Применение вариационных алгоритмов интерполяции и оценки первой производной для обработки изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.153

Т.Н. СОЗОНОВА, БелГУ (г. Белгород, Россия),

Н.С. ТИТОВА, БелГУ (г. Белгород, Россия),

Н.В. ЩЕРБИНИНА, БелГУ (г. Белгород, Россия)

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ОЦЕНКИ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В настоящее время в различных областях науки и техники широкое развитие получили системы, ориентированные на получение, обработку и хранение информации, представленной в виде изображений. В работе рассмотрены некоторые аспекты обработки изображений, в частности, передискретизация и увеличение четкости изображений на базе вариационных алгоритмов интерполяции и оценивания первой производной на основе частотных представлений.

Ключевые слова: интерполяция, оценка первой производной, частотное представление, передискретизация, четкость изображения.

Постановка проблемы: Многие отрасли науки и техники, имеющие отношение к получению, обработке, хранению и передаче информации, в значительной степени ориентируются в настоящее время на развитие систем, в которых информация имеет характер изображений. Изображение, которое рассматривается как двумерный сигнал, является значительно более емким носителем информации, чем обычный одномерный (временной) сигнал. Вместе с тем, при решении многих научных и инженерных задач при работе с визуальными данными требуется в качестве промежуточного этапа проводить пересчет цифровых изображений на другую растровую сетку.

Одной из задач обработки изображений является передискретизация. К задаче передискретизации предъявляются высокие требования по точности, так как каждое преобразование ведет к накоплению ошибки. Таким образом, наилучшим является алгоритм, который производит набор необходимых преобразований за один этап и использует наиболее точный для данной задачи метод аппроксимации. В настоящее время во многих редакторах обработки изображений используются в основном билинейная и бикубическая интерполяция. Отметим, что интерполяция изображения может привести к сильному размытию последнего.

Еще одной из задач обработки изображений является увеличение четкости. Недостаточная четкость изображения может иметь множество объяснений: недостаточное разрешение используемой фототехники,

увеличение или уменьшение размера изображения и др.

Таким образом, возникает необходимость при помощи обработки придать изображению такие качества, благодаря которым его восприятие человеком было бы по возможности комфортным. Часто бывает полезным подчеркнуть, усилить какие-то черты, особенности, нюансы наблюдаемой картины с целью улучшения ее субъективного восприятия.

Цель статьи. В данной работе предлагается использовать новые вариационные алгоритмы интерполяции (для увеличения размера изображения) и оценивания производных (для увеличения четкости изображения), основанные на использовании класса целых аппроксимирующих функций ограниченной степени роста. К ним, в частности, относятся функции с финитной областью определения трансформант Фурье, то есть с финитными спектрами.

Учитывая, что изображение можно рассматривать как двумерный сигнал, интерполяция изображения может производиться в два этапа: вдоль оси ОХ и вдоль оси ОY.

Основная часть. Рассмотрим математические основы предлагаемых алгоритмов интерполяции и оценивания производных по одному направлению (вдоль оси ОХ).

Пусть в эквидистантных точках /г = /А, г = 0,...,N дан вектор значений сигнала

и = о ,...,иN )Т , иг = м(/А/), г = 0,..., N, где символ Т означает транспонирование.

Представляется целесообразным областью определения аппроксимирующей функции считать всю числовую ось, т.е.

-да < / < да. (2)

При этом потребуем, чтобы в любой точке области определения

существовали и были непрерывными производные любого порядка, причем

выполнялись неравенства

да I 12

| и(к)(/) Л <да, к = 0,1,.... р-,

—да

В основе дальнейших построений используется представление

и (/) = И0 + | Дт)а?т, (4)

0

которое позволяет по производной вычислить интерполирующую функцию. Очевидно, что при этом должны выполняться интерполяционные равенства

иг = и (г А) = иг, г = 0,1,...,N . (5)

Для оценки производной будем использовать класс моделей целых

функций, которые представимы в виде

Ж) = -1 IР (ю)е-/шта?ю, (6)

где ^ = [—^2,—^1 )^[о1,^2), П1 < да; 02 < да, Р(ю) - трансформанта

Фурье, связанная с модельной функцией дуальным соотношением (7)

р(ю) = | /(т)е .

(7)

Выбор области определения О трансформанты Фурье может быть продиктован априорными сведениями о свойствах сигнала.

Подстановка представления (7) в правую часть (6) позволяет получить соотношение для вычисления интерполирующей функции на основе трансформанты Фурье производной

. (ю/' бш! —

„ 1 I 2 у

и (/) = и0 л-| Р(ю)--------е 2 ёю,

2л иеП ю

2

так что условиям интерполяции (5) нетрудно придать вид

юД//'

Б1П|

№ (8)

2 (ю) тт. (11)

і I 2 ) ^ —. (9)

— I" Р(ю)------------е 2 ёю — ——,

2л юіо юД Д/

2

где

V, — (мг- -м0), і — 1,...,". (10)

Для отбора интерполирующей функции из класса целых предлагается использовать вариационный принцип минимизации евклидовой нормы производной. На основе представления (7) и равенства Планшереля

(Парсеваля), этому принципу нетрудно придать вид

+» 1 ?

I /2(т)а?т — — |р(ю)| ёю — ]

-да 2л юєО

Таким образом, задача сводится к поиску решения вариационной изопериметрической задачи, определяемой условием (11) и ограничениями вида (9). В работе показано, что искомое решение представимо в виде

. ( юД/і ^

N I -^ (12)

р(ю) 3 § Р^-юдг^е 2 ,

2

когда юеП и Р (ю) — 0 , и нулю в противном случае.

—► гр

Для вычисления вектора множителей Лагранжа р — (Р: ,...р N ) следует воспользоваться подстановкой представления (12) в левые части равенств (9). В результате нетрудно получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которым должен удовлетворять набор коэффициентов

Ар — 5 — V........V"?, <13>

где

да

хк

. (х 81И| —

I 2

dx; О = АгП , г = 1,2.

(14)

В строгом смысле симметричная матрица с элементами вида (14) является положительно определенной. Отметим, что если интервал интегрирования в

(14) удовлетворяет условию

О2 — О1 — АА/(^2 — О1) — 2я,

(15)

то определитель матрицы А будет заметно больше нуля, следовательно, решение СЛАУ вида (13) будет устойчивым. Отметим, что неравенство вида

(15) всегда можно выполнить за счёт соответствующего определения размеров области определения трансформанты Фурье, моделирующей (аппроксимирующей производную) целой функции. Иными словами, в указанном смысле решение сформулированных задач оценивания производной и интерполяции на основе соотношения (8) всегда существует.

Если же интервал интегрирования удовлетворяет условию

N(О2 — ^1) < я,

(16)

то значения элементов матрицы А будут близки и ее определитель будет близок к нулю, следовательно решение СЛАУ вида (13) будет неустойчивым. В этом случае при вычисления вектора р предлагается использовать

псевдообратную матрицу А+, вычисляемую через ненулевые собственные числа и соответствующие им собственные векторы

А+ = 61 , (17)

где Ц = diag(kl,...;kJ), А,1 >А,2 >...>Х7 >0, (21 = (д^...,^).

На основе соотношений (12), (14) нетрудно получить вычислительные формулы для интерполирующей функции (18) и оценки производной (19):

X N

и(х) = и0 + -Ер, I Я i=1 □,

1 N

шх| . (шА/

БШ! - I Бш! І

2 I 2 ) I 2

I(X) = - ЕР; 1

Я /=1 О,

ш х шА/ 2 2

юА/

Б1П| -------І

2

СОБ

■ (х — iАt)

dш

юА/

2

СОБ

ю| х — -

iАt

2

dю:

(18)

(19)

Отметим еще одну возможность организации вычислений, если заранее известен набор хк, к = 1,..., Ь интервала [0, NАt], в котором предполагается в дальнейшем вычисление интерполирующих функций. Тогда, используя (18) и

2

2

х

2

ш

2

О

(19) с учетом СЛАУ (13) можно получить следующие вычислительные формулы:

Для интерполирующей функции

Удобство применения этих формул заключается в том, что матрицы А, В и С могут быть вычислены заранее, храниться в памяти ПК и многократно использоваться.

Рассмотрим применение предложенных алгоритмов интерполяции и оценки производной для обработки изображений. Пусть в качестве исходных данных имеем изображение размером N хМ (у = N х = М) пикселей.

1. Увеличение изображений в К раз.

Для увеличения изображения будем использовать предложенный вариационный алгоритм интерполяции.

На первом этапе осуществляем вычисление матриц Лх },

г = 1, N-1, у = 1, N-1, с элементами вида (14) и Сх = {су ],

г = 1, N -1, К у = 1, N -1 с элементами вида (21).

Затем осуществляем интерполяцию исходного изображения предложенным вариационным методом вдоль оси ОХ по выражению

где /х - изображение, интерполированное вдоль оси ОХ, / - исходное изображение.

В результате получаем изображение, интерполированное вдоль оси ОХ, приведенное на рис. 1.

(20)

(21)

2 2

Для оценки производной

/ = (/(т,),...,/(х , ))г = ВЛ+V,

(22)

где

в = К}; к = 1, ...,Х; г = 1,...^,

(23)

2

/х = /СхЛх+ ,

Рис. 1. Интерполяция изображения вдоль оси ОХ

На втором этапе эксперимента осуществляем интерполяцию изображения, приведенного на рис. 1 вдоль оси ОУ, для чего предварительно

производим вычисление матриц Ау = а ), і = 1, М-1, ] = 1, М-1 с

элементами вида (14) и Су =\ру }, і = 1, (М -1), ]' = 1, М -1 с элементами вида (21). Интерполяцию осуществляем по выражению

/ = СуАу + /х,

где fx - интерполированное изображение.

В результате получим изображение размером 5Ых5М пикселей. Результаты эксперимента представлены на рис. 2.

Рис. 2. Интерполированное изображение

Из приведенных данных видно, что предложенный алгоритм интерполяции может быть применен для увеличения размера изображения с приемлемой точностью.

2. Увеличение четкости изображений.

Для увеличения четкости изображений предлагается использовать предложенный метод оценки производных.

На первом этапе эксперимента производилось вычисление матриц Вх =Ьк-} к = 1,...^; г = 1,...^ и Ву = }; к = 1,...М; г = 1,...М с

элементами вида (23) и осуществлялось вычисление второй смешанной производной по выражению

д2 /■

= Вх А-1 • / • Ву А-1, дхду х у

где Лу = } - матрица с элементами вида (14), / - исходное изображение.

Затем к исходному изображению добавлялось значение второй смешанной производной, то есть

7 г д2/

/ = / + ——, дхду

что позволило получить более четкие, в смысле субъективного восприятия, изображения.

Результаты эксперимента приведены на рисунках 3 и 4.

а б

Рис. 3. Исходное изображение (а), изображение после обработки (б)

После обработки изображения наблюдается увеличение четкости границ перехода от светлого тона к более темному.

Вывод. По результатам экспериментов видно, что предлагаемый алгоритм увеличения четкости изображений позволяет повысить детальность наблюдаемой картины, дает возможность наблюдать мелкие детали на всех участках изображения. А так же позволяет получить более четкие границы

отдельных объектов, то есть производить оконтуривание, что может быть полезно в геологии, при обработке аэроснимков земной поверхности и т.д.

Рис. 4. Исходное изображение (а), изображение после обработки (б)

Очевидным достоинством предлагаемого алгоритма увеличения четкости изображений является его предельная простота. Следует отметить быстродействие предлагаемого алгоритма, которое достигается за счет предварительного вычисления используемых матриц и хранения их в памяти компьютера. Вместе с тем, предлагаемый алгоритм обработки изображений приводит к очевидному субъективному улучшению визуального качества.

Список литература: 1. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с. 2. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. - М.: Наука, 1971. - 408 с. 3. Жиляков Е.Г., Созонова Т.Н., Мисливец И.Ю. Вариационный метод оценивания производных и интерполяции сигналов по эмпирическим данным // Вестник Воронежского государственного университета, Серия: Системный анализ и информационные технологии. -Воронеж. - 2006. - Вып. 2. - С. 70-73. 4. Колесников А.П. Введение в численный анализ. Учеб. пособие для физ.-мат. фак. ун-тов. - М.: Из-во РУДН, 2002. - 218 с. 5. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: - М.: Радио и связь, 1985. - 304 с. 6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Учеб. пособие для мех.-мат. и физ.-мат. фак. ун-тов. В 5-ти т. - Т. 4. - Ч. 1. - М.: Наука, 1974. - 336 с.

УДК 336.153

Застосування варіаційних алгоритмів інтерполяції і оцінки першої похідної для обробки зображень / Т.Н. Созонова, Н.С. Титова, Н.В. Щербинина // Вісник НТУ "ХПІ". Тематичний випуск: Інформатика і моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2008. - № 49. - С. 160 -168.

В даний час в різних областях науки і техніки широкий розвиток отримали системи, орієнтовані на отримання, обробку і зберігання інформації, представленої у вигляді зображень. У даній роботі розглянуті деякі аспекти обробки зображень, зокрема, передискретизация і збільшення чіткості, на основі варіаційних алгоритмів інтерполяції і оцінювання першої похідної на основі частотних уявлень. Іл.: 4. Бібліогр.: 6 назв.

Ключові слова: інтерполяції, оцінювання першої похідної, частотнии уявлень,

передискретизация, чіткості зображень

UDC ЗЗб. 15З

Variational algorithms of the interpolation and the estimation of the first derived for image processing / T.N. Sozonova, N.S. Titova, N.V. Shcherbinina // Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkiv: NTU "KhPI". - 2008. - № 49. - P. 1б0 - 1б8.

Nowadays in different areas of the science and technology broad development have got the systems, oriented on reception, processing and keeping the information, presented as the images. In the article some aspects of the image processing are considered, in particular, resampling and the sharpness increase, on the variational algorithms of interpolation and estimation of the first derived on the frequency presentations base. Figs: 4. Refs: б titles

Key words: interpolation, estimation of the first derived, frequency presentation, resampling, image sharpness

Поступила в редакцию 10.10.2008