Применение стохастических кооперативных игр при обосновании инвестиционных проектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 5

Вып. 4

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.85

П. В. Конюховский

ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ КООПЕРАТИВНЫХ ИГР ПРИ ОБОСНОВАНИИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

В условиях современной экономической ситуации все большую актуальность приобретают исследования, посвященные закономерностям возникновения и последующего развития инвестиционных проектов, предполагающих вложения значительных финансовых и материальных ресурсов. Такие проекты нередко характеризуются достаточно разнообразным составом участников как по масштабам, так и по организационно-правовым формам.

Особое значение за последние годы приобрели проекты, реализуемые в рамках отношений государственного и частного партнерства, а также крупные межгосударственные проекты, предполагающие привлечение разнообразных и разноплановых инвесторов. В традиционных «классических» исследованиях в области инвестиций внимание в первую очередь фокусируется на проблемах их оценивания, а также на вопросах учета факторов риска и неопределенности, объективно существующих на всех стадиях реализации серьезных инвестиционных проектов (мероприятий).

В то же время достаточно интересным для научных исследований является изучение кооперативных эффектов, неизбежно возникающих при формировании и последующем развитии коалиций инвесторов — особенно в тех ситуациях, когда участники данных коалиций имеют отличия не только по организационным или имущественным параметрам, но и по объективно присущим им системам экономических интересов.

В этих случаях весьма актуальными являются математические модели и методы, которые предоставляют возможности для анализа закономерностей возникновения объединений (коалиций) инвесторов.

Достаточно естественной и органичной выглядит идея применения методов теории кооперативных игр в качестве инструментов решения данных задач. Упрощен-

Павел Владимирович КОНЮХОВСКИЙ — д-р экон. наук, профессор кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ В 1987 г. окончил экономический факультет Ленинградского государственного университета. Д-р экон. наук (2003 г.), профессор кафедры экономической кибернетики экономического факультета СПбГУ (2004 г.). Область научных интересов — теория игр, применение разностных уравнений в моделировании динамики экономических процессов, стохастические модели динамики финансово-экономических показателей. Автор 42 публикаций.

© П. В. Конюховский, 2012

но ситуацию, в рамках которой исследуются возможности объединения инвесторов с целью реализации некоторого крупного инвестиционного проекта, мы можем описать классической кооперативной игрой с трансферабельной полезностью (I, v), где v(i) — полезности (выигрыши, платежи), на которые могут рассчитывать отдельные игроки (i е 1...m) в ситуации, когда они пытаются действовать по отдельности; v(S) — полезности всевозможных коалиций игроков (S с 2I).

Традиционно для наименования значений характеристической функции кооперативной игры используются такие термины, как «платежи», «выигрыши», «полезности» («utilities»). В рамках предлагаемой модели под выигрышами (полезностями) игроков v(i) и коалиций v(S) мы будем понимать суммарные доходы от проектов, доступных им для реализации. При этом считается, что данные величины могут быть приведены к одному моменту времени и соотнесены с сопоставимыми временными периодами. Разумеется, если каким-либо коалициям доступны сразу несколько потенциальных проектов, то в процессе построения характеристической функции должен быть проведен содержательный анализ по выделению наиболее предпочтительного из них. По его параметрам и производится расчет значения характеристической функции v(S) .

Использование определения «крупный» в термине «крупный инвестиционный проект» объясняется, в первую очередь, желанием выделить необходимость объединения усилий всех субъектов рассматриваемой экономической подсистемы для его осуществления. Соответственно, в предлагаемой модели полезность полной («большой») коалиции v(I) из всех участников (I = {1...m}) совпадает с доходом от реализации данного проекта.

Среди «принципиальных» недостатков данной, безусловно, исключительно теоретичной, ограниченной и примитивной модели может быть особо выделена предпосылка о возможности представления доходов как отдельных участников, так и их разнообразных коалиций в виде детерминированных значений. Более правдоподобным, а следовательно, и более привлекательным выглядит допущение о том, что эти доходы являются случайными величинами v (S} с некоторыми известными функциями распределения:

F~ (s)(x) = P{~(s) < x}.

При этом мы приходим к необходимости модификации классических кооперативных игр в направлении учета фактора случайности в значениях их характеристических функций. Таким образом, под стохастической кооперативной игрой (СКИ) мы будем понимать пару множеств Г = (I, ~), где

I = {1...m} — множество участников;

~(S) — случайные величины, имеющие известные плотности распределения pv(s) (x) и интерпретируемые как доходы, получаемые соответствующими коалициями S с I.

В рамках настоящего подхода отдельный интерес представляют вопросы распространения на стохастические кооперативные игры таких понятий, как «супераддитивность», «выпуклость», «дележ», «решение», «ядро». Обратим внимание на то, что вопросы и задачи, связанные со стохастическими кооперативными играми, рассматрива-

лись, например, в работах [1-7]. Однако в рамках настоящей статьи термин «стохастические кооперативные игры» употребляется несколько в ином контексте.

Почти все учебники по кооперативным играм начинаются с определения свойства супераддитивности игр (см., напр. [1; 8; 9]). Под супераддитивными понимаются игры, в которых для любых коалиций 5 и T выполняется условие

v(S и Т) > v(S) + v(T).

Другими словами, доход (выигрыш) объединенной коалиции не хуже полезностей ее частей. Вполне естественными и логичными представляются попытки ввода аналогичного термина и для стохастических кооперативных игр. Здесь с учетом того обстоятельства, что ~(5) являются случайными величинами, мы получаем, по меньшей мере, два подхода к определению супераддитивности.

Первый из них основывается на использовании математических ожиданий величин ~(5). В соответствии с ним игра является супераддитивной, если в ней для любых коалиций 5, Т с I (5 п Т = 0) выполняется условие

E{V(S и Т)} > Ш^} + E{V(T)}. (1)

При такой трактовке супераддитивности происходит замена случайных значений характеристической функции V (5) на их математические ожидания E{v(S)}, что, по существу, означает возврат от стохастических кооперативных игр к традиционным детерминированным. Недостатки подобного подхода в первую очередь связаны с тем, что в общем случае математическое ожидание (взвешенное среднее) не является единственной характеристикой случайной величины.

С другой стороны, определение данного термина может быть основано не на математических ожиданиях, а на функциях распределения. При этом игра будет называться супераддитивной, если в ней с некоторой вероятностью а для любых коалиций

5,Т с I (5 п Т = 0) выполняется условие

P{v(S и Т) > V(S) + V(T)} >а. (2)

Игру будем называть строго супераддитивной, если для нее условие (2) выполняется при любых а.

Очевидно, что выполнение либо невыполнение условия супераддитивности (2) зависит от вида функций распределения случайных величин V(T), у(5 и Т).

В данной связи следует обратить внимание еще на одно существенное свойство стохастических кооперативных игр. Как известно, классическую кооперативную игру с трансферабельной полезностью называют несущественной, если в ней для любой коалиции 5 с I:

v(S) = Х v(i).

i€S

В то же время, когда значения характеристической функции игры V (0 являются случайными величинами с некоторыми функциями распределения Fv(i)(x), то даже их простое сложение приводит к появлению некоторой новой случайной величины

^¿esv (i) с собственной функцией распределения, возможно, достаточно сложно связанной с функциями распределения F~(¿)(x).

На общем уровне для стохастических кооперативных игр выделим следующие принципиальные ситуации, которые могут возникнуть при конструировании их характеристических функций:

• доходы коалиций S и T при их объединении в коалицию S u T являются некоторой новой случайной величиной v(S u T) с функцией распределения F~(sUT) (x), порождаемой «содержательной» спецификой моделируемой ситуации (аналогичную ситуацию мы имеем в случае классических кооперативных игр, когда значения v(S) и v(T), с одной стороны, и v(S u T), с другой, считаются экзогенными);

• доход объединенной коалиции S u T представляет собой сумму доходов коалиций S и T (ситуация, с содержательной точки зрения представляющая интерес исключительно в контексте кооперативных стохастических игр).

В дальнейшем, для того чтобы различать перечисленные типы характеристических функций, условимся доход объединенной коалиции в первом случае обозначать как v(S u T), а во втором — как ~ + (S u T).

Также необходимо отметить, что в ситуации суммирования доходов коалиций при объединении мы, опять-таки, получаем две качественно различные ситуации, а именно:

• случайные величины v(i) (индивидуальные доходы игроков) являются независимыми;

• случайные величины v(i) (индивидуальные доходы игроков) не являются независимыми.

Разумеется, нельзя исключать и возможность существования в игре на альтернативной основе обоих типов формирования коалиций: «полного» объединения, приводящего к качественно новой величине дохода ~(S u T), либо объединения на уровне договоренности о суммировании доходов v + (S u T). При этом возникает достаточно интересная задача сопоставления данных величин. В плане экономического содержания ее можно интерпретировать как проблему исследования целесообразной глубины слияния экономических субъектов, например, речь должна идти о полном поглощении одного предприятия другим либо просто о картельном соглашении между ними.

Рассмотрим более подробно специфику понятия супераддитивности (в смысле определения (2)) для стохастических кооперативных игр. Пусть некоторый игрок i в стохастической игре обладает индивидуальной полезностью (доходом) v(i), а игрок j — полезностью v(j). Тогда для кооперации типа «суммирование полезностей» проверка условия супераддитивности (2) при некотором уровне вероятности а сведется к сопоставлению суммы (1 - а) -квантилей случайных величин v(i) и v(j) с (1 - а) -квантилем случайной величины, представляющей собой сумму ~ + (i u j) = v(i) + ~(j). Введем обозначения

Vi-а (i) = F-1)(1 -а), F (i )(x) = P{V(i) < x}, (3)

Vi-а (j) = F-1)(1 -а), F( j )(x) = P{v( j) < x}, (4)

(i u j) = F;:o{j (1 - a), Fr {J (x) = P{V(i) + v( j) < x}.

(5)

В содержательном плане величина v1-a (i) представляет собой тот объем полезности, меньше которого игрок i не получит с вероятностью 1 - а (получает меньше с вероятностью а). Если использовать термины современного риск-менеджмента, то vi-a (i) представляет собой не что иное, как VaR (Value At Risk) стохастической величины полезности (дохода) i-го игрока (рис. 1).

Для иллюстрации возможных исследований супераддитивности в стохастических играх остановимся на некотором качественно важном частном случае, а именно рассмотрим игру, в которой доходы ~(г) являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону с параметрами т^ и о2 (~(г)е N(тг-,о2). Данное допущение вполне согласуется с объективными экономическими свойствами моделируемых величин, допустимые реализации которых мы можем описывать в виде симметричных интервалов ±3ог-, расположенных относительно некоторого ожидаемого среднего т1.

Очевидно, что параметры распределения случайной величины ~ + (I и )) определяются параметрами распределения ~(г) и ~(}). В случае нормально распределенных индивидуальных доходов мы имеем

vi-a (i) = mi + Gi • Ф 1(1 - a),

(6)

1 x

где Ф(х) =--I e 2 dt — интеграл Лапласа, соответственно функция распределения

О тг J

2п __

для v (i) может быть выражена как

FHi )(x) = Ф

( \ x - m.

V G У

(7)

При сделанных предположениях ~ + (г и )) также имеет нормальное распределение, а именно

У+ (г и }) еМ (тг + т) о? + о?). (8)

Тогда

У+-а (г и )) -(У1-а (0 + У1-а (})) =

= (тг +тЛ + ^/о? + о? -Ф-1(1 -а))-(тг + ог -Ф-1(1 -а) + ш} + оЛ -Ф-1(1 -а)) =

= (^2 + о?-(о, +Ол ))-Ф-1(1 -а). (9)

С учетом того, что ог > 0 и о^ > 0 , имеем

д/о? +о2 <Ог +0Л (10)

или

д/о? + о? - (о, + о л ) < 0. (11)

Таким образом, принимая во внимание, что Ф-1(1 -а)<0 при а> 0.5 и Ф-1(1 -а) > 0 при а< 0.5, получаем

v1+-а (г и )) > Ух-а (г) + Ух-а ()) при а> 0.5, (12)

v1+-а (г и }) < У1-а (г) + У1-а (Л при а< 0.5. (13)

Из условия (12), собственно говоря, и следует, что при выполнении гипотезы о распределении по нормальному закону индивидуальных доходов для игроков г и Л у них возникает объективная целесообразность кооперативного поведения в форме суммирования доходов (значений характеристической функции). Эффект от такого объединения (превышение VаR суммы доходов над суммой VaR-ов с уровнем вероятности а > 0.5 )

У+-а (г и Л - (( (0 + У1-а (Л) = ф-1 (1 -а) • Г^/о2 +о? - (о, + о Л )

(14)

Принимая во внимание, что величина Ф -а) для фиксированного уровня а является постоянной, мы приходим к тому, что в формуле (14) величина «эффекта суммирования доходов» определяется сомножителем .^о2 + о? - (о, +ол ), непосредственно зависящим от среднеквадратических отклонений о, , о л : при возраста-

нии ог и о у, так как Ф -а) < 0 при а> 0.5 (1 -а< 0.5), происходит возрастание (г и у) - (У1-а (г) + У1-а (у) .

Рассмотрим более подробно поведение сомножителя .^о2 + О^ - (Ог +Оу). График поверхности, соответствующей ему при ог,О. е [0,10], представлен на рис. 2.

Рис. 2. График поверхности ^о^То2-(ог +оу).

Представим о у = Хог. При этом без ограничения общности можно считать, что ог и о у выбираются таким образом, что ог < о у. Тогда выражение .^о2 +о 22 - (ог +о у) может быть представлено как функция от X:

Ф(Х) = о( •

л/Т+Х7 - (1+ Х)

(15)

При Х ^ ф(Х) ^ -ог, так как Нш

л/1 + Х2 -Х

= 0 . График функции ф(Х) при

ог = 1 представлен на рис. 3.

Таким образом, мы приходим к ряду существенных заключений относительно свойств стохастической кооперативной игры с нормально распределенными индивидуальными полезностями игроков.

Если руководствоваться критерием превышения VaR суммарной полезности над суммой VaR-ов индивидуальных полезностей, то игрок, чья стохастическая индивидуальная полезность V (у) характеризуется большим среднеквадратическим отклонением, вносит «больший вклад» в величину «эффекта сложения полезностей»:

<а 0 и )) (1-а (0 + П-а (])) '

- 0.2

- 0.4

Ф (X)

- 0.6

- 0.8

- 1

10 X

15

20

Рис. 3. График функции ф(Х) при о; = 1.

0

5

При возрастании дисперсий индивидуальных полезностей эффект от их суммирования будет снижаться и стремиться к предельному значению -Ф-1(1 -а)-Ог-, где О; = Шт{Ог, О ; }.

Несложно заметить, что предложенные подходы достаточно просто могут быть распространены на ситуации, при которых происходит суммирование полезностей произвольного количества игроков (5 с I):

~ + (5) = £ ~ (г).

ге5

При этом выражение для оценки эффекта от суммирования доходов приобретает

вид

.(5)-I у1-а (О = Ф-1(1 -а) -

ге5 г е5

(16)

Нельзя не признать, что значительная часть задач, возникающих при исследовании свойств стохастических кооперативных игр и их супераддитивности в смысле определения (2), в большей мере относится к теории вероятностей, чем к теории игр. Одновременно следует обратить внимание на то, что на настоящий момент существует относительно небольшое количество работ, посвященных проблемам соотношения

квантиля суммы случайных величин и суммы квантилей (среди них, в частности, могут быть названы статьи [10; 11]).

При рассмотрении вопроса о том, что следует понимать под решением стохастической кооперативной игры, мы приходим к необходимости определения понятия дележа для данного класса игр. Логичным и естественным с точки зрения подходов, примененных ранее, выглядит определение в качестве дележа в стохастической кооперативной игре вектора х(а)е Ят , удовлетворяющего условиям:

a) индивидуальной рациональности

Р{х,(а) >У(г)} >а (или х,(а)>^¿(а) = Уа(г)); (17)

b) групповой рациональности игроков

{т Л ( т ^

X х, (а) < У(1 )| > а ^или £ х, (а) < К-1) (а) = Уа (I) J. (18)

Заметим, что определение (17)—(18) можно трактовать как развитие «классических» определений дележей (см., напр. [1; 8; 9]). Обратим внимание на ряд его принципиальных особенностей. Условие (17) по существу означает, что полезность Х{, которую получает г-й игрок в соответствии с дележом х(а), должна быть не меньше его индивидуальной случайной полезности ~(г) с вероятностью не меньшей, чем а.

Таким образом, в соответствии с требованием индивидуальной рациональности дележи должны обеспечивать каждому пользователю полезность не меньшую, чем VaR полезности (для выбранного уровня вероятности а).

Условие (18) является обобщением условия групповой рациональности для классических кооперативных игр с трансферабельной полезностью. Как известно, в соответствии с ним дележ должен полностью распределять выигрыш полной («большой») коалиции:

¿х, = у(1 ).

¡=1

Тогда вполне логичной для случая стохастических игр выглядит трансформация данного условия в требование, в соответствии с которым суммарная полезность, распределяемая дележом, должна не превышать случайной величины выигрыша большой коалиции (с заданным уровнем вероятности а):

Р X, (а) < У(1 )|>а.

Далее для стохастической кооперативной игры представляется логичным и обоснованным вводить дележ относительно некоторого уровня вероятности а. Другими словами, вектор х(а1), являющийся дележом для уровня вероятности а1, вообще говоря, может не быть дележом для уровня а2 > а1.

Наконец, на стохастические кооперативные игры естественным образом могут быть распространены подходы к определению решений. В частности, под стохастическим С а -ядром будем понимать множество дележей:

Са (у) = {х е | У5 *0, I: Р{у(5) < х(5)} >а;

}(19)

.

В заключение дополнительно подчеркнем, что, несмотря на безусловно абстрактный характер стохастических кооперативных игр как математических объектов и на необходимость существенного упрощения исходных экономических процессов и явлений при построении моделей, использующих данный класс игр, они, на наш взгляд, обладают достаточно высоким прикладным потенциалом. В частности, применительно к сфере реализации крупномасштабных экономических проектов они позволяют находить объяснения причин возникновения у потенциальных участников предпочтений к возникновению одних коалиций и, наоборот, неприятия других объединений, альтернативных по критерию ожидаемого дохода.

Литература

1. Парилина Е. М. Устойчивая кооперация в стохастических играх // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2, вып. 3. С. 21-40.

2. Amir R. Stochastic games in economics: The lattice-theoretic approach / eds A. Neyman and S. Sorin // Stochastic Games and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2003. Vol. 570. Chapter 29. P. 443-453.

3. Baranova E. M., Petrosjan L. A. Cooperative Stochastic Games in Stationary Strategies // Game theory and Applications. Nova Science Publishers. 2006. Vol. 11. P. 7-17.

4. Dutta P. A Folk Theorem for Stochastic Games // Journal of Economic Theory. 1995. Vol. 66. P. 1-32.

5. Haller H., LagunoffR. Genericity and Markovian Behavior in Stochastic Games // Economet-rica. 2000. Vol. 68, N 5. P. 1231-1248.

6. Herings P.J.-J., Peeters R.J.A.P. Stationary Equlibria in Stochastic Games: Structure, Selection, and Computation // Journal of Economic Theory. 2004. Vol. 118, N 1. P. 32-60.

7. Yeung D. W. K., Petrosyan L. A. Cooperative Stochastic Differential Games. Springer, 2006.

8. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М., 1991.

9. Печерский С.Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. СПб.: Изд-во Европ. ун-та в С.-Петербурге, 2004.

10. Liu J., David H. A. Quantiles of Sums and Expected Values of Ordered Sums // Austral Journal Statist. 1989. Vol. 31 (3). P. 469-474.

11. Watson R., Gordon L. On Quantiles of Sums // Austral Journal Statist. 1986. Vol. 28 (2). P. 192199.

Статья поступила в редакцию 10 сентября 2012 г.