УЧЕНЫЕ 3АПИСКН ЦМИ
101" ХХП 1991 №6
УДК 629.7.015.4.023 -+ 539.4.013.3
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ М^ЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕ.оРМАЦИЙ К РАСЧЕТУ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С КОНЦЕНТРАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ И ТРЕЩИНАМИ
В. Я. Гришин, А. А. Шутов
ПриВОдятся результаты определения напряженно-деформированного тояння и значения /-интеграла в пластинах с отверстием и трещиной, под действием двухосного нагружения. Результаты получеиы с применением двух теорий: теории течения и инжеиериой, деформационной теории — в рамках общей теории малых упругопластических деформаций, что поз^мило проанализировать данные с целью их использоваиия при решении стационарных задач.
Элементы авиаконструкций с конструкционными и технологическими концентраторами напряжений являются н^^ммлемой ч,астью планера самолета, во многом определяющие его прочн^пъ. Для оценки прочн^та элементов конструкций развиваются численные методы расвд'а с учугом пласти^жкого поведения материала. Определение зон пластичн^^и проводится на основе ряда теорий, которые опираются на использование общей теории малых упругопластических деформаций и делятся на две группы [1]. Первая группа включает теории, которые ДЛЯ определения миогокомпонеотного напряженного состояния вводят зависим^^и между полными значениямн напряжений и деформаций в каждой точке тела. Теории этой группы навываются деформационными теориями. Они относительно просты и удобны в инженерных расчетах.
Вторая группа включает теории, устанавливающие зависимости между ско^ктями деформаций и напряженнй. - Эти теории называются теориями пластического течения. В отличие от деформационных теорий ^юрии течения, как правило, учитывают предысторию нагружения и могут быть приложены к анализу напряжений при повторном нагружении. Тем не менее существует ряд задач статической прочности, ДЛЯ решения которых не ‘требуется знать предысторию нагружения. Цедь иастоящей статьи заключается в сравнении результатов решения ряда задач определения напряженного ^^гояния элементов конструкций с .концентраторами напряжений в виде отверстнй и трещин при мно^тсном напряженном с^таянии с применением различных ^юрий пластичности.
1 1. Запишем основные уравнения теории упругости для н^нропного трех-
мерного тела ■ V в декартовой системе координат х, у, z, полагая, что на части ^внешней границы 5| тела действует нагрузка Р, а на части границы £2 . заданы перемещения V [и, V. 00]т, где Т — индекс транспонирования:
Уравнение равновесия в областн V
[8]0 = Т. (1)
Статические граничные условия на 51
[М]о = Р. (2)
Уравнедоя связи между деформациями и перемещениями: в области V (уравнения Коши) '
ДОй = Ё; (3)
закон Гука в области V
[С]ё=о, (4)
где [В] и ДО] —ди^фференциальные операторы, / — вектор массовых сил,
[М] — матрица, ко^эфициенты которой зависят от ориентации единичного
вектора нормали к границе области, Р — вектор сил на границе ^области, отнесенный к единице площади, [С] — матрица ко^эфициентов упруг^^и, о и е—напряжения и деформации соответственно, и—вектор перемещений [2].
Подставляя выражения (3) в (4), а результат подстановки соответственно в (1), получим уравнения равновесия в перемещениях внутри области V
[В] [С] ДО] и = Т, (5)
с граничнымн условиями на поверхности тела 51
[М] [С] ДО] и=Р. (6)
Решение уравнений (5) и (6) удовлетворяет условию стационарности полной потенциальной энергии [3] '
W(u) = ^<тТ [ D] ыdv — ^uT/dv — } uPdS (7)
при вариации вектора перемещений и.
При моделиъевании сплошной области V конечными элементами с выбранными аппъексимациями перемещений по объему элемента, минимизация функционала (7) сводится к решению системы ' алгебраических уравнений равновесия конструкции [3]
[К]8 = Я, (8)
где [К] — матрица жесткости конструкции, 6 — вектор перемещений узлов конструкции, Я — вектор нагрузки, ..приложенный к узлам коиструкции.
Матрица - [К] получается суммированием матриц жесткости конечных элементов [К*], т. е.
N
■ [К] = £[К?] , (9)
1=1
где N — число элементов.
2. При анализе напряжений и деформаций в пластически деформируемых телах на практике используклся теории пластичности двух типов.
К первому типу относятся теории пласти еского течения, устанавливающие в пъецессе нагружения зависимости между приращениями деформаций и напряжений в виде [1]
dz4 = Jo(do4 - 6,,7~ do0) + - Vo)
(10)
где G — модуль сдвига, v — ко^эфициент Пуассона, оо — сред^ напряже-нне, 6tj — сим^ы Кронекера, dr.; — приращение ннтенснв^тн деформаций, о,- — ннтенсивность напряжений [1].
К другому тнпу отн^осится деформационные теории, устанавлнвающне зависимом между полными компонентами напряжений и деформаций тнпа
где е; — ннтенснвн^ь деформаций [1].
При пактом нагружении, характеризующимся следующей зависимостью междуу интенсивн^здю напряжений о,- и деформаций е,
0,= ^ (12)
где А и m — эмпирические константы, доказано [4], что результаты, полученные по обенм из этих теорий, совпадают. Из (12)' следует
e.= Cof, (13)
где C = A~l/m, n= I/m.
С другой ^^роны реальная диаграмма растяжения авиационных сплавов, как правило, хорошо аппроксимируется выражеиием
Учитывая, первый ^член в правой части выраження (14) прн развитом пластическом деформн^рованнн знач^ительно меньше ^рого, то доя случая мон^гон^ного возрастання внешннх нагрузок условне п^ростого нагруження (12) прнблнженно выполнится, а, следова-тел^ыю и результаты, полученные по двум теорням, должны ие слишком сильно разлнчаться.
Прн решеннн задач плоского напряженного ^^гояння завнснмости (10) н (11) прнводатся в работе [5], там же опнсывается и вычнслн-тельная программа, реализующая метод конечных элементов, модифнцнрованная авторами ДЛЯ РС-386. Программа позволяет по известным полям напряжений и деформаций вычислить значение J интеграла Райса, характеризующего как п^^^сть, так и долговечность элементов конструкций с трещинами, по вы-раженню
( Wdy-Ta;-L dS) . (15)
где W = t(Jijdr.;i — плотн^^ь энергии деформации, Т = Oiiii — вектор поверх-
^ностных сил, ii =_(n,) —виешня окружающего вер-
шнну трещины, U — вектор перемещеиий иа контуре Г, 45 — элемеит кои-тура Г.
3. Для исследования напряженно-деформированного с^^ояння в области концентратора напряженнй рассматрнвалси прямоугольный образец с Антральным отверстием с ^^оси^ьнымн размерами В/D = 6, L/D=12, где В, L — шнрнна н ДЛнна образца ^ответственно, D — диа.-етр отверстия. При конечно-элементном моделнрованни рассматрнвалась четвертая часть образца, заннмающая первый квадрант декартовой системы к^оордннат (рис. 1), которая разбнвалась на 274 треугольных элемента с лннейиой аппроксимацией перемещеиий [3]. Наименьшне элементы располагались по контуру отверстия и их лииейиые размеры прииимались — 0,05 от радиуса отверстия.
Рис. 1. Растяжеиие образца с отверстием:
1 — О — деформационная теория;
2 — □ — теория течення; 3 — В — эксперимент
Рис. 2. Измеиеиие относительных деформаций Е,/ет с у^ичеиием параметра иагрузки Л:
1— деформацнонная теорня, 2---------теорня
течения
В качестве - материала выбирался высокопрочный- алюминиевый сплав, диаграмма растяжения которого аппроксимировалась зависимостью
-т+С(-Г
где £=70^Ю мПа, от = 280 мПа, С = 2,0-10—3, п = 9.
На рис. 1 приводится сравнение наи^мьших нормальных деформаций е«/вр где 8т — деформация, с^эт^ствующая пределу пропорциональности материала от, полученных при од^ионом растяжении образца, вычисленных как по деформационной -теории, так и по теории течения, с результатами эксперимента на натурном- образце [6] в зависимости от параметра нагрузки А. = = о/от. Как видно из рис. 1, результаты, получениые по деформационной теории, несколько превышают значения деформаций, подсчитанных с применением теории течения, и отличие их друг от друга в интервале нагружения А. = О + 0,7 отличаются не ^мее, чем на 7%.
На рис. 2 приводится зависимость наибольших нормальных деформаций на контуре отверстия от параметра нагрузки А., для случая двухосного нагружения. Нагрузка прикладывалась статически, ко^эфициент К менялся в пределах от — 0,5 — 0,5, потеря устойчи^вости образца при этом не учитывалась.
На рис. 3 показаны зоны пластического деформирования, возникающего в ^области отверстия для параметра нагрузки А. ж 0,5.
Для исследования изменения 1-интеграла в зависимости от различных теорий пластичности рассматривался прямоугольный образец с центральиой трещиной, относительной длиной 2//8 = 0,3, где 1 — полудлина трещины.
Рис. 3. Зоны пластического деформирования:
I — = 0,5; 2 — = О; 3 — =
,.— 0,25; -4 - 1(«= - 0,5
Рис. 4. Изменение 7-интеграла в зависимости от параметра нагрузки л.:
----К = - 0,5;^ — || — К = О; - - - К = 0,5; ■ — деформационная теория; ▼ —теория течения
Рис. 5
По условиям симметрии рассматривалась четвертая часть образца, которая моделировалась 234-мя треугольиыми элемеитами. с относительиыми размерами в вершиие трещииы — 0,05. На рис. 4 показаны значения / -интеграла, полученные с применением ^обеих теорий пластичности, а на рис. 5 показаны зоны упругопластических деформаций в образце.
Как следует из рис. 2 и 4, результаты, полученные с применением различных 'теорий в интервале нагружения Л = 0 -т 0,7 при решении стационарных задач отличаются по деформациям не ^мее чем на 7%, по значению /-интеграла на —4%, а по величине напряжений эта -разница не превышает 1 %.
Величина зон пластичности, вычисленных с применением теории течения как в области отверстий, так и вершин трещин, несколько больше размеров зон, полученных с использованием деформационной теории. Значения как максимальных деформаций в области отверстий, так и /-интеграла в области трещин уменьшаются при действии дополнительного растяжения и увеличиваются при действии сжатия по сравнению со случаем одноосного растяжения образца.
ЛИТЕРАТУРА
1. М а л и н и н Н. Н. Примадная теория маст-нчжости и падзучести.— М.: Машиностроение, 1974.
2. Г а л к и н а Н. С., Г р и ш и н В. И., Д о н ч е н к о В. Ю. Исмедо-вание напряженно-деформированного состояния мементов авиационных конструкций и нх соединений.— Трудо ЦА.ГИ, 1979, вып. 2012.
3. 3 е н к е в и ч О. Метод конечных цементов в технике.— М.: Мир,
1975.
4. И л ю ш и н А. А. Пластичность.— М.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948.
5. Сираторн М., Миеси Т., Мацусита X. Вычиедитедьная механика разрушения.— М.: Наука, 1^980
6. Са в и н Г. Н. Концентрация напряжений окадо отверстий.— М.: ГИТТЛ, 1951.
РуКО^ь лосгу^ла 12^1 1990 г.