Применение специальной программы вычислений по методу Жордана-Гаусса в различных задачах математической экономики Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

66

Вестник Российского УНИВЕРСИТЕТА КООПЕРАЦИИ. 2015. №1(19)

УДК 330.4

ПРИМЕНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО МЕТОДУ ЖОРДАНА-ГАУССА В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

В.К. Краснов, А.Б. Пичужкин

Предлагается специальное программное приложение «Поиск решения» на языке программирования C#, позволяющее реализовать пошаговый симплекс-метод. Рассмотрен пример решения балансовой задачи с использованием данного приложения.

Ключевые слова: симплекс-метод; задача линейного программирования; балансовая задача; обратная матрица.

V.K. Krasnov, A.B. Pichuzhkin. APPLICATION OF A SPECIAL COMPUTING PROGRAM ACCORDING TO THE METHOD OF JORDAN-GAUSS IN VARIOUS PROBLEMS OF MATHEMATICAL ECONOMICS

Special software application «Finding a solution» in the programming language C#, allowing to realize incremental simplex method is offered. An example of the solution of a balance sheet problem using the application is considered.

Keywords: simplex method; linear programming problem; balance sheet problem; the inverse matrix.

Как известно, очень много задач математической экономики сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) или к задачам отыскания неизвестных в целевой линейной функции при наложении на них линейных ограничений в виде нестрогих неравенств. Последние из вышеупомянутых задач называются задачами линейного программирования (ЗЛ11). Как правило, ЗЛП сводятся к решению СЛАУ, в которой число неизвестных превышает число уравнений. Для дальнейшего применения симплекс-метода, в основу которого заложен метод Жордана-Гаусса, необходимо отыскание опорного базисного решения (решения с неотрицательными значениями переменных), которое, собственно, и позволяет применить классический симплекс-метод (см., напр., [1] и [2]). В своих ранних работах (см., напр., [3]) авторы реализовали эту идею. Было разработано программное приложение «Поиск решения» на языке программирования С# (средствами Microsoft Visual Studio), позволяющее реализовать пошаговый симплекс-метод. Пользователь на каждом шаге задаёт разрешающий элемент, а программа вычислений преобразует симплекс-матрицу. Таким образом, имеется возможность контроля процесса вычислений на каждом шаге. В работах [4] и [5] данное программное приложение было реализовано на примерах задач о диете, а также задач маркетинга. Преимущество данного подхода заключается в следующем:

- во-первых, применяется классический симплекс-метод, хорошо обоснованный теоре-

тически и поэтому способствующий правильному интерпретированию частных случаев решения задачи;

- во-вторых, наличие прозрачности вычислений, достигаемое средствами Microsoft Visual Studio, позволяет видеть «метаморфозы» решения задачи на каждом шаге.

Совсем другой аспект использования данного программного приложения заключается в его применении для решения балансовых задач. Основная задача балансовых исследований состоит в том, чтобы на базе данных об использовании баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период. Образуем следующее векторное тождество:

X-(X-Y)=Y. (1)

Будем снабжать верхним штрихом данные, относящиеся к истекшему периоду, т.е. x', y', x'ik по всем i,k= 1,n. Все они, как относящиеся к истекшему периоду, считаются известными. Для планируемого же периода заданными считаются координаты ассортиментного вектора Y. Используя эти известные величины совместно, требуется определить координаты планируемого валового вектора X и все составляющие внутреннего потребления xik. Введем в рассмотрение безразмерные величины aik, называемые технологическими коэффициентами, или коэффициентами прямых затрат. Они задаются соотношениями:

alk = Х (i,k = Vn) (2)

xk

Экономические науки

67

и определяют затраты г-й отрасли, используемые к-й отраслью. В основу возможности решения поставленной балансовой задачи заложено допущение о неизменности технологии на истекшем и планируемом этапах производства во всех п отраслях. Это дает основание записать следующие равенства:

X

х'

Отсюда следует

= —— = а к = const. х

(3)

Подставляя (3) в (1), получаем:

п

х1 - I а1кхк = У\

к=1

п

Х2 - I а2кХк = У2,

к=1

х -Ё ах = Уг,

(4)

к=1

хп~ п -I к=1 апкхк = Уп.

Все агк, рассчитанные по формуле (2), могут быть сведены в матрицу А размером (пх п) - так называемую матрицу прямых затрат, или технологическую матрицу:

( а и п а12 ^ а1к ■ ■ а1п ^

а21 а22 " ' а2к * а2п

А = а/1 а 2 - агк ■ ■ а гп

V ап1 ап2 — апк • а пп у

ленной. С помощью алгебры матриц ей можно придать компактное выражение. В самом деле, в матричном виде систему (4) можно представить так: Е X - АХ = У , или

(Еп - А)Х = У. Тогда решением СЛАУ (5) будет

X = (Еп - А)-1У = т.

(5)

(6)

И далее, используя соотношения (3), можно найти все хгк. Поставленная задача решена. Отметим, что соотношение (6) можно использовать для разных задаваемых Y. Рассмотрим простой случай, для п = 2, исходные данные по которому за истекший период представлены в таблице.

По данным этой таблицы подсчитаем коэффициенты прямых затрат:

= 0.2;

100

а11 =-

11 500

275

а21 =-= 0.55 .

21 500

Таким образом,

( 0.2 0.4. ч0.55 0.1/

160 400

40 400

= 0.4;

= 0.1.

А=

(е - А=

0.8 - 0.4^ - 0.55 0.9

Обратим матрицу (Е2 - А), используя наше программное приложение, основанное на методе Жордана-Гаусса (рис. 1).

Рассмотрение структуры соотношений (4) показывает, что мы имеем СЛАУ из п уравнений относительно неизвестных х,Х,...,Х , т.е. систему (пхп). Математически доказано, что для реально существующих значений агк и у система (4) всегда является опреде-

Рис. 1. Исходные данные

Обратная матрица получается преобразованием Жордана-Гаусса, перемещением единичной матрицы Е2 влево (рис. 2).

Хгк ~ агкХк .

Номера отраслей Потребление Итого на внутреннее Конечный Валовый

1 2 потребление продукт у выпуск X

Производство 1 100 160 260 240 500

2 275 40 315 85 400

Итого затраты на к-ю отрасль 375 200 575

68

вестник Российского университета кооперации. 2015. №1(19)

Рис. 2. Решение задачи

Таким образом, Н = (E2 - A)1 =

fl.8 1.1

0.8 ^ 1.6

Следовательно, зная матрицу Н, можно легко найти валовый продукт Х по любому ассортиментному вектору У. Это достигается перемножением матриц Н и У. При этом остаётся возможность использовать предлагаемое программное приложение для решения непосредственно системы уравнений (5) тем же методом Жордана-Гаусса.

Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / ред. Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2008. 479 с.; 2002. 471 с.

2. Берёзкин О.И., Краснов В.К. Математические методы в экономике. Линейные модели: учеб. пособие. Чебоксары: ЧКИ РУК, 2010. 164 с.

3. Краснов В.К., Пичужкин А.Б. Об оптимизации стратегии посредника в торгово-экономической деятельности // Экономика, финансы и менеджмент: проблемы и перспективы развития: сб. материалов междунар. науч.-практ. конф. Чебоксары: ЧКИ РУК, 2013. С. 105-110.

4. Краснов В.К., Пичужкин А.Б. Оптимизация деятельности предпринимателя в условиях рынка // Вестник Российского университета кооперации. 2013. № 2 (12). С. 141-144.

5. Краснов В.К., Пичужкин А.Б. Применение классических методов теории игр в задачах маркетинга // Вестник Российского университета кооперации. 2014. № 3 (17). С. 145-148.

КРАСНОВ Вячеслав Константинович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: v. [email protected]

ПИЧУЖКИН Александр Борисович - аспирант. Чебоксарский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации. Россия. Чебоксары. E-mail: v.k.krasnov@ ru-coop.ru

KRASNOV, Vyacheslav Konstantinovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Mathematical and Tool Methods of the Economy. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of the Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: v.k.krasnov@ rucoop.ru

PICHUZHKIN, Aleksander Borisovich — Graduate student. Cheboksary Cooperative Institute (branch) of the Russian University of Cooperation. Russia. Cheboksary. E-mail: v.k.krasnov@ rucoop.ru

УДК 336.153.11

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ КАМЧАТСКОГО КРАЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ УПРАВЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ КАЧЕСТВА

И.В. Лагуткина, В.П. Путинцев, Д.А. Такатлы

Дана статистическая оценка качества экономических информационных систем Камчатского края при помощи метода интегрального показателя качества. Проведены статические исследования показателей экономических информационных систем Камчатского края, позволившие в дальнейшем разработать рекомендации по стратегическому развитию информационных технологий на полуострове.