Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513+681

Ю.В. Никонорова1

Применение системы Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии

В настоящее время благодаря появлению нового направления в математике - компьютерной алгебры, все большее количество работ по фундаментальным и прикладным исследованиям выполняется с использованием профессионально ориентированных пакетов аналитических вычислений. В научной среде и в математическом образовании приобрели большую популярность программные системы символьной математики, такие как DERIVE, MathCad, MatLab, Mathematika и Maple. Пользователь этих программных продуктов получает возможность освободиться от монотонных и громоздких вычислений и сосредоточиться на аналитической обработке математических данных. Получила бурное развитие новая математическая дисциплина - символьная или компьютерная математика, специализирующаяся на разработке алгоритмический базы для систем символьных вычислений [1]. Следует заметить, что использование систем компьютерной алгебры эффективно не только в математике, но и в других областях науки; решении прикладных задач в технике и экономике.

Применение компьютерных расчетов в фундаментальных научных дисциплинах позволяет проверить разнообразные общие гипотезы в частных случаях. Если же полученные таким образом данные опровергают гипотезу, то с их учетом можно сформулировать более правдоподобное предположение. Нередко доказанные результаты были ранее сформулированы в качестве гипотез после статистической обработки экспериментальных данных, полученных с помощью вычислительной техники. Более того, известны примеры, когда путь к аналитическому доказательству каких-либо утверждений неожиданно "подсказывал" компьютер.

Одним из лидеров среди систем символьной математики является программный пакет Maple. Несмотря на появление новых усовершенствованных версий этой системы Maple 6 и Maple 7, пока наиболее популярной версией является Maple 5 R4. Причиной этого можно назвать открытое и бесплатное распространение указанной серийной версии через Internet.

Остановимся на применении пакета аналити-

ческих вычислений Maple к решению некоторых задач евклидовой геометрии. Все рассматриваемые задачи имеют достаточно простую формулировку. Тем не менее многие из них не находили своего решения в течение многих лет. Исследование каждой из представленных задач проводилось с использованием средств символьной математики, предоставляемой пакетом Maple по следующему плану. Первоначально создавалась удобная для вычислительной работы модель соответствующей задачи. Далее проводились многочисленные проверки истинности существующей гипотезы о существе решения. Последним шагом являлось аналитическое доказательство соответствующего результата. Следует подчеркнуть, что все полученные решения могут быть изложены и верифицированы без применения вычислительной техники. Тем не менее до некоторых из полученных решений трудно догадаться, не прибегая к компьютерным расчетам.

Применение системы Maple оказалось действительно эффективным при получении следующих результатов [2-5]:

1. Получено решение обобщенной задачи Т. Поповичи (Т. Popoviciu) о критических значениях отношений площадей четырехугольников.

2. Выявлен критерий того, что на поверхности прямого параллелепипеда в трехмерном евклидовом пространстве существует точка, удаленная в смысле внутреннего расстояния от данной вершины более, чем противоположная вершина.

3. Решена задача Дж.В. Фике (J.W. Fickett) о критических значениях отношений относительных периметров двух конгруэнтных прямоугольников.

4. Получено решение задачи В.К. Ионина о площади области, ограничиваемой замкнутой ломаной с равной длиной звеньев.

Указанные результаты являются новыми и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по выпуклой геометрии и геометрии пространств с внутренней метрикой. В то же время полученные результаты, являясь точными, могут служить для проверки эффективности алгоритмов и программных продуктов, предназначенных для вычисления стандартных харак-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-00543).

теристик геометрических объектов. Это важно с той точки зрения, что в настоящее время неизвестно оптимальных алгоритмов для вычисления таких важных в геометрии и приложениях величин, как внутреннее расстояние на поверхности заданного выпуклого тела, внутреннего диаметра выпуклой поверхности и изопери-метрических дефектов для плоских и пространственных областей.

Обобщенная задача Т. Поповичи. Рассмотрим на евклидовой плоскости выпуклый четырехугольник ABCD (рис. 1). Пусть Ai, В i, Ci, Di - такие точки отрезков АВ, ВС, CD и DA соответственно, что

\ААг\ _ \BBi\ _ \СС\\ _ \DDi\

\AiB\ I BiC\ \C\D\ \DiA\

= к

для некоторого к > 0. Прямые АВ1, ВС 1, С£>1, £М.1 образуют четырехугольник КЬМЫ (К, Ь, М, N - точки пересечения первой и четвертой, первой и второй, второй и третьей, третьей и четвертой прямых соответственно), лежащий внутри АВСО. Обозначим через 5 и в площади четырехугольников АВСО и КЬМЫ соответственно. Задача Т. Поповичи (Т. Ророу1сш) [6, с. 39] состоит в доказательстве неравенства

6 5

при k = 1.

Рис. 1

Решение оригинальной задачи Т. Поповичи было получено Ю.Г. Никоноровым в [7]. С помощью системы Maple доказано более общее утверждение, справедливое для всех к > 0 [2].

Теорема 1. Для произвольного выпуклого четырехугольника на плоскости и к > 0 справедливо неравенство

1

(к + 1){к2 + к + 1)

S < s <

1

причем в случае S > 0 равенство (к + 1 )(к2 + к + l)s = S выполняется лишь для четырехугольников с двумя совпадающими вершинами, а любой четырехугольник со свойством (2k'2+2k+í)s = S помещается в непрерывное семейство четырехугольников с тем же свойством, содержащее некоторый параллелограмм. Отметим, что ключевым этапом при доказательстве вышеприведенной теоремы является разложение на множители многочлена двенадцатой степени от трех независимых переменных, которое было получено с помощью пакета Maple.

Задача о внутреннем расстоянии на поверхности прямоугольного параллелепипеда. Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве прямой параллелепипед Р = ABC DA' В' С" D' (рис. 2) со сторонами длины \АВ\ = a, \AD\ = Ъ, \АА'\ = с, а < b < с. Объектом нашего исследования является внутреннее расстояние между точками на поверхности S = дР параллелепипеда Р. Напомним, что внутренним расстоянием d(M, N) между точками М G S и N G S называется минимум длин ломаных, лежащих в S и соединяющих точки М и N. Достаточно сложной задачей является определение самой далекой точки поверхности от заданной точки в смысле внутреннего расстояния. Даже в том случае, когда в качестве фиксированной точки берется вершина параллелепипеда, не вполне ясно, какая точка будет от нее самой удаленной. Например, для куба самой далекой точкой от вершины является противоположная вершина, в случае же параллелепипеда с размерами 1x1x2 противоположная вершина не является самой удаленной точкой.

2Р + 2к+ 1

S.

Рис. 2

Благодаря применению системы Мар1е выявлен критерий того, что существует точка, удаленная в смысле внутреннего расстояния от данной вершины более, чем противоположная вершина. Справедлива следующая теорема [3].

Теорема 2. Для прямого параллелепипеда в трехмерном евклидовом пространстве с длинами сторон а < Ь < с необходимым и достаточным условием существования точки на поверхности параллелепипеда, расположенной далее в смысле внутреннего расстояния от заданной вершины, чем противоположная вершина, является неравенство

2с2 - 2Ьс - ас - аЬ> 0.

Задача Дж.В. Фике. Рассмотрим на евклидовой плоскости два конгруэнтных пересекающихся прямоугольника Р\ = АВСБ и Р2 = ЕР ОН (рис. 3). Пусть Ь1 - длина той части границы дР\ первого прямоугольника, которая попадает во внутренность 1гй(Р2) второго. Аналогично, Ь2 - длина части границы дР2 второго прямоугольника, попадающей во внутренность т1(Р\) первого. Задача Дж.В. Фике (•ГШ. Е1скеИ) [8; 9] заключается в доказательстве неравенства

< Ь2 < 3X1.

О

Рис. 3

Доказана следующая теорема [4].

Теорема 3. Для пересекающихся конгруэнтных прямоугольников на евклидовой плоскости в обозначениях, приведенных выше, выполняется неравенство

< Ь2< 31! ,

причем приведенное неравенство неулучшаемо.

Задача В.К. Ионина. Рассмотрим на евклидовой плоскости простую замкнутую ломаную, состоящую из нечетного числа звеньев длины 1. Требуется доказать, что площадь области, ограничиваемой данной ломаной, не меньше площади равностороннего треугольника со стороной 1, то есть не меньше, чем \/3/4.

Рассматривается несколько более общая постановка. Пусть на евклидовой плоскости дана

простая замкнутая ломаная с т звеньями, одно из которых имеет длину а £ [0,1], а длины остальных звеньев равны 1. Обозначим через S площадь области, ограничиваемой данной ломаной. Справедлива следующая теорема [5].

Теорема 4. При т = 2п — 1 справедливо неравенство S > — а2. При т = 2п справедливо неравенство S > — (1 — а)2. Оба неравен-

ства неулучшаемы.

В качестве следствия при а = 1 получается решение сформулированной выше задачи В.К. Ионина.

Теорема 5. Любая замкнутая ломаная на евклидовой плоскости, состоящая из нечетного числа звеньев длины 1, ограничивает область с площадью не менее чем л/3/4.

Общий алгоритм поиска решений рассматриваемых геометрических задач можно описать следующим образом.

Для начала строится общая модель геометрической задачи. При этом используются декартовы модели евклидовой плоскости или пространства. После этого задачи приобретают аналитическую форму, наиболее пригодную для исследования методами символьной математики. Затем строится ряд алгебраических задач соответствующих каждому шагу решения геометрической задачи.

Для решения алгебраических задач в системе Maple необходимо либо построить собственные процедуры поиска решения, либо воспользоваться уже существующими (например, стандартными процедурами для разложения на множители, упрощения выражений, вычисления дискриминанта для уравнений 2-го и 3-го порядка, построения графиков). Так, в задаче Поповичи для вычисления координат точек, нахождения уравнений прямых оказалось целесообразно построить собственные процедуры решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Аналогично для вычисления площадей треугольников были построены соответствующие процедуры вычисления определителей. Вручную подобные вычисления произвести достаточно тяжело в силу громоздкости выражений.

Как правило, для доказательства лемм и теорем в рассматриваемых геометрических задачах необходимо было доказать ряд неравенств. Для этого рассматривались функции, порождающие соответствующие неравенства, которые в свою очередь исследовались с помощью системы Maple. Для проверки или получения гипотез о поведении исследуемых функций табулировались их значения и строились графики. После численного подтверждения соответствующей

гипотезы искалось ее доказательство методами символьной математики.

В частности, для решения уравнений в аналитическом виде использовалась функция стандартной библиотеки solve, для решения уравнений в численном виде - Maple-функция fsolve. Для доказательства выпуклости рассматриваемых функций использовалась функция Maple-библиотеки для вычисления производных diff. Библиотечная функция extrema позволила найти экстремумы выражений, а функция вычисления дискриминанта diskrim помогла найти дискриминанты многочленов третьей степени. А поскольку точное значение корней полиномов было представлено системой в достаточно громоздком виде, то вычисление их приблизительных значений оказалось возможным при помощи соответствующей Maple-функции evalf. Графики строились с помощью функции plot.

Большую роль в решении поставленных алгебраических задач сыграло использование операций символьной математики, таких как операция упрощения выражений simplify, операция разложения полинома на множители factor и операция подстановки subs. В частности, в задаче Поповичи использование первых двух указанных библиотечных функций подсказало дальнейший путь решения. Упрощению выражений в задаче Фике помогло использование универсальной тригонометрической подстановки, которая осуществлена с помощью стандартной операции subs.

Таким образом, как показывают вышеприведенные примеры, применение систем символьных вычислений может быть эффективно при решении различных геометрических задач, и можно надеяться на появление в ближайшем будущем специализированных для исследований в области геометрии средств вычислений.

Литература

1. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. - М., 1991.

2. Никоноров Ю.Г., Никонорова Ю.В. Решение обобщенной задачи Поповичи // Труды Рубцовского индустриального института. Рубцовск, 2000. Т. 7.

3. Никоноров Ю.Г., Никонорова Ю.В. О внутренней геометрии поверхности прямоугольного параллелепипеда // Труды Рубцовского индустриального института. Рубцовск, 2000. Т. 7.

4. Никонорова Ю.В. Об одной экстремальной задаче на евклидовой плоскости // Математические труды. 2001. Т. 4. №1.

5. Никонорова Ю.В. Об одной изопериметричес-

кой задаче на евклидовой плоскости // Труды Рубцовского индустриального института. Рубцовск, 2001. Т. 9.

6. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М., 1974.

7. Никоноров Ю.Г. Некоторые задачи евклидовой геометрии: Препринт №1 Рубцовского индустриального института. Рубцовск, 1998.

8. Croft Н.Т., Falconer K.J., Guy R.K. Unsolved problems in gemetry. Springer-Verlag, 1994. P. 25.

9. Fickett J.W. Overlapping congruent convex bodies, Amer. Math. Monthly 87 (1980). P. 814-815.