sln

2Ka 4л/3

■),

a2 _ a(C11 + 2C12 + 4C44)sln2 Ka

(

поперечные волны

2yf3'

Ka

3Ka

*2 _ — ((7C44 + C12)sln2—= + (C44 - C12)sln2—p + 4V3 43

И

2Ka

+ 2(C11 - C44)sln "^jO ,

2 a 2 Ka

a _— (Cn - C12 + C44)sln —p ;

( 2V3 '

в направлении [110] продольные волны

2 2a 2 Ka

a _—(C11 + c12 + 2C44 ) sln

(

242'

Ka

Ka

a _ — (4c44 sln —p + (c11 + c12 + c44) sln —=) ( 4V2 2V2 '

поперечные, поляризованные вдоль оси Oz

2 2a 2 Ka

a _— (C11 - C12)sln —p, ( 242 '

* _ 2(((4(Cl2 + 3C44)sln24K|-(C12 -C44)slrf

поперечные, поляризованные в плоскости Oxy

2 4a C .2 Ka a _— C44 sln —p

( 242 '

Ka

■ 2 Ka

),

a _ — (4c44 sln —p + (Cl1 -c12 -c44)sln —-¡= ( 4*J2 242'

в направлении [100] продольные волны

2a

Ka

Ka

a _ — (4c44 sln -+ (Cl1 -c44)sln -),

(

4

— (4(Cl2+3c44)sln2 —

2( 4 4

поперечные волны Ka

C44 sln2

(

2

a _2—(4(Cl2+3c44)sln2 K4"+(2c11-c12-3c44)sln2k),

a _— c44sln

4

2 4a „ . 2 Ka

a _— 4aC44sln -

( 4 '

На рис. 1 и 2 приводятся дисперсионные кривые для Al , Na в направлениях [111], [110], [100] для продольной и поперечной поляризации при температуре 78К с использованием справочных данных из [9]. Сравнение полученных дисперсионных кривых с экспериментальными данными из [7], как это видно из приведенных рис. 1, 2, показывает хорошее соответствие теоретических кривых экспериментальным данным (экспериментальные данные нанесены точками).

Статья выполнена при поддержке программы ФА по образованию "Развитие научного потенциала высшей школы" (грант РНП 2.1.1.7071).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Борн М., Генперт- Мейер М. Теория твердого тела. М., 1938. 562 с.

2. Борн М, Хуан К. Динамическая теория кристаллических решеток. М., ИЛ, 1958. 488 с.

3. Баранов М.А. Сферическая симметрия электронных оболочек атомов и стабильность кристаллов // ЭФТЖ. 2006. Т.1. С. 34-48.

4. Chater G.V. // Adv. Phys.- 1961.- № 10.-P.357.

5. Бровман Е.Г., Каган ЮМ. Фононы в непереходных металлах //УФН.- 1974.- Вып. 3.- Т.112. C.369-427. Бровман Е.Г., Каган Ю.М, Холас A. // ЖЭТФ. 1969. № 57. С. 1635.

Brockhouse B.N., March R.H., Stewart A.T. // Phys . Rev. 1962. № 128. Р. 1112.

Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.

Свойства элементов. Справочник Часть 1. Физические свойства / Под редакцией Г.В. Самсонова. М., Металлургия, 1976. 600 с.

К, е единицэк

а

Рис. 1. Кривые дисперсии фононов в AI

г д^ и р л г м

К, в единили £

Рис. 2. Кривые дисперсии фононов в Na

LONG-WAVES PRINCIPLE AND DISPERSION RELATIONS FOR CUBIC CRYSTAL LATTICES IN THE MODEL OF DIPOLE-DIPOLE INTERACTIONS

© 2009 V.E. Kholodovskij, I.O. Machihina

Bryansk State University

The paper considers monoatomic crystal lattice vibrations, caused by Van der Waals forces. A dynamical model is constructed and equations are derived, which describe monoatomic crystal lattice vibrations in the adiabatic approximation. It is shown that according to long-waves principle in the limit the received equations turn into well-known equations of elasticity theory. This makes it possible to express the force constants of the dynamical model in terms of elastic constants of the substance. The solution of the received equations allowed to derive dispersion relations for bcc and fcc lattices without any free parameters. The calculated dispersion curves for Na and Al are in good agreement with experimental data. Key words: dynamical model, dipole, crystal lattice, elastic constants, dispersion relations, dispersion curves.

Vladimir Kholodovskij, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor. E-mail: tfbgubry@mail.ru. Inna Machihina, Graduate Student. E-mail: ingibordit@yandex.ru.