Применение циклоидальной функции для синтеза фрактальных сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.14:621.391

ПРИМЕНЕНИЕ ЦИКЛОИДАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ СИНТЕЗА ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ

ПАЩЕНКО Р.Э., ЯКОВИШЕНЮ.П.

Рассматривается фрактальная недифференцируемая функция, полученная на основе циклоиды, для синтеза фрактальных сигналов. Строится фрактальный сигнал и его фазовый портрет. Оценивается фрактальная размерность сигналов в зависимости от параметров циклоиды.

1. Постановка проблемы и анализ литературы

В настоящее время на базе фундаментальных работ Б.Мандельброта [1-3] проводятся активные исследования в области фрактальной геометрии. Идеи последней послужили началом систематического изучения фракталов и их приложений к радиолокации, теории распознавания и обнаружения наземных и воздушных объектов, электродинамике, а также к анализу и синтезу фрактальных сигналов [4,5]. Пристальное внимание к вопросам фрактального анализа и синтеза сигналов обусловлено тем, что колебательные процессы и волны различной природы являются одним из основных средств изучения фрактальных объектов. Фрактальный анализ и синтез сигналов базируется на теории фрактальных функций (ФФ), которые позволяют характеризовать поведение динамических систем конечных размеров с хаотическими колебаниями [6].

В последние годы теория ФФ развивается в различных научных направлениях: изучение отдельных фрактальных функций, представляющих интерес в том или ином направлении; обобщение таких функций как одномерных, так и многомерных; применение ФФ для решения задач генерации и формирования сложных сигналов, а также для их обработки.

В ряде работ [4-7] большое внимание уделяется применению ФФ в сочетании с атомарными функциями при решении задач синтеза антенн. В частности, рассматриваются классические фрактальные недифференцируемые функции Больцано, Безиковича, Ван-дер-Вардена, которые являются элементами обобщенной функции Вейершт-расса. Вспомогательными (базовыми) для построения таких функций являются элементарные функции. Однако эти ФФ не позволяют синтезировать фрактальные сигналы, в основе которых лежат гармонические колебания.

Практический интерес представляют исследования возможностей использования для построения ФФ в качестве вспомогательных не только элементарных, но и циклоидальных функций.

Цель статьи — рассмотреть новую фрактальную недифференцируемую функцию, полученную на основе циклоиды, и показать возможность ее применения для решения задачи синтеза фрактального сигнала.

РИ, 2004, № 1

2. Циклоида

Циклоида относится к классу неявных функций, которые в общем виде представляются как Fo(x,y) = 0 [8].

Циклоидой называется кривая, описанная точкой, лежащей на окружности Ко производящего круга, если он катится без скольжения по направляющей прямой (рис.1).

Рис. 1. Построение циклоиды

Координаты точки M при движении производящего круга определяются уравнением в декартовой системе [9]

acos((x + д/y(2a - y))/a) - a + y = 0 , a > 0, (1)

где a — радиус окружности производящего круга.

В ряде случаев для исследования функций и кривых удобнее использовать уравнение в параметрической форме:

Fo(x,y):

x = a(t - sin t) , y = a(1-cost) ,

0 < t < 2n ,

(2)

где t — производящий угол (угол качения круга).

При изменении угла t от 0 до 2п точка M опишет одну арку циклоиды, конечными точками которой являются точки возврата On (2kna,0), где k = 1,2,Максимальная точка арки A называется вершиной циклоиды, которой соответствуют координаты ((2k-1)na, 2a). Отрезок прямой линии между двумя соседними точками возврата, равный 2na, называется основанием одной арки циклоиды. Отдельные арки соединяются в точках, в которых имеют общую (вертикальную) касательную. Эти точки называются остриями арки. В остриях производная функции отсутствует, т.е. в этих точках функция недифференцируема [10]. Длина дуги арки O1AO2 равна L = 8a, а площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее основанием, равна утроенной площади производящего круга 8ц = 3na2. Этот результат известен под названием теоремы Галилея [11].

Отметим еще одно замечательное свойство циклоидальной функции. Циклоида “порождает” синусоидальную функцию. Рассмотрим циклоиду, точку M на ней и соответствующую точку P на синусоиде (рис. 2). Центр производящего круга обозначим буквой Q. Тогда будем иметь

QP = QMcos а = acos(180° -ф) = -acos ^ =

= -asin(90° - (р) = asin(^ - 90°) . (3)

9

Из выражения (3) следует, что “начало” синусоиды (O) не совпадает с острием циклоиды: оно сдвинуто на 0,5па единиц вправо и на а единиц вверх (см. рис. 2). Можно показать, что площадь, ограниченная синусоидальной функцией одной арки циклоиды и ее основанием, равна удвоенной площади

производящего круга Sc = 2па2 [11]. Таким образом, циклоидальная и синусоидальная функции однозначно связаны между собой через радиус окружности производящего круга. Другими словами, зная параметры циклоиды, можно определить все параметры синусоиды.

3. Фрактальная недифференцируемая функция

В работах Б. Мандельброта [1-3] дано определение фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Исходя из этого, физическое определение фрактала должно включать свойство самоподобия. Самоподобные фракталы обладают свойством масштабной инвариантности (скейлингом) и инвариантностью относительно параллельного переноса. Другими словами, фрактал выглядит одинаково в любых масштабах. Например, отрезок прямой, прямоугольную плоскость, параллелепипед можно покрыть их уменьшенными копиями с коэффициентом подобия k.

па каждая. Повторяя это построение n раз, придем к циклоиде n -го ранга, описываемой функцией

Fn (x, y) = 0. В качестве примера на рис. 3 показана

функция Fn (x, y) = 0 при n = 3.

Покажем, что эти циклоиды подобны. Для того чтобы на основании 2па циклоиды первого ранга разместилось две циклоиды второго ранга, необходимо, чтобы радиус производящего круга этих циклоид был в два раза меньше радиуса а циклоиды первого ранга. Тогда подобно (2) можно записать

F ( ) I x = 0,5a(t-sint) ,

Fl(X'y): (у = 0,5a(l - cos,) , a > 0. (4)

Так как параметр t имеет смысл угла поворота производящего круга вокруг своей оси, то между точкой Mi циклоиды первого ранга и точкой M2 циклоиды второго ранга имеет место взаимнооднозначное соответствие, если им отвечает одно и то же значение параметра t. Так как угловой коэффициент касательной в каждой точке циклоиды равен производной уХ в этой точке, то ' _ yt _ asint _ sint УХ x't a(i - cost) l - cost . (5)

Из (5) следует, что для циклоидальной функции производная yt не зависит от радиуса а и для точек Mi и M2 она принимает одинаковое значение; следовательно, в этих точках касательные будут параллельны. Так как длина одной арки циклоиды первого ранга равна Li = 8a, то длина циклоиды второго ранга в два раза меньше (L2 = 4а). В этом случае точка M2 удалена от начала координат на расстояние вдоль дуги вдвое меньшее, чем точка

Mi, т.е. OMi = 2OM2. Таким образом, циклоиды первого и второго рангов являются подобными с

Поэтому рассмотрение фрактальности функции, полученной на основе циклоиды, начнем с оценки подобия двух циклоид, описываемых функциями

Fi (x, y) = 0 и F2 (x, y) = 0, которые представлены на рис. 3.

Предположим, что функция Fi (x, y) = 0 отображается на циклоиду нулевого ранга F0 (x, y) = 0. Поместим на основании 2па циклоиды первого ранга две циклоиды второго ранга F2 (x, y) = 0 с основанием

коэффициентом подобия k, равным двум. Такие же рассуждения можно провести относительно циклоид второго и третьего рангов и т.д. Так как циклоиды подобны, то имеет место отображение циклоиды третьего ранга в циклоиду второго ранга, циклоиды второго ранга — в циклоиду первого ранга. Построение продолжается неограниченно и приводит к последовательности убывающих континуумов:

Ci з C2 з C3 з... з Cn, (6)

причем Cn есть сумма 2n циклоид с основанием

i

2n

Покажем теперь, что циклоида обладает свойством масштабной инвариантности. При нормировке основания циклоиды, равного 2па, переходим к сегменту [0,1], который является собственно континуумом, лежащим на прямой. Сегмент является непустым связным компактом [12]. Так как при непрерывных отображениях сохраняется и связ-

10

РИ, 2004, № 1

ность, и компактность, то непрерывный образ всякого континуума есть континуум. Отсюда следует, что непрерывный образ прямолинейного сегмента есть континуум. Поэтому всякая система n непрерывных функций (циклоид)

Fi(x,y) = 0, i = 1,2,...,n, (7)

заданных на сегменте [0,1], определяет в n-мерном пространстве некоторый континуум, являющийся в силу самих уравнений (7) непрерывным образом отрезка [0,1] и называемый непрерывной кривой в n-мерном пространстве. Система уравнений (7) называется параметрическим представлением этой кривой. Континуумы, являющиеся непрерывными образами прямолинейного сегмента, называются жордановыми. Из жорданового континуума следует, что последовательности (6) можно поставить в соответствие убывающую последовательность сегментов [12]

Ді зД 2 3Д3 з... зД n з..., Дп = К, bn], (8)

где a n,bn — начальная и конечная точки n-го сегмента, причем длина сегмента Д n стремится к нулю при возрастании n. Существует одна и только

одна точка £ , принадлежащая всем сегментам Д n. Анализ выражений (6) и (8) позволяет сделать вывод о том, что в рассматриваемом случае циклоиде n-го ранга соответствует сегмент Дn. В дальнейшем будем называть его сегментом n-го ранга. Анализ рассмотренных свойств циклоиды показывает, что функция F(x, у) = 0 фрактальна, так как существует значение функции Fo , которое является фрактальным множеством значений функций Fi (x, у) = 0. Кроме того, фрактальность циклоиды тесно связана с ее дифференциальными свойствами. Действительно, непрерывная ограниченная на сегменте [0,1] функция имеет на данном отрезке континуальное множество экстремальных точек (остриев циклоиды), что ведет к недифференцируемости, по меньшей мере, на континуальном множестве. Нигде недифференцируемая функция одной переменной — это функция, не имеющая производной ни в одной точке.

Перейдем к рассмотрению конкретной недифференцируемой функции. Рассмотрим функцию

F(x, у) = 0. Определим вспомогательную функцию (циклоидальную функцию нулевого ранга) F0 (x, у):

F0(x,y)

x = a(t - sin t) , у = a(1 - cost) ,

a = 1, 0 < t < 2n ,

(9)

где F0 (x +1, у) = F0(x, у).

Функция F0(x,y) — непрерывная на всей числовой оси, периодическая с нормированным периодом 1,

s -1 s

нелинейная на каждом отрезке, где

22

,s

целое число, а угловой коэффициент касательной

РИ, 2004, № 1

. /П t.

к циклоиде в каждой ее точке равен tg(— - —), т.е.

П t

угол а наклона касательной к оси x равен

22

Можно показать, воспользовавшись методикой, рассмотренной в [7], что циклоидальная функция

n-го ранга Fn (x, у) связана с циклоидальной функцией нулевого ранга выражением

Fn(x, у)

F0(4n x, у)

4

n

n = 1,N,

(10)

которое позволяет провести построение фрактальной недифференцируемой функции.

Согласно (10) такая функция представлена на рис. 4 для n = 1,2,3.

Функция Fn (x, у) определяет расстояние между

m

точкой x и ближайшей к ней точкой . При

предельном переходе (n ^ да) точка x приближается к предельной точке £.

Рис. 4. Циклоидальная фрактальная функция

Таким образом, функция, определенная на сегменте [0,1], является фрактальной, так как она в соответствии с (10) обладает свойствами самоподобия и скейлинга.

4. Синтез фрактального сигнала

Анализ выражений (2) и (3) показывает, что синусоидальная функция поставлена во взаимно-однозначное соответствие циклоидальной функции. Такое соответствие определяется общим параметром этих функций, которым является радиус окружности производящего круга а. Отсюда следует, что знание циклоидальной функции и ее параметров позволяет синтезировать синусоидальную функцию yi = f(x) = asin x. Такая синтезированная функция представлена на рис. 5 при i = 1,2.

Из графиков видно, что происходит удвоение периода функции у 2 = f(x) по сравнению с периодом функции у1 = f(x). Такое удвоение обуслов-

11

лено кратностью семейства множеств периодов Tn функции У2 = f(x) в периоде функции У1 = f(x).

Так как функция, определяемая выражением (10), является фрактальной, то использование функции

Fn(y)

F0 (4n asin(x))

4

n

n > 0, a > 0

(11)

позволяет синтезировать фрактальный сигнал на базе синусоиды. На рис.6 изображен фрактальный сигнал при n = 2. Синтезированный сигнал в общем виде можно представить выражением

N a ___

y(a,x) = Z— sin(knx + x0), n = 1N , (12)

n=okn M v '

где k — коэффициент подобия (масштабный коэффициент) синусоидальных функций; n — число гармоник; x0 — случайная начальная фаза.

Анализ (12) показывает, что фрактальный сигнал определяется радиусом окружности производящего круга циклоиды a , коэффициентом подобия k и числом классов N при разбиении множества фун-

dy

кции y(a, x). Взяв производную z = —, можно

dx

построить фазовый портрет синтезированного фрактального сигнала.

На рис. 7 и 8 показаны соответственно синтезированный сигнал и его фазовый портрет при a = 1, k = 4 и n = 8, полученные согласно выражению (12).

Из рис. 8 следует, что внешний вид фазового портрета представляет собой достаточно сложную структуру и свидетельствует о хаотическом характере фрактального сигнала.

5. Численный анализ размерности фрактального сигнала

Для оценки размерности фрактальной недифференцируемой функции и, как следствие, фрактальной размерности сигнала необходимо выбрать тип меры, который определяется из чисто геометрических соображений.

При анализе размерности наиболее удобно использовать плоскую h-меру Хаусдорфа [7]. В этом случае для циклоидальной функции такой мерой является мера h(a) = 3na 2, а для синусоидальной — h(a) = 2na 2.

Для численного анализа фрактальной размерности рассматриваемых функций воспользуемся известным выражением размерности Хаусдорфа [4]

D = lim

log2N(е)

є^° log 2 ,

(13)

где N(e) — число пробных тел (площадей циклоид, синусоид) с характерным размером е. Число N(e) определяется законом подобия.

Численные исследования размерности фрактальной недифференцируемой функции, полученной на основе циклоиды, и фрактального сигнала проводятся для пространства параметров циклоиды {a,k,n} = {W} с использованием выражения (13). Результаты расчетов размерностей, приведенные на рис. 9, 10, 11, получены при движении одного из параметров и фиксированных значениях других.

Рис. 9. Зависимость фрактальной размерности от величины радиуса а

Рис. 7. Синтезированный фрактальный сигнал

7.5 5,0

2.5 0

-2,5

-5,0

-7,5

-10

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4

0,4 0,8 1,2

z

0

у

Рис. 8. Фазовый портрет синтезированного фрактального сигнала

Рис. 10. Зависимость фрактальной размерности от величины коэффициента подобия k

12

РИ, 2004, № 1

Рис. 11. Зависимость фрактальной размерности от количества гармоник n

Анализ размерностей (см. рис. 11) циклоидальной фрактальной функции D ф (сплошная линия) и фрактального сигнала на базе синусоиды D с (пунктирная линия) показывает, что размерности носят дробный характер. Это свидетельствует о том, что рассматриваемые функции являются фрактальными. Изменение радиуса производящего круга циклоиды а в пределах 0,5—1,0 приводит к незначительному изменению фрактальной размерности

Dс (а) сигнала, лежащей в пределах 1,02—1,08. При увеличении параметра а значение D с (а) продолжает возрастать (рис. 9). Как видно из рис. 10, при движении параметра k от 2 до 8 снижение размерностей D ф (k) фрактальной функции и D с (k) сигнала идет по нелинейному закону, причем диапазон изменения D с (k) составляет примерно

0. 14.

Изменение величины n приводит к той же закономерности изменения фрактальной размерности сигнала (см. рис. 11), что и в предыдущем случае. Однако влияние изменения параметра n на величину размерности D с (n) сигнала по сравнению с изменением параметра k более существенное и составляет примерно 0,43.

Таким образом, изменением параметров вспомогательной (базовой) циклоидальной функции можно получать сигнал с различной фрактальной размерностью. При известных параметрах базовой циклоиды это позволяет формировать эталонные фрактальные сигналы с известной размерностью. Отметим, что исследования фрактальной размерности проводились при нулевой начальной фазе.

Выводы

1. На основе использования свойств циклоиды, относящейся к классу неявных функций, показана возможность получения фрактальной недифференцируемой функции.

2. Установлена однозначная функциональная связь между фрактальными функциями, полученными на основе циклоиды и синусоиды. Показано, что между этими функциями имеет место однозначное соответствие, обусловленное их общим параметром — радиусом производящего круга циклоиды.

3. Фрактальная функция, полученная на основе циклоиды, позволяет синтезировать фрактальный сигнал.

4. Изменение пространства параметров базовой циклоиды позволяет изменять размерность синтезированного фрактального сигнала.

5. По известным параметрам циклоиды можно однозначно оценивать размерность фрактального сигнала, что позволит использовать его в качестве эталонного с известной фрактальной размерностью.

Литература: 1. Mandelbrot B.B. Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension, Paris, Flammarion, 1975. 2. Mandelbrot B.B. Fractals: Forme, Cnance and Dimension, San-Francisco, Freeman, 1977. 3. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, San-Francisco, Freeman, 1983. 4. Потапов А. А. Фракталы в дистанционном зондировании Земли // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №6. С.3-66. 5. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Фрактальный анализ сигналов // Радиотехника и электроника, 2001. №3. С.261-271. 6. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424с. 7. Кравченко В. Ф., Потапов А.А., Масюк В.М. Атомарно-фрактальные функции в задачах синтеза антенн // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2001. №6. С.4-41. 8. Бронштейн И.Н., Семендяев С.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1980. 976с. 9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1. М.: Наука, 1978. 456с. 10. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление. М.: Советская наука, 1946. 451с. 11. Берман Г.Н. Циклоида. М.: Наука, 1980. 112с. 12. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977. 368с.

Поступила в редколлегию 21.06.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Андреев Ф.М.

Пащенко Руслан Эдуардович, канд. техн. наук, доцент кафедры Харьковского военного университета. Научные интересы: первичная обработка сигналов, фрактальный анализ. Адрес: Украина, 61077, Харьков, пл. Свободы, 6, тел.40-41-41 (2-89).

Яковишен Юрий Петрович, ведущий инженер отдела ИБТ Житомирской дирекции АКБ «УкрСоцБанк». Научные интересы: фрактальный анализ, программирование. Адрес: Украина, 10004, Житомир, ул. Л. Шевцовой, 23, кв. 35.

РИ, 2004, № 1

13