CC BY
90
УДК 621.317.7
И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев, Ю. Т. Медведик
ПРИМЕНЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРАФОВ ДЛЯ РАСЧЕТА СХЕМ КОНВЕРТОРОВ И ГИРАТОРОВ НА ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ
THE APPLICATION OF TOPOLOGICAL GRAPHS TO CALCULATE GIRATOROV AND CONVERTERS SCHEMES ON OPERATING AMPLIFIERS
Аннотация. Выполнен расчет конверторов сопротивления и гиратора на операционных усилителях с использованием топологических графов, что позволяет сократить объем вычислений за счет перехода от принципиальных электрических схем узлов средств измерений непосредственно к графам и к функциям преобразования.
Abstract. The method of calculating the converters resistance and gyrator on the operational amplifiers is based on the use of topological graphs. Application of the method allows to drastically reduce the amount of computation because of eliminating principal electrical circuits units of measurements and of transition directly to graphs and functions of the transformation.
Ключевые слова: конвертор сопротивления, гиратор, операционный усилитель, топологический граф, коэффициент усиления, исток, сток.
K e y words: The converter resistance, gyrator, operational amplifier, topological graph, gain, the source, drain.
Расчет узлов средств измерений на операционных усилителях (ОУ) с реальными характеристиками связан с решением систем уравнений высокого порядка. Схемой замещения ОУ является трехполюсник, который описывается системой трех уравнений. Измерительный усилитель, использующий три ОУ, описывается системой девяти уравнений, решение которой представляет весьма сложную задачу.
В известной монографии В. С. Гутникова [1] приводятся схемы измерительных усилителей и их функции преобразования, но отсутствуют расчеты получения этих функций.
Приведенные расчеты с помощью топологических графов позволяют значительно упростить решение задач при переходе от принципиальной электрической схемы непосредственно к топологическому графу, на основании которого можно получить функции передачи схем на ОУ.
I. R. Dobrovinskiy, E. A. Lomtev, Yu. T. Medvedik
Введение
Расчет коэффициента передачи графа Мэзона
Прежде чем получить общую формулу для определения коэффициента передачи линейной электрической цепи с помощью графов, рассмотрим достаточно общий пример определения коэффициента передачи.
На рис. 1 представлен граф пассивной электрической цепи, узлы которого в целях упрощения обозначим цифрами (х1-х5), а передачи контуров Ь1 = Ьі; Ь2 = ск; Ь3 = dg; Ь4 = в/.
*
Необходимо найти коэффициент передачи — .
хо
Для узлов х1-х5 составим систему уравнений:
(1)
х1 = ах0 + 1х2; х2 = Ьх1 + кх3; х3 = сх2 + gx4; х4 = ёх3 + fx5; х5 = ех4; х6 = кх1.
Искомый коэффициент передачи определим постепенным исключением из системы уравнений неизвестных узлов, начиная с узла х5:
Х4 = БХз + ^Х5 = БХз + ЕЕХ.
Откуда х4 =-----------х3 =-х3. Таким образом исключен узел х5.
1 - в/ 1 - -4
Ьз
Переходя к узлу х3, получим х3 = сх2 + gx4 = сх2 +
-х3 = сх2 +
- х3, поскольку dg = Ь3.
О -3 с(1 - Ь4)
Откуда х3--------- — х3 = сх2 или х3 =
1 - Ь3 - Ь
4
4 х2 . Таким образом исключен узел х4.
и , и кс(1 - Ь4) Ь2(1 - Ь4)
Переходя к узлу х2, получим х2 = Ьх1 + кх3 = Ьх1 Н------------— х2 = Ьх1 Н—---------—
1 - Ь3 - Ь4 1 - Ь3 - Ь4
х2, по-
скольку кс = Ь2. Откуда
[(1 Ь2 Ь3 НЬ2Ь4]=Ь(1 Ь3 Ь4)х1;
х9 =-
Ь(1-- -ЬА)
12 1-(ь + ь + Ь4)+ЬЬ х
Подставляя значение х2 в уравнение х1 = ах0 + іх2, получим
Хі = ах0 +
Ьіх1(1- Ь3 -Ь4)
1 - (.Ь) + — + —4 ) + —2 —4
Так как Ьі =Ь1, то х1[1 ------------------Ь---------------------------] = ах0.
1 - (Ь„2 + Ь + —4 ) + —2 —4 1 - (Ь2 Н — Н —4 ) Н —2 —4
Откуда х1 =
1 - (Ь + —2 + — + —4 ) + —1—3 + —1—4 Н —2 —4
ах0.
1
Для последнего уравнения
хб = акхо =
1 - (—2 Н -3 Н Ь4 ) Н —2—4
1 - (—1 Н —2 Н —3 Н —4 ) Н —1—3 Н —1—4 Н —2—4
(2)
РА
Данное выражение соответствует частному случаю формулы Мэзона О = ——1. Здесь путь
А
Р1 = ак, алгебраическое дополнение пути А1 из выражения (2) равно А1 = 1 - (Ь2 + Ь3 + Ь4) + Ь2Ь4, а определитель знаменателя графа: А = 1 - (Ь\ + Ь2 + Ь3 + Ь4) + XI Х3+ XI Ь4 + Х2 Ь4.
В общем случае коэффициент передачи графа Мэзона равен
(3)
где Рі - передача і-го пути от истока к стоку; Лі - алгебраическое дополнение этого пути.
Пусть граф содержит т контуров. Определитель графа представляет собой знакопеременный ряд, первый член которого равен единице:
Л = 1 - I —1к Н 112к-I —3к +...,
где I Ь1к - сумма передач всех т контуров, содержащихся в графе; IЬ2к - сумма произведений передач двух любых контуров, не касающихся друг друга; I Ь3к - сумма произведений передач трех любых контуров, не касающихся друг друга, и т.д.
Алгебраическое дополнение Лі пути Рі можно получить из определителя Л графа. Для этого надо исключить из него члены, которые содержат контуры, касающиеся Рі-го пути. Предложенная в разделе 1 последовательность описания графа служит примером для описания графов конверторов сопротивления и гираторов на ОУ в разделах 2 и 3 настоящей статьи.
Конверторы сопротивления
Конверторы сопротивления являются активными цепями, которые позволяют получить зависимость между входным сопротивлением и сопротивлением нагрузки. Конверторы применяются в активных фильтрах, в схемах преобразования сопротивления на основе ОУ, в генераторах гармонических колебаний.
Конвертор положительного сопротивления позволяет получать зависимость вида Zвх = к Zн, где к - положительный безразмерный коэффициент. Пример схемы конвертора положительного сопротивления представлен на рис. 2,а, соответствующий ему сигнальный граф -на рис. 2,6.
а) б)
Рис. 2. Конвертор положительного сопротивления (а) и соответствующий ему сигнальный граф (б)
Проводимости узлов графа равны
■?11 = gн Н .?вх ; g22 = & Н g2 ; ^3 = g2 Н ^; g44 = ^ + ^'; g55 = g4 + gн.
Потенциал узла 1 - е+ , а потенциал узла 4-0 (земля).
При определении увх = —^ собственную проводимость узла 1 £п = ен + gвх необходи-
ВХ
^вх
мо рассматривать как g11 = gн .
g вх исключено из узлов 1-2 и его необходимо определить. Тогда
е +
^х = . (5)
ВХ
Из рис. 2,а определим напряжение е+ в узле 1 по формуле Мэзона:
1вх — Д1 1вх — (1 —(Ь + Ь + к) + ЦЬ,) е+ = g11 = g11_______________________
А 1 — (Ь + Ь2 + к, + Ь4 ) + Ь(Ьз
Передачи контуров будут равны
Ь = ^2 . Ь = gз2 . Ь = к2g4 . Ь = к1к2gзЕн
Н~ ■> Ь2 = ’ ^3 _ 5 ^4 _
g 22 Е,33 Е, 44 g44 g 44g11
В алгебраическом дополнении Д] и в определителе Д необходимо учесть только произведения передач тех контуров, в которых участвуют одновременно коэффициенты к1 и к2, так как к1 >> 1, к 2 >> 1, поскольку веса остальных передач контуров считаются пренебрежительно малыми. Значимыми будут только передача контура Ь4 и произведение передач контуров Ь\Ь3.
С учетом этого напряжение е+ в узле 1 запишется как
1вх— (1 + АЬз ) /вх (1 + (—к1)(—к2) ^
Е44 Е 22
е + _ ё11____________________________________ё11
1 1а + ^ 1- (-к1)к 2 + (-к1)(-к 2) -І2£4_
V ё 44 ё11 ) ё 22 g44
1вх -L ё11
^1 + к1к2-ё4ё2-
\
ё44 ё22
1 + к1к 2-ё3ён- + к1к 2-ё2^
(6)
,?44 &1 Е22 Е 44
Пренебрегая единицами в числителе и знаменателе и учитывая, что к1к 2 >> 1, получим
1 вх к1к 2 Е2 Е 4 е+ = Е11 Е 44 Е 22 = 1вх Е 2 Е 4
к1к 2 ё3 ён ё22 + к1к 2 ё2 ё4 ё11 ёз ён ё22 + ё 2 ё4 ё11
ё 44 ё11ё 22
Принимая ёп _ ён, получим
Подставим (7) в (5). Учитывая, что еп = Ен , е 22 = е 2, получим
1 вх Е 2 Е4_______=________________
?н (Е3 Е22 + Е2 Е4)/вх 1 + ^3(1 + ^1)
Е4 Е2
2вх _-
Так как 0, = (Я,) \
2вх =-
1 + Я-Яз
, Я2 1 + — Яі
V
(8)
Выражение (8) можно использовать для преобразования масштаба 2 н, меняя соотноше-
„ Я4 Я2
ние сопротивлении —=- или —^ .
я3
Яі
Конвертор отрицательного сопротивления отличается от конвертора положительного сопротивления тем, что безразмерный коэффициент к, связывающий 2вх и 2н , имеет отрицательный знак. Схема конвертора отрицательного сопротивления приведена на рис. 3,а. Сигнальный граф, соответствующий схеме, представлен на рис. 3,6.
___2_
0п
Рис. 3. Конвертор отрицательного сопротивления (а) и его сигнальный граф (б)
Здесь потенциалы (е ) и (е+) узлов 1 и 2 соответствуют инвертирующему и неинвертирующему входам ОУ. Собственные проводимости узлов графа будут равны £п = g1 + g2; g22 = gн;
1
2 = .
gвх
Из графа (рис. 3,6) по формуле Мэзона находим
і- ^+ки'
V 011
е+ = g22
1 (Ц1 + Ц2 )
g22
ко ке
Здесь передачи контуров равны Ц = —н, Ь2 =--------------------------
Оіі
1 вх ко 2
Так как к >> 1, -+= 0-2011
е =-
івх 02
-к + к-°2-011
(
022 011
І2.
011
Л •
-1
Тогда входное сопротивление равно
7 =.
вх
<°22 011
І2,-1 011
Учитывая, что 011 = 01 + 0 2 и 022 = 0н , получим
7 =.
вх
.(& + 0 2)
02 01 + 0 2
-1
. = - -1^ = -Я 7
О н 0н01 Я2
(9)
+
вх
Данная схема имеет следующие преимущества:
- с помощью конвертора отрицательного сопротивления можно получить высокоточные индуктивности без потерь за счет использования воздушных конденсаторов;
- может быть использовано отрицательное входное сопротивление .
Расчет гиратора
Гиратор представляет собой схему, ток которой } = у(и1 + и2) зависит от напряжений обоих узлов его цепи, а граф - симметричный трехполюсник. Использование гиратора позволяет преобразовать сопротивление цепи:
(10)
где к - постоянный безразмерный коэффициент.
Рассмотрим электрическую схему гиратора (рис. 4,а), содержащую два ОУ, и определим связь между 7вх и 7н по графу, изображенному на рис. 4,6.
к!
а) 6)
Рис. 4. Гиратор, содержащий два ОУ (а), и его граф (6)
На рис. 4,6 указаны следующие общие проводимости узлов:
ё11 = ё1 + Увх ; ё 22 = ё1 + ёг'; ёзз = ё2 + ёз;
ё44 = ёз + Ун; ё55 = ё4 + Ун .
Наиболее значимыми в графе являются контуры, содержащие коэффициенты передачи операционных усилителей к1 и к2:
Ц = к1Унк2. Ц = _к1Унк2ё1ё2. г = к1ёз(“к2)
Ц Ц = ; ^3 ="
ё55 ё55 ё 22 ёзз
2вк определяется как отношение
ёзз
7 =.
вх
Значение е+ определим из графа (рис. 4,6) по формуле Мэзона:
1
е +=-
1вх — Ах ёхх А
+
е
вх
Для краткости расчетов необходимо учесть в алгебраическом дополнении Д1 и в определителе графа Д значения только тех одиночных контуров или произведений нескольких контуров, в которые входят произведения коэффициентов передач усилителей к1 и к2. Веса этих контуров будут несравнимо больше оставшихся, так как к1к2 >> 1, поскольку к1 >> 1, к2 >> 1.
Z _ 1вх Д1
Li
Тогда
■?11Д gll(Ll + L2 + L3)
Д1 _ -(-kl)^-k2^ _ klk2 g"g2
g 55 g33 g55 g33
(l2)
(13)
Определитель графа будет равен Д_- J kl
-^(-k 2)-^- + ^ k 2-gl-
g33 gll g55 gll
_ klk 2
-kl Лнн_ k 2g2-
_ g55 g33 _
g3 gl - glgK + g 2g н
(14)
_ gllg33 gllg55 g33 g55
Подставив выражения (13), (14) в (12), получим с учетом gn _ ун следующее выражение:
g 2 g н
klk 2-
7 ________
вх і
g33 g55
g2 g н
g3 gb g2 gR
________ | _______ glgK
gllg33 g33 g55 gllg55
_ g|gK
gl [g3 (gK + g4) + g2gK - gK (g2 - g3)] _ R1R3 RK
gl g3 gк + g3 g4 gl - gl g3 g4 R2
(15)
Таким образом, имеем выражение, указывающее на возможность изменения характера нагрузки в мощности:
ЛЛ Л4
VV3JV4
Ri
В данном случае входное сопротивление носит чисто индуктивный характер:
Сн Л1Л3 К4
_'
R2
(1б)
(17)
+
н
Заключение
Использование топологических графов позволяет получить выражения для коэффициентов передач конверторов сопротивления и гираторов на основе ОУ без составления систем уравнений и их решения, что приводит к сокращению времени выполнения расчетов.
Список литературы
1. Гутников, В. С. Интегральная электроника в измерительных устройствах I В. С. Гутни-ков. - Л. : Энергоатомиздат, 1998. - 2Q3 с.
2. Использование топологических графов для расчета схем узлов средств измерений на операционных усилителях и анализа их погрешностей I И. Р. Добровинский [и др.] II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2Q11. - № 1. - С. 139-148.
Добровинский Игорь Рувимович
доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: idobr@tl.ru
Dobrovinskiy Igor' Ruvimovich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of information and measuring technique,
Penza State University
Ломтев Евгений Александрович
доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: rectorat@pnzgu.ru.
Lomtev Evgeniy Aleksandrovich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of information and measuring technique,
Penza State University
Медведик Юрий Тимофеевич
кандидат технических наук, кафедра электротехники и транспортного электрооборудования, Пензенский государственный университет
Medvedik Yuriy Timofeevich
candidate of technical sciences, sub-department of electrical engineering and transport electrical equipment, Penza State University
E-mail: yura.medvedik@mail.ru
УДК 621.317.7 Добровинский, И. Р.
Применение топологических графов для расчета схем конверторов и гираторов на операционных усилителях / И. Р. Добровинский, Е. А. Ломтев, Ю. Т. Медведик // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2013. - № 2(4). - С. 17-24.
