CC BY
130
Общетехнические задачи и пути их решения 95
С. Г. Подклетнов
Петербургский государственный университет путей сообщения
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ВЫЯВЛЕНИЯ ДЕФЕКТОВ КОНСТРУКЦИИ
Статья демонстрирует применение метода вейвлет-преобразования для анализа неисправностей. Представлено сравнение этого метода с традиционным методом преобразования Вигнера. Данный метод имеет преимущество по сравнению с преобразованием Вигнера и традиционным и оконным преобразованием Фурье. Методом вейвлетпреобразования можно обнаружить дефекты конструкции на ранней стадии.
вейвлет-преобразование, вейвлет-функция, Фурье-преобразование, оконное преобразование Фурье,преобразование Вигнера.
Введение
Требуется решить следующую задачу: определить неисправность конструкции с помощью обработки сигналов. Предполагается, что дефект конструкции вызовет четкое изменение в частотной составляющей снимаемого с конструкции сигнала. Для анализа частотной составляющей сигнала необходимо выбрать наилучший метод обработки сигналов. Возможно применение 1
спектрального анализа. Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет
характеризовать частоты измеряемого сигнала. Применяемый метод должен сначала дать наилучшее различие между эталонным нормальным сигналом и заведомо дефектным сигналом, что позволит потом использовать его для анализа любого сигнала.
1 Решение задачи традиционными методами
Традиционные методы, основанные на преобразовании Фурье, не позволяют достаточно точно выявлять наличие и положение локальных особенностей сигналов вследствие неограниченности базисных функций и недостаточного время-частотного разрешения.
Преобразование Фурье функции _/задается формулой:
А
F (w)
-2- j f(xy«wdx.
Преобразование Фурье дает информацию о частоте в сигнале и не дает информации, в какой промежуток времени эта частота присутствует в сигнале. Для двух разных сигналов можем
получить одинаковые преобразования Фурье [1]. Чтобы устранить этот недостаток, пользуются оконным преобразованием Фурье:
F (t,w) = j f (tW(t-1)e~mdt
где W (t-1) - некоторая оконная
функция. Оконное преобразования Фурье - функция от времени, частоты и амплитуды - позволяет получать характеристику распределения частоты сигнала (с амплитудой) во времени. При обработке оконным преобразованием Фурье возникает проблема разрешающей способности, которую необходимо регулировать с помощью ширины окна [1]. Традиционные методы, таким
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 96
образом, не позволяют достаточно точно обнаружить наличие и положение локальных особенностей сигнала и недостаточного время-частотного разрешения.
Для преодоления трудностей, связанных с недостаточным время-частотным разрешением, представляется
целесообразным использовать
преобразование Вигнера (ПВ), которое имеет хорошее разрешение на время-частотной плоскости и позволяет
эффективно выявлять особенности время-частотной структуры сигналов (см., например, [2], [3]).
2 Преобразование Вигнера и вейвлет-преобразование
Преобразование Вигнера задается соотношением [2], [3]:
PJ (w) =
ф
Т + -
2
/
S *
t
tV 2 у
exp( - iwt )dt,
t
где Pvf(w,t) - функция спектральной плотности (ФСП) ПВ, знаком звёздочка (*) отмечена операция комплексного сопряжения. Результаты применения ПВ к модельным сигналам с особенностями будем сравнивать с результатами, полученными с помощью спектрограммы Фурье (СФ). Результаты применения ПВ к модельным сигналам с особенностями будем сравнивать с результатами, полученными с помощью спектрограммы Фурье, которая записывается в виде [3]:
Psf (w,t) = \Sf (w,t)|2 =
сю
I S (t)w(t -t)exp( - iwt)dt
где Psf (w,t) - ФСП СФ; w(t -t) -оконная функция динамического (оконного) преобразования Фурье. Кроме анализа самих ФСП ПВ и ФСП СФ, будем использовать их скелетоны - линии локальных экстремумов модуля ФСП (скелетон состоит из отдельных хребтов) и энергограммы - распределение энергии сигнала по частотам с увеличением. Результаты анализа модели сигнала s t
представлены на рисунках 1-4. Здесь изменение частоты гармонического колебания происходит без скачка фазы. На плоскости ФСП ПВ (рис. 3, б) присутствуют две горизонтальные линии, соответствующие гармоническим
колебаниям разной частоты, а между ними - полосы интерференционной природы. На скелетоне ФСП ПВ (рис. 3, в) отчетливо виден переход от одной частоты к другой. При этом, как и у предыдущей модели, картина хребтов ФСП ПВ зашумлена краевыми эффектами.
Важно отметить, что при
интерпретации скелетона ПВ в данном случае следует проявлять осторожность, поскольку на нем появляется наклонная линия, характерная для линейного чирпа (чирпом называют частотно-
модулированный сигнал), тогда как частота здесь изменяется не линейно, а скачкообразно. На энергограмме (рис. 3, е) присутствуют два пика,
соответствующие частотным
составляющим спектров двух синусоид, и отсутствует пик, отвечающий за
интерференцию. Это объясняется тем, что ФСП ПВ может принимать отрицательные значения, в результате чего интерференционные максимумы и минимумы, складываясь, взаимно
уничтожаются. Благодаря осцилляциям ФСП ПВ ее среднеквадратичное
отклонение (рис. 3, ж) имеет больший максимум на той частоте, где наблюдается интерференция, т. е. посередине между
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 97
частотными составляющими самого сигнала.
Результаты ПВ сравним с вейвлетпреобразованием.
Пример вычисления непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлет-функцией Морлета и с масштабом от 1 до 32 с шагом 1 в виде закрашенного контурного графика приведен на рисунке 2.
а) s г 1—1—1—1——■—1—1—1—
1 - -
о t_ - - -__1
б) F L ’ ' ' ’ I ' ' ' ' .
0.4 ■ ■
0.2 - •
О L j 1 ш. • I • ± • х .
Tinin г .
Рис. 1. Преобразование Вигнера дельта-функции: а - дельта-функции;
б - ФСП преобразования Вигнера
а)
Рис. 2. Вейвлет-преобразование дельта-функции: а - дельта-функция;
б - непрерывное вейвлет-преобразование
а) s о
-1
д)
е)
] ж)
Рис. 3. Анализ резкого скачка частоты гармонического сигнала: а - сигнал во временной области; б - ФСП ПВ; в - скелетон ФСП ПВ; г - ФСП СФ; д - энергограмма ФСП СФ; е - среднеквадратичное отклонение ФСП ПВ; ж - энергограмма ФСП СФ
а)
б)
в)
г)
Рис. 4. Вейвлет-преобразование сигнала, частота которого меняется во времени: а - сигнал во временной области; б - вейвлет-преобразование с функцией SYM 4 и масштабом от 1 до 64 с шагом 1; в - коэффициенты вейвлет-преобразования; г - линии локальных максимумов
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 98
На рисунке 3 видно наличие интерференции от сигналов при преобразование Вигнера. Данный недостаток позволяет решить вейвлетпреобразование на рисунке 4. Вейвлетпреобразование позволяет обнаружить наличие и положение локальных особенностей сигналов вследствие неограниченности базисных функций. Правда, и в этом случае сохраняется определенная доля субъективизма, так как полученный результат зависит от конкретной использованной базисной
функции - вейвлета. Возможности вейвлетанализа для выявления различных особенностей сигналов подробно описаны в [1], [4]-[8]. Сравнение вейвлет-
преобразования и преобразования Вигнера (ПВ) показывает, что основным преимуществом ПВ является хорошее время-частотное разрешение, основными недостатками - нелокальный характер функции спектральной плотности (ФСП) ПВ и наличие интерференции в случае анализа многокомпонентных сигналов.
3 Моделирование вейвлет-преобразования (wavelet transform) в средеМаЙаЬ 7.X
Вейвлет-преобразование сигнала ft)
y(t,S)
1
#i
j f (t )y*
^ t -1 ^
dt,
где t - сдвиг по времени; S - масштаб; У_ материнский вейвлет.
Вейвлет - это волна, которая проходит через сигнал и является окном некоторой ширины (масштаба) для некоторого местоположения во времени, во время интегрирования сигнала. Вейвлетпреобразование имеет ряд преимуществ:
1) лучшее представление времени и худшее представление частоты на низких частотах сигнала;
2) лучшее представление частоты с худшим представлением времени на высоких частотах сигнала. С его помощью низкие частоты имеют более детальное представление относительно времени, а высокие - относительно частоты.
В МаЙаЬ непрерывное вейвлет-
преобразование вычисляется с помощью функции CWT.
COEFS = CWT(S, SCALES, 'wname', ’plot’)
или
COEFS = CWT(S, SCALES, ’wname’,
PLOTMODE, XLIM);
S - сигнал;
SCALES - масштаб;
'wname ' - вид вейвлет-функции;
PLOT - построение графика непрерывного вейвлет-преобразования;
PLOTMODEXLIM - вывод в цвете (необязательные команды).
Вывод в цвете лучше всего сделать с помощью команды
[c,h] = contourf(COEFS).
Contourf - строит закрашенный контурный график.
Для вычисления непрерывного вейвлет-преобразования надо обязательно выбрать материнский вейвлет и масштаб.
Материнский вейвлет - это функция, которая является прототипом для всех окон, которые будут генерироваться во время вейвлет-преобразования. Вейвлетфункции (рис. 5) могут растягиваться по горизонтали или вытягиваться по вертикали в зависимости от значения масштаба (рис. 6).
Вейвлетные функции: Mexh -
мексиканская шляпа, Morl - Морлета, Meyr - Мейера, Sym- сумлета.
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 99
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
л
п
1 \ 1 \
тт
м
Г
\ / \ 1 у
100 150
Meyr
л
г
1 1
/ 1 А
\/ \ / ^ /
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.
-0.4
-0.6
-0.8
-1
150 200
Sym2
/
/ /
. / V
, _
/ \
!Г \ N
) \
1 \ / Si
200 250 300 0 100 200 300 400 500 600 700 800
Рис. 5. Виды вейвлетных функций
Mexh
Morl
0
0.
50
200
250
300
0
-0.4
50
100
150
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 100
Рис. 6. Изменение вейвлетной функции Mexh (мексиканская шляпа) в зависимости от масштаба 4 Решение задачи определения дефектов конструкции
Проведенный анализ различных видов спектральных обработок сигналов позволяет сделать вывод, что именно вейвлет-преобразование может дать лучший результат для проведения анализа сигналов. Применение преобразования Фурье не позволит обнаружить конкретное место неисправности.
Оконное преобразование Фурье даст худший результат из-за проблемы разрешающей способности сигнала. Несколько лучше преобразование
Вигнера, но оно дает сильную
интерференцию при анализе
многокомпонентных сигналов.
Для вейвлет-обработки возьмем два заранее выбранных сигнала: четкий
нормальный сигнал graficl (50 отчетов) и ярко выраженный дефектный
сигналgrafic2 (25 отчетов). Сигналы показывают распространение энергии звука в разных конструкциях металлических узлов (согласно чертежам крепления): без трещин - graficl, с
трещинами - grafic2. Применим вейвлетпреобразование к анализу этих сигналов. Для вейвлет-обработки выберем непрерывное, а не дискретное вейвлетпреобразование. Для непрерывного вейвлет-преобразования надо выбрать вейвлет-функцию и масштаб.
1. Выберем вейвлет-функцию
мексиканская шляпа.
Мексиканская шляпа - это вторая производная функции Г аусса.
Формула: (1 - х2 )е"°'5х .
График:
Проведем теперь непрерывное вейвлет-преобразование с помощью пакета МайаЬ. Результат представлен в виде закрашенного контурного графика. По оси абсцисс приведены отчеты функции, по оси ординат - значение масштаба. Итоговое вейвлет-
преобразование показано на графике в оттенках серого цвета (рис. 7 и 8). Значение вейвлет-преобразования
показано серым цветом в соответствии со шкалой палитры: белым цветом показано максимальное значение вейвлетпреобразования - 128, черным - 0. На данном графике можно наглядно увидеть разницу этих сигналов.
gdc2
10 20 30 40 50 5 10 15 20 25
Рис. 7. Результат обработки нормального
и дефектного сигналов
10 20 30 40 50 5 10 15 20 25
Рис. 8. Итоговый результат вейвлет-обработки более подробно
2. Выберем масштаб: линейный
масштаб от 1 до 128 с шагом 1.
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
Общетехнические задачи и пути их решения 101
Максимум значений вейвлетпреобразования нормального сигнала приходится на масштаб 40.
Максимум значений вейвлетпреобразования дефектного сигнала приходится на масштаб 20.
Заключение
C помощью вейвлет-преобразования, проводя анализ сигнала, показывающего распространение звука в конструкции, можно сделать вывод, нормальный это сигнал или дефектный, не пользуясь другими методами обработки сигналов, и, соответственно, определить, есть ли дефекты в конструкциях металлических узлов.
Для проведенных выше вычислений были взяты заранее подобранные
Библиографический список
1. http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/103899.
2. Преобразование Вигнера и атомарные функции в цифровой обработке сигналов / О. В. Вишнивецкий, В. Ф. Кравченко, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2006. - Т. 11, № 6. - С. 26-38.
3. Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера / О. В. Вишнивецкий, О. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. -Т. 12, № 3. - С. 295-310.
4. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. -Ижевск : РХД, 2001. - ISBN 5-7262-0633-9.
Дефект находится в сигналах, где-то между 20 и 40 отчетами нормального сигнала или 10 и 20 отчетами дефектного.
сигналы. В случае неопределенного
сигнала вейвлет-преобразование скорее всего не даст ярко выраженного результата. Чтобы выявить эти различия более
отчетливо, необходимо выбрать наиболее информативные участки на графике вейвлетпреобразования и воспользоваться
многомерным статистическим анализом. Возможно применение дискриминантного анализа.
5. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. - 1996. - Т. 166, № 11. - С. 1145-1170 (электронный вариант: http:// www.ufn.ru/ ufn96/ufn96_11/Russian/r9611a.pdf).
6. Wavelets: Algorithms and Applications / Y. Meyer. - SIAM, 1993.
7. An introduction to wavelets / C. Chui. -Academic Press, 1992.
8. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н. К. Смоленцев. - Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2003. -200 с.
УДК 629.42.064.5
А. И. Хожаинов, В. В. Никитин, Г. Е. Середа, Е. Г. Середа
Петербургский государственный университет путей сообщения
РАЗРЯДНЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ДЛЯ СВЕРХПРОВОДНИКОВОГО ИНДУКТИВНОГО НАКОПИТЕЛЯ ЭНЕРГИИ
Одной из приоритетных задач развития железнодорожного транспорта в вопросах энергосбережения согласно «Стратегическим направлениям научно-технического развития ОАО РЖД на период до 2015 года» является широкое использование энергоемких накопителей энергии в основных технологических процессах энергопотребления и генерации энергии. В
ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС
2012/1
