CC BY
186
4(190) - 2014
Математическое моделирование
УДК 519.813.7
применение теории игр во внутреннем
финансовом контроле корпораций
В. Н. ЖУКОВ,
кандидат экономических наук, доцент кафедры бухгалтерского учета E-mail: vn-zhukov@mail.ru Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова
Теория игр является наиболее востребованным математическим методом, сферами приложения которого стали экономика, финансы, управление, политика, военное дело. В настоящей статье представлены результаты исследования возможностей оптимизации внутреннего финансового контроля в корпорациях на основе применения математического аппарата теории стратегических игр.
Ключевые слова: теория игр, игровое моделирование, модель, оптимальное поведение менеджеров, контролер, стратегия, контроль, искажение, отчетность, информация.
Теория игр представляет собой экономико-математический инструмент моделирования различными лицами своего оптимального поведения в условиях конкуренции (конфликта) или кооперации с другими лицами. По своей форме и применяемым методам эта теория - математическая, но по сути решаемых проблем она является разделом экономического анализа.
О практической значимости игрового моделирования свидетельствует тот факт, что проводимые в этой области исследования дважды за последние двадцать лет удостаивались нобелевской премии по экономике. В 1994 г. она была присуждена Дж. Харсаньи (США), Дж. Нэшу-младшему (США) и Г. Зельтену (Германия) за фундаментальный анализ равновесия в теории неокооперативных игр, а в 2005 г. - Р. Ауманну (Израиль) и Т. Шеллингу (США)
за расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью теории игр.
Основное предназначение теории игр ее основоположники Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн видели в попытке точного описания стремления индивидуума к извлечению максимальной пользы или, в случае предпринимателя, к получению максимальной прибыли [2, с. 27]. Между тем игровой характер человеческих отношений был подмечен намного раньше. Так, немецкий философ А. Шопенгауэр отмечал, что наша жизнь подобна игре в шахматы: мы создаем известный план, но он находится в зависимости от того, что угодно будет сделать партнеру в игре [5, с. 130].
Непременным условием использования теории игр и построения математических моделей конфликтов является наличие у участников антагонистических интересов. Прежде всего это справедливо для экономической сферы, где стремление каждого участника направлено на получение оптимального финансового результата. Достижение поставленной цели требует от него эффективного взаимодействия с другими участниками (партнерами, контрагентами и т. п.). Поэтому результат действий индивидуума в деловой среде зависит не только от его собственных усилий, но также и от действий этих лиц.
Таким образом, с позиции теории игр экономика отождествляется со стратегической игрой. Каждый участник этой игры стремится максимизировать некоторую функцию (результат), не все
аргументы которой находятся под его контролем. Руководствуясь исключительно индивидуальными принципами, он не способен устанавливать значений всех переменных, определяющих собственную выгоду. Поэтому, чтобы получить выигрыш (оптимальный финансовый результат), участнику предстоит сделать свой выбор в пользу такой стратегии поведения, которая подвержена минимальному влиянию стратегий оппонентов.
Приведенная характеристика теории игр позволяет сделать однозначный вывод о возможности использования ее инструментария при решении вопроса оптимальной организации внутреннего финансового контроля в корпорациях. Исходной предпосылкой для игрового подхода к стоящей проблеме выступают интересы различных групп участников - менеджеров, собственников, стейк-холдеров. Следствием частого их несовпадения становятся агентские конфликты, преодолевать которые в современных условиях крайне затруднительно без рационального задействования всех функций управления, прежде всего потенциала контрольной функции.
Для моделирования оптимального поведения внутренних контролеров в процессе проводимой проверки введем понятие игры «внутренний корпоративный контроль». Данная игра - это модель конфликтной ситуации между проверяющими (контролерами) и проверяемыми (менеджерами) лицами, представляющая собой систему образующих ее правил. Правила игры должны задавать следующие семь элементов модели:
1) число игроков;
2) число ходов;
3) степень информированности игрока;
4) характер взаимоотношений между игроками;
5) стратегии игрока;
6) характер выигрышей;
7) вид функции выигрышей и принятие на ее
основе решения.
Задача контролеров состоит в том, чтобы подобрать для конкретной ситуации нужный тип модели, построить ее, а затем выбрать оптимальное решение относительно стратегии проверки.
Современная практика внутреннего финансового контроля в корпорациях убедительно показывает, что многие проводимые проверки можно моделировать с помощью игровой модели «игра двух лиц с нулевой суммой». Поскольку первые четыре из семи элементов модели остаются всегда неизменными,
то их рекомендуется предписывать контролерам для регулярного использования. Напротив, определение трех остальных элементов зависит только от выбора проверяющей стороны и поэтому будет дано здесь в рекомендательной форме.
Определим структуру модели «игра двух игроков».
Число игроков К. В моделируемой игре принимает участие одна команда контролеров и одна команда менеджеров. Так как обе команды ставят перед собой прямо противоположные цели, то их следует считать игроками. Введем обозначения: К1 - контролеры (проверяющие), К2 - менеджеры (проверяемые).
Число ходов М. Ход - это возможность выбора каждым игроком конкретной стратегии своего поведения из множества существующих альтернатив. Данный тип конфликта следует отнести к мажорантной игре, так как, во-первых, число ходов в нем всегда равно двум (М = 2), а во-вторых, ход менеджеров предшествует ходу контролеров.
Степень информированности игрока Jk. Информация в игре является мерой сведений о ходе соперника, которая необходима для выбора нужного стратегического решения. Условие неопределенности в игре двух игроков принимает форму неполной информации, т. е. для К^. 0 < Jk1 < 1; для
К 0 < Л9 < 1.
2 к2
Характер взаимоотношений между игроками Ck. Предполагается, что различия интересов контролеров и менеджеров полностью исключают возможность создания коалиций. Поэтому степень сотрудничества между обеими сторонами в данных играх оценивается для К - Ск1 = 0; для К2 - Ск2 = 0.
Стратегия игрока а. Стратегия есть план поведения игрока, указывающий, какой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Применительно к игре «внутренний корпоративный контроль» это означает, что до того как приступить к своим служебным обязанностям, обе стороны уже приняли решение относительно своих действий во всех возможных ситуациях.
Для менеджеров выбор стратегии поведения находится в прямой зависимости от преследуемой ими цели. Если она связана с формированием достоверной учетной и отчетной информации о деятельности своей компании, то план их действий будет состоять в точном соблюдении всех требований законодательства. В противном случае
Математическое моделирование
4(190) - 2014
стратегию менеджеров необходимо отождествлять с противозаконными способами ведения бизнеса (корпоративным мошенничеством, сокрытием достоверной информации о деятельности компании, уходом от налогов и др.).
Стратегии внутренних контролеров главным образом обусловлены целями проверки. Процесс моделирования стратегии контроля состоит из двух этапов. На первом этапе моделируются возможные стратегии менеджеров, на втором - собственные стратегии.
Предположим, что первый игрок К (команда контролеров) имеет т стратегий а,, где , = 1, 2,... т. Второй игрок К2 (команда менеджеров) имеет п стратегий Ь., где] = 1, 2,. п. Поскольку число стратегий у обоих соперников не бесконечно, то и сам конфликт нужно рассматривать как конечную игру.
Для характеристики планов поведения обоих игроков необходимо различать их чистые и смешанные стратегии. Чистые стратегии - это стратегии типа , = 1, 2,. т и] = 1, 2,. п. Смешанные стратегии представляют собой набор вероятностей применения чистых стратегий. Из существующих единиц измерения для данной модели целесообразнее всего использовать проценты. В дальнейшем это позволит сравнивать стратегии обоих игроков.
Оценка первым игроком стратегий второго игрока предполагает выполнение следующих действий:
- знакомство с должностными обязанностями каждого менеджера
- определение круга объектов управления Г;
- оценка вариантов совершения противозаконных действий.
Пример 1. Специалисты департамента внутреннего финансового контроля материнской компании холдинга проводят проверку деятельности дочерней организации. Изучив необходимый информационный материал, контролеры установили следующее:
- дочерняя организация специализируется на розничной торговле продовольственными товарами;
ь Ь Ьз Ь4
Основные средства г1 20 5 15 10
Товарные запасы г2 20 30 40 20
Денежные средства г3 20 30 40 20
Расходы г4 20 5 5 30
Доходы Г5 20 5 10 30
Капитал и резервы г6 20 5 5 30
Требования и обязательства г7 20 30 10 10
Кредиты и займы г8 20 30 10 10
Рис. 1. Оценка стратегий менеджеров, %
- большинство должностных лиц не имеют специального образования, соответствующего профилю деятельности организации;
- часть должностных лиц имеет небольшой опыт работы в занимаемой должности;
- обязательные инвентаризации товарных запасов и денежных средств в контролируемом периоде не проводились;
- учет доходов и расходов находится в запущенном состоянии;
- в третьем квартале контролируемого периода местная налоговая инспекция проводила выездную проверку правильности исчисления и уплаты в бюджет налога на прибыль. Указанные особенности позволили контролерам сделать вывод о том, что менеджеры имеют в
своем распоряжении четыре стратегии (Ь . при п =
4) искажения финансовой отчетности:
- Ьх - стратегия, ориентированная на равномерное искажение всех показателей отчетности. Данный вариант обусловлен неопытностью и недостаточной компетентностью главного бухгалтера и других должностных лиц;
- Ь2 - стратегия, ориентированная на приукрашивание информации о состоянии оборотных активов и источников их образования. Она имеет место в том случае, если руководство контролируемой организации заинтересовано в сохранении сложившихся отношений с поставщиками и банками;
- Ь3 - стратегия, ориентированная на наибольшее искажение сведений о величине и состоянии товарных запасов и денежных средств. В контролируемом периоде такая стратегия вполне очевидна, если считать, что в результате проведенной налоговой проверки искажений прибыли стало меньше;
- Ь4 - стратегия, ориентированная на наибольшее искажение доходов и расходов. Данный вариант также имеет право на существование, поскольку основывается на факте, свидетельствующем
о запущенности соответствующих участков учета.
Оценочные уровни искажений отчетной информации при каждой стратегии поведения второго игрока К2 (Ь .) приведены в матрице (рис. 1).
7х"
25
а агЖ а3№
Основные средства г1 40п 100N 50п 40п
Товарные запасы г2 40п 100N 100N 50п
Денежные средства г3 40п 100N 50п 100N
Расходы г4 100N 40п 50п 40п
ДОХОДЫ Г5 100N 40п 100N 40п
Капитал и резервы г6 100N 40п 50п 40п
Требования и обязательства г7 40п 40п 100N 100N
Кредиты и займы г8 40п 40п 30п 100N
Рис. 2. Моделирование стратегий контролеров, %
Моделирование контролерами собственных стратегий может осуществляться в виде комбинирования возможных способов контроля. Пусть Ж -способ контроля выбранных объектов. Тогда N -сплошная проверка (проверяется 100 % операций); п - выборочная проверка (проверяется менее 100 % операций).
Пример 1 (продолжение). Если задачи контроля предусматривают проверку всех без исключения показателей финансовой отчетности, то в рассматриваемом примере контролеры могут определить для себя четыре альтернативных стратегии (а при т = 4):
- а1 - стратегия, ориентированная на углубленную проверку результатов финансово-хозяйственной деятельности организации, т. е. предпочтение здесь отдается отчету о прибылях и убытках;
- а2 - стратегия, ориентированная на углубленную проверку активов. В этом случае упор делается на проверку материальной стороны экономики организации;
- а3 - стратегия, ориентированная на углубленную проверку состояния и использования товарных запасов организации, ее прибыли, а также коммерческих отношений со своими контрагентами;
- а4 - стратегия, ориентированная на углубленную проверку денежных средств, требований и обязательств, кредитов и займов (рис. 2). Характер выигрышей Ак. Под выигрышем
контролеров Акх следует понимать то количество ошибок менеджеров, которое они обнаружили в ходе проверки финансовых отчетов. Это значит, что для рассматриваемой игровой модели всегда характерна зависимость Ак1 = f (а. Ь ).
При этом сумма выигрышей участников в каждой партии игры будет равна нулю (ХАк = 0), т. е. один игрок получает то и столько, что и сколько теряет другой. В качестве единиц измерения выиг-
рышей выберем баллы, благодаря чему контролеры смогут выполнять различные арифметические действия в ходе игры.
Алгоритм нахождения показателей Ак1 при 7-й стратегии контролеров и ]-й стратегии
менеджеров состоит из следующих этапов: - определение способности обнаружения ошибок стратегией а. на участке гв при применении противником стратегии Ь :
х (Ь О, %,
¿а = (аг г) / 100 где а. гв - степень выборки первым игроком на участке гв при применении стратегии а.; Ь. гв - степень искажения вторым игроком финансовой информации на участке гв при применении стратегии Ь ; - определение способностей необнаружения ошибок &Ь стратегией а. на участке гв при применении противником стратегии Ь :
, %;
,, 5- Ь. г.
Ь а ] в- определение частного выигрыша контролеров (&к1 или а. Ь ..), т. е. количество ошибок, обнаруженных на участке гв при стратегиях а и Ь : £м = & + , балл. Согласно этой
. к1 а Ь
формуле, величина частного выигрыша сначала определяется в процентах, а затем переводится в баллы. Правила игры могут установить соотношение 1 балл = 1 %; - определение общего выигрыша Ак1 = X 5к1, балл.
Вид функции выигрышей и принятие на ее основе решения F. Предлагаемый элемент игры следует считать основным, поскольку именно он является целью моделирования. По мнению автора, функцию выигрышей контролеров целесообразнее всего задавать в виде матрицы, которая позволяет удобно и оперативно находить решение игры, а также легко сводится к задаче линейного программирования.
Решение контролерами матричной функции начинается с определения своей оптимальной чистой стратегии. Пусть матрица ^ порядка т х п есть функция выигрышей. Строка матрицы соответствует номеру применяемой чистой стратегии контролеров, столбец - номеру применяемой чистой стратегии менеджеров, т. е.
Математическое моделирование
4(190) - 2014
F =
САп Аи...Alj...Aln
Ail Ai2 —Л/... А1'я
А А А А
■"-ml ^m2-"
Тогда общий выигрыш контролеров A.. = Ak1 будет обусловливаться каждой выбранной ими стратегией и находиться на пересечении i-й строки и у-го столбца.
В основе решения построенной функции выигрышей, т. е. выбора контролерами самой оптимальной чистой стратегии своего поведения, лежит критерий оптимальности любой игры двух игроков. Его суть состоит в том, что чистая стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, приведем алгоритм решения игры:
- нахождение нижней цены а, т. е. последовательное определение для каждой i-й стратегии контроля матрицы A минимального значения выигрыша Aj в зависимости от применяемой у-й стратегии менеджмента: minA. = а (i = 1, 2,..., m);
- нахождение верхней цены игры ß, т. е. последовательное определение для каждой -й стратегии менеджмента матрицы A максимального значения выигрыша A. в зависимости от применяемой i-й стратегии контроля: mахA.. = ß (j = 1, 2,..., n);
- нахождение седловой точки V, т. е. точки, находящейся на пересечении нижней и верхней цены игры V = а = ß = max. min Ai0y0.
Таким образом, в качестве основного принципа оптимального поведения контролеров в игре двух игроков предлагается принцип максимина. Согласно ему наибольший гарантированный выигрыш контролеров Ai0 0 находится в седловой точке матрицы F, а соответствующая ему i-я стратегия является оптимальной чистой стратегией.
Пример 1 (окончание). На основе рассчитанных значений общих выигрышей контролеров составим матрицу (рис. 3).
Решение матричной функции дает следующие результаты. Во-первых, седловым элементом матрицы F является выигрыш A31 = 52. Во-вторых, из всех альтернативных ва-
риантов своего поведения aконтролеры должны выбрать стратегию a3, которая обеспечит им гарантированную возможность обнаружения максимального количества ошибок своих оппонентов в условиях, когда те также ведут себя оптимально, т. е. применяют стратегию поведения Ъу
Анализ возможностей использования теории игр во внутреннем финансовом контроле корпораций показывает, что далеко не каждая матрица выигрышей имеет седловую точку, т. е. наличие отрицательных чистых стратегий поведения игроков в практике контроля необходимо рассматривать только как частный случай.
Принимая во внимание данное обстоятельство, предложим для всех подобных ситуаций другой способ нахождения решения. Он заключается в определении смешанных стратегий поведения контролеров и менеджеров, а точнее - в расчете вероятностей применения ими своих чистых стратегий. Критерий оптимальности для действий контролеров при таком подходе нисколько не изменяется. Однако в качестве рациональной линии поведения здесь выбирается чистая стратегия, которой соответствует наибольшая вероятность выигрыша.
Пусть X. - вероятность i-й смешанной стратегии контроля, а Yj - вероятность j-й смешанной стратегии менеджмента. Тогда матрица выигрышей контролеров без седловой точки может быть преобразована в виде следующей системы уравнений:
Ап Хх + Л X 2 +... + Azl X z = 1/Е
Á2 X,
^22 ^^2
-4 2 X г = 1/Е
АтX + А2тХ2 +... + Ат Хг = 1/Е
I,. 1 т 1 2т 2 гт г
при этом = 1, где X. > 0.
Для решения системы уравнений целесообразнее всего воспользоваться математическим аппаратом линейного программирования, и в частности симплекс-методом.
Пример 2. Составим условную матрицу выигрышей контролеров без седловой точки (рис. 4).
bi b2 Ьз Ь 4 minA;;
ai 40 -10 -3 76 -10
a2 40 50 87 28 28
аз 52 53 56 56 52
а4 44 86 53 20 20
m&xAij 52 86 87 76
Рис. 3. Матрица выигрышей контролеров, балл
7х"
27
bi b2 Ьз b4 min An
ai 20 40 40 40 20
a2 20 80 0 20 0
a3 60 20 40 40 20
a4 60 0 60 0 0
m&xAj 60 80 60 40
Рис. 4. Матрица выигрышей контролеров без седловой точки, балл
Преобразование матричной формы функции в линейную позволит получить систему уравнений:
20 Хх + 20 Х 2 + 60Х3 + 60Х4 = 1/ Е
40 Х1 + 80 Х 2 + 20 Х3 + 0Х4 = 1/ Е
<40Х1 + 0Х2 + 40Х3 + 60Х4 = 1/Е '
40 Х1 + 20 Х 2 + 40 Х3 + 0Х4 = 1/ Е
Решение системы уравнений даст следующие результаты: Х1 = 0,5; Х2 = 0,1; Х3 = 0,4; Х4 = 0; Е = 0,028.
Таким образом, оптимальное поведение контролера состоит в выборе им стратегии а1.
Результаты проведенного исследования убедительно свидетельствуют о том, что применение теории игр во внутреннем финансовом контроле вполне оправданно. Игровое моделирование позволяет оптимизировать процесс проверок за счет выбора рациональной стратегии контроля, позволяющей в заданное время находить наибольшее количество имеющихся ошибок, отклонений и нарушений. При этом обеспечивается наглядность контроля и повышается его точность.
Разработанная и представленная игровая модель «внутренний корпоративный контроль» включает в себя семь взаимосвязанных элементов. 1) число игроков;
2) число ходов;
3) степень информированности игрока;
4) характер взаимоотношений между игроками;
5) стратегии игрока;
6) характер выигрышей;
7) вид функции выигрышей и принятие на ее основе решения.
Прикладная особенность предложенной модели состоит в ее частичной универсальности, так как значения первых четырех элементов здесь всегда неизменны, а значения остальных трех элементов должны задаваться контролерами в соответствии с индивидуальными особенностями проводимой ими проверки.
Список литературы
1. Колокольцев В. Н., Малафеев О. А. Математическое моделирование многоагентных систем конкуренции и кооперации. СПб: Лань, 2012. 624 с.
2. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.
3. Оуэн Г. Теория игр. М.: ЛКИ, 2010. 216 с.
4. Теория экономического анализа / М. И. Баканов [и др.]. М.: Финансы и статистика, 2005. 536 с.
5. Шопенгауэр А. Афоризмы житейской мудрости. М.: Интербрук, 1990. 152 с.
6. Aumann R. J., Sorin S. Cooperation and Bounded Recall // Games and Economic Behavior. 1989. N° 1. Р. 5-39.
7. Schelling T. C. The Strategy of Conflict. Cambridge MA: Harvard University Press. 1960. 309 p.
