Применение целевых матриц передачи и усложненных элементарных каскадов при синтезе широкополосных согласующе-фильтрующих и моделирующих схем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Доклады БГУИР

2010 №6 (52)

УДК 621.372.512

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕЛЕВЫХ МАТРИЦ ПЕРЕДАЧИ И УСЛОЖНЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КАСКАДОВ ПРИ СИНТЕЗЕ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СОГЛАСУЮЩЕ-ФИЛЬТРУЮЩИХ И МОДЕЛИРУЮЩИХ СХЕМ

Ю.П. ВОРОПАЕВ, АД. ВАСИЛЬЕВ, ИМ. МЕЩЕРЯКОВ

Военная академия Республики Беларусь пр. Независимости, 220, Минск, 220057, Беларусь

Поступила в редакцию 6 июля 2010

Вводится понятие целевой матрицы при решении оптимизационных задач широкополосного согласования и моделирования линейных четырехполюсников. Получены строгие соотношения для расчета каскадов, имеющих нули передачи на конечных частотах, что существенно расширяет возможности оптимизации частотных характеристик пассивных и активных четырехполюсников. Приводится пример расчета широкополосного согласующего устройства.

Ключевые слова: целевая матрица, мажорантная и минорантная функции, широкополосное согласование, моделирование.

Введение

В работах авторов [1-4] показано, что метод среднего гармонического значения коэффициента преобразования мощности обеспечивает наилучшие энергетические параметры и характеристики при широкополосной оптимизации многокаскадных соединений различных линейных четырехполюсников, а также их моделирование.

Цель статьи — предложить критерии качества согласования на основе целевых матриц передачи и использовать их при выводе строгих аналитических соотношений для расчета элементарных Ъ- и У-каскадов с нулями передачи на конечных частотах синтезируемых согласу-юще-фильтрующих схем и схем широкополосных моделей.

Постановка задачи

Рассмотрим М-каскадное соединение линейных четырехполюсников рис. 1, описываемое результирующей матрицей передачи

Т = ТДуГв, (1)

где обозначено

к-1 м

1А

Т,=ПТ; Т2.=Т„ТВ= Пт; (2)

}=\ ]=к+1

Т1 =

Матрица Т состоит из к - 1 множителей, где матрица [5] 1 1 ~Г1

л/Н^

-г; 1

(3)

2

учитывает рассогласование источника сигнала, комплексный коэффициент отражения от которого равен Г; * — знак комплексного сопряжения.

Т Т Т — = — Т

Рис. 1. Соединение линейных четырехполюсников

Остальные множители ТА описывают как оптимизируемые каскады тракта, так и уже рассчитанные элементарные каскады общего согласующего устройства (СУ). Матрица Т(,; состоит из М — к сомножителей, где матрица

Т

-■-Л/

1

Г,

м

1 г;

г,

м

(4)

описывает рассогласование нагрузки, коэффициент отражения от которой составляет Гм . Остальные сомножители Тг имеют тот же смысл, что и в матрице ТА.

Матрицы Т г описывают элементарный либо 2-, либо У-каскады вида [6]

Т7 = Е + — 2

1 -1 1 -1

Г

Т7 = Е н— 2

1 1 -1 -1

где Е — единичная матрица второго порядка;

1=Я + 1Х = Я + 1 со£ Ь-\/ юсС , 7 = О + ¡В - О + / шс С - У (йьЬ

(5)

(6) (7)

— комплексные сопротивление и проводимость двухполюсников, включаемых в схему элементарного каскада соответственно последовательно и параллельно; Я, G, Ь, С — подлежащие

первичному или любому повторному расчету элементы схемы данного каскада; юь ю и

юс ю — выводимые ниже функции частоты ю; / — мнимая единица.

Внешние параметры (комплексные элементы Т- или 8-матриц) всех оптимизируемых каскадов соединения считаем известными в достаточном частотном диапазоне, содержащем полосу частот оптимизации сомин < со < С0макс, причем зависимость элементов от со может быть

аналитической или дискретной, например, экспериментальной.

Как и в предыдущих работах [1-4], общий алгоритм содержит два принципиальных этапа: строгий аналитический расчет (как первичный, так и все повторные) всех элементарных каскадов и циклическую итерационную процедуру оптимизации общего СУ в целом.

Критерии качества и целевая матрица задачи

Обратимся к выражению (1) и запишем известное соотношение между коэффициентом пропускания матрицы 8 и обратным значением коэффициента передачи результирующей матрицы Т [6]

§21 (со, Ь, С) = (со, С),

(8)

= Р /Р ,

вых / вх >

где физический смысл коэффициента пропускания следует из равенства

определяющего мощность сигнала на выходе четырехполюсника рис. 1 через мощность на входе.

*

2

2

При широкополосном согласовании наибольший интерес представляют следующие усреднения выражений (8) по частоте при числе дискретов N в полосе оптимизации:

ttEIÜiW

N

Пл

шах,

N

11

; Лг

min

или, что аналитически эквивалентно,

1-1

N

Ж

ю

= N

т

21 Шу

= Лг

шах.

(9)

(10)

(11)

где Па - среднее арифметическое и п г - среднее гармоническое значения [7] коэффициента

преобразования мощности (КПМ)

Отметим два принципиальных момента. Во-первых, известное соотношение между средним арифметическим и гармоническим значениями

Г|А L, С > г| г L, С

(12)

определяет пА как мажорантную, а Пг — как минорантную функции переменных L, C, и поэтому при максимизации по L, C среднего гармонического значения , не имеющего четкого физического смысла, гарантируется максимизация физически содержательного значения •

Во-вторых, легко показать, что переменные L, С"1 из (5) для Z-каскада и Г1, С для Y-каскада входят линейно в каждое слагаемое Тп = S2,1; из (10). Это обстоятельство позволяет из системы частных производных от rf, по L, С-1 (или по L '. С) получать аналитически строгие выражения для вычисления значений L0, С(или Д., , С0), определяющих единственный экстремум rf"1 С0, С0 min.

Рассмотрим целевую матрицу T , под которой понимается заранее известная матрица Т

(при широкополосном моделировании четырехполюсников) или задаваемые определенным образом (при широкополосном согласовании) Т- или S-матрицы, которые должны описывать желательные параметры и характеристики всей системы в целом на конечных этапах ее оптимизации.

Для этого с учетом (1) составим разность AT = Тц - Т = Тц - Т .Т, гТ/; и ее норму

используем как парциальный критерий качества.

Учтем (5) и запишем критерии качества для Z- и Y-каскадов соответственно

qz = ||U - Z Uz I —» min, qY - ||и - Y U71| —» min, где обозначено TJ = т -T T

и z =-тА z 2

"1 -1" TB = \uz Uz 1 12

1 -1 £5 uz Ун uz 22 _

(13)

(14)

(15)

(16)

2

2

и г =-ТА г 2

" 1 г тв = Г иг иг 1 12

-1 -1 £5 иг _ 21 иг 22 _

В качестве нормы возьмем сумму квадратов модулей элементов разности и получим с учетом (6) и (13) для 2-каскада среднее значение критерия качества:

qz L, C~l = \Uu-ZUz\ + \Ul2-ZUz2\ +\U2l-ZUz2l\ +\U22-ZUz22\ = anR2 +au(ü2LL2 + апоа~2С~2 -2a11roiro^1ZC~1 + 2al3R + 2a23<üLL-2a23GfclC~l + a33 —» min,

(18)

где черта сверху означает средние арифметические значения слагаемых в полосе частот оптимизации со мин < со < С0макс, 7 = 1, N и приняты следующие обозначения для коэффициентов

2al3 - Az + Az ,

2 а23 - i Az Az ,

4 = uzu*u + uf2u;2 + uz2lu*2l + uz22u*22,

I |2 I |2 I |2 I |2 и и «33=^11 +K/12 +Г21 +Г22 =\\U\\-

(19)

(17).

Очевидно, что при расчете параметров У-каскадов вместо (16) используется выражение

Аналитический расчет параметров элементарных каскадов

В системе координат x = L, у = С 1. z = q С 1. Ii поверхность критерия качества (ПКК) является эллиптическим параболоидом [8], ось которого параллельна оси z, вершина обращена вниз и имеет координаты х0 = у0 = С1. z0 = ¿у ( ',,1. Rh ^ > min. Из (18) следует, что резистивная составляющая R0 влияет лишь на абсолютное значение q2 , но не на координаты L0, (проекции вершины на плоскость L, С 1. Принципиальная особенность ПКК-унимодальность, т.е. экстремум q . С1 -единственный, что обеспечивает глобально-оптимальные характеристики системы как при расчете каждого отдельного каскада, так и системы в целом.

Оптимальные значения L — L0 ? С — С0 находятся из равенств

8q/dL = 0, Öq/dC= О, сводящихся к сист

L0= а23юC-au®L®C-a23o\-auoiC jA,

С'1 = а2зЮе • an®l ~a23^L -an®L®C A,

(20)

сводящихся к системе двух линеиных уравнении с решениями:

-1

(21)

Ä = аисо2 -аисос2 - аиcoicoc1 2> 0.

Аналогично из равенства дq/дR = 0 имеем оптимальное значение К0=— а13/а11.

Наличие в выражениях (6), (7) резистивных составляющих Я и G расширяет возможности синтеза схем при оптимизации активных четырехполюсников, а также при широкополосном моделировании.

Если проекция вершины ПКК оказывается в первом квадранте плоскости хОу - 1,ОС '. т.е. Ь0 > О, С"1 > 0, то решения (21) дают параметры элементарного каскада.

Если проекция вершины не оказывается в первом квадранте (Лп <0, С^1 >0; Лп < 0,

Сц1 <0; Ь0> 0, (',1 < 0, то вместо (21) используется одно из частных решений (20)

Ь0= -а23юь/ап№!1, С~г= а23юс1 /ап®с, (22)

при котором получается лучшее значение критерия качества ^.

При оптимизации физически реализуемых каскадных соединений всегда существует подходящее ненулевое, физически реализуемое решение (20).

Рассмотрим схемное представление двухполюсников, описываемых выражениями (6) и (7) и входящих в и У-каскады. На рис. 2 показан один из возможных вариантов использования контуров с резонансными частотами

ю2 = 1ЩСХ, ю2 = 1/Х2С2, о»! < ю2, (23)

которые удовлетворяют условиям о^ < юмин, ю2 > юмакс, где юмин < ш < юмакс, т.е. располагаются вне полосы частот согласования.

С С

4

¿2

Я

С1 -Г" С2

ь

и

о

а б

Рис. 2 Каскады СУ: а — ¿-каскад; б — У-каскад

Для ¿-каскада и при условии ю1 < ю < ю2 запишем выражение для реактивной составляющей из (6)

Х = Х\- X'- = соЛЛ2 - 1/юсС1 (24)

где обозначено

1-ш2/ш2 , шс=ш 1-ш2/ш2 . (25)

Зависимости поясняются на рис. 3.

Таким образом, при фиксированных частотах ^ и ю2 значение реактивности X прямо пропорционально искомым параметрам Ь2 и (\ , что позволяет рассчитывать их по аналитическим выражениям (21), (22), а значения С2 и Ц находить из (23).

Полагая в (24), (25) ю1 =0, ю2 —» оо, вместо последовательного соединения параллельных контуров получим один последовательный. Возможны и другие варианты, например, только со1 = 0, или только со2 —> да.

Следовательно, соотношения (24), (25) позволяют использовать в качестве элементарных каскады, имеющие нули передачи на конечных частотах, что существенно расширяет возможности синтеза широкополосных согласующе-фильтрующих и моделирующих схем.

При расчете элементарных У-каскадов применяются выше изложенные соотношения для ¿-каскадов после замен

2 ->7, Я^-О, X (26)

как в формулах, так и в индексах.

Целевая матрица Тц

При широкополосном моделировании четырехполюсников в качестве целевой используется известная матрица Т модели [9]. При широкополосном согласовании в общем случае целевая матрица не является известной, но обоснованную первичную информацию о ней можно получить, используя частные целевые функции, хорошо себя зарекомендовавшие [1-4], например, функцию

|2

-2

Чп=\Ти\ =Sz2l —>■ min, (27)

которая позволяет синтезировать СУ, обеспечивающие наилучшие широкополосные характеристики системы по передаче мощности от источника в нагрузку.

В обозначениях этой статьи коэффициенты квадратичной формы (18) принимают вид

(28)

2a23=i и^и*и-и^ии ,аъъ=\ии

|2

11

где 17п — элемент матрицы (I из выражения (15) при Тц = 0 .

Далее с помощью соотношений (21), (22) производится расчет и оптимизация необходимого числа элементарных каскадов и вычисляется результирующая матрица всей системы Т , которая используется в качестве начального приближения матрицы Тц для применения более общего критерия (18), а также более сложных схемных реализаций элементарных каскадов.

Пример широкополосного согласования четырехполюсника

Рассмотрим тестовый пример оптимизации КПМ линейного участка тракта с непреднамеренно выбранными параметрами (рис. 4) в диапазоне частот от юмин = 0,5 до юмакс = 1,5 . Оптимизируемый четырехполюсник содержит три каскада-реактивные элементы С — 4 и Ь = Ъ, выполняющие роль рассогласователей входа и выхода, и четырехполюсник ЧП с параметрами ^ =0, £12 =0,05ехр -гаю / 1 + ю , £21 =20ехр -шю / ю + 1 , и требуется рассчи-

I |2

тать СУ 1 и СУ 2, которые обеспечивают оптимальное значение ^^ в заданной полосе частот.

Кривой 1 на рис. 6 показан КПМ заданного тракта без СУ 1 и СУ 2.

При использовании методики работы [4] при Л^ = 101 рассчитано 9-элементное СУ, состоящее из каскадов с ш,=0, ю2 —» со (рис. 5), КПМ при котором представлен на рис. 6 кривой 2.

0,915

О

СУ1 414 ЧП СУ 2

о

Рис. 4. Структурная схема широкополосного согласования 1,992 0,568

—о о—

:1.334

: 0,265 —о

1,807

: 0,438

: 0,329

■3,105 —о

Рис. 5. 9-элементное СУ: а) СУ 1; б) СУ 2

5,

, отн.ед.

70 60 50 40 30 20 10 0

А \.3 п [8

2 \ п 36

IV \ Г1 п 54

1 \ \ \ \ 1

/ 1 1 \ \ \

} 1 /у \ \ \

0,5 1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

ю, отн.ед.

Рис. 6. КПМ оптимизируемого тракта

При синтезе СУ, содержащих каскады рис. 2 , их резонансные частоты со и со, обычно задаются и в процессе расчетов СУ могут корректироваться. Оптимальной представляется методика одновременного расчета в каждом новом сечении каскадов как с нулями передачи на конечных частотах, так и без, из которых далее используется тот, который обеспечивает лучшее значение критерия качества.

Расчеты каскадов производились при со1 = 0,3 , со, = 2,0. При этом по методике работы

[4] получено 6-элементное СУ (рис. 7), обеспечивающее КПМ, представленный кривой 3 на рис. 6.

0,404

0,619

1,667

2,698

. 1,068

: 3,976 —О

а б

Рис. 7. 6-элементное СУ, содержащее каскад с нулем передачи на частоте ш=2,0: а) СУ 1; б) СУ 2

Таким образом, в результате использования только одного каскада с нулем передачи на конечной частоте удалось значительно повысить КПМ в заданной полосе при меньшем общем количестве элементов СУ.

По результатам расчета ряда других тестовых примеров и задач из литературы можно сделать вывод, что нередко использование каскадов рис. 2 в схемах СУ и моделей позволяет получать более качественные результаты широкополосного согласования и моделирования.

1

б

а

2

Заключение

Аналитические строгие соотношения (20)-(22) сводят к минимуму временные затраты при первичных и множественных повторных расчетах параметров всех типов элементарных каскадов. Это принципиально и позволяет выполнять весьма объемные циклические итерационные процедуры оптимизации многокаскадных СУ в целом в форме диалога оператора с ЭВМ в реальном масштабе времени.

Элементарные каскады могут располагаться с достаточным для творческого подхода произволом в любых технически оправданных сечениях каскадного соединения. Поэтому общая структура СУ формируется в процессе синтеза естественным адаптивным образом и не нуждается в ее исходном задании.

Важным свойством используемого итерационного процесса оптимизации СУ является адаптивность-прн синтезе, как правило, изменяется структура СУ-Г-образные схемы преобразуются в 1-образные и наоборот при существенном изменении параметров их элементов; каскады, при расчете которых номиналы элементов L, C оказываются технически неприемлемыми, могут заменяться в этом сечении каскадами иного типа или каскадами в других подходящих сечениях без, как правило, ухудшения свойств общих частотных характеристик.

APPLICATION OF SPECIFIC MATRICES FOR TRANSFER AND NONMINIMUM-PHASE ELEMENTARY CASCADES IN THE SYNTHESIS OF BROADBAND COORDINATING-FILTERING AND SIMULATING CIRCUITS

Y.P. VOROPAEV, AD. VASILEV, I.M. MESHERJAKOV

Abstract

The concept of the specific matrix for solving optimization problems of broadband harmonizing and modeling of linear two-ports is introduced. Rigorous balance was obtained for the calculation of nonminimum-phase elementary cascades and their common use with the minimum-phase ones, which significantly expands the possibilities of optimizing the frequency characteristics of passive and active two-ports. The instance of account of the broad-band matching device is resulted.

Литература

1. ВоропаевЮ.П., Васильев А.Д., МещеряковИ.М. // Радиотехника и электроника. 2009. № 7. С. 853-863.

2. Васильев А.Д., Воропаев Ю.П. // Сб. науч. ст. Воен. акад. Респ. Беларусь. 2009. № 16. C. 78-84.

3. ВасильевА.Д. // Вестн. Воен. акад. Респ. Беларусь. 2010. № 1. С. 73-80.

4. Васильев А.Д. // Вестн. Воен. акад. Респ. Беларусь. 2010. № 2. С. 109-115.

5. Воропаев Ю.П., Юрцев О.А. Электродинамика и техника СВЧ. Ч. II. Техника сверхвысоких частот. М., 1985.

6. Фельдштейн А.Л., Явич Л.Р., СмирновВ.П. Справочник по элементам волноводной техники. М., 1967.

7. Математическая энциклопедия. М., 1977. Т. 1

8. Математическая энциклопедия. М., 1984. Т. 3

9. Воропаев Ю.П., Васильев А.Д., Мещеряков И.М. // Вестн. Воен. акад. Респ. Беларусь. 2009. № 4. С. 72-80.