Применение векторного способа аппроксимации перемещений в криволинейных системах координат при расчете тонкостенных конструкций на основе МКЭ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО СПОСОБА АППРОКСИМАЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ ПРИ РАСЧЕТЕ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ

МКЭ

АPPLICATION OF THE VECTORIAL METHOD APPROXIMATION TRAVEL IN CURVILINEAR SYSTEMS AT THE CALCULATION THIN-WALLED CONSTRUCTION ON BASE METHOD OF

FINITE ELEMENTS

Николаев А.П., доктор технических наук, профессор Клочков Ю.В., доктор технических наук, профессор Джабраилов А.Ш., кандидат технических наук, доцент Конт. т. 8 8442 419829

ФГОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

А^. Nikolaev, J.V. Klochkov, A.SH. Dzhabrailov

Volgograd state agricultural academy

В представленной работе доказывается возможность выражения каждой компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через все компоненты векторов узловых неизвестных в криволинейной системе координат. На примере показана эффективность обоснованного способа векторной аппроксимации полей перемещений.

In article proved possibility to pass a component of the vector travel of inside point the finite element over all components central quantity in curvilinear systems. On example appear efficacy of the vectorial method approximation travel.

Ключевые слова: векторная интерполяция, оболочка вращения, тонкостенная конструкция.

Key words: vector interpolation, covet rotation, linywall construction.

На сегодняшний день МКЭ является одним из основных численных методов, применяемых при расчетах тонкостенных конструкций, которые используются во многих отраслях промышленности и сельского хозяйства.

Рассмотрим векторное поле V, заданное на некоторой поверхности Ж эвклидова

3

пространства 8 . Точки поверхности определяются радиусом-вектором

R = xk (е“) ik, (1)

где ik - орты декартовой системы координат; xk (еа) - декартовы координаты точек поверхности, являющиеся

еа

функциями криволинейных координат .

Здесь и ниже латинским индексам придаются значения 1, 2, 3; греческим -значения 1, 2.

Пусть локальное векторное поле V, соответствующее рассматриваемому конечному элементу, определяется выражением

V = v^a^ + v a, (2)

где Op - векторы локального базиса, касательные к поверхности Ж ; G - орт нормали к поверхности Ж .

Локальные векторы ap определяются дифференцированием радиуса-вектора (1)

поверхности Ж по криволинейным координатам еа , а орт нормали - векторным произведением

ap = R, а = x,p(qa) 4 > a = I? X °2i. (3)

a1 X a2

Векторы локального базиса являются функциями криволинейных координат 0а , и их производные определяются выражениями [ 1 ]

аа,р = Гар ат + Ъара; а,р = Ърат, (4)

где ГО^р - символы Кристоффеля второго рода; Ьар, - ковариантные и смешанные компоненты тензора

кривизны поверхности .

Производные векторного поля V (2) с использованием (4) представляются векторами

^а= /аЧ+ /аа; ^ар= /Ор ар + /ара , (5)

компоненты которых в локальном базисе внутренней точки конечного элемента являются функциями компонент Vр у и их производных.

Обычно при определении напряженно-деформированного состояния оболочек используются аппроксимации полей перемещений Vр, V как скалярных величин выражениями [2, 3, 4]

vP=фф}T { ,

У* т V у

^ г ^

у* I у

Vр = {ф}Т } V = {у}Т К} (6)

где - матрицы-строки функции формы; к },К} - матрицы-столбцы узловых неизвестных скалярных

величин.

С другой стороны, для определения вектора перемещения произвольной точки конечного элемента можно воспользоваться аппроксимациями

V =ЫТ в } (7)

и Т Ь -И-г -И-г -И 1 г

где |Уу^ = [V ...V Уа...VаТ’ар...Уа^ - матрица-строка узловых векторов перемещении и их производных;{у} -

матрица-строка функций формы; N - число узлов конечного элемента.

Элементы столбца узловых неизвестных {у} представляются векторами в

локальных базисах узловых точек и для конечного элемента являются постоянными величинами, поэтому производные вектора перемещения (7) определяются выражениями

^а = {у,а} {у } ^ ар = {у,ар} {;у} (8)

Теорема. Если вектор V векторного поля перемещений, заданного в эвклидовом

з

пространстве 8 на некоторой поверхности Ж, аппроксимируется через значения векторов перемещений и их производных в узлах поверхности Ж выражением

V = {у}т {у}, то компоненты вектора V всегда могут быть представлены

аппроксимациями через компоненты узловых векторов {Vу} и их производные с

использованием функции формы {у}Т .

Доказательство. На основании (3) формируются матричные соотношения

{а} = [ш]{/}; {ак }= \тк {/}; (к = 1,2...И), (9)

где {а} —{а^О^а} - матрица-строка векторов локального базиса внутренней точки конечного элемента;

{— к Т {— к — к — к }

О _| = О2 О | - матрица-строка векторов локального базиса к-ой узловой точки конечного элемента;

{/ } — {г^з } - матрица-строка ортов декартовой системы координат.

С использованием (9), векторы базиса узловой точки выражаются через векторы базиса внутренней точки конечного элемента

{ак }—[тк ]т ]-1{<— }— [п }. (10)

Столбец узловых векторов перемещений и их производных на основании соотношений (2), (5) и (6) представляется матричным соотношением

{г— у }— [А1 - и ][° ]{К у } (11)

где [—1- И ] - матрица, элементами которой являются векторы базисов узловых точек (формируется на основе (2),(5));

{*у } — |v1г'.. V2.. VИ V*.. .VйV1.. VйVгl2.. .VИ2} - строка скалярных узловых неизвестных; [О] - матрица,

,1И .2 г „2 И„1 „И

у у ( — V Г

сформированная на основе соотношений (5)

С использованием (11), матрица \а1-и] представляется соотношением

[а1-N ]—[а]^] (12)

где элементами матрицы [А] являются векторы локального базиса внутренней точки конечного элемента.

С учетом (13) и (12), вектор перемещения (8) записывается в виде

V — {у }Т [а 1ь Ю ]{к у } (13)

Матрица [а] , элементами которой являются векторы локального базиса внутренней точки, без принципиальных затруднений представляется в виде суммы

[А]— ^[4] + (—2 А ] + а[А3 ], (14)

с учетом которой соотношение (14) принимает вид

V — {у } {«1 [А1 ]+ а 2 [А2 ]+ а [А3 ]}[Ь ][а ]{* у } (15)

При использовании (2), получаются соотношения для аппроксимации компонент вектора перемещения

V'—{1р]ТК} г—ЫТК} <16)

где И — МТ {д}7’ — Мг [А3 ]№]

Аналогичными рассуждениями соотношения (9) представляются в виде

— а — {У,а }Т {а1 [А1] + а 2 [А2 ] + а [А3 ]М^ ]{ку }>‘

^ар — {У ,ар Т {а1[А1] + а2 [А2 ] + а [А3 ]М^ ]{ку } (17)

При замене левых частей (18) соотношениями (5) с использованием (6) и (16), из (17) получаются матричные зависимости

*—кГК}‘ V,a—{ma}TК}

^^^ар — {тар}Т {ку } ^ар — |kаP|T {ку } (18)

Таким образом, исходя из аппроксимации векторного поля перемещений, для конечного элемента получены аппроксимации компонент вектора перемещений и их производных через компоненты векторов узловых перемещений и их производные.

Теорема доказана.

Следует особо подчеркнуть, что при аппроксимации (7) компонент вектора перемещения внутренней точки конечного элемента каждая компонента определяется узловыми значениями только этой компоненты. При использовании же аппроксимации

векторных полей перемещений (8) каждая компонента , V и их производные выражаются через узловые значения всех трех компонент векторов перемещений.

ур=[уГ } = } (19)

Пример. Для того чтобы оценить эффективность использования векторной аппроксимации перемещений в конечно-элементном анализе оболочек, допускающих жесткие смещения под действием заданной нагрузки, рассмотрен пример расчета оболочки, состоящей из цилиндра, сочлененного с эллипсоидом вращения (рис. 1), нагруженной внутренним давлением интенсивности q и имеющей на левом краю пружинные опоры, жесткость которых варьировалась. Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте при формировании матрицы жесткости конечного элемента применялась стандартная интерполяционная процедура (7). Во втором реализовывалась векторная аппроксимация перемещений (8).

Были приняты следующие исходные данные: q = 5 МПа; Е =2 105 МПа; V = 0,3; ґ = 0,01 м; Я = 0,8 м; Ь1 = 1,0 м; Ь2 = 1,0 м; Ь3 =1,1 м.

Результаты повариантного расчета представлены в виде графиков, изображенных на рис. 2. Кружками и сплошной линией показан характер изменения меридиональных напряжений по длине меридиана оболочки при отсутствии жестких смещений. Как видно из рисунка, численные значения напряжений в этом случае совпадают по вариантам расчета. Если жесткость пружины последовательно уменьшать, то конструкция получит возможность смещаться в горизонтальном направлении как абсолютно жесткое тело. Характер изменения контролируемых параметров НДС в первом варианте расчета представлен кривыми 2, 3, 4. Причем кривая 2 получена при жестком смещении оболочки на 0,03 м, кривая 3 - на 0,33 м, кривая 4 - на 3,33 м. Как видно из рисунка, в первом варианте расчета погрешность вычислений стремительно нарастает с увеличением смещения конструкции как жесткого целого. Во втором варианте численные значения напряжений остаются неизменными, несмотря на значительную величину жесткого смещения. Поэтому можно сделать вывод о том, что векторная аппроксимация корректно учитывает в неявном виде смещения конечного элемента как жесткого целого.

Рисунок 2

Основываясь на вышеизложенном, можно сделать следующий вывод. Элементы конструкций, которые могут иметь значительные градиенты кривизны поверхности, в процессе своей эксплуатации могут получать большие смещения как жесткого целого. Эффективное исследование напряженно-деформированного состояния такого рода элементов возможно с использованием изложенного в настоящей статье способа аппроксимации векторных полей перемещений, который должен быть включен в современные программные комплексы по расчету тонкостенных конструкций.

Библиографический список

1. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Наука, 1969. - 176 с.

2. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. - Л.: Судпромиздат, 1962. - 432 с.

3. Седов, А.И. Механика сплошной среды / А.И. Седов. - М.: Наука, 1976. - Т.1. - 535 с.

4. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. -Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

5. Голованов, А.И. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. - Казань: Казанский физико-технический институт КФ АН СССР, 1989. - 270 с.

6. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. - Казань: ДАС, 2001. - 301 с.

7. Голованов, А.И. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций / А.И.Голованов, А.В. Песошин, О.Н. Тюленева. - Казань: Казанский государственный университет, 2005.

- 442 с.

8. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. - М.: Наука, 1975. - 631 с.