Примеры неединственности решения интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012

Математика и механика

№ 2(18)

УДК 517.98:519.677

Н.В. Комиссарова, О.Н. Чащин

ПРИМЕРЫ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА 1-ГО РОДА

Приведены примеры неединственности решения для линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода. Построенные примеры показывают, что необходимые условия единственности решения для уравнения 1-го рода не могут быть ослаблены.

Ключевые слова: интегральное уравнение, уравнение Вольтерра 1-го рода, единственность решения, модуль непрерывности.

Для линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода

А.Л. Бухгеймом [1, 2] доказана единственность решения при следующих предположениях:

1) М (х, г) непрерывно по совокупности переменных (х, г) при 0 < г < X < 1, и М (х, х) = 1; решение и(г) непрерывно;

2) ядро М (х, г) по переменной х имеет модуль непрерывности &(Н) = Н-\\п Н\, т. е.

3) решение и(г) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а, 0 < а < 1.

Л.Б. Мацнев [3] привел пример неединственности решения для уравнения (1), при котором для ядра и решения выполнено условие 1). Исследования качества равномерной непрерывности при этом не проводилось. Ниже, модифицируя этот прием, приведем примеры, показывающие, что условия 2) и 3) теоремы единственности А.Л. Бухгейма [1, 2] существенны и не могут быть ослаблены.

Вопросы единственности для интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода изучались А. Асановым [4, 5], А. Сражидиновым [6] и другими авторами. В указанных работах единственность решения доказана для операторов с положительным ядром. Построенные в настоящей работе примеры имеют сильно осицили-рующие ядра, меняющие знак бесконечное число раз. Впервые содержательный пример неединственности решения для интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода (для уравнения с осицилирующим ядром) был приведен Ю.Е. Анико-новым [7].

Метод построения примеров такого рода и связь единственности решения с качественными свойствами равномерной непрерывности ядра (и решения) анонсированы О.Н. Чащиным в работах [8, 9]. В этой работе анонсированные результаты усилены.

X

(1)

о

| М(х1, г) - М(х2, г)| < |х1 - х2\■ |1п| х1 - х2||;

(2)

1. Пример неединственности решения для ядра, удовлетворяющего условию Гёльдера

Положим в уравнении (1)

и (г) = г • В(г); (3)

М(X, г) = 1 - гк-1 • (X - г)к • В(г) • А(х), (4)

где к > 1;

| г • в(г )Л

А( х) = ------------------------------------------------------------------------0-. (5)

| гк • (х - г)к • в2 (г)Л

о

Тогда, формально интегрируя, имеем

| М (х, г) • и(г = 0,

при М (х, г) ^ 0, и(г) ^ 0. Ясно, что М (х, х) = 1 и нам нужно подобрать функцию В(г) так, чтобы А(х), а, значит, и М (х, г) были непрерывными. Затем исследуем характер равномерной непрерывности функций и(г) и М (х, г).

Зададим последовательности {а„}, {£„}, п = 0, 1,..., следующим образом:

а0 = 1, а2п - а2п+2 = а2п + 2 , (6)

п = 1, 2, ..., у > 1.

Будем выбирать а2и+1 е (а2и+2, а2п) так, чтобы для решения и(г), определяемого формулой (3), для каждого интервала (а2и+2, а2п) выполнялись равенства

а2 п

| и(= 0, п = 0, 1, ... . (7)

а2 п+2

Для определения а2и+1 с учетом требования (7) нужно решить уравнение

У а2п

I(у) = | и(+ | и(= 0, (8)

а2п+2 У

которое для конкретного примера является алгебраическим или трансцендентным относительно у и имеющее в каждом интервале (а2и+2, а2п) ровно одно решение. Ниже мы докажем это строго и укажем как надо выбирать а2п+1.

Зададим далее

8п = а2(п+1) - ^2(^+2^ п = 1, 2, •••, 8-1 = 0;

Ь4п = а2п -а8П-1>

Ь4п+1 = а2п+1 +а8П> (9)

Ь4п+2 = а2п+1 - а^П,

.Ь4п+3 = а2п+2 + а§п,

п = 0, 1, .; в > 1, а < 1/8.

о

Определим функцию

0,

1,

-1,

-1 + 21 - 2-

г - Ь

4п+2

Ь4п+1 Ь4п+2

г - Ь

4п+4

Ь4п+3 Ь4п+4

г = 0,

Ь4п+1 - г - Ь4п. Ь4п+3 - г - Ь4п+2,

Ь4п+2 < г < Ь4п+1>

Ь4п+4 < г < Ь4п+3 •

(10)

Теперь можно вычислить а2п+1 и определить точки Ь4п+1, Ь4п+2 В соответствии с

(3) уравнение (8) примет вид

Ь4п+3 У-а1 У+а^п Ь4п а2п

I (у) = | и (г )Л + | и (г )& + | и (г )& + | и (г )& + | и (г)& = 0.

а2п + 2 Ь4 п+3 У-а$П У+а^П Ь4 п

Учитывая, что а, а2п, а2и+2, 5„, Ь4п, Ь4и+3 не зависят от у, а также то, что второе и четвертое слагаемые суть интегралы от линейной функции, а третье есть интеграл от квадратичной функции, заключаем, что относительно у имеем кубическое уравнение. Непосредственно видно: 1(у) монотонно убывает на интервале

(a2n+2, а2и) и

Нш I(у) > 0 .

^а2„ + 2

Следовательно, уравнение (8) имеет на этом интервале единственный корень, его и примем за а2и+1. Тем самым последовательности {а„}, {£„}, а также функции и(г), В(г), А(х) определены полностью.

Докажем ряд вспомогательных предложений, из которых выведем свойства и(?) и А(х), то есть М (х, г).

Условие у > 1 обеспечивает сходимость ряда

ГО

Е (ап-1 - ап ) ,

П=1

который соответствует последовательности {ап}, сумма его известна и равна 1.

Условие в > 1 дает возможность определить кусочно-линейную функцию В(г) и произвести все необходимые построения.

Условие к > 1 гарантирует непрерывность ядра М (х, г).

В более тонких примерах эти условия будут уточняться, так как соотношение величин указанных трех констант определяет характер равномерной непрерывности построенных функций.

а2

Лемма 1. Нш ■

а2я

= 1.

а2«+2

Доказательство. Согласно (6), а2и+2 есть корень уравнения ф(г) = гт + г = а2и и ф(0) = 0.

Отсюда

ф(а2я +2 )

а2п+2

= ф'(?я), 0 < < а2„+2,

а2п+ 2

но а2и+2 ^ 0 при п ^ да. Но ф'(0) = 1, и утверждение леммы доказано.

Лемма 2. Для

X

F (x) = 11 ■ B(t )dt

0

- числителя в выражении для A(x) - имеет место оценка

F (а2я+1) = 0«+1).

Доказательство. В самом деле: F(x) - неположительная функция, имеющая нули в точках a2n и максимумы в точках a2n+1, n = 1, 2, .... Справедлива оценка

Sn < lF(a2n+1 )| < Sn , где sn = (b4n+2 b4n+3 ) ' (b4n+2 + b4n+3 ) ! 2 ,

Sn = (a2n+1 - a2n+2 ) ' (a2n+1 + a2n+2 ) ^ 2 .

s+ и - площади трапеций, между которыми заключен график функции г-В(г).

В силу равенства (6) и результата леммы 1 S+ = 0(a|++j). Из определения последовательности {bn}, n = 0, 1, ... , следует b4n+2 + &4п+3 = a2n+1 + ^2n+2, b4«+2 - b4n+3 = а2и+1 - a2„+2 - 2a5^, отсюда имеем s+ = 0(a|++j). Лемма доказана.

X

Лемма 3. Для знаменателя G(x) = J tk ■ (x -t)k • B2 (t)dt имеет место оценка

0

Ck 2k+1 , \ 2k+1

— • x < G(x) < Ck • x

при a < 1/8, P > 1. Здесь Ck = Г2(к + 1) / Г(2к + 2), Г гамма-функция Эйлера.

Доказательство. Верхняя оценка очевидна, достаточно положить B2 (г) = 1 для верхней оценки, а для нижней оценки обязательным условием будет a < 1/8. Выбирая a < 1/8, достаточно малым, и в > 1, можно добиться, чтобы

x 1 X

1tk • (x -t)k • B2 (t)dt > - j tk • (x -t)k dt,

0 2 0

что доказывает лемму.

Из предыдущих лемм очевидны неравенства

C • < A(a2n+1) < C2 • a2Y-+f ,

где C1, C2 - некоторые константы.

Отсюда видно, что для непрерывности A(x) необходимо условие у > 2k. При этом lim A(x) = 0 . Ниже будет доказано, что оно же и достаточно, более того, в

х^-0

этом случае A(x) будет удовлетворять условию Гёльдера.

Лемма 4.

lim a2n - Д2я+1 = lim °2n+1 - = 1,

b4n+1 - b4n+2 b4n+3 - b4n+4

lim °2n+1 - a2n+2 = 1.

Доказательство. Первые равенства очевидны, так как а ■ 5^ есть малая более высокого порядка малости, чем a2n - a2n+2.

Пусть s+ и S+ определены как в лемме 2, а s- и аналогично им со следующими номерами. Обозначим

a2n+1 a2п

I+ = | t ■ B(t)dt; in = I t ■ Bit)dt.

a2n+2 a2n+1

В силу выбора a2n+1 1+ = -1-. Из этого непосредственно видно

S + +

lim —— = iim = -1.

Отсюда следует второе равенство.

В качестве следствия имеем равенство

lim a2n+1 - a2n+2 _ 1 a2n - a2n+ 2 2

Исследование характера равномерной непрерывности ядра осложняется тем, что единственный минимум функции A(x) на интервале (a2n+2, a2n) достигается не в точке a2n+1, а при xn < a2n+1, так как A'(a2n+1) < 0, что подсчитывается непосредственно.

В дальнейшем будет полезна

Лемма 5. При всех n

х„ - a

2n+ 2

> d > 0 .

2n+1 2n+2

Доказательство. Предположим обратное, т. е. существует подпоследователь-

\апI с {аи} , 0 , такая, что

I q ' q = 1 2 ... ^ n)n = 1,2,... ’ ’

ность

]q = 1,2,...

lim Xq a2q+2 = 0.

q^-o> a2q+i a2q+2

Так как при всяком q

А(х) = А(х?) + 0(х - х?)2.

Но АІхд ) > А(а2?+1) > С{ ■ а2д+1 ,

А(^+2 ) = А(X ) + 0(X - «2?+2 )2 = А() + о(- ^+1) =

= А() + °(а2^?+1) - С1 ■ а2?+1 + а(а^+1 ) .

Это противоречит тому, что А(а2ч+2) = 0 и доказывает лемму.

Сформулируем теперь основной результат параграфа.

Теорема 1. Пусть и(г) и М (х, г) определяются соответственно формулами (3) и

(4), А(х) задано отношением (5). Последовательности {аи}, {£„}, п = 0, 1, ..., - соответственно формулами (6) и (9) с выполнением условия (7), функция В(г) - ус-

ловиями (10) при к > 0, у > 2к, а < 1/8, в > 1.

Тогда функция и(г) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1/ Ру, а М (х, г) по переменной х удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1 - 2к / у .

Доказательство. Функция имеет наибольший рост на интервалах (Ъ4п+Ь Ъ4п+2), (Ь4„+4, Ь4п+3), Причем

|«(Ь4п+1) - «(Ь 4п+2)| = Ь4п+1 + Ь4п+2 = 2а2п+1 , и, так как |Ь4„+1 - Ь4п+21 = 25^ = 2^2^+ 2 ,

ТО |«(Ь4„+1) - и(Ь4п+2 )| = ПТ . (а2 +2 )Н*>И .

К+1 - *4я+2 Г ^ 2^

Значит, верхнее отношение ограничено при р. < 1/ Ру, а это и есть условие Гёльдера с показателем 1/ Ру .

Наибольший рост функции А(х) достигается на интервалах (а2п+2, хп).

Здесь и далее используются обозначения лемм 2, 3.

Из монотонности функции а(г), свойств функций Дг) и А(х) следует неравенство

ИХ„ ) - А(а2п+ 2 )| = А(Хп ) ^

^(а2и+ 2 )

В силу оценок лемм 1 - 3

А(х„) = ).

Отсюда, по лемме 5

ИХп ) - А(а2п+2 ^ < А(Хп )

О (12^).

Левая дробь ограничена и стремится к нулю при п ^ ж если р. < 1 - 2 к / у . То есть А(х), а, значит, и М (х, г) по переменной х удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1 - 2к / у . Теорема доказана.

2. Неединственность решения, не удовлетворяющего условию Гёльдера

Здесь будет приведен пример, показывающий, что требование принадлежности решения к классу гёльдеровых функций в теореме единственности А. П. Бух-гейма [1, 2] существенно и не может быть отброшено. Построенное в этом примере ядро будет удовлетворять оценке (2), и однородное линейное интегральное уравнение (1) будет иметь ненулевое непрерывное, но не гёльдерово решение.

Теорема 2. Пусть теперь вместо условия (6) последовательность {ап}, п = 0, 1,..., определяется соотношением

а0 — 1, а2п а2п +2 = еХР

, у > 0. (6')

а2и+ъ Ъп, м(г), В(г), А(х), М (х, г) определены как в 1. Тогда функция и(г) непрерывна и не удовлетворяет условию Гёльдера ни для какого положительного показателя, а для М (х, г) при у > 2к справедлива оценка (2).

Доказательство. В самом деле:

ИЬ4 п-1) - и(Ъ4 п ^ _ 2а2 п ^ 21-^ _„ГИРЛ

— а2п еХР

а1

\а2п J

|*4п-1 -*4пГ (2а)"■*" а"

но последний член неравенства стремится к бесконечности при п ^ <

Для А(х) проведем те же оценки, что и в примере теоремы 1. Очевидно, для числителя Д(х) в определении А(х) имеем 5+ < ^(а2и+1) < Б* , или

С1«2 п+1 • еХР |--— I < Р(«2п+1) < С2 еХР I------

I «2 п+1 ) К «2 п+

а для оценки знаменателя заметим, что и в этом случае справедлива лемма 3. Отсюда получим

с

ехр

а

У

2п+1 )

ехр

< А{а1п+1) < с

1

г* 2 к — *^\а2п+1) — п 2 к

к а2п+1 к а2п+1

Верна лемма 5 относительно хп - максимума функции А(х) на интервале (а2п+2, а2п). Следовательно, верна оценка

■У

2п+1 )

ехр

|А(хп)- А(а2п+2^ ^ С2___________

( 1 А Н-1

Vй2п+2У

|хп - а2п+2 Г Ск ^^ • а2П+2

из которой следует, что оцениваемое отношение стремится к нулю при п ^ ж для любого р е (0, 1), т. е. А(х) удовлетворяет условию Гёльдера с любым показателем р < 1, но не удовлетворяет условию Липшица, так как

|А(Хп ) - А(а2п+2 ^ С2 1

\Хп а2п+г\ С>

к а2

2 к

Более того, при у > 2к верна оценка (2). В самом деле, в силу леммы 5 имеем

1п

\хп - а п+2II = 0

л2п+2 ,

Отсюда, учитывая лемму 1, получим

И(Хп ) - А(а2п+2 ^ ^ С2 а2п+1

\хп - а2 п+211 1п| Хп - а2п+2\\ Ск Л ■ |1п

Верхняя оценка последнего неравенства стремится к нулю при п ^ ж, если у > 2к. Теорема доказана.

3. Пример неединственности решения для ядра с модулем непрерывности по переменной х между к и к-|1п к|.

Пусть далее

У

а0 — 1, а2п а2п+2 _ ехр

а2п+2 ,

п(г) = ВЦ) • ехр ^-1 |,

у > 1, а2и+1, Ъ„, В(г) определяются как в п.1.

М(х,г) = 1 -|1пг|-1 • |1п|х -г||-1 • В(г) • А(х); (11)

| e * B(t )dt

A( x) = —----------------------------------------------------0-. (12)

Ie * ■ |lnt|-1 • |ln|x-1||-1 • B2(t)dt

0

Тогда справедлива

Теорема 3. Если ядро интегрального уравнения (1) определяется равенствами (11), (12), то его решение неединственно, удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 1/Ру , а модуль непрерывности ядра по переменной x есть ro(h) = h |ln h|' при X > 1.

Доказательство. Заметим, что и в этом случае верны леммы 1 - 5.

Очевидно, верно (7) и w(t) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем

1/Ру .

A(x) имеет нули в точках a2n и максимумы в точках xn a2n+2 < xn < a2n+1. Сохранив обозначения пункта 1, установим оценку:

Ci exp1< < F(а2п+1) < sn < C2 expf ^+__

Оценка знаменателя проводится сложнее. Так же как и в п.1, путем соответствующего подбора а < 1/8 и р > 1 достигается выполнение неравенств

1 X X

— | |1п г|-1 • |1п|х - г||-1 е& < 0(х) < | |1п г|-1 • |1п|X - г||-1 е—Л.

2 0 0

_1

Функция е * монотонно возрастает и по теореме о среднем, принимая во внимание очевидную симметрию, получим

х _1 %

|е * ■ |1пг|-1 • |1п|х -^|-1 dt = е х • ||1пг|-1 • |1п|х-г||-1 dt, (13)

0 0

где £: 0 < £ < х.

Для интеграла

X

||1п/|-1 -| 1п|х -/||-1 & ,

0

в силу свойств логарифма, путем подбора а < 1/8 и р > 1 достигается выполнение неравенств

_ -2 х

< | |1п г|-1 • |1п|х - г||-1 & < х •

0

т.е. порядок оценок совпадает с порядком малости функции х-|1пх| при х ^ 0. Для произвольного £ оценки правого интеграла в (13) будут иметь вид

А

— • |1п 0х|-1 • |1п(1 -0)х|-1 < Г |1п г|-1 • |1п|х - г||-1 < < 0х • |1п 0х|-1 • |1п(1 -0)х|-1

2 0 (здесь £ = 0х, 0 < 0 < 1).

In £

2

ln *

2

Отсюда видно, что верхняя и нижняя оценки имеют один и тот же порядок мати при х ^ 0 Стало быть,

лости при х ^ 0, совпадающий с порядком малости функции х-|1пх| 2

С3 ■ а2п+2 • еХР|--------— I- |!п а2п+2 I 2 <

а2п+2 / 1 \

< С4 ■ | ехр^ j■ |1пгр1 • |1п|х-*||_1Л <

< С2п+2 ■ еХР(-------— )• |ІШ

I а2п+2 )

1-2 а2п+2І ■

Аналогично п.1 можно доказать справедливость леммы 5 и для этого случая. Учитывая, что наибольший рост функция А(х) имеет на интервалах (а2п+2, хп), вычислим ее модуль непрерывности:

/ У

-2 ехР|

|А( хп ) - А(а2 я+2 )\ < с . |1п а2п+2\ . V “2п+2

х„ - а

2п+2

Г а2п+2 ех„ Г_НУ

ехр

2п+2

= с. 1|п а2 „+2\. ехр Г-У (1 -н)

2п+ 2 \ 2 п+2

Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при всяком р < 1. То есть А(х) по переменной х удовлетворяет условию Гёльдера для любого показателя р < 1.

Непосредственно устанавливается асимптотическое соотношение:

Правая часть последнего соотношения стремится к нулю при п ^ да для всякого X > 1 и к бесконечности при X = 1. Значит, модуль непрерывности для А(х) по переменной х есть функция ю(к) = к • |1п к|:1 при X > 1, что и требовалось доказать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бухгейм А.Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. // ДАН СССР. 1978. Т. 242. № 2. С. 272-275.

2. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 208 с.

3. Мацнев Л.Б. Об одном вольтерровом операторе. // Дифференциальные уравнения и теория функций. Вып. 1. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1977. С. 65-69.

4. Асанов А. О единственности решения систем уравнений Вольтерра первого рода типа свертки. // Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск, 1978. С. 26-34.

5. Асанов А. Регуляризация и единственность решения линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1980. С. 207-214.

6. Сражидинов А. О единственности решения уравнения Вольтерра первого рода // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1979. С. 177-189.

7. Антонов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 238 с.

8. Чащин О.Н. Примеры неединственности для уравнения Вольтерра 1-го рода. - Новосибирск, 1981. С. 41-42. (Препринт № 47 / ИТПМ СОАН СССР).

9. Чащин О.Н. Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода в шкале банаховых пространств // Приближенные методы решения и вопросы корректности обратных задач. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1981. С. 132-144.

Статья поступила 30.09.2011 г.

Komissarova N.V., Chashchin O.N. EXAMPLES OF NON-UNIQUENESS OF THE SOLUTION TO THE VOLTERRA INTEGRAL EQUATION OF THE FIRST KIND. Examples of nonuniqueness of solutions to Volterra linear integral equation of the first kind are presented. The constructed examples demonstrate that the necessary conditions for uniqueness of the solution to equation of the first kind can not be weakened.

Keywords: integral equation, Volterra equation of the first kind, uniqueness of solution, modulus of continuity.

KOMISSAROVA Natal'ja Vasil'evna (Siberian State Academy of Geodesy)

E-mail: n_kmssrv@ngs.ru

CHASHHIN Oleg Nikolaevich , Siberian (University of Consumer Co-operatives)

E-mail: oleg-chashhin@yandex.ru