Научная статья на тему 'ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ'

ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
166
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОПТИМИЗАЦИЯ НЕРАВЕНСТВА / СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ / ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА / ВЫПУКЛОСТЬ / ВОЗРАСТАНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА / МАКСИМУМ И МИНИМУМ ЗНАЧЕНИЯ МНОГОЧЛЕНА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Утепкалиев С.У., Жанузакова З.Ж.

В классической теории оптимизации на решаемую задачу накладываются ограничения геометрического характера, типа дифференцируемости или выпуклости. А на практике задачи чаще всего задаются аналитически (явной формулой, дифференциальным уравнением и т.п.). В статье предлагается метод решения оптимизационных задач, использующий способ их аналитического задания. Если условие задачи сформулировано просто, то ее решение может быть доведено до конца. Идеяметода состоит в использовании специальных вариаций переменных. В общем случае эти вариации не могут быть заданы алгебраически. В их основе лежат некоторые геометрические конструкции. Предлагаются методы решения оптимизационных задач заданных аналитическими формулами. Если эти формулы не слишком сложные, то задачи удается эффективно решить. Прежде всегоэтого метода применяем для доказательства геометрических неравенств, используя свойству симметрических многочленов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

APPLICATION OF SYMMETRIC POLYNOMIES TO THE SOLUTION OF GEOMETRIC INEQUALITIES

In the classical theory of optimization, constraints of a geometric nature, such as differentiability or convexity, are imposed on the problem to be solved. But in practice, tasks are most often set analytically (by an explicit formula, a differential equation, etc.). The article proposes a method for solving optimization problems using the method of their analytical task. If the condition of the problem is formulated simply, then its solution can be brought to the end. The idea of the method is to use special variations of the variables. In the general case, these variations cannot be given algebraically. They are based on some geometric designs. Methods are proposed for solving optimization problems given by analytical formulas. If these formulas are not too complicated, then the problems can be effectively solved. First of all, we use this method to prove geometric inequalities using the property of symmetric polynomials.

Текст научной работы на тему «ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ»

Остаток по модулю для последнего преобразования

30 19 15 33 14 1 25 6 33 18 15 15 2 26 6 14 9 6

Рисунок 10 - Остатки по модулю для последнего преобразования

Таким образом, получаем индексы. И заключительный шаг - находим соответствующие символы в алфавите, используя команду =ИНДЕКС($А$2:$АР$2^36). Получаем результат - исходное сообщение:

Расшифрованное сообщение

э т о О н А Ш Е О С О О Б щ Е Н И Е

Рисунок 11 - Расшифрованное сообщение

На этом заканчивается процесс работы приёмника, как и весь процесс передачи зашифрованного сообщения и его последующей расшифровки.

Приведенная реализация метода может быть с успехом использована при изучении информационной безопасности и криптографических алгоритмов в курсе высшего образования, что позволяет сформировать более глубокое представление о механизме пии кового шифрования и, как следствие, осуществлять более качественную подготовку специалистов [6]. Кроме того, учитывая простоту реализации, можно рекомендовать этот метод к изучению в курсе среднего основного образования, в том числе при разработке учебных проектов [7].

Библиографический список:

1. Фороузан, Б. А. Криптография и безопасность сетей: учебное пособие / Б. А. Фороузан ; перевод с английского под редакцией А. Н. Берлина. - Москва : Интернет-Университет Информационных Технологий : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. - 784 с.

2. В поисках криптостойкого ГПСЧ. - URL: https://habr.com/ru/post/196442/ (дата обращения: 29.05.2019). - Текст: электронный.

3. Грибанова-Подкина, М. Ю. Модели и базы данных в контексте непрерывного образования / М. Ю. Грибанова-Подкина // Компьютерные науки и информационные технологии : материалы международной научной конференции. - Саратов : Издательский центр Наука, 2018. - С. 114-117.

4. Грибанова-Подкина, М. Ю. Использование объектно-ориентированного подхода в изучении информационной безопасности при подготовке педагогических кадров / М. Ю. Грибанова-Подкина // Научно-методические проблемы инновационного педагогического образования : сборник научных трудов : в 2 частях. Часть 1. - Саратов : СРОО Центр Просвещение, 2018. - С. 91-94.

5. Насонова, Е. Д. Применение программных средств имитационного моделирования для исследования динамических процессов / Е. Д. Насонова // Актуальные проблемы модернизации математического и естественнонаучного образования : мататериалы всероссийской научно-методической конференции. - Саратов : Саратовский источник, 2016. - С. 60-63.

6. Насонова, Е. Д. Информационные технологии управления в формировании конкурентной позиции ВУЗа / Е. Д. Насонова, М. Ю. Грибанова-Подкина // Информационные технологии в образовании : материалы VI всероссийской научно-практической конференции. - Саратов : ООО Издательский центр Наука, 2014. - С. 236-238.

7. Насонова, Е. Д. Особенности разработки проектов по информатике в школе / Е. Д. Насонова // Информационные технологии в образовании «ИТО-Саратов-2017» : птериалы IX всероссийской научно-практической конференции. - Саратов : Наука, 2017. - С. 54-56.

УДК519.8. 517.2.

ПРИМЕНЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ APPLICATION OF SYMMETRIC POLYNOMIES TO THE SOLUTION OF GEOMETRIC INEQUALITIES

Утепкалиев С. У., канд. пед. наук, профессор Жанузакова З. Ж., магистр естеств. наук, ст. преподаватель Атырауский государственный университет имени Х. Досмухамедова Serik.Utepkaliev@mail.ru, zh.zulfiya@mail.ru

Аннотация. В классической теории оптимизации на решаемую задачу накладываются ограничения геометрического характера, типа дифференцируемости или выпуклости. А на практике задачи чаще всего задаются аналитически (явной формулой, дифференциальным уравнением и т.п.). В ста-

тье предлагается метод решения оптимизационных задач, использующий способ их аналитического задания. Если условие задачи сформулировано просто, то ее решение может быть доведено до конца. Идеяметода состоит в использовании специальных вариаций переменных. В общем случае эти вариации не могут быть заданы алгебраически. В их основе лежат некоторые геометрические конструкции. Предлагаются методы решения оптимизационных задач заданных аналитическими формулами. Если эти формулы не слишком сложные, то задачи удается эффективно решить. Прежде все-гоэтого метода применяем для доказательства геометрических неравенств, используя свойству симметрических многочленов.

Ключевые слова: оптимизация неравенства, симметрические многочлены, геометрические неравенства, выпуклость, возрастание и уменьшение значения многочлена, максимум и минимум значения многочлена.

Abstract. In the classical theory of optimization, constraints of a geometric nature, such as differentiability or convexity, are imposed on the problem to be solved. But in practice, tasks are most often set analytically (by an explicit formula, a differential equation, etc.). The article proposes a method for solving optimization problems using the method of their analytical task. If the condition of the problem is formulated simply, then its solution can be brought to the end. The idea of the method is to use special variations of the variables. In the general case, these variations cannot be given algebraically. They are based on some geometric designs. Methods are proposed for solving optimization problems given by analytical formulas. If these formulas are not too complicated, then the problems can be effectively solved. First of all, we use this method to prove geometric inequalities using the property of symmetric polynomials.

Key words: inequality optimization, symmetric polynomials, geometric inequalities, convexity, increase and decrease in the value of the polynomial, maximum and minimum values of the polynomial.

Рассмотрим симметрические многочлены от n переменныхx17x2,...,xn.

Важный пример симметрических многочленов представляют многочлены:

Pi(xi, x2,..., xn) = xi + x2 +... + Xn , P2(x1, x2,..., xn ) = xi ' x2 + .xi ' x3 + ... + xi xn + ... + xn-1 xn , P3( xi, x2,..., xn ) = xi ' x2 ' x3 + .xi ' x2 ' x4 + ... + xn-2x n—1 xn ,

Pn (xi, x2,..., xn ) = xi ' x2 ' x3 ' xn .

Для многочлена вида P(t) = (t — x1) - (t — x2).'..'(t — xn) имеет место

P(t) = tn — Pi(xi, x2,..., xn )tn— + P2(xx, x2,..., xn )tn—2 — ... + (—1) n—l . Pn—i(xi, x2,..., xn )t +

+ (—1)n • Pn(x„ x2,..., xn).

Справедливы следующие две теоремы.

Теорема о симметрических многочленах. Для всякого симметрического многочлена P1(x1,x2,...,xn) существует такой многочлен от n переменных Q, что при всех значениях xl7x2,...,xn выполняется равенство

P( x1, x2,..., xn ) = Q P1( x1, x2,..., xn X P2( x1, x2,..., xn ),..., Pn (x1, x2'..., xn )].

Теорема Безу. Пусть c- корень многочлена P(t). Тогда найдется такой многочлен Q(t), что F(t) = Q(t)(t-c).

Понятно, что для доказательства, например, неравенства P(x, y, z) >0 достаточно найти минимум многочлена P(x, y, z). Если это неравенство точное, то поиск минимума является необходимым. Поэтому большинство экстремальных задач доказывается ниже в форме задач на доказательство неравенств, хотя решение таких задач каждый раз представляет собой поиск максимального и минимального значения некоторой функции.

В работе [1] предложен метод решения экстремальных задач с тремя переменными. Большое число таких задач дает геометрия треугольника. Приведем несколько примеров их решения.

Задача 1. Пусть a, b, c - стороны треугольника. Докажите неравенство a(b2 +c2 -a2) + b(a2 +c2 -b2) + c(a2 +b2 -c2) < 3abc.

Решение. Длины сторон треугольника удовлетворяют условиям a < b+c, b < a+c, c < a+b. Докажем, что нужное неравенство справедливо, если выполняются более слабые неравенства a < b+c, b < a+c, c < a+b.

Рассмотрим многочлен P(t) = (t-a)(t-b)(t-c) = t3 - (a+b+c)tz + (ab+ac+bc)t - abc.

Согласно теореме о симметрических многочленах левая часть доказываемого неравенства может быть записана как многочлен от его коэффициентовa+b+c,

ab+ac+bc и abc. Поскольку доказываемое неравенство имеет третью степень, коэффициент abc может входить в такую запись лишь в первой степени (в дальнейшем это использоваться не будет, но в данном случае нетрудно проверить, что

a(b2 +c2 -a2) + b(a2 +c2 -b2) + c(a2 +b2 -c2) = - (a+b+c)3 + 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 6abc). Поэтому доказываемое неравенство может быть записано в виде

вдоль оси ординат (см. рисунок 1). При этом числа a, b, c будут меняться, но так, что выражения a + b + c и ab + ac + bc будут оставаться постоянными, а произведение abc будет увеличиваться при сдвиге вниз, и уменьшаться при сдвиге вверх. Но в таком случае левая часть неравенства P(a+b+c, ab+ac+bc) < Л abc меняться не будет, и при положительном Л неравенство будет усиливаться при сдвиге вверх, а при отрицательном - при сдвиге вниз.

Помешать усилению неравенства могут два обстоятельства: либо два из чисела, Ь, с совпадут (и график «зацепится» за ось абсцисс вершиной), либо одно из неравенств а < Ь+с, Ь < а+с, с < а+Ьобратится в равенство, и при дальнейшем сдвиге оно будет нарушаться. В этих двух случаях и достаточно доказать наше неравенство.

В первом случае в силу симметрии можно, не ограничивая общности, считать, что Ь=с. Тогда неравенство запишется в виде 2аЬ2 - а3 + 2а2Ь < 3аЬ2 или -аЬ2 - а3 + 2а2Ь < 0. Нетрудно видеть, что это неравенство обращается в равенство при а = Ь. Значит, его левая часть делится на а-Ь. Но если доказываемое неравенство верно, то при а = Ь выражение -аЬ2 - а3 + 2а2Ь не должно менять знака. А потому оно должно делиться на а - Ь в четной степени. Поскольку - аЬ2 - а3 + 2а2Ь - многочлен третьей степени, приходим к выводу, что он должен делиться на (а-Ь)2. Теперь уже нетрудно непосредственно проверить, что - аЬ - а3 + 2а2Ь = - а(а-Ь)2 < 0. В этом случае неравенство установлено. Во втором случае можно считать, что с = а+Ь. Тогда неравенство примет вид -аЬ(а+Ь) < 0, что уже очевидно.

Если в неравенстве фигурируют не стороны треугольника, а какие-то другие его элементы, то часто бывает полезно выразить их все через стороны (это всегда можно сделать, поскольку три стороны задают треугольник однозначно) и доказывать получившееся неравенство стандартным образом.

Следующая задача представляет собой довольно сложный пример такого рода.

Задача 2. Пусть R - радиус описанной окружности, а га, гъ, тс- радиусы вневписанных окружностей некоторого треугольника. Докажите неравенство:

P(a + b + c, ab + ac + bc) < Л abc,

где Р- некоторый многочлен, а Л - число (в нашем случае Л = 9). Будем сдвигать график многочлена

P(t) = (t-a)(t-b)(t-c) = t3 - (a + b + c)?2 + (ab + ac + bc)t - abc

Рисунок 1

Решение. Выразим фигурирующие в условии задачи радиусы через стороны a, b, c треугольника.

abc

Пусть S - площадь треугольника, ар - его полупериметр. Тогда по известным формулам S =- и

4R

S = (p - a)ra = (p - b)rb = (p - c)rc. Поэтому доказываемое неравенство перепишется в виде:

3abc

<

8S "У

S ' 1 1 1

— (-7 +-7 +-2

3 \p - a)2 (p - b)2 (p - c)2

После возведения в квадрат придем к неравенству:

27(abc)2 < 64S4 [-^ +-^ + 1

(p - a)2 (p - b)2 (p - c)

. ( p - a)2( p - b)2 +

или 27(abc)2 < 64S

2^Лс4 (p - a)2(p - b)2 + (p - a)2(p - c)2 + (p - b)2(p - c)2

(p - a)2(p - b)2(p - c)2 ТеперьвыразимплощадьчерезстороныспомощьюформулыГерона. Получим:

27 (abc)2 < 64 p 2[(p - a)2( p - b)2 + (p - a)2(p - c)2 + (p - b)2(p - c)2] или 27(abc)2 < 64p2[((p -a)(p - b) + (p -a)(p - c) + (p - b)(p - c))2 -

- 2(p - a)(p - b)(p - c)(p - a + p - b + p - c). (1)

Многочлены p и (p - a)(p - b) + (p - a)(p - c) + (p - b)(p - c) являются симметрическими

многочленами первой и второй степеней соответственно. Следовательно, по теореме о симметрических многочленах они могут быть выражены через элементарные симметрические многочлены а + b + c и ab + ac + bc.

Кроме того, (p-a)(p-b)(p-c) = p - (a + b + c)p + (ab + ac + bc)p - abc. Поэтому доказываемое неравенство может быть переписано в виде:

27(abc)2- 16(a + b + cfabc < Q(a + b + c, ab + ac + ac),

где Q - некоторый многочлен.

Сдвигая график многочлена P(t) = (t-a)(t-b)(t-c) = t3 - (a+b+c)i^+(ab+ac+bc)t-abc вдоль оси ординат можно менять левую часть этого неравенства, не меняя правой.

Но в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно переменной abc с положительным старшим коэффициентом. А такой трехчлен не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области значений. Следовательно, усиливая неравенство, график многочлена можно сдвигать до тех пор, пока не произойдет одно из двух: две стороны треугольника станут равными или треугольник выродится так, что одна из сторон станет равной сумме двух других. При c = b неравенство (1) запишется в виде 27a2b4 < (a + 2b)2(2(2b - a)2a2 + a4). Разложив разность правой и левой частей неравенства на множители, получим a2(3a2 + 10ab + 5b2)(a - b)2. Поскольку числа a и

положительны, эта величина, очевидно, неотрицательна.

2 2 2 2 2 2 А при c = a+b получим неравенство 27a b (a + b) < 64a b (a + b) , что уже очевидно.

Все проблемы в решении предыдущей задачи были связаны с подготовительной работой по

записи доказываемого неравенства в подходящей форме. Это несколько трудоемкий, но стандартный

процесс. Во многих случаях этот осуществляется короче, и тогда выглядит совсем просто.

Задача 3. Пусть а, [3, X - углы произвольного треугольника.

1 1 1 „ к

Докажите неравенство--1---1--> 2л]3.

Sina Sin[ SinX

Решение. Здесь новым является наличие тригонометрических функций от углов треугольника. Но от них легко избавиться, используя формулы для площади S треугольника со сторонами a, b, c и противолежащими им углами а, [, X :

2S = bc Sin а = ac Sin [ = ab Sin y.

]

2

Тогда доказываемое неравенство перепишется в виде ab + ac + bc > 4л/3£. Выразим площадь через стороны с помощью формулы Герона запишем неравенство в виде ab + ac + bc > 4^3p(p - a)(p - b)(p - c), где p - полупериметр треугольника.

В левой части неравенства стоит элементарный симметрический многочлен, а под корнем -симметрический многочлен четвертой степени. В силу теоремы о симметрических многочленах его можно выразить через элементарные симметрические многочлены а + b + c, ab + ac + bc и abc, причем произведение abc будет входить в соответствующее выражение в первой степени. Следовательно, подкоренное выражение, а, значит, и вся правая часть последнего неравенства будет зависеть от этого произведения монотонно.

Поэтому, меняя это произведение, можно усиливать доказываемое неравенство до тех пор, пока не произойдет одно из двух: либо два из трех чиселa, b, станут равными, либо треугольник выродится, и одно из неравенств a < b + c, b < a + c, c < a + b превратится в равенство. Для этих случаев и достаточно доказать неравенство.

В первом случае можно считать, что b = c. Тогда неравенство примет вид:

b(2a + b) >д/3(2b + a)()2b - a)a2,

Возводя его в квадрат и раскладываяна множители, получим очевидное неравенство:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3a2 + 6ab + b2)(a - b)2 > 0.

Во втором случае в правой части получится ноль, а в левой - неотрицательное число и неравенство станет очевидным.

Довольно часто вспомогательные вычисления заметно упрощаются, если с самого начала произвести некоторую стандартную замену переменных. Это демонстрируется в решенииследующей задачи (попробуйте решить ее не прибегаяк этой замене).

Задача 4. Пусть a, b, c - стороны треугольника, R радиус его описанной окружности. Докажите,

что ^2 + b32 + c3 <

2 2 2 2

Решение. Возведем доказываемое неравенство в квадрат: a +b +c < 9R .

abc

Из теоремы синусов следует, что R =-, где S - площадь треугольника. Поэтому неравенст-

4S

2 2 2 2 2

во запишется в виде 16S (a + b + c ) < 9(abc) . По формуле Герона придем к неравенству:

(a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)(a2 + b2 + c2) < 9(abc) [2].

В ходе решения задачи 2 было доказано, что в разложение произведения

(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) через элементарные симметрические многочлены произведение abcвходитс отрицательным коэффициентом. А в разложение выражения a2 + b2 + c2 это произведение вовсе не входит. Поэтому при уменьшении abc и неизменных a + b + c и ab + ac + bc левая часть неравенства возрастает, а правая убывает.

Следовательно, самое сильное неравенство получится, когда уменьшать этот произведение уже нельзя. А это может быть только в двух случаях: когда два из трех чисел a, b, c равны, и когда треугольник вырождается, то есть одно из чисел a, b, c становится равным сумме двух других.

При b = c придем к неравенству:

(a + 2b) a2 (2b - a)(a2 + 2b2) < 9a2b4 или a2(a - b)2(a + b)2 > 0.

А при c = a + b неравенство очевидно, поскольку в его левой части стоит ноль.

В силу известного неравенства (соотношение между арифметического и квадратичного сред-

a + b + с них) -<..

3 V

a2 + b2 + c2

— доказанное неравенство сильнее упомянутого классического резуль-

3

a' + b' + c' 1

тата. Более того, в [1] показано, что функция /(V) = (---)' не убывает, поэтому

/(() = (а + ° + С )' < Дд/3 для всех t < 2.

Естественно возникает вопрос, а нельзя ли усилить этот результат, доказав последнее неравенство для некоторого t > 2? Ответ на этот вопрос можно усмотреть из анализа приведенного решения.

В самом деле, равенство в доказанном неравенстве достигается, если Ь = с и выражение а2 (а - Ъ)2(а + Ъ)2 обращается в ноль, то есть при а = Ь (правильный треугольник), или при а = 0 (вырожденный равнобедренный треугольник).

Рассмотрим вырожденный треугольник, у которого а = 0 и Ь = с = 2R.

п а' + Ь' + с'. 1 „п,2.\ Л 1п9 - 1п4

Для него (-)' = 2R(—)'. А при ' >-выполняется неравенство

V 3 7 V 1п4 - 1п3

(а + Ь + с )' > Поскольку —^^ « 2,8188 < 3 уже среднее кубическое чисел а, Ь, с не 3 1п4 - 1п3

всегда меньше з43.

Чтобы понять, что происходит при больших значениях t, решим следующую задачу.

Задача 5. Пусть а, Ь, с - стороны треугольника, R радиус его описанной окружности. Докажите,

что

a3 + b3 + c3

-< 2R.

2

Решение.Как в решении предыдущей задачи выразим все через стороны треугольника и пло-

щадь S: 4S3

a3 + b3 + c3 „ ,

— < 2abc. Избавимся от радикалов, возведя неравенство в шестую степень:

\ 2

[(4S)3 (a3 + b3 + c3 )] < 256(abc)6. Обозначим x = a + b + c, y = ab + ac + bc, z = abc.

Воспользуемся формулой Герона и тождествами:

a3 + b3 + c3 = x3 - 3xy + 3z, (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) = -x3 + 4xy - 8z, и приведем неравенство к виду: x3(-x +4xy-8z)3(x3-3xy+3z)2 < 256z6.

Докажем, что функция f(z) = (-x3+4xy-8z) (x3-3xy+3z)2 не возрастает. Для этого найдем ее производную:

f • (z) = 6(-x3 + 4xy - 8z)3(x3 - 3xy + 3z) - 24(-x3 + 4xy - 8z)2(x3 - 3xy + 3z)2 =

= 6(-x3 + 4xy - 8z)2(x3 - 3xy + 3z)(-5x3 + 16xy - 20z).

Так как x2 - 3y = (a + b + c)2 - 3(ab + ac + bc) > 0, то x3 - 3xy + 3z > 0. Поэтому достаточно доказать, что 5x3 - 16xy + 20z > 0.

Удобнее доказать более сильное неравенство 5x3-16xy+9z > 0. Здесь мы имеем дело с симметрическим неравенством третьей степени, уже выраженным через элементарные симметрические многочлены. Докажем, что оно справедливо для всех неотрицательных a, b и c. Рассуждая обычным образом убедимся, что его достаточно доказатьдля двух частных случаев: когда одно из чисел a, b, cравно нулю и когда два из этих трех чисел равны. При c = 0 получим легко-проверяемое неравенство (a + b)(5(a + b)2 - 16ab) > 0. А при b = c придем к неравенству (5a + 8b)(a - b)2 > 0.

Вернемся к доказательству исходного неравенства. Из доказанной монотонности следует, что если, не меняяx иу уменьшать z, то неравенство будеттолько усиливаться. Поэтому его достаточно доказать для вырожденных треугольников и для равнобедренных.

При b = c получим неравенство:

a8(a10 - 12a8b2 + 4a7b3+ 48a6b4 - 48a5b5 - 60a4b6 +192a3b7-48a2b8-256ab9+192b10 > 0.

Разделим его на а&Ью и обозначим и =—. В силу неравенства треугольника а < 2Ь, поэтому 0 <

Ь

и < 2. Итак, достаточно убедиться, что многочлен

^и) = и10-12и8+4и7+48и6-48и5-60и4+192и3-48и2 - 256и + 192

неотрицателен при 0 < и < 2. Для этого достаточно показать, что на отрезке [0,2] он не имеет корней. Это можно сделать с помощью теоремы Штурма [7]. Библиографическое список:

1. Горелов. М. А. Простые задачи оптимизации. Симметрические многочлены / М. А. Горелова. - Москва : ВЦ РАН, 2011.

2. Седракян, Н. М. Неравенства. Методы доказательства / Н. М. Седракян, А. М. Авоян. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2002.

3. Гомонов, С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения / С. А. Гомонов. - Москва : Дрофа, 2005.

4. Харди, Г. Неравенства / Г. Харди, Д. Литтлвуд, Г. Пойа. - Москва, 1948.

5. Беккенбах, Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. - Москва : Мир, 1965.

6. Шклярский, Д.О. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум / Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. - Москва : Наука, 1970.

7. Шафаревич, И. Р. Избранные главы алгебры / И. Р. Шафаревич // Математическое образование. - 2000.

a

3

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.