Пример синтеза оптимального сигнала инвариантной системы передачи сообщения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИМЕР СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО СИГНАЛА ИНВАРИАНТНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЯ

DOI 10.24411/2072-8735-2018-10193

Павлов Иван Иванович,

Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики, г. Новосибирск, Россия, IIPavlov@ngs.ru

Ключевые слова: помеха, сигнал, синтез, функция, аддитивная помеха, инвариантность, оптимизация.

Слова "инвариант", "инвариантный" в переводе означают "неизменяющийся". Эти термины первоначально использовались в математике, причем инвариантом называется величина (или математическое выражение, формула), характеризующая некоторый математический или физический объект и не изменяющаяся при определенных преобразованиях его.

Одним из методов синтеза систем с постоянными параметрами, инвариантных к аддитивной помехе, является метод нахождения оптимального сигнала. Оператор демодуляции Фпот N выбирается как оптимальный по отношению к помехе N а относительная инвариантность к помехе а достигается выбором сигнала 5, минимизирующего по тому или иному критерию эффект действия помехи а на выходе демодулятора. В этой статье более детально рассматриваются вопросы синтеза оптимального сигнала. Напомним, что здесь рассматриваются системы передачи дискретной информации с постоянными параметрами и, следовательно, они могут быть инвариантны только по отношению к квазидетерминированным помехам.

Математической моделью квазидетерминированной помехи является квазиде-терминированный случайный процесс [1], реализации которого описываются функциями заданного вида, содержащими один или несколько случайных параметров. Практическими примерами квазидетерминированных помех могут служить узкополосная (сосредоточенная по спектру) помеха, которую можно представить в виде гармонического колебания со случайными амплитудой, частотой и фазой, импульсные помехи и т. д.

Квазидетерминированную помеху можно записать в виде детерминированной функции времени со случайными параметрами а, в, у и т. д. В простейшем случае, который далее будем рассматривать, случайный параметр один. По условию относительной инвариантности для нахождения оптимального сигнала нужно минимизировать величину Фопт N(5, £). Рассмотрим оптимизацию по среднеквадратичному критерию и оптимизацию по равномерному критерию.

Информация об авторе:

Павлов Иван Иванович, Сибирский государственный университет телекоммуникации и информатики, доцент кафедры ТБ, доцент, к.т.н., г. Новосибирск, Россия

Для цитирования:

Павлов И.И. Пример синтеза оптимального сигнала инвариантной системы передачи сообщения // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2018. Том 12. №12. С. 4-8.

For citation:

Pavlov I.I. (2018). An example of the synthesis of optimal invariant signal transmission system of the message. T-Comm, vol. 12, no.12, pр. 4-8. (in Russian)

7TT

Введение

Оптимальный приём сигналов - область радиотехники, в которой обработка принимаемых сигналов осуществляется на основе методов математической статистики [1]. Применение статистических подходов оправдано тем, что в реальной жизни принимаемый полезный сигнал, как правило, искажен случайным шумом (помехой), а также влиянием среды распространения. Причем зачастую мощность полезного сигнала оказывается существенно меньше мощности мешающих шумов.

По мнению Тихонова В.И. [2J одними из первых работ в области оптимального приёма сигналов были работы А.Н. Колмогорова и Н. Випера, посвященные синтезу оптимальных линейных фильтров. В середине 1950-ых голов были решены некоторые задачи оптимального приёма сигналов в каналах с флуктуационным шумом, неопределённой фазой и рэлеевскими замираниями [3]. В 1946 году В.А, Котельников в своей диссертации впервые [4] сформулировал задачи оценки оптимальных параметров сигналов на фоне аддитивного гауссовского шума и нашёл их решения.

Постановка задачи.

Оптимизация по среднеквадратичному критерию. Если используется среднеквадратичный критерий минимизации, то задача формулируется следующим образом:

а2

лад - Г {Фопти [5(0, £(«,')] }2 da = min,

J S(t)

где («|, оь) - область изменения параметра а. Оптимальным алгоритмом демодуляции в гауссовском канале является алгоритм когерентного приема:

I

ФоптЖ*ШаМ= \S(t)Z{a,t)dt.

Воспользуемся представлением помехи и сигнала в виде разложений по ортонормированным функциям <р,(1)-'

(О

(2)

i=ni

Тогда

»»I

и задача среднеквадратичной минимизации запишется в виде

-|2

J[{ а,}]= J

а\

<*7

1>АО)

еп <*1

="] er,

+^Jaiaj jbj(a)bj(a)da

i-щ

Обозначим:

Ctt

c,= Jbf(a)da = J \%(a,t)(p-Xt)dt

«i

«i

da;

(3)

с9= ¡ЬХа)Ь^ау1а= \ ¡с(а,0<р,((Ы йа ■ (4)

Я] |_0 О

Коэффициенты с, и С] могут быть вычислены заранее, если квази детерминированная помеха задана в виде

Таким образом, с учетом естественного ограничения на энергию сигнала получаем:

Л{»,}] = + £ £ сиа,а . = min ;

>=п| J-И|

l*J

(5)

(6)

т. е. необходимо найти такую совокупность коэффициента а,-, удовлетворяющих условию (6), при которой сумма (5) достигает минимума.

Теория

Данная задача в формулировке (5), (6) относится к классу задач нелинейного программирования [5]. Одним из методов ее решения является сведение к системе уравнений. Перенумеруем для простоты записи индексы у переменных и коэффициентов функции */: нумерацию от п, до /ъ заменим нумерацией от 1 до К, где К=пг - »/ + 1- Тогда: к к к

Найдем частные производные функции (7) по всем переменным:

дах м

dJ л

—- = 2йг,сч + 2> а,с21 . да,

~ = 2акск + ajCfy аак i*к

Приравняв частные производные нулю, получаем следующую систему линейных однородных уравнений:

(9)

скак + Е сЩаз = 0 }*к

Она имеет ненулевые решения только в том случае, если определитель системы О равен нулю:

с,,

= 0

№

C2a2+T,C2jaj = 0

1+2

D =

^21 ^23

Cw*

■2 К

-KiK-l)

= 0

7тл

Решение системы линейных уравнений (9), очевидно, даст точку экстремума функции (9). Если этот экстремум является минимумом, то задача может считаться решенной.

Заметим, прежде всего, что ограничивающее условие (8) в данном случае несущественно. Действительно, пусть совокупность cii . а?, —, c'a есть некоторое ненулевое решение

к

системы (9) такое, что ^(а ¡)2=ВфА. Обозначим

(=1

А! В = г~. Очевидно, что га/, rcij, гак также является решением системы (9), но это решение удовлетворяет условию (7), так как

1=1 ы

Таким образом, решением задачи синтеза сигнала {а} является любое ненулевое решение системы (8), если только соответствующий экстремум является минимумом.

Существование решения системы (9) является необходимым, но недостаточным условием определения минимума функции (7). Во-первых, найденное решение системы может ,snm не минимум, а максимум, а, во-вторых, полученный минимум может быть не наименьшим. Для окончательного решения задачи необходимо воспользоваться достаточными условиями существования экстремума функции многих переменных, а также непосредственной подстановкой всех полученных решений в выражение (7) и определением того из них, которое обеспечивает наименьшее значение величины J.

Заметим, что число членов в суммах выражения (7), а, следовательно, порядок подлежащей решению системы линейных уравнений (8) равны базе искомого сигнала K=2AfT, где Af-ширина спектра сигнала. Число же подлежащих вычислению по (3) и (4) коэффициентов уравнений равно квадрату базы сигнала.

Для достижения относительной инвариантности системы к квазидетерминированной помехе необходимо использовать достаточно сложный сигнал с базой, равной, по крайней мере, нескольким десяткам. Решение соответствующей системы уравнений возможно только численными методами с использованием цифровых вычислительных машин.

Таким образом, при решении данной задачи мы сталкиваемся с обычным противоречием: чем сложнее оптимальный сигнал, тем лучше выполняются условия инвариантности, но тем труднее его отыскание современными вычислительными методами,

В приведенной выше формулировке задачи синтеза оптимального сигнала предполагалось, что параметр помехи а распределен равномерно на интервале (а¡, aï), так как никакому значению а не отдавалось предпочтения. В общем случае а имеет некоторое произвольное распределение. Обозначим соответствующую плотность вероятности через W(a). Тогда необходимо минимизировать функционал ffl

лад= ¡{Фоп^тш^т}2 та^а.

Представив искомый сигнал и помеху в виде разложений (2), (3), получим

■М

£«Ä<«)

«I

к к

i- 1

К "2

W(a)da = YJaf \bf(a)lV{a)da-

i-l Kl

i=l ./=1 cr,

Введем обозначения:

a?

с* = jb'(a)W(a)da, а\

а2

с] = | bj (a)bj(a)W(a)da «1

Получаем

к к к

^+ZZ ciiaia.,= min •

(=1

1-1 j=1

i*j

Таким образом, с учетом распределения случайного параметра помехи и задача сводится к минимизации функции, аналогичной (7) и отличающейся от не только коэффициентами.

Рассмотренный метод нахождения оптимального сигнала не является единственным. Поскольку задача сводится к отысканию экстремума функции многих переменных, ее можно решить на ПК при помощи различных регулярных и случайных методов поиска экстремума [6, 7],

Оптимизация по равномерному критерию. В этом случае задача синтеза оптимального сигнала имеет вид

= min, (10)

а 5(0

где S(t) - искомый сигнал, а cf«. t) квазидетерминированная помеха с одним случайным параметром а, изменяющимся в интервале (ai, а?).

Воспользовавшись, как и прежде, разложениями сигнала и помехи (2) и (3), получим из равенства (10)

шах

а.\ <а<а;

2>А(а)

'=»1

= min .

(11)

Таким образом, задача сводится к нахождению вектора {а} с компонентами, удовлетворяющими условию

2«?=а.

(12)

такого, что максимум модуля выходного сигнала демодулятора, взятый по всем значениям случайного параметра а, минимален. Задачу (11) можно решить методом линейного программирования [7, 8], заменив условие (12) каким-либо линейным эквивалентом.

Выполним преобразования, приводящие данную задачу к стандартному виду задачи линейного программирования. Введем переменную х, удовлетворяющую условию

х>

Поскольку х не может превзойти величину |Уд ¿¡Ъ-1 (а)|, то минимум .V, очевидно, равен максимуму этой величины,

т. е. minx = паах|2вА(а)|» [1Ричем максимум берется по переменной а при фиксированных Тогда задачу (II)

можно заменить эквивалентной вида: minx,

х >

|=Л|

(13)

(14)

minx,

ri-i

1-Я,

где

'=л1

/=1;2,...,И

(15)

(16)

(17)

(18)

которая словесно заучит следующим образом: найти совокупность коэффициентов разложения сигнала таких, что

переменная х, не превосходящая [У.ДД(Д)|» принимает

минимальное возможное значение при изменении а в интервале {«!, «;).

Для приведения задач (13), (14) к виду задачи линейного программирования необходимо освободиться от операции нахождения абсолютного значения функции и заменить функцию от переменной а совокупностью чисел.

С этой целью, во-первых, заменим неравенство (14) двумя:

П1 '="1

и, во-вторых, заменим каждое из последних неравенств системой неравенств для отсчетов функций Ь/а) в точках И], сь,

аз, О).....а„, равномерно распределенных на интервале

(сц, «з). Получим

Размерность полученной задачи линейного программирования определяется числом членов - в разложении искомого сигнала К = п2 - п/ + I и числом неравенств в системе ограничений (16), (17), равным 2п. При синтезе сигнала средней сложности величины К и 2п имеют поря,док нескольких десятков.

Сложность решения задач (15)- (18) определяется, однако, и тем, что без учета ограничения (12) можно получить только тривиальное нулевое решение. Поэтому следует ввести некоторое линейное ограничение, имеющее тот же смысл, что и (2). Конкретная форма этого ограничения зависит от физического содержания решаемой задачи и от вида координатных функций. Если, например, известны знаки искомых коэффициентов, то условие (12) можно заменить

линейным ограничением ^ й^/^и а- = С .

В ряде случаев все коэффициенты по смыслу задачи положительны, тогда используют простые дополнительные ограничения:

гЬ

1>, = с

tí; > О

Результаты экспериментов.

В качестве примера сформулируем задачу синтеза оптимального сигнала для квази детерминирован ной помехи, заданной в виде гармонического колебания со случайной частотой J) = ът at. Пусть частота помехи изменяется от 300 до 1300 Гц, так что параметр и имеет пределами 2л 300 и 2л 1300 рад/с, а длительность элемента сигнала равна Т—2-Ш2 с. В качестве базиса пространства сигнала и помехи выберем совокупность ортонормированных гармонических функции

. 2 ж .

^(/)=7FsmT 1 *

Если в сигнале и помехе имеются составляющие с частотами только от 300 до 1300 Гц, то базис разложения составят функции (19) с индексами от 1=6 до i-26, так что сигнал и помеха представляются в виде.

S(t) = £«,«(/); 4(a,t) = |>,(£0^(0. i=6 ¡=6 где ctj - искомые коэффициенты разложения сигнала:

. аТ

ПГТ J . rj: JSin--■

Функция представлена на рис. 11, Наиболее ха-

рактерными на оси абсцисс являются точки, соответствующие максимумам и нулям функции |АДа)|. Эти точки выберем в качестве отсчетных но переменной а. Очевидно, что соответствующие значения параметра а определяются {в пределах заданного изменения) выражением

а. =—(3 + 0.5 j). (21)

Подставив (21) в (20), получим

где К = ■

4f

(3 + 0.5 jf-i1

j = 6,7,8, ...,46.

Asilx2'

Таким образом, задача линейного программирования в данном примере имеет вид:

minx

(22)

х> аЬ(а) х > —аЬ(а) У = 6,7,8,..., 46]

В число ограничений задачи, как видно, входит 82 неравенства, каждое из которых содержит сумму, состоящую из 21 члена.

7ТТ

М*0|

УУУл

И ¡-3 ¡-2 1-1 1 ¡+1 ¡+2 1+3 ¡+4 а _

2*/Г

Рис. !. Зависимость коэффициента разложения сосредоточенном помехи от ее частоты

Выводы и заключения

Отметим в заключение статьи, что полученные в резуль-ате применения рассмотренных выше способов оптималь-ые сигналы могут оказаться трудно реализуемыми или не-р ягодным и по другим причинам, например, из-за большого икфактора. В этих случаях необходимо найти сигнал, бли-;айший ПО определенному критерию к полученному 01ГГИ-альному сигналу, но пригодный к практическому исполь-эванию. Если, например, задана релейная форма сигнала, ри которой он может принимать только два значения I и I, то такой сигнал „,„„(1) находится из оптимального игнала 5,„„„(!) по правилу Зря, и,„„(!)=х1^п 80„„,(!)• Как показа-о в работе ¡9), такой релейный сигнал является ближайшим

к сигналу S„„,„(() из класса релейных сигналов но среднеквадратичному критерию, т. е. выполняется равенство т

signS,Mm(i)f dt = min .

« р"

1. Левин Б.Р. Теоретические основы статической радиотехники. М,: Советское радио, 1966.

2. Тихонов В.И, Оптимальный приём сигналов, М,; Радио и связь. 1983, 320с.

3. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. -е изд. переработ, и доп. М: Радио и связь, 1982. 304 с.

4. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Оценка параметров си ¡налов на фоне помех. М.: Советское радио, 1978. 296 с.

5. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.

6. Первозванский A.A. Поиск. М.: Наука, 1970.

7. Чу ев К). В.. Спехова Т.П. Технические задачи исследования операций. М.: Советское радио, 1971.

8. Юдин Д.Б.. ГЬльштейн Е.Г. Задач и и методы линейного программирования, М,: Советское радио, 1964,

9. Вакман Д.Е. Регулярный метод синтеза ФМ сигналов, М.: Советское радио, 1967.

10. Окуней Ю.Б. Системы связи с инвариантными характеристиками помехоустойчивости. М.: Связь, 1973. 80 с.

Литератур"

AN EXAMPLE OF THE SYNTHESIS OF OPTIMAL INVARIANT SIGNAL TRANSMISSION SYSTEM

OF THE MESSAGE

Ivan I. Pavlov, the Siberian state University of telecommunications and Informatics, Novosibirsk, Russia,

IIPavlov@ngs.ru

Abstract

The word "invariant", "invariant" means "unchanging". These terms were originally used in mathematics, and the invariant is a quantity (or mathematical expression, formula) that characterizes some mathematical or physical object and does not change with certain transformations of it. One of the methods of synthesis of systems with constant parameters invariant to additive noise is the method of finding the optimal signal. The operator of demodulation Fpot N is chosen as the optimal with respect to the noise N, and the relative invariance to the noise E is achieved by choosing the signal S, minimizing the effect of interference E at the output of the demodulator by a particular criterion. In this article, the problems of optimal signal synthesis are discussed in more detail. Recall that here we consider the system of transmission of discrete information with constant parameters and, therefore, they can be invariant only with respect to quasi-deterministic noise. A mathematical model of a quasi-deterministic noise is a quasi-deterministic random process, the implementation of which is described by functions of a given type containing one or more random parameters. Practical examples of quasi-deterministic noise can be narrow-band (spectrum-focused) noise, which can be represented as a harmonic oscillation with random amplitude, frequency and phase, pulse noise, etc. Quasideterminant disturbance can be written as deterministic functions of time with random parameters

а, P, y, etc. In the simplest case, which we will consider random parameter one. According to the relative invariance condition, to find the optimal signal, it is necessary to minimize the value of Fopt N(S, Consider the standard optimization criterion and optimization on the basis of uniform criteria.

Keywords: noise, signal, synthesis, function, additive noise, invariance, optimization. References

1. Levin B.R. (1966). Theoretical bases of static radio engineering. Moscow: Soviet radio.

2. Tikhonov V.I. (1983). Optimal signal reception. Moscow: Radio and communication. 320 p.

3. Klovsky D.D. (1982). Transmission of discrete messages on radio channels. 2nd ed. overwork. And DOP. Moscow: Radio and communication. 304 p.

4. Kulikov E.I., Trifonov A.P. (1978). Estimation of signal parameters on the background of noise. Moscow: Soviet radio. 296 p.

5. Hadley J. (1967). Nonlinear and dynamic programming. Moscow: World.

б. Pervozvansky A.A. (1970). Search. Moscow: Science.

7. Chuev Yu.V., Spehova G.P. (1971). Technical problems of operations research. Moscow: Soviet radio.

8. Yudin D.B., Holstein E.G. (1964). Problems and methods of linear programming. Moscow: Soviet radio.

9. Wakman D.E. (1967). Regular method of FM signal synthesis. Moscow: Soviet radio.

10. Okunev Yu.B. (1973). Communication systems with invariant noise immunity characteristics. Moscow: Svyaz. 80 p. Information about author:

Ivan I. Pavlov, the Siberian state University of telecommunications and Informatics, associate Professor of TB, assistant Professor, Ph. D., Novosibirsk, Russia

7TT