Применение теории оптимального управления для решения уравнений Гамильтона-Якоби с фазовыми ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

example, the stability of a special rod system performing triaxial tension of an elementary cube made from the nonlinear material is investigated.

Key words: gradient system; potential function; potential’s nonconvexity; state and control parameters; critical points; separatrix; stability control.

Стружанов Валерий Владимирович, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: stru@imach.uran.ru.

Бурмашева Наталья Владимировна, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, инженер, e-mail: nat_burm@mail.ru.

УДК 517.95, 517.977

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ С ФАЗОВЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ

© Н.Н. Субботина, Л.Г. Шагалова

Ключевые слова: уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана; фазовые ограничения; вязкостные решения; минимаксные решения; оптимальное управление; функция цены; субдифференциал .

Рассматриваются две задачи Коши с фазовыми ограничениями для уравнений Гамильтона-Якоби, возникающие, соответственно, в молекулярной биологии и экономике. Эти задачи не имеют классических решений. Вводятся обобщенные решения, супердифференцируемые в области определения. Предложен метод конструирования обобщенных решений с помощью вспомогательных задач оптимального управления. Приведены результаты и анализ численных экспериментов.

Рассматривается следующая задача Коши:

ди/(И + Н(х,ди/дх) = 0, 0 ^ 1< ос, — 1 ^ х ^ 1, (1)

и(0,х) = и0(х), —1 ^ х ^ 1. (2)

Предполагается, что гамильтониан в уравнении (1) имеет вид

Н (х,р) = —! (х) + 1 — ^ е2р — ^ е-2р (3)

или вид

Н (х, р) = е-ао-а1Х + еао+а1Х — е-а0-а1Хер — еа°+а1Хе-р. (4)

Нетрудно заметить, что гамильтонианы вида (3) и (4) являются вогнутыми по импульсной переменной р при х € [—1, 1] .

Уравнение (1) Гамильтона-Якоби с гамильтонианом вида (3) было получено в [1] для модели Кроу-Кимуры молекулярной эволюции. Входящая в выражение (3) функция f (■) называется фитнесом и полагается непрерывно дифференцируемой.

Уравнение (1) с гамильтонианом вида (4) было получено Д.Б. Саакяном для одной модели рынка в рамках эконофизики [2].

Нетрудно проверить, что задача Коши (1)-(2) с фазовыми ограничениями и гамильтонианом вида (3) или (4) не имеет классического решения в рассматриваемой полосе П = {(t,x)| t ^ 0, x Е [—1, 1]}, и для нее в этой области не выполняются известные [3] условия существования вязкостного решения.

Для произвольного фиксированного момента времени T > 0 вводится [4] понятие непрерывного обобщенного решения рассматриваемой задачи на множестве Dt = [0,T] х [—1,1], субдифференцируемого в этой области.

Рассматривается вспомогательная задача оптимального управления (ОСР):

x = —Hp(x,p), t Е [0,T], p Е PT,

I(to,xo)(p(')) = p(t)Hp(x(r),p(T)) — H(x(t),p(t))dT + ^(ti,x(ti)) ^ sup,

Jt 0

где Hp(x,p) = dH(x,p)/dp, Pt — компакт, ^(-) — дифференцируемая в R2 функция, p(T,x) = uo(x) при x Е [—1, 1], t — момент первого выхода траектории

x(-) = x(-; to,xo,p(-)), стартующей из начальной точки (to,xo) под воздействием изме-

римого управления p : [0, T] ^ P, на целевое множество

GT = {(t, x)| 0 ^ t ^ T,x = 1}U {(t, x)| 0 ^ t ^ T, x = —1} U {(t, x)| t = T, —1 ^ x ^ 1}.

Множество всех измеримых управлений p : [0, T] ^ Pt называется множеством допустимых управлений и обозначается символом Pt . Рассматривается функция цены Vt (t, x)

Dt ^ R : (t,x) ^ Vt(t,x) = sup I(t,x)(p(')).

Опираясь на результаты работ [5-7], показано, что функция

u(t, x) = Vt(T — t,x), t Е [0,T], x Е [0,1],

построенная с помощью функции цены Vt(t, x) задачи ОСР, удовлетворяет в области Dt введенному определению обобщенного решения задачи (1)-(2). Глобальное обобщенное реП

ДЛЯ ВСПОМОГЭ.ТбЛЬНЫХ ЗЭД&Ч ОСР и конструирования Vt(t, x) для произвольного T > 0.

Приведены результаты численного построения обобщенных решений двух рассматриваемых задач и анализ полученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Saakian D.B., Rozanova О., Akmetzhanov A. Dynamics of the Eigen and the Crow-Kimura models for molecular evolution // Physical Review E. 2008. V. 78, 041908. 7 p.

2. Mantegna R.N., Stanley H.E. An Introduction to Econophysics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

3. Capuzzo-Dolcetta I., Lions P.-L. Hamilton-Jacobi Equations with State Constraints // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 318. № 2. P. 643-683.

4. Субботина H.H., Шагалова Л.Г. О решении задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с фазовыми ограничениями // Труды института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2011. Т. 17. №2.

5. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: The Dynamical Optimization Perspective. Boston: Birkhauser, 1995.

6. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

7. Субботина Н.Н. Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в динамической оптимизации // Современная математика и ее приложения. Тбилиси: Ин-т кибернетики АН Грузии, 2004. Т. 20.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 08-01-00410 и Федеральной программой содружества УрО РАН с СО РАН.

Subbotina N.N., Shagalova L.G. Application of the optimal control theory to solutions of Hamilton-Jacobi equations with state constraints. Two Cauchy problems with state constraints are considered for the Hamilton-Jacobi equations arising in molecular biology and economy, accordingly. The problems have no classical solutions. The generalized solutions are introduced, that are subdifferentiable everywhere in domain. A method is suggested to construct the generalized solutions using auxiliary optimal control problems. Results and analysis of numerical experiments are exposed.

Key words: Hamilton-Jacobi equations; state constraints; viscosity solutions; minimax solutions; optimal control; value function; subdifferential.

Субботина Нина Николаевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, заведующий сектором отдела динамических систем, e-mail: subb@uran.ru.

Шагалова Любовь Геннадьевна, Институт математики и механики УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела динамических систем, e-mail: shag@imm.uran.ru.

УДК 517.95

СИЛЬНОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ ОСОБЫХ УПРАВЛЕНИЙ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

© В.И. Сумин

Ключевые слова: распределенные задачи оптимизации; управляемые вольтерровы функциональные уравнения; поточечный принцип максимума; особые управления. Показывается, что для широкого класса распределенных оптимизационных задач характерно сильное вырождение особых управлений поточечного принципа максимума, когда вместе с принципом максимума, который можно рассматривать как необходимое условие оптимальности первого порядка при игольчатом варьировании управлений, вырождаются и все необходимые условия оптимальности особых управлений до порядка, равного размерности пространства независимых переменных. Описан способ получения содержательных необходимых условий оптимальности сильно вырожденных особых управлений.

Управления, особые в смысле поточечного принципа максимума (п.п.м.), на которых он вырождается, играют важную роль в теории оптимизации и ее приложениях [1-4]. Однако, для распределенных систем вопросы получения необходимых условий оптимальности (н.у.о.) особых управлений (о.у.) изучены еще относительно слабо: в основном рассматривались управляемые системы Гурса-Дарбу и близкие им [2, 5-9]. Главные усилия были