CC BY
157
УДК 621.314.5
В. Г. Макаров
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ К МОДЕЛИРОВАНИЮ
СТАТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Ключевые слова: теория графов, преобразование электрической энергии, математическое моделирование.
С помощью математического аппарата теории графов построено дерево полюсного графа статического преобразователя электрической энергии. Записаны матрицы полюсных напряжений и токов, получены полюсные уравнения преобразователя.
Keywords: graphs theory, electrical energy conversion, mathematical modeling.
With the help of mathematical apparatus of theory of graphs has been constructed the tree of the polar graph of the static converter of electric energy. Matrixes ofpolar pressure and currents are written down, the polar equations of the converter are received.
Введение
В практику исследования электрических цепей широко внедряются методы имитационного моделирования, отличительная особенность которых заключается в том, что на ЭВМ может быть возложено не только решение математической модели, но и формирование ее [1, 2]. Подобные методы позволяют обеспечить весьма существенную экономию времени и формализовать процесс записи уравнений. Основой таких методов может служить, например, теория графов. Теория графов позволяет без предварительных преобразований получить уравнения системы на основании матрично-топологических соотношений. Применение теории графов к анализу линейных электрических цепей рассматривается в [1, 3, 4]. Анализ электромеханических систем с помощью теории графов проводится в [4, 5].
Теоретические положения
Основой для математического анализа любого электротехнического устройства является электрическая цепь. Принципиальная схема электрической цепи вместе с математической моделью ее элементов несет в себе информацию, необходимую для анализа электромагнитных процессов, протекающих в электротехническом устройстве. Вне зависимости от принципиальной схемы любое электротехническое устройство можно представить в виде электрической цепи, состоящей из нескольких компонент.
Под компонентой электрической цепи понимают ее часть, выполненную в конструктивном отношении как единое целое, причем включение каждой компоненты в электрическую цепь осуществляется посредством ее полюсов, физически реализованных в виде выводов [6].
С позиций компонентного подхода, статический преобразователь электрической энергии можно представить в виде электрической цепи, состоящей из трех компонент:
1) преобразователь параметров электрической энергии (ПЭЭ);
2) электрическая сеть с первичными параметрами электрической энергии (ЭС1);
3) электрическая сеть с вторичными параметрами электрической энергии (ЭС2).
Электрические сети могут быть связанными или несвязанными. В связанных электрических сетях имеется путь для протекания тока, минуя преобразователь, по нейтральному проводу (О1-О2). В несвязанных электрических сетях преобразователь является проходной компонентой электрической цепи, так как множество полюсов преобразователя разбивается на два не пересекающихся подмножества, в пределах которых полюсные токи удовлетворяют первому закону Кирхгофа. В этом случае преобразователь, как проходная компонента электрической цепи, содержит два канала. Первый канал образован множеством полюсов A1.. .N1,
связанных с первичной сетью, а второй канал образован множеством полюсов Л2...М2, связанных с вторичной сетью (рис. 1).
ЭС 1 пээ М2 ЭС2
• А1 \Л2
01 02
Рис. 1 - Преобразователь электрической энергии с точки зрения компонентного подхода
Рассмотрим основные положения теории графов.
Графом называют совокупность узлов и соединяющих их ветвей.
Каждый граф характеризуется своей топологией, то есть информацией о том, какими ветвями связаны друг с другом отдельные узлы графа и какова проводимость (передача) каждой ветви. Граф представляет собой абстрагированную форму эквивалентной схемы электротехнического устройства.
Теория графов - это учение об общих топологических свойствах графов и вытекающих из них методах расчета.
Первые работы по исследованию топологических свойств электрических цепей путем использования свойств матриц относят еще к временам Кирхгофа и Максвелла.
На рис. 2 представлено дерево полюсного графа преобразователя для случая связанных электрических сетей.
01 02
Рис. 2 - Дерево полюсного графа преобразователя электрической энергии
Определение матрично-топологических соотношений между параметрами электрической энергии преобразователей позволяет формализовать процесс записи уравнений электрического состояния, что снижает трудоемкость подготовительных операций на этапе создания математической модели.
Формализация процесса записи уравнений состоит в следующем. Известные методы расчета сложных цепей - метод контурных токов и метод узловых напряжений - требуют умения выбирать независимые контуры или напряжения между узлами. Теория графов позволяет, без предварительных преобразований, получить уравнения системы на основании матрично-топологических соотношений.
Предварительный анализ топологических матриц позволяет выявить возможности расчленения исходной системы уравнений на подсистемы, при условии их независимого решения и удобства использования для нахождения решения исходной системы. Такой подход к задаче анализа электрических систем характерен для методов диакоптики, основанных на расчленении искомой задачи анализа на более простые.
Проведенный анализ показывает: выявление матрично-топологических соотношений позволяет формально подойти к процессу записи уравнений состояния электрических цепей; применение теории графов позволяет выявить эти соотношения достаточно четко.
Под математической моделью преобразователя, как компоненты электрической цепи, понимают систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных все независимые величины, и позволяющую, в случае заданных законов изменения одной половины независимых величин каждого канала, определять аналогичные законы, относящиеся к другой половине этих величин. Следовательно, математическая модель преобразователя должна состоять из взаимно независимых уравнений, число которых равно числу независимых полюсов.
Из общего количества полюсных токов только (т +1 - к) являются независимыми, где т - число полюсов компоненты преобразователя, к - число каналов компоненты преобразователя. Считая зависимым полюс О2, приходим к следующей системе независимых полюсных токов (токов ветвей графа):
Ил ]
'01 1А1 'Б1 '01 'N1 А2 Б2 02 М2
где - знак транспонирования матрицы.
Принимая в качестве исходной радиальную систему независимых напряжений, измеренных относительно зависимого полюса О2, имеем следующую систему полюсных напряжений (напряжений ветвей графа):
и ] , ^ ^ ^ ^ ^ т
с о с 1 с 1 с 1 и№1 иА2 иБ2 и02 иМ2
В дальнейшем радиальную систему полюсных напряжений будем называть системой фазных напряжений преобразователя.
Математическая модель преобразователя формируется на базе выбранной системы независимых величин. С практической точки зрения, предпочтение следует отдавать радиальной системе, соответствующей деревьям в структурных графах отдельных каналов, и образованной в каждом таком графе ребрами, имеющими одну общую вершину. Особенно удобной оказывается радиальная система, отличающаяся тем, что в качестве базисной вершины в графах сторон всех каналов выбраны вершины, соответствующие зависимым полюсам. Такую систему принято называть нормализованной. Практическое удобство нормализованной системы независимых переменных состоит в том, что она может быть выбрана для всех без исключения компонент электрической цепи независимо от их внутреннего строения. Выбранную по тем или иным соображениям систему независимых переменных отображают с помощью полюсного графа. Обычно система независимых величин компоненты, как база для составления ее математической модели, выбирается с учетом удобства формирования системы уравнений.
Полюсный граф, являясь деревом структурного графа, несет в себе информацию о системе независимых (внешних) переменных и используется для записи полюсных уравнений преобразователя [6].
Полюсные уравнения преобразователя можно записать в различных формах, однако наибольший интерес имеют только две. Если известными величинами являются полюсные напряжения, то в данном случае полюсные уравнения должны быть записаны в явной форме относительно этих напряжений
]]= 1Уп К],
где [л ] - матрица полюсных проводимостей преобразователя.
Если известными величинами являются полюсные токи, то в данном случае полюсные уравнения должны быть записаны относительно этих токов
и ] = [ л 11л ],
где [л ] - матрица полюсных сопротивлений преобразователя.
Следует отметить, что матрица К ] записывается при условии, что источники тока работают в режиме короткого замыкания, а матрица [7л ] - при условии, что источники напряжения работают в режиме холостого хода.
При этом матрицы [л ] и [7л ] являются диагональными:
N с а СО у 1 01 у 1 А1 у 1 В1 у 1 N1 сч >-« у 1 В2 2 >-° 2 >-у
[ п ]=с'ад 201 2А1 2В1 2С1 2Ы1 2А2 2В2 2С2 2М2
где сЛад означает, что элементы матрицы расположены на главной диагонали.
Кроме независимых величин компоненты (внешних переменных) в уравнения ее математической модели могут входить и другие неизвестные - внутренние переменные, функционально связанные с внешними переменными. В этом случае система независимых уравнений, составленная относительно внешних переменных, должна быть дополнена до числа внутренних переменных, содержащихся в данной модели. В оптимальном случае, с точки зрения компактности, в математической модели компоненты должны содержаться только внешние переменные и отсутствовать какие-либо внутренние переменные. При таких условиях число уравнений математической модели минимально и равно числу независимых полюсов компоненты.
Кроме системы внешних переменных (полюсных токов и напряжений), являющихся токами и напряжениями ветвей дерева полюсного графа, для описания электромагнитных процессов в преобразователе необходимо выбрать систему внутренних переменных (токи и напряжения хорд структурного графа). Вид уравнений, составляющих математическую модель компоненты электрической цепи, определяется в результате детального изучения внутреннего строения самой компоненты и характера происходящих в ней электромагнитных процессов.
Особую значимость математические модели статических преобразователей электрической энергии имеют при анализе и синтезе систем автоматизированного электропривода переменного тока [7], неотъемлемой частью которых являются преобразователи частоты [8].
Выводы
1. Полюсный граф статического преобразователя электрической энергии целесообразно строить на основе компонентного подхода, отдавая предпочтение радиальной системе независимых (внешних) переменных.
2. Математическая модель преобразователя формируется на основе полюсного графа, который несет в себе информацию о системе независимых переменных и используется для записи полюсных уравнений преобразователя.
3. Для описания электромагнитных процессов в преобразователе необходимо выбрать систему внутренних переменных. В этом случае система независимых уравнений, составленная относительно внешних переменных, должна быть дополнена до числа внутренних переменных, содержащихся в математической модели.
Литература
1. Демирчян, К. С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей / К. С. Демирчян, П. А. Бутырин. - М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.
2. Макаров, В. Г. Моделирование и исследование электроприводов. Замкнутые системы электропривода постоянного тока / В. Г. Макаров. - Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2008. - 244 с.
3. Нейман, Л. Р. Теоретические основы электротехники / Л. Р. Нейман, К. С. Демирчян. - Л.: Энергоиз-дат, 1981. - Т. 1. - 533 с.
4. Кениг, Г. Теория электромеханических систем / Г. Кениг, В. Блекуэлл. - М.: Энергия, 1965. - 424 с.
5. Плахтына, Е. Г. Математическое моделирование электромашинно-вентильных систем / Е. Г. Плах-тына. - Львов: Высшая школа, 1986. - 164 с.
6. Сигорский, В.П. Математический аппарат инженера / В. П. Сигорский. - Киев: Техника, 1975. - 768 с.
7. Макаров, В.Г. Анализ современного состояния теории и практики асинхронного электропривода / В. Г. Макаров // Вестник Казан. технол. ун-та.- 2011. - Т. 14, № 6. - С. 109 - 120.
8. Макаров, В.Г. Актуальные проблемы асинхронного электропривода и методы их решения / В. Г. Макаров // Вестник Казан. технол. ун-та.- 2011. - Т. 14, № 6. - С. 79 - 93.
© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, electroprivod@list.ru.
