CC BY
71
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 163-172
= ИНФОРМАТИКА =
УДК 539.3+519.6:004
Применение системы компьютерной математики «Mathematica» для составления уравнений движения антропоморфного механизма с использованием общих теорем динамики *
А.В. Борисов
Аннотация. Рассматривается математическая модель одиннадцатизвенного антропоморфного робота. Составление уравнений движения проводится с применением общих теорем динамики. Описывается методика автоматизации процесса составления дифференциальных уравнений движения в системе компьютерной математики «Mathematica», используя возможности символьных преобразований данной программы.
Ключевые слова: антропоморфный робот, дифференциальные уравнения движения, теоремы динамики, система компьютерной математики.
Введение
Сложные аналитические преобразования можно провести быстрее и эффективнее, представить результаты в компактном виде с помощью различных систем компьютерной математики, и, в частности, «Mathematica». Достоинствами применения систем компьютерной математики являются скорость и надежность выполняемых преобразований, возможность описания различных механизмов с различными конфигурациями и параметрами (количество звеньев, наличие масс-инерционных характеристик, изменения длины звеньев в процессе движения, деформируемости звеньев под действием нагрузок и т.п.).
Метод получения уравнений движения с помощью общих теорем динамики рассматривается в работах В.В. Белецкого [1].
В данной статье описывается математическая модель одиннадцатизвенного антропоморфного робота и методика применения системы компьютерной математики «Mathematica» для составления дифференциальных урав-
* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-2524.2008.1.
нений движения антропоморфного робота при помощи общих теорем динамики. Приводятся действия и команды, выполняемые для получения дифференциальных уравнений движения, включая команды, избыточные для проведения дальнейших численных расчетов, но необходимые для упрощения результатов и их представления в сгруппированном и компактном виде.
1. Математическая модель антропоморфного механизма
Рассмотрим приближенную к человеку одиннадцатизвенную антропоморфную модель [2]. Для рассмотрения плоского движения биомеханической системы в одноопорной фазе введем неподвижную правую декартову систему координат хуг с началом в точке О и плоскостью ху, в которой происходит движение центра масс. Система имеет две трехзвенные весомые ноги, две двухзвенные весомые руки и весомый корпус. Все элементы структуры являются упругими и длины стержней являются функциями времени:
Іі = іі(£) (і = 1,..., 11). На рис. 1. схематично изображен механизм, и введены соответствующие обозначения.
Пусть 0\= ¡1, Б\ = ¡2, Б\ С = ¡3, Б2С = ¡4, А2В2 = ¡5, О2Л2 = ¡6,
СО = ¡7, ЕЕ1 = ¡8, Е1= ¡9, ОЕ2 = ¡ю, Е2Е2 = ¡ц —длины звеньев биомеханической системы, моделирующей человека. Положение в одноопорной фазе однозначно определяется углами ^ и длинами стержней ¡^ (г = 1,..., 11), поэтому рассматриваемая система имеет двадцать две степени свободы. Обозначим через моменты, развиваемые в г-том шарнире (г = 1, ... , 11).
Центры масс находятся в точках: С\ — стопы опорной ноги, С2 — голени опорной ноги, Сз — бедра опорной ноги, С4 — бедра переносной ноги, С5 — голени переносной ноги, Сб — стопы переносной ноги, С7 — корпуса, Се, С10 — плеч, С9, С11 — предплечий. Их положения будем задавать в виде отношений к началу соответствующего звена через множители щ, (і = 1,, 11), если все звенья перенумеровать по номерам индексов у соответствующих углов.
Массы: т1, тб; т2, т5; т3, т4; т8, т10; т9, т11; т7 — масса стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. Моменты инерции:
І1, Іб; І2, І5; Із, І4; І8, І10; І9, І11; І7 — стопы, голени, бедра, плеч, предплечий и корпуса, соответственно. Правую и левую конечности механизма будем считать разными.
Для нахождения реакций звеньев, разделим на составляющие звенья рассматриваемую стержневую биомеханическую систему (рис. 2).
Введем обозначения RO1x, К01у, RA1x, КА1у, RB1x, КВ1у, RH1x, КН 1у, RA2x, КА2у, RB2x, КВ2у, RH2x, КН2у, RD1x, ^Э1у, RE1x, КЕ1у, RD2x, ^Б2у, 1^Е2х;, Ке2у , горизонтальную и вертикальную составляющие реакции в точке
О1, А1, В1, Н1, А2, В2, Н2, ^1, Е1, ^2, Е2.
Запишем для стопы опорной ноги (звено 1) теорему о движении центра масс, теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс и сами координаты центра масс. В дальнейшем эти же теоремы и координаты записываются для других звеньев рассматриваемой модели:
¿2ха 1 = ¿2уо1
т1 ^£2 — К01т КА1x7 т1 2 — К01у КА1у т1 ё,
Ii Ч£г = Ro\xhni sin Pi - Roiylini cos Pi + Raix¿i(1 - ni) sin Pi -- RAiyli (1 - ni) cos Pi + Mi - M2, xci = lini cos Pi, ye i = lini sin Pi.
Для голени опорной ноги (звено 2):
m2 di2 = RA1x - RB1xj m2 y = RAiy - RBiy - m2gj
(1)
12 = RA1xhn2 sin P2 - RAiyl2n2 COs P2 + Rb1x12(1 - n2) sin P2 - (2)
- RBiy¿2(1 - n2) COs P2 + M2 - M3,
Xc2 = li cos Pi + l2n2 cos P2j УС2 = ¿í sin Pi + l2n2 sin P2.
Для бедра опорной ноги (звено 3):
m3 xX2 = RB1x - RH 1xj m3 dye3 = RB1y - RH 1y - m3gj
13 = Rbíx¿зПз sin P3 - RBiy¿зПз cos P3 + Rh1x¿3(1 - Пз) sin P3 - (3)
- Rh 1y¿з(1 - Пз) cos P3 + M3 - M7j
XC3 = li cos Pi + l2 cos P2 + 13П3 cos рз, УС3 = ¿í sin pi + l2 sin P2 + 13П3 sin P3.
М, А,
я.Т ^
Щ8
Рис. 2. Модель плоской стержневой механической системы в разделенном виде
Для бедра переносной ноги (звено 4):
Шэ-
с1 ХС 4
м2 -
= -КВ2х + КП 2х, Ш3
Л2УС4
М2
КВ2у + КП 2у - Шэё>
1э ~ЩГ = RB2x¡4nэ 8Ш (п + ^>4) - Кв2у¡4«Э 008 (п + ^4) +
+ Rп2x¡4(1 - Пэ) 81п (п + ^4) - Кп2у¡4(1 - Пэ) 008 (п + ^4) - М5 + М4, ХС4 = ¡1 008 ^1 + ¡2 008 ^>2 + ¡Э 008 ^Э + ¡4 (1 - ПЭ) 008 (п + ^>4) ,
УС4 = ¡1 sin (£1 + ¡2 sin ^2 + ¡3 sin £3 + ¡4 (1 - П3) sin (n + £4) Для голени переносной ноги (звено 5):
d2xc5 „ d2yc5 ^ „
m2 dt2 _ RA2x + RB2x j m2 dt2 _ RA2y + RB2y — m2g j
1Д/ >^Cb yCü T-)
mi ^2 = Ra2xj mi xt2 = RA2y - mig,
Ii-J¡2r = Ra2x¿6(1 - ni) sin (п + Pe) - RA2yla(1 - ni) cos (п + P6) + Mej (6)
I2 ^ = RA2xln sin (п + P5) - RA2yl5n2 cos (п + P5) + (5)
+ Rb2x¿5(1 - П2) sin (п + P5) - RB2yl5(1 - П2) cos (п + P5) + M5 - Me,
XC5 = li cos Pi + l2 cos P2 + 1з cos P3 + ¿4 cos (п + P4) + l5 (1 - П2) cos (п + P5) , УС5 = li sin Pi + l2 sin P2 + ¿з sin P3 + l4 sin (п + P4) + l5 (1 - П2) sin (п + P5) . Для стопы переносной ноги (звено 6):
x2xce „ x2yce
^ m>^
X2P6 di2
Xc6 = li cos Pi + l2 cos P2 + 1з cos P3 + l4 cos (п + P4) +
+ l5 cos (п + P5) + le (1 - ni) cos (п + Pe) j yce = li sin Pi + l2 sin P2 + ¿з sin P3 + l4 sin (п + P4) +
+ ¿5 sin (п + P5) + ¿6 (1 - ni) sin (п + Pe) .
Для корпуса (звено 7):
m7 di2 = RH 1x - RH2x - RD1x - RD2xj
m7 dc7 = Rh 1y - Rh2y - RDiy - RD2y - m7g,
I7 ddÉL = RHixhn sin P7 - RHiy¿7П7 cos P7 + Rd1x¿7 (П7Я - П7) sin P7 -
- RDiy¿7 (n7R - П7) cos P7 - RH2xkn7 sin P7 + RH2y¿7П cos P7 + (7)
+ Rd2x¿7 (n7R - П7) sin P7 - RD2y¿7 (Щи - П7) cos P7 + M4 + M7J xc7 = l1 cos p1 + l2 cos p2 + l3 cos p3 + l7n7 cos P7j
yc7 = ¿1 sin pi + ¿2 sin P2 + ¿3 sin P3 + ¿7П7 sin P7.
Для плеча левой руки, условно соответствующей опорной ноге (звено 8):
ms dXXc8 = -Reix + Rdíxj ms ^y^ = -Reiy + RDiy - m8g,
.. cos( )+ (8)
Is ddt?r = REixlsns sin (п + ps) - REiy¿8П cos (п + ps) +
+ Rd1x¿s(1 - ns) sin (п + Ps) - RDiyls(1 - ns) cos (п + Ps) - M9 + Ms Xcs = ¿1 cos Pi + ¿2 cos P2 + ¿3 cos P3 + ¿7Щи cos P7 + ¿s (1 - ns) cos (п + Ps) , ycs = li sin Pi + ¿2 sin P2 + ¿3 sin P3 + ¿7Щи sin P7 + ls (1 - ns) sin (п + ps).
Для предплечья левой руки, условно соответствующей опорной ноге (зве^ но 9):
d2Xc9 „ d2ycg „
m9 di2 = RE1x j m9 di2 = RE1y - m9g j
I9 = Re1x¿9(1 - П9) sin (п + P9) - REiy¿9(1 - П9) cos (п + pg) + Mg, (9)
xc9 = l1 cos p1 + l2 cos p2 + l3 cos p3 + l7 n7R cos p7 +
+ ls cos (п + ps) + l9 (1 - n9) cos (п + p9) j
yc9 = ¿1 sin Pi + ¿2 sin P2 + ¿3 sin P3 + h^R sin P7 +
+ ls sin (п + ps) + ¿9 (1 - П9) sin (п + P9) .
Для плеча правой руки, условно соответствующей переносной ноге (звено
10):
ms —хЦ2— = -RE2x + RD2xj ms —Ху^2— = -RE2y + RD2y - msgj
Is = RE2xli0ns sin (п + Pió) - RE2y¿10П cos (п + Pi0) +
+ Rd2x¿ 10(1 - ns) sin (п + Pió) - RD2y¿1ó(1 - ns) cos (п + Pió) - MU + MW,
(10)
Xció = ¿1 cos Pi + ¿2 cos P2 + ¿3 cos P3 + ¿7^r cos P7 + ¿10 (1 - ns) cos (п + Pió) , yc 10 = li sin Pi + ¿2 sin P2 + ¿3 sin P3 + ¿7Щи sin P7 + lw (1 - ns) sin (п + pió).
Для предплечья правой руки, условно соответствующей переносной ноге (звено 11):
d2xcii „ d2ycii „
m9—d¿2— = RE2x j m9 di2 = RE2y - m9gj
dp1
I9 di211 = RE2xlii(1 - П9) sin (п + pii) - RE2y¿1i(1 - П9) cos (п + Pii) + Mii,
(11)
Xcii = ¿1 cos Pi + ¿2 cos P2 + ¿3 cos P3 + ¿7^r cos P7 +
+ ¿10 cos (п + Pió) + ¿11 (1 - П9) cos (п + Pii) j ycii = ¿1 sin Pi + ¿2 sin P2 + ¿3 sin P3 + ¿7П7и sin P7 +
+ ¿10 sin (п + Pió) + ¿11 (1 - П9) sin (п + Pii) .
На основании теоремы о движении центра масс определяются реакции, путем решения линейной системы, состоящей из 22 уравнений с 22-мя неизвестными реакциями. Полученные реакции подставляются в уравнения теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс и, упрощая их, получаем уравнения движения. Дальнейшую работу проведем в системе компьютерной математики Mathematica 6.0.3.
2. Компьютерная реализация процесса составления
уравнений
Команды, вводимые в программе «МаШешаМса» будем выделять моноширинным шрифтом, как принято в данной программе. Информация об используемых командах «МаЛеша^са» взята из работ В.П.Дьяконова [3,4].
Вводим координаты точек антропоморфного механизма и положения их центров масс, используя четвертые и пятые выражения в формулах (1)—(11).
А1СМ = {{!1[1]*Соб^1[1]]}, {!1[1]*Б1п[^1[1]]}};
С1СМ = А1СМ*п1;
В1СМ = {{!2[1]*Соб[^2[1]]}, {!2[1]*Б1п[^2[1]]}};
С2СМ = А1СМ + В1СМ*п2;
НСМ = {{!3[1]*Соб^3[1]]}, {!3[1]*Б1п[^3[1]]}};
СЗСМ = А1СМ + В1СМ + НСМ*п3;
В2СМ = {{!4[1]*Соб[эт + ¿4[1]]}, {!4[1]*Б1п[эт- + ^4^]]}};
С4СМ = А1СМ + В1СМ + НСМ + В2СМ*(1 - п3);
А2СМ = {{!5[1]*Соб[эт + ^5^]]}, {!5[1]*Б1п[эт + ¿5[1]]}};
С5СМ = А1СМ + В1СМ + НСМ + В2СМ + А2СМ*(1 - п2);
02СМ = {{!6[1]*Соб[эт- + ¿6[1]]}, {!6[1]*Б1п[эт + ^6^]]}};
С6СМ = А1СМ + В1СМ + НСМ + В2СМ + А2СМ + 02СМ*(1 - п1);
ССМ = {{!7[1]*Соб[^7[1]]}, {!7[1]*Б1п[^7[1]]}};
С7СМ = А1СМ + В1СМ + НСМ + ССМ*п7;
ЭСМ = А1СМ + В1СМ + НСМ + ССМ*п7Р;
Е1СМ = {{!8[1]*Соб[^ + ¿8[1]]}, {!8[1]*Б1п[^ + ¿8^]]}};
С8СМ = ЭСМ + Е1СМ*(1 - п8);
ПСМ = {{19^]*Соб[эт + ¿9[1]]}, {!9[1]*Б1п[эт + ¿9^]]}};
С9СМ = ЭСМ + Е1СМ + ПСМ*(1 - п9);
Е2СМ = {{!8р[1]*Соб[эт + ¿8р[1]]}, {!8р[1]*Б1п[эт + ¿8р[1]]}};
СЭрСМ = ЭСМ + Е2СМ*(1 - п8);
Р2СМ = {{!9р[1]*Соб[эт + ¿9р[1]]}, {!9р[1]*Б1п[эт + ¿9р[1]]}};
С9рСМ = ЭСМ + Е2СМ + Р2СМ*(1 - п9).
Записываем систему уравнений для отыскания реакций звеньев (первые и вторые уравнения в формулах (1)-(11)). Благодаря использованию введенных выше обозначений центров масс получаем компактную форму записи данной системы. Введем для нее обозначение переменной «вувСМ», в которой она будет храниться, с целью дальнейшего использования: бубСМ = {т1*Э[С1СМ[[1, 1]], {1, 2}] == Р0х - РА1х,
т1*Э[С1СМ [2 1]] {1 2}] * 1 т - 1 А сс - 0 сс = =
т2*Э[С2СМ [1 1]] {1 2}] == РА1х - РВ1х,
т2*Э[С2СМ [2 1]] {1 2}] == РА1у - РВ1у - m2*g,
М С РО [С О * РО т [1 1]] {1 2}] == РВ1х - РН1х,
тЗ*Э[СЗСМ [2 1]] {1 2}] == РВ1у - РН1у - mЗ*g,
тЗ*Э[С4СМ [1 1]] {1 2}] == -РВ2х + РН2х
М С [С а * РО т [2 1]] {1 2}] == -РВ2у + РН2у - mЗ*g,
М С ю а * см т [1 1]] {1 2}] == -РА2х + РВ2х,
т2*Э[С5СМ [2 1]] {1 2}] == -РА2у + РВ2у - m2*g,
т1*Э[С6СМ [1 1]] {1 2}] == РА2х,
т1*Э [С6СМ [2 1]] {1 2}] == РА2у - т^,
т7*Э [С7СМ [1 1]] {1 2}] == РН1х - РН2х - РЭ1х- РЭ2х
т7*Э[С7СМ [2 1]] {1 2}] == РН1у - РН2у- сч а сг - 1 а сс
т8*Э [С8СМ [1 1]] {1 2}] == -РЕ1х + РЮ1х,
М С 00 а * 00 т [2 1]] {1 2}] == -РЕ1у + РЮ1у - m8*g,
т9*Э[С9СМ [1 1]] {1 2}] == РЕ1х,
М С [С О * от т [2 1]] {1 2}] == РЕ1у - m9*g,
т8*Э[С8рСМ[[1, 1]], {1, 2}] == -РЕ2х + РЭ2х,
т8*Э[С8рСМ[[2, 1]], {1, 2}] == -РЕ2у + РЭ2у - т^, т9*й[С9рСМ[[1, 1]], {1, 2}] == РЕ2х, т9*Э[С9рСМ[[2, 1]], {1, 2}] == РЕ2у - т^}.
Решаем эту систему из 22 уравнений линейную относительно неизвестных реакций звеньев механизма, обращаясь к ней через введенную выше переменную ««вувСМ» (все обозначения соответствуют (рис. 2) и помещаем решение в переменную с именем ««Б^СМ», для дальнейшего применения.
РбСМ = Бо!ус[бубСМ, {Р0х, Р0у, РА1х, РА1у, РВ1х, РВ1у, РН1х, РН1у, РА2х, РА2у, РВ2х, РВ2у, РН2х, РН2у, РЭ1х, РЭ1у, РЕ1х, РЕ1у, РЭ2х, РЭ2у, РЕ2х, РЕ2у}].
Полученные реакции являются промежуточным звеном, поэтому не будем их приводить и, кроме того, они достаточно громоздки.
Записываем сами уравнения движения, используя третьи уравнения из формул (1)—(11), подставляя в каждое найденные реакции с помощью команды подстановки.
иг1СМ = И*Э^1[^ {1, 2}] - (Р0х*А1СМ[[2, 1]]*п1 - ^у*А1СМ[[1, 1]]*п1 + РА1х*А1СМ[[2, 1]]*(1 - п1) - РА1у*А1СМ[[1, 1]]*(1 - п1) + М1[1] - М2[ф /. РбСМ;
иг2СМ = ^Э^], {1, 2}] - (РА1х*В1СМ[[2, 1]]*п2 - РА1у*В1СМ[[1, 1]]*п2 + РВ1х*В1СМ[[2, 1]]*(1 - п2) - РВ1у*В1СМ[[1, 1]]*(1 - п2) + М2[1] - МЗ[1]) /. РбСМ;
игЗСМ = ^Э^З^], {1, 2}] - (РВ1х*НСМ[[2, 1]]*п3 - РВ1у*НСМ[[1, 1]]*п3 + РН1х*НСМ[[2, 1]]*(1 - п3) - РН1у*НСМ[[1, 1]]*(1 - п3) + МЗ[1] - М7[ф /. РбСМ;
иг4СМ = ^Э^^], {1, 2}] - (РВ2х*В2СМ[[2, 1]]*п3 - РВ2у*В2СМ[[1, 1]]*п3 + РН2х*В2СМ[[2, 1]]*(1 - п3) - РН2у*В2СМ[[1, 1]]*(1 - п3) - М5[1] + М4[ф /. РбСМ;
иг5СМ = ^Э^], {1, 2}] - (РА2х*А2СМ[[2, 1]]*п2 - РА2у*А2СМ[[1, 1]]*п2 + РВ2х*А2СМ[[2, 1]]*(1 - п2) - РВ2у*А2СМ[[1, 1]]*(1 - п2) + М5[1] - М6[1]) /. РбСМ; игбСМ = ^Э^б^], {1, 2}] - (РА2х*02СМ[[2, 1]]*(1 - п1) - РА2у*02СМ[[1, 1]]*(1
- п1) + М6[1]) /. РбСМ;
иг7СМ = ^[¿7^], {1, 2}] - (РН1х*ССМ[[2, 1]]*п7 - РН1у*ССМ[[1, 1]]*п7 + РЭ1х*ССМ[[2, 1]]*(п7Р - п7) - РЭ1у*ССМ[[1, 1]]*(п7Р - п7) - РН2х*ССМ[[2, 1]]*п7 + РН2у*ССМ[[1, 1]]*п7 + РЭ2х*ССМ[[2, 1]]*(п7Р - п7) - РЭ2у*ССМ[[1, 1]]*(п7Р - п7) + М4[1] + М7[1]) /. РбСМ;
игЭСМ = ^Э^Э^], {1, 2}] - (РЕ1х*Е1СМ[[2, 1]]*п8 - РЕ1у*Е1СМ[[1, 1]]*п8 + РЭ1х*Е1СМ[[2, 1]]*(1 - п8) - РЭ1у*Е1СМ[[1, 1]]*(1 - п8) - М9[1] + М8[1]) /. РбСМ; иг9СМ = ^Э^^], {1, 2}] - (РЕ1х*ПСМ[[2, 1]]*(1 - п9) - РЕ1у*ПСМ[[1, 1]]*(1
- п9) + М9[1]) /. РбСМ;
игЭрСМ = ^Э^Эр^], {1, 2}] - (РЕ2х*Е2СМ[[2, 1]]*п8 - РЕ2у*Е2СМ[[1, 1]]*п8 + РЭ2х*Е2СМ[[2, 1]]*(1 - п8) - РЭ2у*Е2СМ[[1, 1]]*(1 - п8) - М9р[1] + М8р[1]) /. РбСМ; иг9рСМ = !9*Э^9р^], {1, 2}] - (РЕ2х*Р2СМ[[2, 1]]*(1 - п9) - РЕ2у*Р2СМ[[1, 1]]*(1
- п9) + М9р[1]) /. РбСМ.
Полученные таким образом уравнения являются не сгруппированными, не упрощенными и объемными с точки зрения включения их в текст статьи. Возникает необходимость их упрощения и группировки, для приведения к виду, удобному для чтения и публикации. Выполним это следующими командами, введя для уравнений новые названия, добавляя соответствующие цифры в имена, для удобства обращения к ним. Приведем команды только
для первого уравнения, остальные аналогичны, отличия заключаются лишь в номерах уравнений.
Сначала группируем по членам, содержащим производные:
иг11СМ = Со!!ес1[иг1СМ, {¿1/ф], ¿2/ф], ¿З/ф], ¿4/ф], ¿5//[1], ¿6//[1], ¿7//[1], ¿8/ф], ¿9/ф], ¿8р//^], ¿9р//[1], ¿1/[1]2, ¿2ф]2, ¿З/[1]2, ¿4ф]2, ¿5/[1]2, ¿6ф]2, ¿7/[1]2, ¿8/^]2, ¿9/[1]2, ¿8р/[1]2, ¿9р/[1]2}].
Теперь упрощаем: иг111СМ = Б^р^у[иг11СМ].
После этих преобразований уравнения приводятся к компактной форме. Приведем левую часть первого из полученных уравнений. Правая часть равна нулю. Структура других аналогична.
g 11 т1 Соб^1[1]] + 2 g !1 т2 CoБ[¿1[t]] + 2 g !1 тЗ CoБ[¿1[t]] + g !1 т7 CoБ[¿1[t]] + 2 g 11 т8 CoБ[¿1[t]] + 2 g !1 т9 CoБ[¿1[t]] + g !1 т1 п1 CoБ[¿1[t]] - М1[1] + М2[1] + !1 !2 (т1 + т2 + 2 тЗ + т7 + 2 т8 +2 т9 + т2 п2) Бiп[¿l[t] - ¿2[1]] ¿2/[1]2+ 11 13 (т1 + т2 + тЗ + т7 + 2 т8 +2 т9 + тЗ п3) Бiп[¿1[t] - ¿З[1]] ¿Зф]2- !1 !З (т1 + т2 + тЗ - тЗ п3) Бiп[¿1[t] - ¿4[1]] ¿4ф]2- 11 12 (т1 + т2 - т2 п2) Бiп[¿1[t] - ¿5[1]] ¿5/[1]2+ !12т1 (- 1 + п1) Бiп[¿1[t] - ¿6[1]] ¿6ф]2 + !1 17 (т7 п7 + 2 (т8 + т9) п7Р) Бiп[¿1[t] - ¿7^]] ¿7ф]2+ !1 !8 (-т8 - т9 + т8 п8) Бiп[¿1[t] - ¿8[1]] ¿8ф]2 + 11 18 (-т8
- т9 + т8 п8) Бт^1[1] - ¿8р[1]] ¿Эр/[1]2+ !1 19 т9 (-1 + п9) Бт^1[1] - ¿9[1]] ¿9/[1]2+ !1 !9 т9 (-1 + п9) Бт^1[1] - ¿9р[1]] ¿9рф]2 + (И + !12(т1 + 2 т2 + 2 тЗ + т7 + 2 т8 + 2 т9 + т1 п12)) ¿1//[1] + !1 !2 (т1 + т2 + 2 тЗ + т7 + 2 т8 + 2 т9 + т2 п2) CoБ[¿1[t] - ¿2[1]] ¿2//[х\ + !1 !З (т1 + т2 + тЗ + т7 + 2 т8 + 2 т9 + тЗ п3) CoБ[¿1[t] - ¿З[1]] ¿З//[^\ - !1 !З (т1 + т2 + тЗ - тЗ п3) CoБ[¿1[t] - ¿4[1]] ¿4/ф] - !1 !2 (т1 + т2 - т2 п2) CoБ[¿1[t] - ¿5[1]] ¿5/ф] + !12т1 (- 1 + п1) Соб^1[1] - ¿6^]] ¿6//ЭД + !1 17 (т7 п7 + 2 (т8 + т9) п7Р) CoБ[¿1[t] - ¿7[1]] ¿7/ф] + !1 !8 (-т8 - т9 + т8 п8) Соб^>1[1] - ¿8[1]] ¿8//[1]2+ !1 !8 (-т8 - т9 + т8 п8) CoБ[¿1[t] - ¿8р[1]] ¿Эр//[1]2+ !1 !9 т9 (-1 + п9) Соб^1[1] - ¿9[1]] ¿9/ф]2 + !1 !9 т9 (-1 + п9) CoБ[¿1[t] - ¿9р[1]] ¿9р//ЭД + М1[1] - М2[1].
В дальнейшем данную систему дифференциальных уравнений можно решить численно в среде СКМ МаЛеша^са, задаваясь конкретными значениями констант, входящих в уравнения.
3. Выводы
Таким образом, составлены уравнения движения антропоморфного робота. Показано, что данная методика является эффективной и без лишних действий и повторных вводов зависимостей приводит к цели.
Описанная методика является универсальной и может применяться для составления уравнений динамики разнообразных антропоморфных механизмов, с большим или меньшим количеством звеньев, может учитывать различия между правыми и левыми конечностями аппарата, наличие деформаций звеньев.
Список литературы
1. Белецкий В.В. Регулярные и хаотические движения твердых тел. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 132 с.
2. Борисов А.В. Моделирование опорно-двигательного аппарата человека и применение полученных результатов для разработки модели антропоморфного робота. М.: Спутник +, 2009. 212 с.
3. Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и научно-технических расчетах. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. 744 с.
4. Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7: Полное руководство. М.: ДМК-Пресс, 2008. 624 с.
Борисов Андрей Валерьевич (BorisowAndrej@yandex.ru), к.т.н., доцент, кафедра высшей математики, филиал Московского энергетический института (Технического университета), Смоленск.
The application of a system of computer mathematics «Mathematica» for compiling equations of motion of the anthropomorphic mechanism with the use of the general theorems of dynamics
A.V. Borisov
Abstract. The mathematical model of eleven-linked anthropomorphic robot is observed. The compiling of equations of motion is carried out with the application of the general theorems of dynamics. The technique of automation of process of compiling of differential equations of motion in a system of computer mathematics «Mathematica» is described, with the use of capabilities of character transformations of the given program.
Keywords: the anthropomorphic robot, differential equations of motion, theorem of dynamics, system of computer mathematics.
Borisov Audrey (BorisowAndrej@yandex.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of higher mathematics, Smolensk Branch of Moscow Power Engineering Institute.
Поступила 03.06.2010
