CC BY
4
Применение технологии СиВЛ для распараллеливания процессов вычислений при расчете устойчивости оболочечных
конструкций
Н. А. Мишуренко, А. А. Семенов Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
Санкт-Петербург, Россия [email protected], sw. [email protected]
Аннотация. Проведен анализ эффективности применения технологии CUDA при расчете устойчивости оболочечных конструкций методом Ритца и методом Ньютона в математическом пакете Maple с точки зрения сокращения временных затрат на осуществление решения одной задачи. При этом в ходе решения задачи определялось время, затраченное для выполнения отдельных участков алгоритма. В результате получена количественная оценка влияния применения технологии CUDA на производительность решения подобных задач в ПО Maple.
Ключевые слова: оболочечные конструкции, устойчивость, распараллеливание вычислений, CUDA, метод Ритца, метод Ньютона.
Оболочечные конструкции получили широкое распространение в различных областях промышленности: кос-мостроении, авиастроении, судостроении, строительстве, гидротехнике, атомной энергетике, в результате чего продолжается развитие основанной в XX веке нелинейной теории расчета оболочечных конструкций [1-4].
Для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочечных конструкций применяются различные методы, среди которых можно выделить метод конечного элемента (МКЭ) [5-8]. В работах [8, 9] отмечается, что МКЭ имеет ряд недостатков, которые усложняют процесс исследования НДС оболочечных конструкций. Следует отметить, что отдельные недостатки возможно устранить путем модернизации МКЭ [8]. Однако данные модернизации зачастую не подходят для решения широкого спектра задач, в связи с чем возникает необходимость в применении других методов. Одним из наиболее распространенных является метод Ритца (включая различные его модификации) [10-13].
При этом для исследований оболочечных конструкций, проявляющих в процессе деформирования нелинейные эффекты (геометрическая и физическая нелинейности, ползучесть), а также имеющих подкрепление ребрами жесткости [14-16]. или ослабление отверстиями [16, 17], для использования метода Ритца требуется разработка специализированного высокопроизводительного программного обеспечения.
Основой подобного рода программного обеспечения является математическая модель, описывающая поведение объекта. В данной работе рассматривается математическая
модель Тимошенко — Рейснера, учитывающая геометрическую нелинейность, поперечные сдвиги, ортотропию материала, подкрепление ребрами жесткости, ослабления отверстиями. Данная модель представлена в виде функционала полной потенциальной энергии деформации:
Es = Е0 + Е* + EJ, (1)
где Е0, , — функционалы полной потенциальной энергии деформации обшивки, ребер жесткости и зон ослаблений соответственно. Подробно составляющие функционала полной потенциальной энергии представлены в [14-16].
В модели Тимошенко — Рейснера неизвестными являются три функции перемещений U = U(x, y), V = V(x, y), W = W(x, y) и две функции углов поворота нормали в плоскостях xOz, yOz: ¥x(x, y), ¥y(x, y).
Рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны под действием статического нагружения. Геометрический вид данных конструкций характеризуется параметрами Ляме A = B = 1и радиусами главных кривизн вдоль координат x и y: R1 = const, R2 = const.
Анализ устойчивости оболочечных конструкций сводится к нахождению минимума функционала. Численное решение вариационной задачи по нахождению минимума функционала при использовании метода Ритца сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Для ее получения неизвестные функции представляются в виде
Jn Jn
U = U(x, у) = YYUklX*Y1'
к = 11 = 1
Jn Jn
V = V(x, у) = YYVklX*Y2 '
k=11=1
Jn Jn
w = W(x, y) = Y Y WklX3 Y3'
k=1 1=1
Jn Jn
^x = ^x (x, y) = YY ^^ Y4'
k=11=1
4n 4n
= (x, y) = ££ V
yk yl уЫЛ5 r5 ■
k=11=1
В данной работе рассматриваются пологие оболочки двоякой кривизны, шарнирно-неподвижно закрепленные по контуру, тогда аппроксимирующие функции имеют следующий вид:
X?
I х — ал\ ,
= sin [2кк-1 ), Y.1 =
V а — ал)
sin
(21
1)п %
X? = sin ( (2k — 1)п"
a — a-.
2 = sin [21% ,
= sin ((2k — 1)п
X4t = cos
= sin
(2k — 1)п
(2k — 1)п
а — -а-)
X — V
а —
X — а-
= sin ((21 — 1)< ) ,(2)
а — ал
Yi = sin
Yi = cos
(21
(21
1)п % -1)п %
После подстановки (2) в функционал (1), нахождения производных и приравнивания к нулю получена система нелинейных алгебраических уравнений, которая подробно представлена в работах [18, 19].
Решение СНАУ осуществляется методом Ньютона. Система решалась последовательно при разном значении нагрузки (при этом в начале каждой итерации значение функций перемещений и углов поворота принималось равным значениям, полученным в ходе предыдущей итерации). Шаг по нагрузке принят постоянным. Условие остановки итерации:
Х„ - Хп-1 < 0,00005.
Исполнение представленного алгоритма осуществлено в математическом пакете Maple. Для исследования оболо-чечных конструкций требуется большая вычислительная мощность [15], что занимает много времени при решении одной задачи [9], однако Maple позволяет осуществлять распараллеливание процессов вычислений посредством интегрированной технологии CUDA, разработанной NVIDIA Corporation.
Для осуществления вычислительного эксперимента использован компьютер на базе процессора AMD Ryzen 7 3750H c 64 Гб ОЗУ, c дискретной видеокартой NVIDIA GeForce GTX1650, операционная система Windows 10.
Проведены расчеты пологой оболочки двоякой кривизны со следующими геометрическими параметрами: a = b =10,8 м; Ri = R2 = 40,05 м; h = 0,09 м. Материал — сталь (Щ2 = Ц21 = ц = 0,3; Ei = E2 = E = 2,1 x 105 МПа). Параметры ребер жесткости: ширина ri = rj = 2h = 0,18 м; высота hi = hj = 3h = 0,27 м. Параметры ослаблений: ширина va = 0,1a = 1,08 м; vp = 0,1b = 1,08 м; высота hae = h = 0,09 м.
Количество ребер жесткости и ослаблений принято одинаковым в обоих направлениях и для каждого нового варианта расчета увеличивается на 2.
Нагрузка статическая, равномерно распределенная в интервале от 0 до 3 МПа с шагом 0,01 МПа.
Расчеты выполнены с использованием и без использования технологии CUDA. Длительность вычислений представлена в таблице 1. Продолжительность расчетов отслеживалась в Maple с помощью встроенной функции time.
Таблица 1
Длительность решения системы уравнений методом Ньютона, с
Количество ребер и ослаблений 0x0 2x2 4x4 6x6 8x8
N = 9
Без технологии CUDA 682,937 1 078,400 1 479,344 1 606,969 1 709,110
С технологией CUDA 610,594 991,700 1 381,438 1 525,703 1 683,297
N = 16
Без технологии CUDA 9 147,360 15 189,610 15 995,110 18 736,780 26 359,380
С технологией CUDA 9 118,156 14 108,810 15 526,890 18 614,890 26 147,440
Сравнительно небольшая разница в получаемых значениях здесь может быть объяснена малым количеством функций, распараллеливание которых на видеокартах предусмотрено в Maple. В частности, предусмотрено автоматическое распараллеливание функций библиотеки линейной алгебры, которые используются при реализации метода Ньютона.
Таким образом, можно сделать вывод о возможности сокращения времени выполнения расчетов оболочечных конструкций в Maple за счет применения технологии CUDA в части решения СНАУ методом Ньютона на 8 %.
.HMTEPATYPA
1. Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis with Peri-dynamic Model for Crack Simulation of Shell Structure / Y. Xia, H. Wang, G. Zheng, [et al.] // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2022. Vol. 398. Art. No. 115193. DOI: 10.1016/j.cma.2022.115193.
2. Phase-Field Modelling of Brittle Fracture along the Thickness Direction of Plates and Shells / M. Ambati, J. Heinzmann, M. Seiler, M. Kästner // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2022. Vol. 123, Is. 17. Pp. 40944118. DOI: 10.1002/nme.7001.
3. Gokyer, Y. Topology Optimization of Cylindrical Shells with Cutouts for Maximum Buckling Strength / Y. Gokyer, F. O. Sonmez // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 2023. Vol. 45, Is. 1. Art. No. 13. DOI: 10.1007/s40430-022-03941-w.
4. Li, Z. Influence of Geometric Imperfections on the Axially Loaded Composite Conical Shells with and Without Cutout / Z. Li, Y. Cao, G. Pan // AIP Advances. 2020. Vol. 10, Is. 9. Art. No. 095106. 10 p. DOI: 10.1063/5.0021103.
5. Investigation of Buckling Behavior of Composite Shell Structures with Cutouts / M. A. Arbelo, A. Herrmann, S. G. P. Castro, [et al.] // Applied Composite Materials. 2015. Vol. 22, Is. 6. Pp. 623-636. DOI: 10.1007/s10443-014-9428-x.
6. Shahani, A. R. Numerical and Experimental Investigation on Post-Buckling Behavior of Stiffened Cylindrical Shells with Cutout subject to Uniform Axial Compression / A. R. Shahani, F. Kiarasi // Journal of Applied and Computational Mechanics. 2022. 20 p. DOI: 10.22055/jacm.2021.33649.2261.
7. Groh, R. M. J. Nonlinear Buckling and Postbuckling Analysis of Tow-Steered Composite Cylinders with Cutouts / R. M. J. Groh, K. C. Wu // AIAA Journal. 2022. Vol. 60, No. 9. Pp. 5533-5546. DOI: 10.2514/1.J061755.
8. Хайруллин, Ф. С. Расчет ортотропных конструкций вариационным методом на основе трехмерных функций с конечными носителями / Ф. С. Хайруллин, О. М. Сахбиев // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 2. С. 195-207. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.11.
9. Згода, Ю. Н. Высокопроизводительный расчет тонкостенных оболочечных конструкций с использованием параллельных вычислений и графических ускорителей / Ю. Н. Згода, А. А. Семенов // Вычислительные технологии. 2022. Т. 27, № 6. С. 45-57. DOI: 10.25743/ICT.2022.27.6.005.
10. Jacobi-Ritz Method for Free Vibration Analysis of Uniform and Stepped Circular Cylindrical Shells with Arbitrary Boundary Conditions: A Unified Formulation / H. Li, F. Pang, X. Miao, Y. Li // Computers and Mathematics with Applications. 2019. Vol. 77, Is. 2. Pp. 427-440.
DOI: 10.1016/j.camwa.2018.09.046.
11. A Semi Analytical Method for the Free Vibration of Doubly-Curved Shells of Revolution / F. Pang, H. Li, X. Wang, [et al.] // Computers and Mathematics with Applications. 2018. Vol. 75, Is. 9. Pp. 3249-3268.
DOI: 10.1016/j.camwa.2018.01.045.
12. Free Vibrations of Composite Laminated Doubly-Curved Shells and Panels of Revolution with General Elastic Restraints / Q. Wang, D. Shi, Q. Liang, F. Pang // Applied Mathematical Modelling. 2017. Vol. 46. Pp. 227-262.
DOI: 10.1016/j.apm.2017.01.070.
13. Vibration of Cylindrical Shells with Embedded Annular Acoustic Black Holes Using the Rayleigh-Ritz Method with Gaussian Basis Functions / J. Deng, O. Guasch, L. Maxit, L. Zheng // Mechanical Systems and Signal Processing. 2021. Vol. 150. Art. No. 107225.
DOI: 10.1016/j.ymssp.2020.107225.
14. Karpov, V. V. Refined Model of Stiffened Shells / V. V. Karpov, A. A. Semenov // International Journal of Solids and Structures. 2020. Vol. 199. Pp. 43-56.
DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.03.019.
15. Устойчивость цилиндрических панелей, подкрепленных ортогональной сеткой ребер / А. А. Семенов, Л. П. Москаленко, В. В. Карпов, М. В. Сухотерин // Вестник гражданских инженеров. 2020. № 6 (83). С. 117-125.
DOI: 10.23968/1999-5571-2020-17-6-117-125.
16. Karpov, V. V. Models of the Shells Having Ribs, Reinforcement Plates and Cutouts // International Journal of Solids and Structures. 2018. Vol. 146. Pp. 117-135.
DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2018.03.024.
17. Каменев, И. В. Обоснование использования метода конструктивной анизотропии при расчете пологих оболочек двоякой кривизны, ослабленных вырезами / И. В. Каменев, А. А. Семенов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2016. № 2. С. 54-68.
DOI: 10.15593/perm.mech/2016.2.05.
18. Карпов, В. В. Прочность и устойчивость подкрепленных оболочек вращения: в 2 ч. Ч. 1. Модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости подкрепленных оболочек вращения. — Москва: Физматлит, 2010. — 286 с.
19. Карпов, В. В. Математические модели и алгоритмы исследования прочности и устойчивости оболочечных конструкций / В. В. Карпов, А. А. Семенов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2017. Т. 20, № 1 (69). С. 53-65. DOI: 10.17377/SIBJIM.2017.20.106.
Application of CUDA Technology for Parallelization of Computational Processes in the Calculation of the Buckling of Shell Structures
N. A. Mishurenko, A. A. Semenov Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering Saint Petersburg, Russia [email protected], sw. [email protected]
Abstract. The analyses of the effectiveness of using CUDA technology in calculating the buckling of shell structures by the Ritz method and the Newton method in the Maple mathematical package in terms of reducing the time spent on solving one problem is carried out. At the same time, in the course of solving the problem, the time spent to execute individual sections of the algorithm was determined. As a result, a quantitative assessment of the impact of using CUDA technology on the performance of solving such problems in Maple software was obtained.
Keywords: shell structures, buckling, parallelization of computations, CUDA, Ritz method, Newton method.
References
1. Xia Y., Wang H., Zheng G, et al. Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis with Peridynamic Model for Crack Simulation of Shell Structure, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2022, Vol. 398, Art. No. 115193. DOI: 10.1016/j.cma.2022.115193.
2. Ambati M., Heinzmann J., Seiler M., Kästner M. Phase-Field Modelling of Brittle Fracture along the Thickness Direction of Plates and Shells, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2022, Vol. 123, Is. 17, Pp. 4094-4118. DOI: 10.1002/nme.7001.
3. Gokyer Y., Sonmez F. O. Topology Optimization of Cylindrical Shells with Cutouts for Maximum Buckling Strength, Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2023, Vol. 45, Is. 1, Art. No. 13.
DOI: 10.1007/s40430-022-03941-w.
4. Li Z., Cao Y., Pan G. Influence of Geometric Imperfections on the Axially Loaded Composite Conical Shells with and Without Cutout, AIP Advances, 2020, Vol. 10, Is. 9, Art. No. 095106, 10 p. DOI: 10.1063/5.0021103.
5. Arbelo M. A., Herrmann A., Castro S. G. P., et al. Investigation of Buckling Behavior of Composite Shell Structures with Cutouts, Applied Composite Materials, 2015, Vol. 22, Is. 6, Pp. 623-636. DOI: 10.1007/s10443-014-9428-x.
6. Shahani A. R., Kiarasi F. Numerical and Experimental Investigation on Post-Buckling Behavior of Stiffened Cylindrical Shells with Cutout subject to Uniform Axial Compression, Journal of Applied and Computational Mechanics, 2022, 20 p. DOI: 10.22055/jacm.2021.33649.2261.
7. Groh R. M. J., Wu K. C. Nonlinear Buckling and Post-buckling Analysis of Tow-Steered Composite Cylinders with Cutouts, AIAA Journal, 2022, Vol. 60, No. 9, Pp. 5533-5546. DOI: 10.2514/1.J061755.
8. Khayrullin F. S., Sakhbiev O. M. Computing Orthotopic Constructions Using the Variation Method Based on Three-Dimensional Functions with Final Carriers [Raschet ortotropnykh konstruktsiy variatsionnym metodom na osnove trekhmernykh funktsiy s konechnymi nositelyami], PNRPUMechanics Bulletin [Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika], 2017, No 2, Pp. 195-207. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.11.
9. Zgoda I. N., Semenov A.A. High Performance Computation of Thin Shell Constructions with the Use of Parallel Computations and GPUs [Vysokoproizvoditelnyy raschet tonkostennykh obolochechnykh konstruktsiy s ispolzovaniem parallelnykh vychisleniy i graficheskikh uskoriteley], Computational Technologies [Vychislitelnye tekhnologii], 2022, Vol. 27, No 6, Pp. 45-57. DOI: 10.25743/ICT.2022.27.6.005.
10. Li H., Pang F., Miao X., Li Y. Jacobi-Ritz Method for Free Vibration Analysis of Uniform and Stepped Circular Cylindrical Shells with Arbitrary Boundary Conditions: A Unified Formulation, Computers and Mathematics with Applications,
2019, Vol. 77, Is. 2, Pp. 427-440. DOI: 10.1016/j.camwa.2018.09.046.
11. Pang F., Li H., Wang X., et al. A Semi Analytical Method for the Free Vibration of Doubly-Curved Shells of Revolution, Computers and Mathematics with Applications, 2018, Vol. 75, Is. 9, Pp. 3249-3268.
DOI: 10.1016/j.camwa.2018.01.045.
12. Wang Q., Shi D., Liang Q., Pang F. Free Vibrations of Composite Laminated Doubly-Curved Shells and Panels of Revolution with General Elastic Restraints, Applied Mathematical Modelling, 2017, Vol. 46, Pp. 227-262.
DOI: 10.1016/j.apm.2017.01.070.
13. Deng J., Guasch O., Maxit L., Zheng L. Vibration of Cylindrical Shells with Embedded Annular Acoustic Black Holes Using the Rayleigh-Ritz Method with Gaussian Basis Functions, Mechanical Systems and Signal Processing, 2021, Vol. 150, Art. No. 107225.
DOI: 10.1016/j.ymssp.2020.107225.
14. Karpov V. V., Semenov A. A. Refined Model of Stiffened Shells, International Journal of Solids and Structures,
2020, Vol. 199, Pp. 43-56.
DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2020.03.019.
15. Semenov A. A., Moskalenko L. P., Karpov V. V., Su-khoterin M. V. Buckling of Cylindrical Panels Strengthened with an Orthogonal Grid of Stiffeners [Ustoychivost
HHmenneKmyanbHbie техноnогии Ha mpaHcnopme. 2023. № S1. Cne^bmycK. MMIS-2023
51
tsilindricheskikh paneley, podkreplennykh ortogonalnoy setkoy reber], Bulletin of Civil Engineers [Vestnik grazhdan-skikh inzhenerov], 2020, No. 6 (83), Pp. 117-125. DOI: 10.23968/1999-5571-2020-17-6-117-125.
16. Karpov V. V. Models of the Shells Having Ribs, Reinforcement Plates and Cutouts, International Journal of Solids and Structures, 2018, Vol. 146, Pp. 117-135.
DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2018.03.024.
17. Kamenev I. V., Semenov A. A. Rationale of the Use of the Constructive Anisotropy Method in the Calculation of Shallow Shells of Double Curvature, Weakened Holes [Obosno-vanie ispolzovaniya metoda konstruktivnoy anizotropii pri raschete pologikh obolochek dvoyakoy krivizny, oslablennykh vyrezami], PNRPU Mechanics Bulletin [Vestnik Permskogo natsionalnogo issledovatelskogo politekhnicheskogo universi-teta. Mekhanika], 2016, No. 2, Pp. 54-68.
DOI: 10.15593/perm.mech/2016.2.05.
18. Karpov V. V. The strength and stability of reinforced shells of revolution: In 2 parts. Part 1. Models and algorithms of research of the strength and stability of supported shells of revolution [Prochnost i ustoychivost podkreplennykh ob-olochek vrashcheniya: v 2 chastyakh. Chast 1. Modeli i algo-ritmy issledovaniya prochnosti i ustoychivosti podkreplen-nykh obolochek vrashcheniya]. Moscow, Fizmatlit Publishing House, 2010, 286 p.
19. Karpov V. V., Semenov A. A. Mathematical Models and Algorithms for Studying Strength and Stability of Shell Structures [Matematicheskie modeli i algoritmy issledovaniya prochnosti i ustoychivosti obolochechnykh konstruktsiy], Sibir-skij zurnal industrial'noj matematiki [Sibirskiy zhurnal indus-trialnoy matematiki], 2017, Vol. 20, No. 1 (69), Pp. 53-65. DOI: 10.17377/SIBJIM.2017.20.106.
HHmenneKmyaMbHue техноnогии Ha mpaHcnopme. 2023. № S1. Cne^bmycK. MMIS-2023
52
