CC BY
65
1/2П11 ВЕСТНИК _1/2011 МГСУ
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ОПОЛЗНЕВЫХ ПРОЦЕССОВ
APPLICATION OF THE RANDOM FUNCTION THEORY FOR THE LANDSLIDE PROCESS ANALYSIS
B.B. Симонян, M.H. Калинина V.V. Simonyan, M.N. Kalinina
ГОУ ВПО МГСУ
Рассматривается возможность применения теории случайных функций для анализа медленно движущихся и неярко выраженных оползней.
The possibility of the random function theory for the slowly moving and feebly marked landslides application is considered.
Если оползневой процесс развивается в течение длительного времени, то может возникнуть ситуация, когда наблюденные смещения становятся случайными величинами, т.е. могут меняться как по абсолютной величине, так и по направлению (по знаку). В теории вероятностей изучением закономерностей поведения таких величин занимается научное направление - теория случайных функций. «Это понятие настолько же шире и богаче понятия случайной величины, насколько математические понятия переменной величины и функции шире и богаче понятия постоянной величины» [1].
В зависимости от целей исследования аргументом случайной функции может быть любой параметр; применительно к оползневым процессам за параметр примем номер цикла наблюдений, обозначаемый 2. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате измерения, называется реализацией случайной функции. Если рассматривать смещения нескольких оползневых точек, то можно получить несколько реализаций случайной функции, т.е. X1 (X), X2 (X),..., Xп (X) .
Зафиксируем некоторое значение аргумента Z и найдем п реализаций для Zk . Полученные значения X1(Zk), X),..., Хп ) называются сечениями п реализаций случайной функции при Z = Zk. Сечение можно рассматривать как п значений, принятых случайной величиной - ординатой X) случайной функции.
Различают четыре типа случайных функций:
- непрерывный случайный процесс; в этом случае Z и X(X) принимают любые значения на числовой оси;
- дискретный случайный процесс; в этом случае Z - непрерывно, а X(X) принимает дискретные значения;
- непрерывная случайная последовательность, где Z - дискретно, а X(X) может принимать любые значения на числовой оси;
- дискретная случайная последовательность; в этом случае Z и X(г) -дискретны.
Очевидно, что для анализа случайных процессов при наблюдении за оползнями характерен последний случай.
В чем же полезность случайных функций для изучения оползневых процессов?
Дело в том, что по совокупности реализаций случайной функции можно судить о ее свойствах. Однако полностью охарактеризовать свойства случайной функции можно только многомерным законом распределения случайной функции, что практически весьма и весьма затруднительно. Поэтому на практике ограничиваются определением вероятностных характеристик случайной функции, которыми являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция.
Математическим ожиданием случайной функции X(г) называется неслучайная функция
шх (г) = м [ X (2)]. (1.1)
По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой случайным образом колеблются отдельные реализации случайной функции.
Дисперсией случайной функции X (г) называется неслучайная функция Ох (г), значение которой для каждого 2 равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции, т.е.
бх (г) - Б[ X (г)]. (1.2)
Среднеквадратическое отклонение есть
(г) = 4 Бх (г). (1.3)
Однако, этих двух характеристик для описания особенностей случайной функции недостаточно, даже если у двух случайных функций одинаковые тх (г) и СТх (г) , характер их может быть резко различен. В этом можно убедиться, если рассмотреть две случайные функции X1 (г) и X2 (г) , изображенные семействами реализаций на рис. 1.1 и 1.2.
У случайных функций X1 (г) и X2 (г) примерно одинаковые математические ожидания и дисперсии, однако характер этих случайных функций резко различен. Для случайной функции X1(Z) (рис. 1.1) характерно плавное, постепенное изменение. Если, например, в точке г случайная функция X1 (г) приняла значение, заметно
превышающее среднее, то весьма вероятно, что и в точке г она также примет значение больше среднего. Для случайной функции X1(Z) характерна ярко выраженная зависимость между ее значениями при различных г. Напротив, случайная функция X2(г) (рис. 1.2) имеет резко колебательный характер с неправильными, беспорядочными колебаниями. Для такой случайной функции характерно быстрое затухание зависимости между ее значениями по мере увеличения расстояния по г между ними.
1/2011
ВЕСТНИК
_МГСУ
Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо ввести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (или автокорреляционной). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным г .
Степень зависимости величин X(г) и X(г') может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов г и г'. Эта функция и называется корреляционной функцией.
Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X (г)
называется неслучайная функция двух аргументов Кх (г;, г , ), которая при каждой
паре значений г,, г^ равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции, т.е.
Кх (г,., г}) - м[1(г, )Х{г])], (1.4)
где
X(г,) = X(г ) - шх (г,), X(г,.) - X(г,.) - шх (г,).
Теперь мы видим (см. рис. 1.1, 1.2), что при одинаковых математических ожиданиях и дисперсиях случайные функции X1 (г) и X2 (г) имеют различные корреляционные функции. Корреляционная функция случайной функции X1(Z) медленно убывает по мере увеличения промежутка (г,г'); напротив, корреляционная функция случайной функции X2 (г) быстро убывает с увеличением этого промежутка.
Если аргументы двух случайных функций совпадают, т.е. г, = г, , то имеем
Кх (г,., г,.) = м[(!(г ))2] = Бх (г), (1.5)
т.е. корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.
Для характеристики случайной функции удобно использовать нормированную корреляционную функцию рх (г,., г -)
= Кх (г,, г,.)
^(г,.).^х(г,-)
Рх (г,., г,) - " ч, (1.6)
которая представляет собой коэффициент корреляции величин X(г 1) и X(г,). Нормированная корреляционная функция аналогична нормированной корреляционной матрице системы случайных величин. При I = , нормированная корреляционная функция равна единице, т.е.
■ (Стх(г,))2 (а,(г,))2 1 '
1/2011
ВЕСТНИК
МГСУ
На практике часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживает существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы принято называть стационарными.
В стационарном случайном процессе корреляционная функция зависит лишь от расстояния между сечениями случайной функции и не связана с тем, в каком месте процесса эти сечения расположены. Для стационарной случайной функции справедливо следующее выражение:
где Т — Z] - Zi.
Таким образом, чтобы установить стационарность случайной функции достаточно определить значение Кх (Х) на нескольких циклах при одинаковом лаге
Т , т.е. при одинаковых интервалах времени. В этом случае Кх (X) должны быть примерно одинаковы. Типичным видом корреляционной функции стационарного случайного процесса является убывающая кривая, имеющая максимум в точке Z = 0 , равный Ох (X) .
Процесс убывания Кх (X) при возрастании Z практически не является
монотонным из-за присутствия случайных ошибок в значениях случайной функции; он имеет колебательный характер с постепенным уменьшением амплитуды колебаний. Колебательный характер корреляционной функции зависит также от динамических процессов в теле Земли, от осадочных явлений опорных знаков и других факторов. Если корреляционная функция переходит за ось Z и попадает в область отрицательных значений, то это является признаком того, что в структуре случайной функции имеется периодическая составляющая. Это замечание имеет непосредственное отношение к анализу оползневых смещений, чем вызвана необходимость применения гармонического анализа.
Для условия существования стационарности необходимо и достаточно, чтобы
что является условием стационарности в широком смысле.
Достаточно продолжительная случайная функция может обладать эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же продолжительности. Таким образом, для эргодической случайной функции характерна следующая особенность: каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания, средним размахом этих колебаний. Усредняя значения анализируемой реализации по оси абсцисс можно получить приближенные значения математического
Kx (Z ) = M [ X (Zi) X (Zi + r),
(1.8)
Mx (Z) = const, Dx (Z) = const,
Kx (Zi, Zj) - Kx (Zj - Zi) = Kx (r),
(1.9)
ожидания; усредняя квадраты уклонений от среднего, получают приближенное значение дисперсии случайной функции.
Таким образом, рассматривая случайную функцию для одного оползня, можно считать, что каждая реализация такой случайной функции осуществляется в результате воздействия одной и той же группы случайных факторов и потому обладает одними и теми же вероятностными характеристиками. Такую случайную функцию X(Z) считают эргодической.
Приведенные соображения весьма важны для анализа оползневых случайных последовательностей, ибо констатация свойств эргодичности делает возможным делать обобщения на характер динамических процессов по вероятностным характеристикам одной случайной реализации.
Следует иметь в виду, что необходимым условием эргодичности случайной функции является обязательное стремление корреляционной функции к нулю при Z ^ <х>. Если же, корреляционная функция стремится к какому-то постоянному значению D, то это указывает на то, что в структуре случайной функции имеется слагаемое в виде обычной случайной величины и что процесс не является эргодическим. Следовательно, по характеру поведения корреляционной функции можно судить о стационарности и эргодичности технологического процесса.
Литература.
1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель.- 5-е изд.- М.: Высшая школа, 1998.-576 с.
The literature
1. Wentzel E.S. The probability theory. [Text] / E.S. Wentzel.- 5-th edition.- Moscow: Visshaya Shkola, 1998.-576 p.
Ключевые слова: оползень, случайные величины, случайные функции, циклы наблюдений, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, нормированная корреляционная функция, стационарность, эргодичность.
Keywords: landslide, random quantities, random functions, expectation value, dispersion, mean square deviation, normalized correlation function, stationarity, ergodicity.
E-mail авторов: simonyan@korolev-net.ru
Рецензент: Ю.С.Кунин кандидат технических наук доцент, заведующий кафедрой «Испытания сооружений» МГСУ
