CC BY
15Системы управления, космическая навигация и связь
УДК 629.783
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ
И. С. Баранова, В. Р. Кусова, С. Ю. Манушичев*, В. М. Овечко
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения» Российская Федерация, 141074, г. Королёв Московской области, ул. Пионерская, 4
*E-mail: stas@manushichev.ru
Приводится формализация задачи распределения средств управления, в результате которой для решения задачи требуется осуществить поиск полного подграфа в графе.
Ключевые слова: контур управления, космический аппарат, распределение средств управления.
THE APPLICATION OF GRAPH THEORY TO THE SOLVE OF THE PROBLEM OF THE DISTRIBUTION OF SPACECRAFT CONTROLS
I. S. Baranova, V. R. Kusova, S. Yu. Manushichev*, V. M. Ovechko
FSUE "Central Research Institute of Machine Building" 4, Pioneer Str., Korolyov, Moscow region, 141074, Russian Federation *E-mail: stas@manushichev.ru
The formalization of the task of distribution of control means is resulted, as a result of which, in order to solve the problem, it is required to search for the complete subgraph in the graph.
Keywords: control loop, spacecraft, distribution of controls.
Задача бесконфликтного планирования наземных средств управления космическими аппаратами (КА) в настоящее время решается на основе эвристических подходов к методу ветвей и границ. Рассмотрен один из возможных подходов к решению задачи распределения средств управления КА, позволяющий свести исходную задачу к задаче теории графов, что позволяет применить для ее решения теоретические результаты из этой области.
Независимо от способа управления космическим аппаратом, возникает задача распределения средств наземной и космической связи. Решением задачи является построение пар «космический аппарат - средство связи» и их расположение на шкале времени в заданном интервале [1-2].
Ручное построение плана задействования занимает много времени и не всегда эффективно. С ростом числа средств объектов управления процесс решения задачи будет усложняться. Требуется разработка и реализация алгоритма автоматизированного построения плана задействования средств управления.
Рассмотрим группировку из N орбитальных космических аппаратов (КА), пронумерованных от 1 до N, и M наземных контрольно-измерительных станций (КИС), пронумерованных от 1 до М. Кроме того, пусть известны все зоны радиовидимости (ЗРВ) между КА и КИС на период планирования. Каждая ЗРВ задается следующей информацией: порядковый номер i, время начала и окончания ЗРВ, номер КА (п) и номер КИС (m)
ЗРВ, = (Г\ Гн„ п, т,).
Пусть есть К заявок на проведение сеансов связи (СС) между КА и КИС. Будем считать, что при составлении расписания каждой заявке для проведения соответствующего СС полностью выделяется одна из ЗРВ, каждая КИС в один момент времени может осуществлять СС только с одним КА. У каждой заявки есть некоторое множество ограничений, которым должна удовлетворять выделяемая для проведения СС ЗРВ. Это могут быть, например, временные рамки проведения СС, конкретные КИС, ограничение на длительность СС и т. д.
Таким образом, каждая заявка задается следующей информацией: порядковый номер заявки к, номер КА (п) и список ЗРВ, подходящих для выполнения данной заявки. ЗРВ называется подходящей для выполнения данной заявки (ЗВК), если она удовлетворяет заданным ограничениям.
ЗВКк = (п, Ок), Ок = {¿"и gкsк}, где sk - число ЗРВ, подходящих для к-й заявки; ¿к - ЗРВ, ] = 1.к.
Покажем, что в такой постановке задача составления расписания сеансов связи сводится к задаче выделения полного подграфа в некотором графе.
Рассмотрим множество О - дизъюнктное объединение множеств Ок. Дизъюнктность объединения означает, что даже если некоторые и к Ф к, совпадают как ЗРВ, они рассматриваются как разные элементы множества О.
Решетневскуе чтения. 2018
К-дольный граф задачи распределения средств управления КА
Между элементами множества О можно задать двоичное отношение совместимости, означающее, что одновременный выбор этих элементов (ЗРВ) для проведения сеансов связи не приведет к конфликту:
5(ё/, ё/) = 1, к ф к и соответствующие ЗРВ не конфликтуют;
5(ё/, ё/) = 0, к = к" или к ф к" и соответствующие ЗРВ конфликтуют.
При этом зоны ЗРВ,- и ЗРВ,- назовем конфликтующими, если выполнены условия:
Пг = П- ИЛИ Шг = т-
(Г4,, Гн,) П (Г4,, гнд ф.
Задача составления расписания сеансов связи, таким образом, сводится к выделению в каждом из подмножеств Ок единственного элемента ёок, т. е. выбору ЗРВ для удовлетворения к-й заявки на сеанс связи. Выбор должен быть осуществлен без конфликтов, т. е. для любых кфк\
§(ёок, ёок) = 1.
Заметим, что множество О с заданным на нем двоичным отношением 5 можно интерпретировать как простой неориентированный граф [3], т. е. неориентированный граф без петель и кратных ребер. Более того, граф О является К-дольным графом, т. е. может быть разбит на К непересекающихся независимых подмножеств (подграфов, внутри которых нет ни одного ребра). В такой постановке задача сводится к нахождению полного подграфа из К вершин в графе О. Иными словами, нахождение к-клики в К-дольном графе О, где К - клика, по определению, есть полный подграф (подграф, в котором каждая вершина соединена с каждой) из К вершин.
Поиск полного подграфа - КР-полная задача, поэтому помимо алгоритмов, позволяющих найти точное решение, имеет смысл рассматривать и эвристические алгоритмы [4-5], существенно ускоряющие процесс поиска ответа.
Таким образом, проведенные исследования позволяют использовать теорию графов при решении задачи распределения средств управления. Формализация задачи дает возможность учитывать любые средства управления при планировании сеансов связи. Для по-
строения плана задействования требуется только информация о совместимости и возможности проведения сеансов связи в конкретные моменты времени.
Библиографические ссылки
1. Макаров М., Медведев А. Наземные комплексы управления космическими аппаратами // Наука и технологии в промышленности. 2012. № 1. С. 9.
2. Мальцев Г., Стогов Г., Терехов А. Перспективы создания комплексов управления космическими аппаратами на базе ключевых технологий // Информационно-управляющие системы. 2006. № 5.
3. Харари Ф. Теория графов. М. : Мир, 1973.
4. Bron C., Kerbosch J. Algorithm 457: finding all cliques of an undirected graph // Communications of the ACM. 1973. Т. 16, № 9. С. 575-577.
5. Tomita E., Tanaka A., Takahashi H. The worst-case time complexity for generating all maximal cliques and computational experiments // Theoretical Computer Science. 2006. Т. 363, № 1. С. 28-42.
References
1. Makarov M., Medvedev A. Nazemnye kompleksy upravleniya kosmicheskimi apparatami [Ground control systems for space vehicles]. Science and Technology in Industry, 2012. № 1. Р. 9.
2. Malcev G., Stogov G., Terekhov A. Perspektivy sozdaniya kompleksov upravleniya kosmicheskimi apparatami na baze klyuchevyh tekhnologij [Prospects for creating control systems for space vehicles based on key technologies]. Information-control systems, 2006. № 5.
3. Harari F. Teoriya grafov [Graph Theory]. М. : Publishing house Mir, 1973.
4. Bron C., Kerbosch J. Algorithm 457: finding all cliques of an undirected graph. Communications of the ACM. 1973. Т. 16, № 9. Р. 575-577.
5. Tomita E., Tanaka A., Takahashi H. The worst-case time complexity for generating all maximal cliques and computational experiments. Theoretical Computer Science. 2006. Vol. 363, № 1. P. 28-42.
© Баранова И. С., Кусова В. Р., Манушичев С. Ю., Овечко В. М., 2018
