Применение случайного поиска в одной задаче нелинейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. С! М. КИРОВА

Том 277 1977

ПРИМЕНЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА

В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В. В. ЗАХАРОВ, В. П. ИВАНЧЕНКОВ, В. А. ФИЛИНОВА

(Представлена научным семинаром лаборатории вычислительной техники и автоматизации НИИ ЯФ ЭА)

Для решения задач нелинейного программирования небольшой размерности и с небольшим числом ограничений кажется естественным привлекать методы статистического поиска,, обеспечивающие простые машинные алгоритмы. В настоящей статье предлагается применить для этого метод случайного поиска [1] в рамках одной схемы функций штрафа [2].

1. Постановка задачи

• *

Пусть F(x) и fj (я) (/£/, /={1, 2, т}) — выпуклые функции векторного аргумента х={хи хп). В работе рассмотрена задача: найти

. min[F(X)\/j(X)>0, j£j\. (1)

X

Следует подчеркнуть, что сходимость рассматриваемого варианта метода штрафных функций доказана в [3] для выпуклых функций F, fj. Тем не менее в этой же работе были рассмотрены примеры решения невыпуклых задач «хорошего поведения», т. е. таких, в которых кривизна поверхностей F(x) —const, ff(x)= const не была слишком большой. Метод функций штрафа был выбран в настоящей работе в сочетании со случайным поисковым движением по той причине, что он позволял надеяться на приближенное решение рассматриваемой далее практической задачи, в отношении выпуклости которой не было уверенности.

2. Описание метода

Решение задачи в [2], [3] сводится к поэтапной минимизации функции

т]

Ат(Х)=2 Л(Х), (2)

представляющей собой штраф за приближение к границе области определения R функции F(X).

\

В настоящей работе на (¿+1)-м этапе поиска min Ат(Х) (об-ласть R = {fj(X)>0, / £Л) функция (2) дополнялась ограничением:

fm+i(X) = F(X°*)-F(X)>0,

где Xok —точка траектории поиска на k-м этапе, в которой функция Ат+г (Я) =А (X) достигает наименьшего значения.

Модификация использованного метода штрафа состояла еще в том, что на k-м этапе не ставилась задача отыскания min Л (Я) с большой точностью. Более того, выход из k-ro этапа минимизации происходил тогда, когда разрешающая способность метода случайного поиска (шаг метода) уменьшалась до некоторой фиксированной величины т.

3. Алгоритм

\

Рассмотрим алгоритмйческую реализацию метода на некотором, k-м этапе. Основной задачей этапа является получение точки такой, что F(X°'k+l ) <lF(Xok). Спуск к этой точке осуществляется по поверхности штрафа Л(А") методом случайного поиска с шагом т. Не трудно видеть, что fm+\ (Х0/г )=0 и А(Хок)—-\-оо. Поэтому неравенство для дополнительного (т+1)-го ограничения имеет смысл взять в виде

fm+l(X)=F(X**)-F(X)+Ф>0,

где ф>0.

Теперь уже можно искать ттЛ(Х) методом случайного поиска. В соответствии с известным алгоритмом случайного поиска с пересчетом [1] принимаем точку Xk за начальную точку траектории поиска на k-м этапе: Xk=Xo . В кубической окрестности точки (ребро куба равно т) Я"* производим равномерное рассеяние точек до тех пор, пока не найдется хотя бы одна из них, в которой значение Л(Х) меньше, чем Л(Хо). Обозначим эту удачную точку через Х\ , вновь примем ее за центр куба с ребром т и вновь будем производить равномерно распределенные испытания в этом кубе и т. д.

Для параметра т введем адаптацию к условиям поиска: величину т будем уменьшать в q раз, если нарушено хотя бы одно из (т+1) ограничений; величину т будем увеличивать в q раз в противном случае. Начальное значение полагалось равным т. Если выполнялось т<;т, то

£-й этап считался оконченным и полагалось х1=ХкАгХ , причем, очевидно,

А(Х*=Х%)> А (Х\)> • • • >A(XLi)>A{XkL=Xk+ly

Можно предположить (и практические вычисления это подтверждают), что на заключительных этапах поиск будет происходить в узком овраге. Вследствие этого в кубе с центром Xi необходимо провести чрезвычайно много испытаний, прежде чем выполнится А (Xf ) > >A(Xi+1 ). Против такой ситуации введено следующее видоизменение вычислительного алгоритма. Если количество испытаний в окрестности Х\ превысило (зацикливание), то из точки X* производится вторично спуск по описанному алгоритму до тех пор, пока не выполнился

тгСг (т. е. естественное окончание этапа) либо вновь произойдет за-

I ' & /? & *

цикливание в точке . Пусть А (Х/3) <Л (А"/, ). В этом случае в качестве Хь выбирается точка

V £ у^

А/?

- А -^-,

где точка Х% есть точка пересечения границы области # с прямой Х^ Х^ в направлении убывания А(Х) вдоль этой прямой. На этом к-й этап также оканчивается.

Вся процедура решения задачи (1) продолжается до тех пор, пока не будет исчерпано заданное заранее количество вычислений функции Р(Х), равное N.

4. Блок-схема и ее описание

с

Более детально строение алгоритма можно уяснить из приводимой блок-схемы. Поясним ее.

Блок 1 осуществляет формирование команд программы с учетом числа переменных п и числа ограничений т.

Блок 2. Признак й определяет номер спуска из начальной точки Х\ ; если 1, то из точки XI спуск совершен уже дважды. Рабочий шаг т в начале к-то этапа поиска принимает значение, равное т. В блоке 2 вычисляются начальные значения Р(Х) и А(Х).

Блок 3. Точка Хк — центр поиска на 6-м этапе. Начальное значение Хк равно Хо .

Блок 4. Счетчик (т) необходим для подсчета числа последовательных точек, в которых А (Хч) >Л (Хкг), где Xа —случайная, равномерно распределенная точка в кубе с центром

с с

Блоки 5—6. производят вычисление ¡] (X ). Если условие /ДА не выполняется, то шаг т уменьшается в ¿7 раз (блок 17).

Блок 7. Счетчик (И) контролирует число вычислений ^(Я), если cт{F)=N, то происходит печать найденных /7т1п и ХтЫ . Поиск прекращается (блок 18).

Блоки 8—9. М — текущее минимальное значение Р(Х)9 X' —точка, соответствующая М.

Блок 10. Рабочий шаг т увеличивается в ц раз, если для точки X выполнилось т ограничений.

Блок 11 проверяет: Л(Х^)<Л(Х? ). Если да, то-^блок 26: А{Х?^):=А(Х*)9Хи : = , иначе сг (т):- = сг (т)+1.

Блоки 12—16. Если сг (т)=Л^> то шаг т уменьшается в ц раз, иначе (в блоке 14) проверяется: с1=0?

Если да, то Х\х :=Хк и ¿¿=1.

С шагом т=т/2 еще раз осуществляется спуск до получения точки

XI .

Блоки 19—22. Если йФ0, тю : =

Делается проверка А (А*) <Л (А^г), чтобы выбрать направление движения по прямой X?1 Х\%.

1 Формирование команд, сч (^)=0

1

2 т :=т ' Вычисление

Ф

► з

1

> 4 сч (-): =0

1

> 5 ---1

ф нет

I

Вычисление /ДХ5)

/нет

-> 17

г : =х¡д, ?<т ?

да

I да

Вычисление ^(Х-), | да сч(Л:-сч(/р +11сч(/Г)-А^? |

18

Печать /Гш!п Останов.

I

нет

Р(Х*)<М?

| да

M:^F(X'), ХМ

Ф

10

1-Я

I

11

А(Х")<А(Х11)?

да

| нет

Л12

нет\_

сч(т) 2 =сч(т:)Ч-1 сч(х)^э?

ф да

19

Ф

20

А(Х1)<А{Х1) ?

/ да

\ нет

21 X? —нач. м

движ.

22 X?—нач. *а

движ.

Движение по прямой 23 х£ X* с шагом т/б

I

24

ЛГ^Х^хЯ?

£1 -о

'нет

I да

25

у/г | у&

у/г __ Л/,_1~ ЛЯ —о-

нет^З

т : — т/^, Х<-С ?

Ф да

14

нет

¿=0 ?

26

I да

15

1

16 т : —т/2

Блок-схема алгоритма

5 Заказ 10892

Блоки 23—26 осуществляют движение по прямой Хг\ Х\% с шагом т¡0, до границы области К, после чего определяется начальная точка следующего этапа поиска ттА(Х):

у к | -у к

5. Описание программы

Программа составлена для ЭВМ БЭСМ-4. а) параметры, используемые в методе.

Таблица

№ Ячейки Обозначение Значение в программе Назначение параметра

0042 10~5 Малая положительная величина

0043 с 1 Верхняя граница шага

0044 X 10-2 Нижняя граница шага

0045 Я 2 Коэффициент изменения шага

Максимально допустимое количест-

0046 N 103 во-вычислений функции цели

0047 А Большое положительное число

Коэффициент уменьшения шага при

0050 а 10 движении по прямой

Количество допустимых нарушений

0051 Хэ 2 неравенства Л(х^) < А(х Ке)

Эти параметры программист может менять по своему усмотрению, б) Распределение памяти и обращение к программе метода. Программа метода расположения в ячейках с 0030 по 0330. С 0400 по 1277 ячейку занимает рабочее поле для промежуточных и конечных результатов. Программа использует константы ИС-2.

Обращение* к программе осуществляется командами:

16

Х+\

0100

0077

Х+1 | 00 |

т

где

—число переменных, т — число ограничений на оптимизируемые параметры, Р — ячейка начала счета }¿{X) и Р{Х), п, т, И задаются в восьмеричном виде.

Программы вычисления ¡¿(Х) и Р(Х) могут быть размещены в любом месте памяти, начиная с 1300 ячейки. Ячейка /М предназначена для возврата в программу метода и должна быть свободной.

Компоненты вектора X занимают ячейки 0601—0600+п. Здесь же задает программист начальную точку Х°.

, Рекомендуется вначале вычислить (X) и занести эти значения в ячейки 2701—2700+т, затем проверить Если хотя бы

одно из ограничений не выполнилось, необходимо передать управление

в ячейку 0076, иначе вычислять F(X). Значение F(X) необходимо записать в. 0600 ячейку. По окончании счета F(X) передать управление в ячейку F—Л.

Текущее минимальное значение функции и точка, ему соответствующая, хранятся в ячейках 0400—0400+лг. Рабочий шаг i хранится в 0060 ячейке.

6. Пример применения метода к производственной задаче

Задача состояла в определении параметров тракта транспортировки заряженных частиц одного ускорителя, оптимальных с точки зрения минимума стоимости конструкции в целом. Тракт состоял из 13 участков: 7 квадрупольных линз и 6 участков дрейфа частиц. Каждый участок однозначно определяется набором параметров в [4]

li, Р/, «i Ti (¿=1,13) .

Величины Р;, aJt j¿ вычисляются по следующим формулам. Для горизонтальной плоскости фокусировки линз:

Pi=То/ sin2e¿-2a0i—=sin 0¿ cos ef+^cos20f, У k¡

аг=70г—=-cos вг sin 9¡+a0;(cos2 9£—sin20É) + kt sin 0¿cos 0¿, V k¿

Tí=ToíCos2 0j+2 a0¿l/lTcos 0¿sin 0¿+M¿ eos2 9t,(i = 1.....7). Для участков дрейфа пучка частиц:

ai—ao¿ То А

- «./

i — I 0¿

Для вертикальной плоскости фокусировки линз:

k = 0. (1/2=1,...,6).

Р^ТоЛсЬ3 в _2а0(4=сЬ е,съ в,+р0,сЬ2в0 а, = -ТпгТ7ксЬ 0г сИ 0,;+аО1.(сЬ20г+сЬ20г)-рог1/^сЬ 0Г сЬ 0,,

V к1

Тг = ТогсЬ20г-2аог> ^сЬ0гсЬ0г+^^сЬ2 в4,(/=1.....7).

Здесь в формулах всюду в; —/¿у к^ . В этих обозначениях функция цели ^(Я) имеет вид:'

7 _

/=1

с-С=const.

здесь I — номер участка тракта с линзой, ргор.л, Рверт.г —максимальные на участке г в вертикальной или горизонтальной плоскости фокусировки линз. Переобозначим вектор переменных

Х= ЛГ2 = &4, —

С "Г

На переменные х были наложены ограничения:

0,09^x^0,64; 0,09^х2^1; 4^х3<10;

4<хА<10; 4<х5^9; 4^хб^9;

2*1=31,92.

¿=з

Остальные параметры не менялись.

Для действующего тракта значения переменных были равны:

XI = £2=0,438; х3=8; х4=7,96;

^5=7,96; х6=,8; ^(Х) =0,08230.

После минимизации Р(Х) изложенным выше методом получили:

. Р(Х) =0,00135;

= 0,184; х2=0,375; х3 = 5,084;

х4 = 8,460; х5=8,895; х6 = 9,480.

Машинное время, затраченное на поиск /•'(Х*) =0,00135 из данной начальной точки, составило примерно 13 мин. Подходящий результат методом случайного поиска без всяких модификаций ранее был получен за 4 часа работы БЭСМ-4.

Алгоритм метода в том виде, как он приведен на блок-схеме, довольно чувствителен к оврагам, поэтому когда к имевшимся ограничениям были добавлены еще ограничения ^0,0833; 77(^)^33,3, имевшие ярко выраженный овражный вид, то метод быстро зацикливал.

Таким образом, для повышения эффективности метода следует увеличить его разрешающую способность в овражной ситуации.

Приложение

Программа метода

0100 56 - 0303 0056 1 1 32 0001 0130 7777

1 4 55 - 7734 0072 2 00 — — 0062

2 1 14 0064 0072 0072 3 72 — 0072 -

3 4 55 - 7732 '0073 4 54 0107 0040 0053

4 4 55 - 7731 0074 5 07 0053 0040 0053

5 14 0114 0074 0074 6 13 0041 0053 0053

6 00 0047 - 0400 7 23 0053 — 0040

7 00 — - 0067 0140 05 7762 0040 0054

0110 00 - - 0061 1 02 0054 7761 0054

1 72 - 0072 — 2 05 0054 00,60 0054

2 5 00 0600 — 0500 3 3 01 0054 0700 0600

3 1 32 0002 0112 7777 4 1 32 0002 0134 7777

4 00 -. — 0063 5 72 — 0073 -

5 00 0043 — 0060 6 3. 16 0147 - 7777

6 72 - 0073 — 7 01 7761 0067 0067

7 3 16 0120 - 7777 0150 15 0067 0046 -

0120 56 0600 0300 0500 1 36 — 0272 -

1 2 04 7761 2700 0075 2 02 0600 0400 -

2 01 0075 0065 0065 3 76 — 0157 0070

3 1 32 0002 0121 7777 4 72 - 0072 -

4 04 7761 0042 0075 5 5 00 0600 — 0400

5 01 0075 0065 0065 6 1 32 0001 0155 7777

6 00 0065 — 0064 7 05 0060 0045 0060

7 72 — 0072ч — 0160 72 •— 0074 —

0130 5 00 0500 — 0700 1 2 04 7761 2700 0075

2 01 0075 0070 0070 0220 00 — — —

3 1 32 0002 0161 7777 1 72 — 0072 .—

4 02 0700 0600 0075 2 5 00 0700 — 1100

5 01 0075 0042 0075 3 1 32 0002 0222 7777

6 56 — 0312 — 4 04 0060 0050 0060

7 01 0075 0070 0070 5 02 0066 0064 —

0170 02 0070 0064 — 6 36 - 0235 —

1 76 — 0177 — 7 00 - - —

2 72 — 0072 — 0230 72 -- 0072 —

3 5 00 0600 — 0700 1 4 00 1000 - 0075

4 1 32 0001 0173 7777 2 5 00 1100 - 1000

5 00 0070 — 0064 3 1 00 0075 - 1100

6 56 — 0132 — 4 1 32 0002 0231 7777

7 01 0062 7761 0062 5 72 - 0072 -

0200 15 0062 0051 — 6 5 00 1000 -- 0600

1 36 — 0203 — 7 5 01 0600 0060 0600

2 56 — ■ 0133 — 0240 6 02 0600 1000 0075

3 04 0060 0045 0060 1 6 02 1077 0777 0057

4 02 0060 0044 — . 2 05 0057 0075 0057

5 36 —: 0207 — 3 6 02 1100 1000 0075

6 56 — 0132 —■ 4 04 0057 0075 0075

7 15 0063 — — 5 3 01 0075 0777 0577

0210 76 — 0221 — 6 1 32 0003 0240 7777

1 00 7761 — 0063 7 00 0310 -- 0076

2 72 — 0072 — 0250 ' 16 0251 0145 0157

3 5 00 0700 — 1000 1 00 _ _ _

4 1 32 0002 0213 7777 2 72 _ 0072 __

5 00 0064 — 0066 3 5 00 0600 - 1200

6 04 0043 7762 0060 4 1 32 0002 0253 7777

7 56 — 0126 — 5 72 - 0072 -

6 56 — 0237 — 3 36 - 0266 -

7 00 0311 — 0157 4 04 7761 0075 0075

0260 72 —■ 0072 — 5 01 7761 0056 0056

1 6 01 1000 1200 0075 6 '56 _ 0167 _

2 1 04 0075 7762 0600 7 15 1001 0701 _

3 1 32 0002 0261 7777 0320 36 _ 0323 _

4 01 0061 7761 0061 1 72 _ 0072 _

5 56 0307 Olli 0076 2 56 _ 0222 _

6 04 0060 0045 0060 3 04 0060 7760 0060

7 02 0060 0044 — 4 56 — 0126 —

0270 76 — 0132 —

1 56 — 0207 — '

2 72 — 0072 —

3 16 0274 7501 7610

4 1 72 0400 0027 0400

5 16 0276 7501 7610

6 72 0060 0027 0063

7 77 — - -

0300 72 — 0074 -

1 56 - 0121 0065

0302 00 - — —

3 16 0304 7501 7610

4 52 0042 0042 0051

5 72 - 0077 -

6 56 0307 0101 0076

7 16 - 0266 —

0310 16 - 0257 —

1 05 0060 0045 0060

2 02 0075 - —

ЛИТЕРАТУРА

1. Jl. А. Растр.игин. 'Статистические методы поиска. М., «Наука», 1968.

2. С. W. Carroll. The CRST for Optimizing Nonlinear Restraines systems. Oprns. Res., v. 9, № 2, 1961.

3. A. V. Fiacco, G. P. Mc С о r m i с k. Computational Algorithm for SUMT for Nonlinear programmung. Manag. Sc., v. 10, № 4, 1964.

4. В. П. Иванченков. Вопросы применения корреляционно-экстремальных систем в задачах электронной оптики. Диссертация. Томск, 1969.