Применение вейвлет-анализа для поиска скоплений галактик по данным каталога 2dFRGS Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ДЛЯ ПОИСКА СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК ПО ДАННЫМ КАТАЛОГА 2БРКС8

АО. КОНОПЛЕВ, ГАИШ МГУ

Изучение пространственного распределения галактик является одной из важнейших задач наблюдательной космологии, поскольку это распределение характеризует крупномасштабную структуру Вселенной и является следствием эволюции начальных возмущений плотности.

Во второй половине XX в. было обнаружено три типа крупномасштабных структур, которые образуют галактики: группы галактик, скопления галактик, сверхскопления. Сверхскопления разделены пустотами, диаметры которых больше 50 Мпк (1 пк = 3-1013 км).

Эти протяженные структуры открывались различными авторами и различными методами [4]. Основная проблема состоит в том, что каждый метод позволяет получить объективные результаты только на определенных масштабах. Сверхскопления очень трудно выделить на общем фоне галактик, так как концентрация галактик в сверхскоплениях всего в несколько раз отличается от средней (по небесной сфере) концентрации галактик. В этом смысле сверхскопления являются «слабыми» структурами, хотя их масштаб больше 10 Мпк. Для таких масштабов обычно применяют метод корреляционной функции, в котором используется корреляционная функия галактик.

Наиболее яркими и уверенно наблюдаемыми являются скопления галактик. Их обнаруживают прямыми подсчетами галактик и сравнением концентраций галактик внутри и вне скопления. Масштабы скоплений галактик меньше 3 Мпк.

Группы галактик и внутреннюю структуру скоплений обнаруживают чаще всего методом перколяции, который применим на масштабах меньше 100 Кпк.

Иногда результаты различных авторов противоречат друг другу. Поэтому необходимо анализировать распределение галактик одним и тем же методом, который применим на всех масштабах [5]. Таким методом является вейвлет-анализ. Впервые в астрофизике он был применен в работе [6].

Вейвлет-анализ по своей структуре предполагает использование наблюдательных данных о распределении галактик по всей небесной сфере. Поэтому он позволяет обнаруживать положения и определять размеры структур различных угловых масштабов.

В настоящей работе предложен двухмерный вейвлет-метод для исследования распределения галактик на небесной сфере.

Метод вейвлет-преобразования

При анализе наблюдательных данных используют вейвлет-преобразования двух типов: непрерывное (НВП) и дискретное (ДВП, ряды вейвлетов непрерывного времени). Не следует путать дискретное вейвлет-преобразование с каким-либо вейвлет-преобразованием дискретного сигнала. Для удобства понимания дискретное вейвлет-преобразование следует называть рядами вейвлетов непрерывного времени или просто вейвлет-рядами (по аналогии с рядами Фурье).

Под НВП функции / ()е (Я) понимается скалярное произведение этой функции и базисных функций

^) = а Ч1Т ],

где а и Ь - параметры, причем а принимает положительные действительные значения;

Ь - любые действительные значения, то есть ее разложение по всем возможным сдвигам и сжатиям некоторой функции ) (порождающего

вейвлета, материнская вейвлет-функция) [3].

Материнская вейвлет-функция I)

выбирается исследователем произвольно, исходя из цели исследования. На выбор порождающего вейвлета накладывается единственное условие [1]:^(0

^(t )dt = 0-

—да

Примером такой функции является вейвлет «Мексиканская шляпа» (Mexican hat, MEXIHAT) - вторая производная от га-уссианы [2] (рис. 1).

—£

W(t ) = (t2 — l) 2.

На рис. 2 и 3 пунктиром приведены примеры растяжения и сдвига вейвлета MEXIHAT:

Рис. 1. Порождающий вейвлет MEXIHAT

Рис. 2. Растяжение вейвлета MEXIHAT при a = 3, b = 0

t

t

Рис. 3. Сдвиг вейвлета MEXIHAT при a = 0, b = 10

Непрерывное вейвлет-преобразова-ние для одномерной функции является сверткой (скалярное произведение) функции А?) и базисных функций у/а Ь (V):

1 да

CWTf (a, b) = a"2 \ f (t

t — b

a

dt.

Результатом НВП является функция двух переменных CWTf (a, b) .

В случае вейвлет-рядов рассматриваются не все сдвиги и растяжения порождающего вейвлета, а только взятые на некоторой дискретной сетке (обычно логарифмической) [3]. В этом случае вейвлет-преобразование выбирают в виде

<» m

(CTWSf )m n = J a0 mt —n)f (t)dt.

—ад

Здесь m, n принимают целые значения, a0 > 1. Подставив в эту формулу a = am ,

b = nam, получим выражение для НВП, но с

одним отличием - a, b будут принимать дискретные значения.

Вейвлет-ряды являются конечным набором коэффициентов (CTWSf) .

V f 'm,n

Вейвлет-анализ каталога галактик 2dFGRS

Ниже применяется вейвлет-анализ к каталогу галактик 2dFGRS (The 2dF Galaxy Redshift Survey), который содержит информацию об экваториальных координатах, звездных величинах и других характеристиках галактик. В этом каталоге содержится информация о галактиках со звездными величинами вплоть до 19,5. При анализе каталога не учитывается расстояние до галактик (красное смещение), а исходными данными являются только две угловые сферические координаты галактик. Целью анализа является обнаружение на небесной сфере структур, которые образуют галактики: группы, скопления и сверхскопления галактик.

Для упрощения анализа каждая галактика на небесной сфере представлена двухмерной функцией распределения яркости - гауссианой:

х2 + у2

Ф ( х, у) = Ф 0е а ,

где Фо - яркость в центре изображения галактики;

а - расстояние от центра галактики, на котором яркость уменьшается в е раз;

t

2 . 2 2 х + y = г - расстояние от центра изображения галактики.

Для применения вейвлет-анализа в сферических координатах необходимо ввести систему координатных точек (точек анализа), которые равномерно распределены по сфере и в которых будут вычисляться вейвлет-коэффициенты. Эту задачу решили математики Дуг Хардин (Doug Hardin) и Эд Сэф (Ed Saff) из университета Вандербилт, штат Тен-неси [7]. На сайте Эда Сэфа можно скопировать подпрограммы на языке MATLAB и Maple для реализации решения данной задачи

[8]. Результатом работы этих подпрограмм является набор координат точек, равномерно распределенных на сфере. Для определения точек анализа на сфере применялась подпрограмма для системы МАТЪАБ.

Для вычисления вейвлет-коэффи-циентов в каждой точке анализа удобно перейти к полярной системе координат (СК) на поверхности сферы. Полярная СК «накладывается» на поверхность сферы. Формулы перехода к полярной СК выводятся при помощи формул для сферических треугольников (рис. 5).

Рис. 4. Простейшее распределение яркости в изображении галактики при Ф0 = 1, ст= 1

Рис. 5. Полярные координаты на поверхности сферы р и <р, точка анализа совпадает с точкой 1

Рис. 6. Вейвлет МЕХ1НАТ в полярных координатах у/(р,^)

Рис. 7. Схема одного из возможных взаимных распределений вейвлета МЕХ1НАТ и трех галактик. Галактики изображены в виде конусов из окружностей при Ф 0; = 0,5 для всех /

р = arceos (sin S1 sin S2 + cos S1 cos S2 cos (a2 -a1)),

. ' cos S2 sin (a2 - a ) ^ p = arcsin ---- ,

l sin P ) где (a, 81) - экваториальные координаты точки анализа; (a2, S2) - экваториальные координаты галактики.

В результате получается набор полярных координат р, p галактик относительно выбранной точки анализа.

В качестве функции f (t) выберем

сумму (при переходе t ^ {р, p} )

После выполнения двойного интегрирования в предыдущей формуле получается:

f (Р,() = ЁФ1 (р,() = £ф о

1=1 1=1 где п - число галактик в каталоге.

Порождающий вейвлет выбираем в

виде

¥(Р,Ф) = (Р2 - 1)е 2 .

Он показан на рис. 6.

Вейвлет-преобразование имеет следующий вид:

2 1 п (о \ п

Ж(а) = _гЯи 1 (Р'^Р

<а 0 0 V а ) 1=1 где а - параметр, определяющий масштаб базисных функций.

В данной задаче определяется значение параметра а, которое соответствует характерному угловому размеру скоплений галактик ( 20' - 50').

На рис. 7 изображена схема одного из возможных распределений трех галактик относительно базисной функции. Вертикальная ось симметрии базисной функции проходит через точку анализа. Расстояние галактик от точки анализа разное. Галактики 1 и 2, расположенные далеко от точки анализа (р>> а), дают меньший вклад в вейв-лет-коэффициент. Этот вклад отрицательный. Галактика 3, расположенная ближе к точке анализа ( р > а ), дает больший (по модулю), но все же отрицательный вклад в вейвлет-коэффициент. Галактики, расположенные близко к точке анализа (на рисунке не изображены) (р < а), дают положительный вклад в вейвлет-коэффициент.

W (a) = 2a2п£

фо,е +2°Ч2 (4a4 -а/ -4a2р2) .

(с2 + 2a2 )

Данное выражение примет следующий вид, если константы Ф0г- и с одинаковы для каждой галактики и равны Ф0 и сг

3

— 2

W (a) = 2a2СФ03 Xe^ (4a4 - с4 - 4a 2/?2 ) • (с2 + 2a2) 1=1

Далее вычисляются коэффициенты вейвлет-преобразования в каждой точке анализа. Число точек анализа на всей сфере 106, а в полосе, соответствующей каталогу 2dFRGS, -18038. В статье рассматриваются результаты вейвлет-преобразования при параметрах с = 4", a пробегает значения от 5,5' до 30°. Для вычисления каждого из 18038 вейвлет-коэффициентов используются данные о координатах каждой галактики. Другими словами, значение каждого коэффициента зависит от распределения всех галактик каталога. Именно это свойство вейв-лет-анализа позволяет находить структуры в распределении галактик.

Графическое представление результатов

Пример обработки каталога 2dFGRS показан на рис. 9-11.

На рис. 8 показано положение галактик этого каталога в полосе 9й50т <а< 14й50т и -7°30' <8 < 2°30'. На результат вейвлет-анализа влияет то, что указанная полоса имеет границы как по прямому восхождению, так и по склонению. Наличие границ приводит к сдвигу положений максимумов вейвлет-коэффициентов на небесной сфере. Этот эффект можно снизить, введя случайное распределение источников в незаполненных областях [9]. В данной работе этот эффект сдвига не учитывается, так как результаты вейвлет-анализа каталога галактик 2dFRGS сравниваются с известным распределением скоплений галактик по каталогу Rich Clusters of Galaxies (Abell+ 1989) [10]. В табл. 1 приведена выборка скоплений галактик из каталога [10] для исследуемой полосы небесной сферы.

Таблица 1

Скопления галактик из каталога Rich Clusters of Galaxies (Abell+ 1989) [10] для полосы небесной сферы 9h50m <а< 14h50m и -7°30' < 5 < 2°30'

Abell No. Номер скопления в каталоге [7].

GLON Галактическая долгота (в градусах).

GLAT Галактическая широта (в градусах).

z Красное смещение (для некоторых скоплений).

RAB1950 Прямое восхождение (в часах, минутах, секундах).

DEB1950 Склонение (в градусах, минутах, секундах).

Count Примерное количество галактик в скопление.

Rich «Богатость» скопления по Абелю (1958).

ml Средняя звездная величина десяти ярчайших членов скопления.

Рис. 8. Участок небесной сферы с галактиками из каталога 2dFRGS

Рис. 9. Результат вейвлет-анализа всей полосы

255

Рис. 10. Увеличенная средняя часть полосы на рис. 9

Рис. 11. Сравнение результатов вейвлет-анализа каталога галактик 2dFRGS с распределением

скоплений галактик в каталоге [10]. Скопления из каталога [10] изображены окружностями

На рис. 9 и 10 графически показаны результаты вейвлет-анализа. Изображение состоит из квадратов одинакового размера. В центре каждого квадрата находится одна точка анализа. Цвет квадрата соответствует значению вейвлет-коэффициента, шкала цвета приведена на рис. 10. На рис. 9 и 10 более яркие области, включающие несколько точек

анализа, соответствуют повышенной концентрации галактик на небесной сфере. Некоторые яркие области для примера указаны стрелками. Такие области могут соответствовать скоплениям галактик, так как их угловой размер в среднем около 35', что при красном смещении 2 = 0,1 и постоянной Хаббла Н0 = 100 (км/с)/Mпк равняется 3 Мпк.

0

АЬе11 N0. GLON GLAT ъ ЯАВ1950 БЕВ1950 СоиШ Rich ш1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

deg deg «кш^» Л mag

890 242,60 36,37 09 50,5 -04 36 31 0 17,20

892 237,26 39,76 09 51,0 +00 48 42 0 17,10

912 239,45 40,89 0,0888 09 58,6 +00 08 36 0 15,90

919 240,84 41,28 10 02,4 -00 27 60 1 17,10

930 246,18 38,49 10 04,4 -05 23 50 1 16,50

933 240,11 42,56 10 05,1 +00 46 44 0 15,90

944 243,52 41,64 10 08,6 -01 47 50 1 17,10

954 242,08 43,33 10 11,1 +00 07 49 0 16,50

957 242,97 42,89 0,0440 10 11,4 -00 40 55 1 15,90

978 250,01 40,36 0,0527 10 18,0 -06 16 55 1 15,60

993 248,84 41,70 0,0533 10 19,4 -04 42 36 0 14,90

1001 250,71 40,78 10 20,7 -06 21 70 1 17,70

1008 249,88 41,92 10 22,2 -05 06 40 0 17,70

1009 250,34 41,65 10 22,4 -05 32 76 1 17,70

1013 250,98 41,52 10 23,4 -05 58 88 2 17,70

1023 251,98 41,50 10 25,5 -06 30 31 0 17,10

1039 251,28 43,75 10 30,3 -04 32 32 0 17,50

1059 253,51 43,64 10 34,7 -05 43 57 1 17,70

1064 246,43 49,02 10 36,2 +01 32 54 1 17,10

1078 248,39 49,47 10 41,0 +00 54 55 1 17,00

1079 256,38 43,62 10 40,9 -07 07 41 0 17,10

1080 247,99 49,85 10 41,4 +01 21 42 0 17,00

1084 256,42 44,04 10 42,1 -06 49 51 1 17,40

1092 248,33 50,47 10 43,8 +01 37 76 1 17,60

1098 254,35 46,95 10 45,4 -03 40 32 0 16,90

1111 253,73 48,42 10 48,1 -02 18 88 2 17,80

1134 255,11 49,81 10 54,5 -01 52 86 2 17,60

1139 251,47 52,65 0,0383 10 55,5 +01 46 36 0 15,00

1148 255,59 51,51 10 59,9 -00 47 78 1 17,60

1153 253,42 53,53 11 01,3 +01 36 84 2 17,50

1164 253,39 54,50 11 03,9 +02 20 68 1 17,70

1172 263,07 47,55 11 05,5 -06 53 39 0 17,20

1189 255,94 54,57 11 08,5 +01 24 36 0 17,00

1191 256,38 54,31 11 08,6 +01 02 95 2 17,50

1195 262,25 49,91 11 09,2 -04 39 56 1 17,60

1200 260,80 51,42 11 09,8 -02 53 53 1 17,00

1206 263,43 49,61 11 11,0 -05 20 52 1 17,60

1214 264,51 50,08 11 14,4 -05 20 61 1 17,50

1216 263,78 51,13 0,0524 11 15,2 -04 12 57 1 16,00

1236 260,67 55,88 11 20,2 +00 44 49 0 17,20

1238 260,06 56,41 0,0716 11 20,4 +01 22 63 1 16,00

1248 265,55 52,18 11 21,2 -03 56 34 0 17,00

1260 260,23 57,70 11 23,8 +02 20 90 2 17,50

1273 269,80 50,47 11 26,8 -06 46 68 1 17,60

1295 270,95 50,32 11 29,1 -07 15 61 1 17,10

1296 269,14 52,40 11 29,2 -04 53 36 0 17,00

1308 268,55 53,57 0,0481 11 30,3 -03 42 37 0 15,70

1320 271,12 52,33 11 33,3 -05 32 40 0 17,60

1334 271,04 54,00 0,0555 11 36,3 -04 02 39 0 15,70

1364 270,78 56,82 0,1070 11 41,1 -01 29 74 1 16,00

1373 272,04 56,47 0,1314 11 42,9 -02 07 94 2 17,20

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1376 271,25 57,73 11 43,7 -00 48 50 1 16,60

1386 272,85 57,20 11 45,8 -01 40 66 1 17,20

1389 272,80 57,81 11 46,8 -01 06 40 0 16,60

1392 272,63 58,66 0,1382 11 48,0 -00 18 46 0 16,60

1398 277,96 52,25 11 48,4 -07 23 50 1 17,80

1399 274,91 56,46 0,0913 11 48,6 -02 49 82 2 16,00

1404 275,19 56,84 11 49,8 -02 32 39 0 16,60

1407 274,87 57,94 11 51,0 -01 28 56 1 17,00

1411 274,63 59,22 11 52,7 -00 15 69 1 17,50

1419 274,85 59,58 11 53,7 +00 02 73 1 17,00

1422 279,95 53,40 11 54,6 -06 45 48 0 17,80

1434 281,25 53,52 11 57,7 -06 54 34 0 17,20

1445 277,29 60,21 11 59,2 +00 07 81 2 17,60

1448 282,13 54,07 12 00,4 -06 33 70 1 16,60

1453 281,18 56,19 12 01,1 -04 22 43 0 17,80

1458 281,63 55,84 12 01,6 -04 47 48 0 17,30

1469 283,41 54,02 12 03,2 -06 50 84 2 17,20

1482 284,79 55,86 12 08,4 -05 18 34 0 17,20

1485 284,13 57,53 12 08,9 -03 36 35 0 17,60

1517 288,10 56,93 12 16,6 -04 44 35 0 16,60

1525 287,73 60,86 0,2590 12 19,5 -00 52 186 3 18,00

1530 286,44 64,04 12 20,3 +02 22 151 3 17,80

1533 288,01 63,00 0,2319 12 22,0 +01 11 119 2 18,00

1564 293,37 64,41 12 32,4 +02 07 33 0 16,60

1577 295,60 62,40 12 35,3 +00 00 73 1 17,80

1588 298,30 57,99 12 39,0 -04 31 48 0 17,20

1612 301,06 60,05 12 45,1 -02 32 33 0 17,60

1620 302,07 61,28 12 47,2 -01 19 42 0 17,20

1634 304,08 56,18 12 51,4 -06 25 66 1 17,60

1650 306,73 61,06 0,0845 12 56,2 -01 29 114 2 17,00

1651 306,75 58,63 0,0825 12 56,8 -03 55 70 1 16,00

1658 307,71 59,35 12 58,6 -03 10 50 1 17,20

1663 308,65 60,23 13 00,2 -02 15 56 1 17,00

1688 312,35 57,82 13 08,9 -04 25 49 0 17,60

1689 313,39 61,10 0,1810 13 09,0 -01 06 228 4 17,60

1692 313,90 61,50 13 09,7 -00 40 38 0 17,20

1698 312,88 55,42 13 11,5 -06 45 56 1 17,60

1729 318,64 58,52 13 21,4 -03 06 76 1 17,20

1733 322,85 63,73 13 23,6 +02 28 90 2 18,00

1750 322,65 59,51 0,0860 13 28,3 -01 35 40 0 15,90

1751 320,75 55,75 13 28,7 -05 29 31 0 17,60

1839 333,85 53,71 13 59,9 -04 36 63 1 17,40

1858 336,27 53,53 14 05,3 -04 05 44 0 17,60

1882 342,41 56,03 14 12,1 -00 06 166 3 17,20

1938 350,31 52,54 14 35,2 -00 03 53 1 17,20

1955 347,89 48,27 14 41,4 -04 19 47 0 17,80

Для проверки обнаружения скоплений галактик с помощью описанного вейв-лет-анализа было проведено сравнение с имеющимся каталогом скоплений галактик [10]. Результаты сравнения приведены на рис. 11.

Наблюдается хорошее совпадение ярких областей со скоплениями галактик. Из 90 скоплений примерно 70 попало на яркие области (с учетом указанного выше эффекта сдвига). Это означает, что описанная методика вейвлет-анализа позволяет обнаружи-

вать скопления галактик с вероятностью не ниже 75 %.

Описанный метод обнаруживает больше структур, чем приведено в каталоге скоплений [10]. Это вызвано тем, что в каталоге скоплений приведены скопления, галактики в которых имеют самую большую звездную величину 18,4. В то время как в каталоге 2ёБК08 содержится информация о галактиках со звездными величинами вплоть до 19,5.

Заключение

Выше описан метод на основе вейв-лет-анализа для исследования распределения галактик на небесной сфере. На примере каталога галактик 2ёБК08 и каталога скоплений галактик [10] показано, что этот метод позволяет обнаруживать скопления галактик.

Обнаружены скопления галактик примерно одного класса «богатости» (по Абелю).

В дальнейшем предполагается усовершенствовать метод - разработать методику учета границ каталога для устранения эффекта сдвига. А также применить этот ме-

тод для структурного анализа других каталогов галактик.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю И.К. Роз-гачевой за постановку задачи и обсуждение работы.

Библиографический список

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. - М., 1996.

2. Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования. Перевод: Гри-бунин В.Г. СПб.: http://www.autex.spb.ru.

3. Грибунин В.Г. Глоссарий по цифровой обработке сигналов. Предварительная версия. СПб.: http://www.autex.spb.ru.

4. Girardi M., Biviano A., Giuricin G., Mardirossian F., Mezzetti M. Astrophys. J. 1993, Vol. 404, P. 38.

5. Pisani A. Mon. Not. R. astr. Soc. 1993, Vol. 256, P. 706.

6. Slezak E., Bijaoui A., Mars G. Astron. & Astrophys. 1989, Vol. 227, P. 301.

7. D.P. Hardin and E. B. Saff, Discretizing manifolds via minimum energy points, Notices of the Amer. Math. Soc. (2004), to appear. Vol. 51. No. 10. P. 1186-1194.

8. http://www.math.vanderbilt.edu/~esaff

9. MIDAS Users Guide, 1995, Volume A, B.

10. Rich Clusters of Galaxies (Abell+ 1989). Revised northern «Abell Catalog».