Пример коммутативной альтернативной супералгебры над полем характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Алгебра и геометрия

УДК 512.554.5

О А. В. Бадеев

ПРИМЕР КОММУТАТИВНОЙ АЛЬТЕРНАТИВНОЙ СУПЕРАЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3

В этой работе построен пример коммутативной альтернативной супералгебры S над полем характеристики 3, грассманова оболочка А = G(S) которой является разрешимой ниль-алгеброй индекса 3 с соотношением (А2)3-А = 0.

Ключевые слова: альтернативная алгебра, супералгебра, грассманова оболочка.

©А. К Badeyev

AN EXAMPLE OF ALTERNATIVE COMMUTATIVE SUPERALGEBRA OVER A FIELD OF CHARACTERISTIC 3

In this paper we construct an example of commutative alternative superalgebra S over a field of characteristic 3, which Grassmann envelope A = G(S)

is soluble nil-algebra of index 3 with ratio (A2 )3 ■ A = 0.

Keywords: alternative algebra, super-algebra, Grassmann envelope.

Введение

Пусть M - некоторое однородное многообразие алгебр, G = G0 + Gj -алгебра Грассмана. Супералгебра А = А0 + Ах называется М - супералгеброй, если ее грассманова оболочка G(A) = A0®G0+A1®G1 принадлежит многообразию М. Можно строить примеры различных конечномерных супералгебр, грассманова оболочка которых будет бесконечномерной алгеброй с подходящими свойствами. Разнообразные возможности применения супералгебр для построения контрпримеров были продемонстрированы И.П. Шестаковым [2].

В настоящей работе будет построен пример конечномерной альтернативной супералгебры, грассманова оболочка которой является разрешимой коммутативной альтернативной ниль-алгеброй индекса 3.

1. Построение супералгебры

Пусть М - многообразие коммутативных альтернативных алгебр над полем Ф характеристики 3 с тождествами

х3 = 0, [(XjX2 • х3х4)(х5х6)]х7 = 0.

Построим М-супералгебру А = Ап + А,. Супералгебра А имеет следующую систему базисных элементов:

E = {h, а0, öj, Ь0, Ьг, w}. В этой системе элементы с четными индексами и элемент w назовем четными , а элементы с нечетными индексами и элемент h - нечетными. Положим, |х| - индекс четности элемента х алгебры А.

Умножение в супералгебре А определяется правилами умножения базисных элементов в системе Е следующим образом.

1) Умножение суперкоммутативно, т.е. для любых базисных элементов

х,у <еЕ

X ■ у = (-1)^ у ■ X.

Отсюда следует

2)h-h = 0. Положим далее,

3)а0 • h = ах, al-h = a0.

4)b0-h = bl, bx ■ h = -b0.

5)a0 ■ a0 = b0, öj • a0 = bx, ax-ax=0. 5)b0- a0 =Ьг- öj =w, bx ■ a0 = b0 ■ ax = 0.

Остальные произведения базисных элементов, не определенные в 1)-6) полагаются нулевыми. Таким образом,

7)bi-bj=0,

8) w е Ann А.

Из правил умножения следует, что

А\А2=Ф{И}, А2\А<2) =Ф{а0,аг}, A(2)\{A2f =Ф{Ь0,Ь1), (A2)3=0{w}, А(2)-А(2)= о, (А2)3-А = 0.

2. Доказательство основной теоремы Лемма. Супералгебра А альтернативна. Доказательство.

Покажем, что в супералгебре А на однородных элементах выполнено соотношение

Js{x,y,z) := (х ■ у) ■ z + (~1)^(х ■ z) ■ у + х ■ (у ■ z) = 0.

В силу суперкоммутативности имеем

Js(x,y,z) = (-1 f]y]Js(y,x,z), Js(x,y,z) = (-1 )MJs(x,z,y). (1) Отсюда следует

Js (x, y, z) = ±JS (<j(x), <j(y),<j(z)),

где с - перестановка элементов {х, у. z). Таким образом, достаточно проверить утверждение леммы на упорядоченных тройках базисных элементов.

Рассмотрим последовательно все возможные случаи

а) Js (х, у, у) = -Js (х, у, у) = О, если |у\ = 1 в силу первого из соотношений (1).

Тогда Js (х, h, И) = 0 для произвольного базисного элемента х.

б) Js(bl,aj,ak), Js(bl,b .,x) e (A2)4 + A(T) ■ A(T) = О для произвольного

базисного элемента х.

Остается рассмотреть следующие тройки базисных элементов: {аг,а;,/2}, {at,aj,ak}.

в) Покажем, что Js (ai, а ,, И) = 0, где / > j.

Js(a0,a0,h) = (а0 ■ а0) ■ h + (а0 ■ И) ■ а0 + а0 • (а0 ■ И) =

= Ь0 ■ h + Oj • а0 + а0 • ах =ЪЬХ =0, Js(ai,a0,h) = (аг •а0)-/2 + (а1 ■h)-a0+al -(а0 - К) = = Ьх ■ h + а0 ■ а0 + ах ■ ах = -b0 +Ь0 =0, Js(ax,ax,h) = 0, ввиду (а).

г) Если Js(x,y,z) е Ф{м>}, |х| +1у\ + \z\ = l(mod2), то Js(х,у,z) = 0 (так как |w| = 0).

д) Js фг ,aJ,h) = 0, i + j + l = 0(mod 2).

Js ф0, Oj, h) = -ф0 ■h)-al+b0 ■ (ofj • h) = -bx ■al+b0-a0 = -w + w = 0, Js(6j,a0,h) = (6j •h)-a0+bl ■ (a0 ■ h) = -b0 ■ a0 +bx ■ ax = -w + w = 0,

е) Js(ai,ctj,ak) = 0, где i> j>k, i + j + k = 0(mod 2).

Js(a0,a0,a0) = 3(a0 -a0)-a0 =0, Js (Oj, Oj, a0) = (ofj • Oj) • a0 + (ax ■ a0) ■ ax + ax ■ (ax ■ a0) = bx ■ ax + ax ■ bx = 0. Все возможные случаи рассмотрены. Соотношение доказано. Отсюда следует, что в алгебре G(A) выполнено соотношение

•Л*, У, z) = о.

Кроме того, G(A) коммутативна ввиду суперкоммутативности А. Как было показано ранее, в этом случае G(A) альтернативна. Лемма доказана.

Пусть G(A) = A0®G0+A1®G1 - грассманова оболочка супералгебры А, где G = G0 + Gj - алгебра Грассмана с единицей; (и- ® 1) - главный идеал алгебры G(A), порожденный элементом (w ® 1) е (¡(А). Теорема. Фактор-алгебра G(A)/(w ®1) е М. Доказательство.

Из леммы, суперкоммутативности алгебры А и соотношения (А2 )3 • А = 0 следует, что грассманова оболочка (/(А) = А0 ® G0 + Ах ® Gj - коммутативная альтернативная алгебра с тождеством

[(Х|Х2 * х^х^)(х^х^)]Ху 0.

Остается показать, что в G(A)/(w ® 1) выполнено соотношение

х3 =0.

Заметим, что множество элементов вида х0Х, где хеЕ, X - порождающий элемент алгебры Грассмана G, порождает G(A). Для таких элементов имеем

(х ® Л)3 = х3 ® Л3 =w ® 1, если х = а0, Л = 1, = 0 в остальных случаях.

Тогда, ввиду соотношения (х + у)3 = х3 + у3 справедливого в М выполняется g3e(P{w®l} для произвольных geG(A). Тем самым лемма доказана.

Кроме того, заметим, что w®l eAnnG(^4). Следовательно,

<W®1) = 0{W®1}.

Теорема доказана.

Литература

1. К.А. Жевлаков, A.M. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.

2. И.П. Шестаков, "Супералгебры и контрпримеры", Сиб. мат. ж., 32, №6, (1991).

References

1. K.A.Zhevlakov, A.M.Slin'ko, I.P. Shestakov, and A.I.Shirshov, Rings that are nearly associative, Nauka, Moscow, 1978.

2. I.P. Shestakov, "Superalgebras and counterexamples", Sibirsk. Mat. Zh., 32, №6, (1991).

Бадеев Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и математического анализа Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected]

Badeyev Aleksander Valeryevich, PhD, A/Professor, Department of Algebra and Mathematical analysis, Buryat State University, e-mail: [email protected]