CC BY
1
УДК 519.633.6
И. А. Митьковец
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Применение сеточно-характеристического метода для моделирования распространения упругих волн в геологических средах с наличием трещин с использованием наложенных сеток
Исследование зон геологических разломов важно для определения запасов нефти и газа в месторождениях. Для моделирования рассеяния волн в зонах трегцинова-тости используют численные методы на структурированных вычислительных сетках для оптимизации вычислительных ресурсов. Однако эти методы позволяют рассчитать рассеяние волн на трещинах только в направлении координатных осей. Чтобы моделировать более реалистичные трещиноватые поля, используют численные методы на неструктурированных вычислительных сетках или структурированных криволинейных вычислительных сетках, требующих больших вычислительных мощностей и важных при решении обратных задач. В данной работе предлагается численный метод с использованием наложенных сеток, где расчеты проводятся на структурированных регулярных вычислительных сетках с наложенными сетками, повернутыми вдоль трещин. Основным фактором является аналитическое задание якобиана вращения объектов, описывающих трещину, и малый локальный размер наложенных вычислительных сеток для экономии вычислительных ресурсов.
Ключевые слова: наложенные сетки, сеточно-характеристический метод, упругие волны, распространение волн, сейсморазведка, трещины, геологические разломы, рассеяние волн
I.A. Mitskovets Moscow Institute of Physics and Technology
Application of the grid characteristic method for modeling the propagation of elastic waves in geological media with cracks using overset grids approach
The study of geological fault zones is crucial for determining oil and gas reserves in deposits. For modeling wave scattering in fracture zones, numerical methods are used on structured computational grids to optimize computing resources. However, these methods allow us to calculate the scattering of waves on cracks only in the direction of the coordinate axes. For modeling more realistic fractured fields, numerical methods are used on unstructured computational grids or structured curved computational grids that require large computing power and are important for solving inverse problems. In this paper, we propose a numerical method using overset grids approach, where calculations are carried out on structured regular computational grids with overset grids rotated along cracks. The main factor is the analytical assignment of the Jacobian of rotation of the objects describing the crack, and the small local size of the overset computational grids to save computational resources.
Key words: overset grids, grid-characteristic method, elastic waves, waves propagation, seismic prospecting, fractures, geological faults, waves scattering
© Митьковец И. А., 2023
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023
1. Введение
Многочисленные отложения углеводородов и минералов связаны с наличием расщепленных неоднородностей. В настоящее время важной задачей в геологическом исследовании является учет влияния трещиноватых областей на распространение волн. Результат интерпретации сейсмических данных, полученных из таких сред, во многом зависит от явлений, таких как анизотропия, рассеянные волны, эффекты затухания и явления, связанные со сдвигом фазы [1]. В связи с этим необходимо разработать эффективные методы моделирования распространения динамических волн в средах, содержащих микро- и макротрещины. Интерпретация сейсмических данных, полученных из таких сред, требует большей внимательности и точности ввиду вышеназванных шумовых эффектов, а также составляет важный вклад в развитие геологического исследования. Данная работа содержит описание актуальной области математического моделирования, связанной с сейсмическим исследованием минералов, ультразвуковым исследованием горных пород и диффузионным обнаружением подземных загрязнителей. Также здесь рассматривается глубокое влияние расщепленных структур на результат инверсии и миграции сейсмических данных, особенно на анизотропию, вызванную расщеплением. Предпринята попытка описать различные типы расщепленных структур, которые могут образовываться в углеводородных месторождениях, и охарактеризовать их влияние на полевые модели. Также в работе рассматривается разработка математических методов для моделирования расщеплений различных структур в целях создания достаточно реалистичной и детальной модели окружающей среды. Выполненный анализ может быть полезен для более точной и эффективной эксплуатации полевых моделей и разработки оптимальных методов их эксплуатации. Рассмотрим подходы к моделированию волновых явлений в геологических зонах с разломами. Эти подходы отличаются математической формулировкой, типом используемых сеток (регулярных, нерегулярных, криволинейных, тетраэдрических, гексаэдрических и т.д.) и численными методами.
Наиболее популярен математический подход, основанный на модели линейного скольжения Шёнберга (LSM), которая получила экспериментальное подтверждение в [3, 4]. Для моделирования зоны с разломами обычно используются анизотропные модели [5], которые эффективны на больших длинах волн, но не учитывают большинство характеристик. Эксплицитный подход [6] имеет преимущества. В качестве альтернативы были рассмотрены другие подходы, такие как добавление дополнительных узлов в работах Славински и Кребс [7, 8], а также использование вспомогательных вычислительных сеток для описания распространения волн внутри разлома в работе Чжан и Гао [9].
Также исследования Лана, Чжана [10] и Фаворской, Жданова, Хохлова, Петрова [11] рассматривают модели трещин конечной толщины, которые направлены вдоль линий вычислительной сетки. Гуо, Шуай, Вей, Динг, Гуревич [12], Чэн, Фейлер, Фанг, Шан, Берне [13] и Цуй, Лайнз, Кребс [1] также используют регулярные сетки, но применяют модель бесконечно малых трещин. Чо, Гибсон, Васильева, Ефендиев [14], Чунг, Ефендиев, Гибсон, Васильева [15] и Васильева, Де Басабе, Ефендиев, Гибсон [16] употребляют комбинированный подход, то есть применяют грубые регулярные сетки с размером, близким к размеру трещины, каждая ячейка которых разделена на треугольники. Аналогичный подход для трехмерного случая представлен в работе Франческини, Ферронато, Джанны, Театини [17]. В работе Хохлова, Стогний [18] используется модель двухсторонней трещины, направление которой не совпадает с осями координат регулярной сетки, но этот подход требует значительной дискретизации вычислительной сетки для достижения оптимального уровня описания формы трещины. Чо, Гибсон, Васильева, Эфендиев [14], Чунг, Эфендиев, Гибсон, Васильева [15] и Васильева, Де Басабе, Эфендиев, Гибсон [16], Босма, Хаджибейги, Тепе, Тчелепи [19], Квасов, Петров [20] и Чан [6] применяют нерегулярные треугольные сетки. Франческини, Ферронато, Джанна, Театини [17], Босма, Хаджибейги, Тепе, Тпели [19], Квасов, Петров [20] и Левиант, Петров, Челноков, Антонова [21] используют нерегулярные тетраэдральные сетки для решения трехмерной задачи. Де Басабе, Сен, Уилер [22] прибе-
гают к квадратным нерегулярным сеткам. Использование нерегулярных вычислительных сеток позволяет описывать геологические трещины с реалистичным наклоном, однако требует значительных вычислительных ресурсов и редко применяется на практике [24].
Для моделирования рассеяния волн от трещиноватых областей с явным учетом трещин можно использовать методы конечных разностей (например, Цуй, Лайнс, Кребс [1], Новиков, Лисица, Козяев [25], Ван, Пенг, Лу, Цуй [26]), включая сеточно-характеристический метод (например, Фаворская, Жданов, Хохлов, Петров [11], Хохлов, Стогний [18], Квасов, Петров [20], Левиант, Петров, Челноков, Антонова [21]), и метод конечных элементов (например, Чунг, Эфендиев, Гибсон, Васильева [15]), включая метод дискретизации Галеркина с разрывом (например, Чо, Гибсон, Ли, Шин [27], Вамараджу, Сен, Де Басабе, Уилер [28]), и метод спектральных элементов (например, Хоу, Лиу, Чен, Чжуан, Лиу [29], Ли, Ходайи, Алиабади [30], Пономаренко, Сабитов, Шарара [31]).
В данной работе мы предлагаем новую модификацию сеточно-характеристического метода [11], то есть сеточно-характеристический метод с использованием метода наложенных сеток. Первые идеи этого метода были представлены в [32]. Одна из первых работ, посвященных накладывающимся (адаптивным) вычислительным сеткам, — работы Бергера, Джозефа [33] и Стегера, Бэнека [34, 35]. Концепция использования наложенных сеток (например, English, Qiu, Yu, Fedkiw [36], Репа, Deloze, Laurendeau, Hoarau [37]), также известных как композитные накладывающиеся сетки (например, Чессайр, Г., Хеншоу [38]), химерные сетки (например, Storti, Garelli, Storti и D'Elia [39]) и метод химера (например, Brezzi, Lions, Pironneau [40]), была успешно развита и сейчас используется, например, для решения задач гидродинамики (например, Чан [41], Майер, Попп, Герстенбергер, Уолл [42], Чжан, Ним. Дель Пин [43], Нгуен, By, Парк, Жунг [44]). Формаджиа, Вергара, Зонка [45] решают задачу Пуассона с разрывными коэффициентами, используя новую модификацию метода расширенных конечных элементов с применением наложенных сеток. Матрично-свободный подход химера на основе связывания Дирихле-Дирихле в случае треугольной сетки был предложен Сторти, Гарелли, Сторти и де Элия [39]. Новизна предлагаемого подхода заключается в использовании наложенных сеток для решения задач сейсморазведки трещиноватых зон и организации наложенных сеток вокруг трещин таким образом, чтобы якобиан преобразования приближался к единице. В нашей работе мы рассматриваем 2D геологические модели.
2. Вычислительный метод
В данном разделе мы рассматриваем математические модели и численные методы, применяемые в работе. В качестве модели трещины рассматривалась LSM-модель. В качестве численного метода использовался сеточно-характеристический метод, являющийся методом Римана для систем гиперболических уравнений. В качестве модели, описывающей распространение динамических волновых возмущений, брались уравнения линейной теории упругости в изотропной формулировке.
2.1. Модель трещины
Давайте рассмотрим методы моделирования волновых процессов в трещиноватых средах, явно учитывая процессы, происходящие с каждой трещиной в отдельности. Для трещины, расположенной вдоль оси OY, граничные условия модели LSM будут иметь следующий вид:
^ = КТ(V* - V&, ^ = Км № - Vf).
Рис. 1. Визуализация постановки граничных условий
Тут и далее Ь и К обозначают отношение к левой и правой границе трещины соответственно; и а^у - компоненты тензора напряженности а\ Ух и Уу - соответствующие компоненты вектора скорости V; Кт и КN - параметры трещины, устанавливаемые экспериментально. Частным случаем модели ЬБМ является модель бесконечно тонкой трещины, заполненной жидкостью, используемая в данной работе. В этом случае в параметры Кт и Км принимают следующие значения:
Кт = ж, Км = 0.
Таким образом, выражения 1 принимают следующий вид:
°хх = °ху,
°хх = °ху = 0 Vе = Ут.
(2)
(3)
(4)
(о) (6)
Тогда в случае произвольно заданной трещины с заданной к ней нормалью т получаем
т Е
а ■ т = а ■ т,
ае ■ т — (т ■ ае ■ т) = 0 Уь т = Vе- т.
(8) (9)
2.2. Граничные условия
Наша постановка граничных условий для уравнения упругой волны [46] схематически представленных на 1, имеет вид:
д2и(Г, = С2 у(у ■ п(г, ¿)) — С2у х (У х п(г, г)),
дъ2
р
д V (г, г)
= (У ■ °(г,1))т,
(10) (11)
д а(г,г) дЪ
= (рС2Р — 2рС'2)(У ■ V(г, 1))1 + рС1 (У ® V(г, 1) + (У® V(г, 1))т), (12)
где р - это плотность, Ср и Св - скорости продольной и поперечной волн в упругой среде соответственно, I - единичная матрица ранга 2, ® обозначает тензорное произведение векторов (а ® Ь) ^ = аф^.
2.3. Наложенные сетки
Используя систему координат (£ 1, ¿¡2) привязанную к наложенной сетке (2), мы можем решить уравнение упругой волпы в наложенной сетке, для этого нам понадобится следующее преобразование:
1 Ь сова Ь вша х
6. —12 вта 12 сова 1
Г 0
(13)
где г0 - радиус-вектор, соответствующий нижней левой точке наложенной сетки в изначальной системе координат (х, у). Задав как шаг наложенной сетки вдоль оси 2можно определить коэффициенты Ц следующим образом:
Ъ = ^,3 = 1, 2.
(14)
Рис. 2. Основная и наложенная сетки, описывающие трещину в изначальной системе координат
■г
о О о
с !> о Л
О О
с о о /
с..' / * ■
о —
<г - 1/ /V
о о Чг 1 1 о
с < / г? с
о Л 1 о
О О с
и
Рис. 3. Интерполяционная схема
7
Для моделирования распространения возмущений в наложенной сетке нам необходимо определить неизвестные функции V (г, t) и a (г, t) на каждом временном шаге вычислительного алгоритма. В нашей работе это реализуется за счет интерполяции значений состояния среды из узлов основной сетки в узлы наложенной сетки с учетом геометрии сеток и взаимного расположения ячеек. На рис. 3 схематически отмечены узлы основной сетки (заполненные квадратики) и призрачные узлы наложенной сетки. Призрачные узлы наложенной сетки это фиктивные узлы, используемые для вычисления значений на границе наложенной сетки, обусловленные использованием пятиточечной схемы. Прямая интерполяци из основной сетки в наложенную происходит в начале вычислительного шага но времени при расчете распространения волны в наложенной сетке для учета изменений напряженности среды в результате распространения волны в основной сетке. Также необходимо выполнить обратную интерполяцию из наложенной сетки в основную в конце временного шага для синхронизации изменений произошедших на данном вычислительном шаге.
2.4. Проверка метода
Для проведения проверки точности предлагаемого метода нами было поставлено две эквивалентные задачи. Расположение сеток в этих задачах схематически отражено на рис. 4. Используя такие тесты, мы можем сравнить показания, получаемые на виртуальных приемниках в результате моделирования взаимодействия упругой волны с трещиной, совпадающей с осью OY основной сетки на рис. 46 и повернутой (при помощи наложенной сетки) трещины относительно этой оси.
I I I I I I I I I 1*1 I I I I I I И ♦
♦ ♦
• Ж •
♦ ♦
♦
а) использованием наложенной сотки
Рис. 4. Схематическое изображение эквивалентных постановок
Первый тест
В этом тесте мы использовали в качестве источника возмущений плоскую волну и один приемник, регистрирующий скорость распространения возмущений. Размеры, используемые в выполненном нами тесте, а также положение плоской волны, приведены на рис. 5. В приведенных ниже расчетах использовались идентичные параметры вычислений: шаг но координате был равен 4 м, шаг по времени - 0, 4 мс. Мы использовали функцию полусинусоиды в качестве источника волны с длиной волны 100 м (эффективная частота 20 Гц, реальная частота 10 Гц). Скорость продольной волны составляла 2000 м/с, скорость по-
б) без использования наложенной сетки
перечной была равна 1000 м/с, а плотность среды составляла 2000 кг/м3. Плоская волна падает под углом 20° к трещине, расположение приемника отмечено треугольником.
Рис. 5. Постановка задач
[
0,5
0.4
-0.3
I [
0.2
0.1
0.0
в) мас-
а) с использованием наложенной сетки б) без использования наложенной сетки штаб
скорости
а) с использованием наложенной сетки б) без использования наложенной сетки
Рис. 6. Продольные составляющие
а) использованием наложенной сетки б) без использования наложенной сетки
Рис. 7. Поперечные составляющие
Волновые картины, полученные в результате проведения этих обоих расчетов в момент
времени 0.9 с, представлены на рис. 6 для продольных составляющих волн и на рис. 7 для поперечных составляющих.
Сравнение показаний, зарегистрированных на приемнике, продемонстрировано на рис. 8. Так, там отмечена разница этих показаний, при сравнении которой с амплитудой зарегистрированных сигналов можно отметить ее незначительность.
0.2
0.1
0.0
0.0
0.4
-without Chimera mesh
difference
l\
К Ч
а) продольные составляющие
1.2
0.6
0.4
0.2
0.0
—-without Chimera mes --with Chimera mesh difference
A
\
4Л
0.8
1.2
0.0 0.4
б) поперечные составляющие
Рис. 8. Сравнение показаний приемника
Второй тест
Для второго теста мы использовали постановку, схематически отраженную на рис. 4. Пространственный шаг сеток составил 2 м, длина трещины - 100 м, скорость продольной волны в моделируемой среде - 1000 м/с, поперечной - 600 м/с, ее плотность равна 1000 кг/м3. Также использовался точечный источник упругих волн, задаваемый функцией 20
На рис. 9 показана зависимость относительных ошибок от угла между трещиной и горизонтальной осью ОХ. Обратите внимание, что в этом разделе угол поворота трещины является углом между трещиной и осью ОХ. Для расчета относительных ошибок мы использовали выражения (15) и (16).
Рис. 9. Зависимость относительных ошибок от угла между трещиной и осью ОХ
В формулах (15) и (16) Мд - количество приемников, равное 36, - количество шагов по времени, равное 1215, гт^, Юу - компоненты поля скорости, рассчитанные с использованием наложенной сетки в исходной системе координат, Ууд - компоненты поля скорости, рассчитанные без наложенной сетки в соответствующей повернутой системе ко-
ординат.
ЕГЛ Egi((iff - )2 + ((vj - v-У)2)2 ЕЙЕ J& )2 + )2)1
Er {Li} =
Er{Li} =
maxe\i,Nr],je\i,Nt] ((Vx - vx )2 + ((vy - V )2)2 maXe\i,Nr^,je\l,Nt^((Угx )2 + )2) 1
(15)
(16)
На рис. 10 и 11 представлены примеры волновых картин и сейсмограмм для угла поворота трещины, равного 30°. Так, на рис. 10 представлены волновые картины модуля скорости в момент времени 0, 7128 с, расстояние в километрах, угол поворота трещины 30°, позиции приемников обозначены ромбом, позиция источника обозначена звездочкой. А на рис. 11 представлены сейсмограммы модуля аномальной скорости в этом же эксперименте.
0.3 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3
I I I I I I I I I I I I I I I I I I
*
щ8 ♦ \ \
4 1 V i
V 1 4
V ^ / у
*****
-0.4 -0.2 0.0 0.2
а) с наложенной сеткой
0.4
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
б) без использования наложенной сетки
Рис. 10. Волновые картины в момент 0.7128 с
0.9
0
18
27
36
18
27
36
18
27
36
RECEIVER NUMBER
а) с наложенной сеткой
RECEIVER NUMBER
б) без наложенной сетки Рис. 11. Сейсмограмма
RECEIVER NUMBER
в) разница
2.5. Пример применения
В данном разделе представлен численный эксперимент, демонстрирующий возможности предложенного метода. Рассматривается пример модели с наличием трещин в слоистых геологических средах. Осуществляется качественное сравнение с расчетом из работы других авторов по этой тематике.
Была рассмотрена геологическая модель из работы Чо, Гибсон, Васильева, Ефендиев [14], изображенная на рис. 12 их работы. Постановка задачи представлена на рис. 126, на рис. 12а шкалы физических параметров, точка в центре указывает расположение источника, прямоугольники, расположенные под разными углами, обозначают расположение наложенных сеток, содержащих трещины. На рис. 12в показана волновая картина в момент времени 0, 25 с. Снимки компонентов модуля скорости в момент времени
0, 25 с представлены на рис. 13. Шаг по времени составил в данном расчете 50 • 10 6 с, а шаг по координате равнялся 0, 78125 м.
■-3.0 1-1.8
-2.6 К-6
-1.4
I I
р, kg/m3 J2300
-2200
-2100
а)
шкала
DISTANCE, km 0.4 0.6 0.8
-
б) постановка задачи
в) волновая картина
Рис. 12. Реалистичная постановка
а) горизонтальная составляющая
б) вертикальная составляющая
Рис. 13. Результат вычислений для реалистичной постановки
Волновые поля имеют хорошее качественное сходство с волновыми полями из работы [14], что свидетельствует о корректности работы предлагаемого метода.
2.6. Заключение
Представленная статья предлагает новый подход к моделированию трещиноватых геологических сред на структурированных сетках с использованием наложенных сеток. Ранее этот подход широко использовался и применялся в задачах газовой динамики и других проблемах механики. В данной статье он адаптирован для сейсмического моделирования в гетерогенных средах. Применение этого подхода позволило использовать регулярную прямоугольную вычислительную сетку в основной вычислительной области. Методы на структурированных регулярных сетках позволяют значительно оптимизировать численные методы и имеют высокую скорость вычисления. Довольно малые наложенные сетки также имеют регулярную прямоугольную структуру и не добавляют значительных затрат на общее время вычислений. Кроме того, не возникает проблем с построением неструктурированных сеток, процесс создания наложенной сетки является тривиальным. Представлены описание, тестирование и возможности предложенного метода.
Недостатком предложенного подхода является невозможность задания пересекающихся трещин в текущей реализации. Кроме того, позиция разрывов ограничена размером наложенной сетки, несмотря на то, что она может быть довольно маленькой. К недостаткам также могут быть отнесены локальные ошибки, близкие к первому порядку, которые возникают при переинтерполяции между сетками.
Предложенная модификация сеточно-характеристического метода, использующая наложенные сетки, может быть применена для решения обратных задач изучения трещиноватых зон [46, 51, 52] как численный метод для решения прямой задачи.
Авторы видят развитие данного подхода при его использовании для моделирования сейсмических задач, связанных с явным выбором интерфейсов между поверхностями, учитывая нормаль к поверхности и явный выбор других неоднородностей (полости, пещеры и т.д.). Также ведутся работы по переносу этих подходов на трехмерный случай и паралле-лизации в вычислительных устройствах с распределенной памятью.
Список литературы
1. Сил X., Lines L.R., Krebes E.S. Seismic modelling for geological fractures // Geophysical Prospecting. 2017. V. 66(1). P. 157-168.
2. Schoenberg M. Elastic wave behaviour across linear slip interfaces // Journal of the Acoustical Society of America. 1980. V. 68. P. 1516-1521.
3. Pyrak-Nolte L.J., Myer L.R., Cook N.G. W. Anisotropv in seismic velocities and amplitudes from multiple parallel fractures // Journal of Geophysical Research. 1990. V. 95. P. 113 15 11358.
4. Hsu C.-J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium // Geophysics. 1993. V. 58(7). P. 964-977.
5. Backus G.E. Long-wave elastic anisotropv produced by horizontal layering // Journal of Geophysical Research. 1962. V. 67. P. 4427-4440.
6. Zhang J. Elastic wave modeling in fractured media with an explicit approach // Geophysics. 2005. V. 70(5). P. T75-T85.
7. Slawinski R.A., Krebes E.S. Finite-difference modeling of SH-wave propagation in nonwelded contact media // Geophysics. 2002. V. 67. P. 1656-1663.
8. Slawinski R.A., Krebes E.S. The homogeneous finite difference formulation of the P-SV wave equation of motion // Studia Geophvsica et Geodaetica. 2002. V. 46. P. 731-751.
9. Zhang J., Gao H. Elastic wave modelling in 3-D fractured media: an explicit approach // Geophvs. J Int. 2009. V. 177. N 3. P. 1233-1241.
10. ban H.Q., Zhang Z.J. Seismic wavefield modeling in media with fluid-filled fractures and surface topography // Applied Geophysics. 2012. V. 9(3). P. 301-312.
11. Favorskaya A. V., Zhdanov M.S., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Modelling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid characteristic method // Geophysical Prospecting. 2018. V. 66(8). P. 1485-1502.
12. Guo J., Shuai D., Wei J., Ding P., Gurevich B. P-wave dispersion and attenuation due to scattering by aligned fluid saturated fractures with finite thickness: Theory and experiment // Geophysical Journal International. 2018. V. 215(3). P. 2114-2133.
13. Chen Т., Fehler M., Fang X., Shang X., Burns D. SH wave scattering from 2-D fractures using boundary element method with linear slip boundary condition // Geophysical Journal International. 2012. V. 188(1). P. 371-380.
14. Cho Y., Gibson R.L., Vasilyeva M., Efendiev Y. Generalized multiscale finite elements for simulation of elastic-wave propagation in fractured media // Geophysics. 2018. V. 83(1). P. WA9-WA20.
15. Chung E.T., Efendiev Y., Gibson R.L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for elastic wave propagation in fractured media // GEM-International Journal on Geomathematics. 2016. V. 7(2). P. 163-182.
16. Vasilyeva M., De Basabe J.D., Efendiev Y., Gibson Jr.R.L. Multiscale model reduction of the wave propagation problem in viscoelastic fractured media // Geophysical Journal International. 2016. V. 217(1). P. 558-571.
17. Franceschini A., Ferronato M., J anna C., Teatini P. A novel Lagrangian approach for the stable numerical simulation of fault and fracture mechanics // Journal of Computational Physics. 2016. V. 314. P. 503-521.
18. Khokhlov N., Stognii P. Novel Approach to Modeling the Seismic Waves in the Areas with Complex Fractured Geological Structures // Minerals. 2020. V. 10(2). P. 122.
19. Bosnia S., Hajibeygi H., Tene M., Tchelepi H.A. Multiscale finite volume method for discrete fracture modeling on unstructured grids (MS-DFM) // Journal of Computational Physics. 2017. V. 351. P. 145-164.
20. Kvasov, I., Petrov, I. Numerical Modeling of Seismic Responses from Fractured Reservoirs by the Grid-characteristic Method // Society of Exploration Geophvsicists. 2019.
21. Leviant V.B., Petrov I.B., Chelnokov F.B., Antonova I.Y. Nature of the scattered seismic response from zones of random clusters of cavities and fractures in a massive rock // Geophysical prospecting. 2017. V. 55(4). P. 507-524.
22. De Basabe J.D., Sen M.K., Wheeler M.F. Elastic wave propagation in fractured media using the discontinuous Galerkin method // Geophysics. 2016. V. 81(4). P. T163-T174.
23. Mollhoff M., Bean C.J. Validation of elastic wave measurements of rock fracture compliance using numerical discrete particle simulations // Geophysical Prospecting. 2009. V. 57(5). P. 883-895.
24. Lisitsa V., Tcheverda V., Botter C. Combination of the discontinuous Galerkin method with finite differences for simulation of seismic wave propagation // Journal of Computational Physics. 2016. V. 311. P. 142-157.
25. Novikov M.A., Lisitsa V.V., Kozyaev A.A. Numerical modeling of wave processes in fractured porous fluid-saturated media // Numerical methods and programming. 2018. V. 19. P. 130-149.
26. Wang K., Peng S., Lu Y., Cut X. The velocity-stress finite-difference method with a rotated staggered grid applied to seismic wave propagation in a fractured medium // Geophysics. 2020. V. 85(2). P. T89-T100.
27. Cho Y., Gibson R.L., Lee J., Shin C. Linear-slip discrete fracture network model and multiscale seismic wave simulation // Journal of Applied Geophysics. 2019. V. 164. P. 140152.
28. Vamaraju J., Sen M.K., De Basabe J., Wheeler M. Enriched Galerkin finite element approximation for elastic wave propagation in fractured media // Journal of Computational Physics. 2018. V. 372. P. 726-747.
29. Hou X., Liu N., Chen K., Zhuang M., Liu Q.H. The Efficient Hybrid Mixed Spectral Element Method With Surface Current Boundary Condition for Modeling 2.5-D Fractures and Faults // IEEE Access. 2020. V. 8. P. 135339-135346.
30. Li J., Khodaei Z.S., Aliabadi M.H. Spectral BEM for the analysis of wave propagation and fracture mechanics 11 Journal of Multiscale Modelling. 2017. V. 8(03n04). P. 1740007.
31. Ponomarenko R., Sabitov D., Charara M. Spectral element simulation of elastic wave propagation through fractures using linear slip model: microfracture detection for C02 storage // Geophysical Journal International. 2020. V. 223, I. 3. P. 1794-1804.
32. Ruzhanskaya A., Khokhlov N. Modelling of Fractures Using the Chimera Grid Approach // In 2nd Conference on Geophysics for Mineral Exploration and Mining. European Association of Geoscientists k, Engineers. — 2018, September. V. 2018. N 1. P. 1-5.
33. Berger M.J., Joseph E.O. Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations // Journal of Computational Physics. 1984. V. 53(3). P. 484-512.
34. Steger J.L. A chimera grid scheme: advances in grid generation // Am. Mech. Eng. Fluids Eng. 1983. V. 5. P. 55-70.
35. Steger J.L., Benek J.A. On the use of composite grid schemes in computational aerodynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. V. 64(1-3). P. 301-320.
36. English R.E., Qiu L., Yu Y., Fedkiw R. Chimera grids for water simulation // Proceedings SCA 2013: 12th ACM SIGGRAPH / Eurographics Symposium on Computer Animation. 2013. P. 85-94.
37. Pena D., Deloze T., Laurendeau E., Hoarau Y. Icing modelling in NSMB with chimera overset grids // AIP Conference Proceedings. 2015. 1648. 030034.
38. Chesshire G., Henshaw W.D. Composite overlapping meshes for the solution of partial differential equations // Journal of Computational Physics. 1990. V. 90(1). P. 1-64.
39. Storti B., Garelli L., Storti M., D'Elia J. A matrix-free Chimera approach based on Dirichlet-Dirichlet coupling for domain composition purposes // Computers k Mathematics with Applications. 2020. V. 79(12). P. 3310-3330.
40. Brezzi F., Lions J.L., Pironneau O. Analysis of a Chimera method // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 2001. V. 332(7). P. 655-660.
41. Chan W. Overset grid technology development at NASA Ames Research Center // Computers & Fluids. 2009. V. 38. P. 496-503.
42. Mayer U.M., Popp A., Gerstenberger A., Wall W.A. 3D fluid-structure-contact interaction based on a combined XFEM FSI and dual mortar contact approach // Computational Mechanics. 2010. V. 46(1). P. 53-67.
43. Zhang Y., Yim S.C., Del Pin F. A nonoverlapping heterogeneous domain decomposition method for three-dimensional gravity wave impact problems // Computers k Fluids. 2015. V. 106. P. 154-170.
44. Nguyen V.T., Vu D.T., Park W.G., Jung C.M. Navier-Stokes solver for water entry bodies with moving Chimera grid method in 6DOF motions // Computers k Fluids. 2016. V. 140. P. 19-38.
45. Formaggia L., Vergara C., Zonca S. Unfitted extended finite elements for composite grids // Computers k Mathematics with Applications. 2018. V. 76(4). P. 893-904.
46. Zhdanov M.S. Inverse theory and applications in geophysics // Elsevier. 2015. V. 36.
47. Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. 1860. V. 8. P. 43-66.
48. Kholodov A.S., Kholodov Ya.A. Monotonicitv criteria for difference schemes designed for hyperbolic equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2006. V. 46(9). P. 1560-1588.
49. Favorskaya A., Khokhlov N. Types of elastic and acoustic wave phenomena scattered on gas- and fluid-filled fractures // Procedia Computer Science. 2020. V. 10(5). P. 307-314.
50. Favorskaya A., Petrov I. A novel method for investigation of acoustic and elastic wave phenomena using numerical experiments // Theoretical and Applied Mechanics Letters. 2020. V. 10(5). P. 307-314.
51. Malovichko M., Khokhlov N., Yavich N., Zhdanov M. Approximate solutions of acoustic 3D integral equation and their application to seismic modeling and full-waveform inversion // Journal of Computational Physics. 2017. V. 346. P. 318-339.
52. Malovichko M., Khokhlov N., Yavich N., Zhdanov M.S. Incorporating known petrophvsical model in the seismic full waveform inversion using the Gramian constraint // Geophysical Prospecting. 2020. V. 68(4). P. 1361-1378.
References
1. Cut X., Lines L.R., Krebes E.S. Seismic modelling for geological fractures. Geophysical Prospecting. 2017. V. 66(1). P. 157-168.
2. Schoenberg M. Elastic wave behaviour across linear slip interfaces. Journal of the Acoustical Society of America. 1980. V. 68. P. 1516-1521.
3. Pyrak-Nolte L.J., Myer L.R., Cook N.G. W. Anisotropv in seismic velocities and amplitudes from multiple parallel fractures. Journal of Geophysical Research. 1990. V. 95. P. 1134511358.
4. Hsu C.-J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium. Geophysics. 1993. V. 58(7). P. 964-977.
5. Backus G.E. Long-wave elastic anisotropv produced by horizontal layering. Journal of Geophysical Research. 1962. V. 67. P. 4427-4440.
6. Zhang J. Elastic wave modeling in fractured media with an explicit approach. Geophysics. 2005. V. 70(5). P. T75-T85.
7. Slawinski R.A., Krebes E.S. Finite-difference modeling of SH-wave propagation in nonwelded contact media. Geophysics. 2002. V. 67. P. 1656-1663.
8. Slawinski R.A., Krebes E.S. The homogeneous finite difference formulation of the P-SV wave equation of motion. Studia Geophvsica et Geodaetica. 2002. V. 46. P. 731-751.
9. Zhang J., Gao H. Elastic wave modelling in 3-D fractured media: an explicit approach. Geophvs. J Int. 2009. V. 177. N 3. P. 1233-1241.
10. Lan H.Q., Zhang Z.J. Seismic wavefield modeling in media with fluid-filled fractures and surface topography. Applied Geophysics. 2012. V. 9(3). P. 301-312.
11. Favorskaya A. V., Zhdanov M.S., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Modelling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid characteristic method. Geophysical Prospecting. 2018. V. 66(8). P. 1485-1502.
12. Guo J., Shuai D., Wei J., Ding P., Gurevich B. P-wave dispersion and attenuation due to scattering by aligned fluid saturated fractures with finite thickness: Theory and experiment. Geophysical Journal International. 2018. V. 215(3). P. 2114-2133.
13. Chen T., Fehler M., Fang X., Shang X., Burns D. SH wave scattering from 2-D fractures using boundary element method with linear slip boundary condition. Geophysical Journal International. 2012. V. 188(1). P. 371-380.
14. Cho Y., Gibson R.L., Vasilyeva M., Efendiev Y. Generalized multiscale finite elements for simulation of elastic-wave propagation in fractured media. Geophysics. 2018. V. 83(1). P. WA9-WA20.
15. Chung E. T., Efendiev Y., Gibson R.L., Vasilyeva M. A generalized multiscale finite element method for elastic wave propagation in fractured media. GEM-International Journal on Geomathematics. 2016. V. 7(2). P. 163-182.
16. Vasilyeva M., De Basabe J.D., Efendiev Y., Gibson Jr.R.L. Multiscale model reduction of the wave propagation problem in viscoelastic fractured media. Geophysical Journal International. 2016. V. 217(1). P. 558-571.
17. Franceschini A., Ferronato M., J anna C., Teatini P. A novel Lagrangian approach for the stable numerical simulation of fault and fracture mechanics. Journal of Computational Physics. 2016. V. 314. P. 503-521.
18. Khokhlov N., Stognii P. Novel Approach to Modeling the Seismic Waves in the Areas with Complex Fractured Geological Structures. Minerals. 2020. V. 10(2). P. 122.
19. Bosma S., Hajibeygi H., Tene M., Tchelepi H.A. Multiscale finite volume method for discrete fracture modeling on unstructured grids (MS-DFM). Journal of Computational Physics. 2017. V. 351. P. 145-164.
20. Kvasov, I., Petrov, I. Numerical Modeling of Seismic Responses from Fractured Reservoirs by the Grid-characteristic Method. Society of Exploration Geophvsicists. 2019.
21. Leviant V.B., Petrov I.B., Chelnokov F.B., Antonova I.Y. Nature of the scattered seismic response from zones of random clusters of cavities and fractures in a massive rock. Geophysical prospecting. 2017. V. 55(4). P. 507-524.
22. De Basabe J.D., Sen M.K., Wheeler M.F. Elastic wave propagation in fractured media using the discontinuous Galerkin method. Geophysics. 2016. V. 81(4). P. T163-T174.
23. Mollhoff M., Bean C.J. Validation of elastic wave measurements of rock fracture compliance using numerical discrete particle simulations. Geophysical Prospecting. 2009. V. 57(5). P. 883-895.
24. Lisitsa V., Tcheverda V., Botter C. Combination of the discontinuous Galerkin method with finite differences for simulation of seismic wave propagation. Journal of Computational Physics. 2016. V. 311. P. 142-157.
25. Novikov M.A., Lisitsa V.V., Kozyaev A.A. Numerical modeling of wave processes in fractured porous fluid-saturated media.Numerical methods and programming. 2018. V. 19. P. 130-149.
26. Wang K., Peng S., Lu Y., Cut X. The velocity-stress finite-difference method with a rotated staggered grid applied to seismic wave propagation in a fractured medium. Geophysics. 2020. V. 85(2). P. T89-T100.
27. Cho Y., Gibson R.L., Lee J., Shin C. Linear-slip discrete fracture network model and multiscale seismic wave simulation. Journal of Applied Geophysics. 2019. V. 164. P. 140152.
28. Vamaraju J., Sen M.K., De Basabe J., Wheeler M. Enriched Galerkin finite element approximation for elastic wave propagation in fractured media. Journal of Computational Physics. 2018. V. 372. P. 726-747.
29. Hou X., Liu N., Chen K., Zhuang M., Liu Q.H. The Efficient Hybrid Mixed Spectral Element Method With Surface Current Boundary Condition for Modeling 2.5-D Fractures and Faults. IEEE Access. 2020. V. 8. P. 135339-135346.
30. Li J., Khodaei Z.S., Aliabadi M.H. Spectral BEM for the analysis of wave propagation and fracture mechanics. Journal of Multiscale Modelling. 2017. V. 8(03n04). P. 1740007.
31. Ponomarenko R., Sabitov D., Charara M. Spectral element simulation of elastic wave propagation through fractures using linear slip model: microfracture detection for C02 storage. Geophysical Journal International. 2020. V. 223, I. 3. P. 1794-1804.
32. Ruzhanskaya A., Khokhlov N. Modelling of Fractures Using the Chimera Grid Approach. In 2nd Conference on Geophysics for Mineral Exploration and Mining. European Association of Geoscientists k, Engineers. — 2018, September. V. 2018. N 1. P. 1-5.
33. Berger M.J., Joseph E.O. Adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations. Journal of Computational Physics. 1984. V. 53(3). P. 484-512.
34. Steger J.L. A chimera grid scheme: advances in grid generation. Am. Mech. Eng. Fluids Eng. 1983. V. 5. P. 55-70.
35. Steger J.L., Benek J.A. On the use of composite grid schemes in computational aerodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. V. 64(1-3). P. 301-320.
36. English R.E., Qiu L., Yu, Y., Fedkiw R. Chimera grids for water simulation. Proceedings SCA 2013: 12th ACM SIGGRAPH / Eurographics Symposium on Computer Animation. 2013. P. 85-94.
37. Pena D., Deloze T., Laurendeau E., Hoarau Y. Icing modelling in NSMB with chimera overset grids. AIP Conference Proceedings. 2015. 1648. 030034.
38. Chesshire G., Henshaw W.D. Composite overlapping meshes for the solution of partial differential equations. Journal of Computational Physics. 1990. V. 90(1). P. 1-64.
39. Storti B., Garelli L., Storti M., D'Elia J. A matrix-free Chimera approach based on Dirichlet-Dirichlet coupling for domain composition purposes. Computers k Mathematics with Applications. 2020. V. 79(12). P. 3310-3330.
40. Brezzi F., Lions J.L., Pironneau O. Analysis of a Chimera method. Comptes Rendus de l'Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 2001. V. 332(7). P. 655-660.
41. Chan W. Overset grid technology development at NASA Ames Research Center. Computers k Fluids. 2009. V. 38. P. 496-503.
42. Mayer U.M., Popp A., Gerstenberger A., Wall W.A. 3D fluid-structure-contact interaction based on a combined XFEM FSI and dual mortar contact approach. Computational Mechanics. 2010. V. 46(1). P. 53-67.
43. Zhang Y., Yim S.C., Del Pin F. A nonoverlapping heterogeneous domain decomposition method for three-dimensional gravity wave impact problems. Computers k Fluids. 2015. V. 106. P. 154-170.
44. Nguyen V.T., Vu D.T., Park W.G., Jung C.M. Navier-Stokes solver for water entry bodies with moving Chimera grid method in 6DOF motions. Computers k Fluids. 2016. V. 140. P. 19-38.
45. Formaggia L., Vergara C., Zonca S. Unfitted extended finite elements for composite grids. Computers k Mathematics with Applications. 2018. V. 76(4). P. 893-904.
46. Zhdanov M.S. Inverse theory and applications in geophysics. Elsevier. 2015. V. 36.
47. Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite. Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. 1860. V. 8. P. 43-66.
48. Kholodov A.S., Kholodov Ya.A. Monotonicitv criteria for difference schemes designed for hyperbolic equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2006. V. 46(9). P. 1560-1588.
49. Favorskaya A., Khokhlov N. Types of elastic and acoustic wave phenomena scattered on gas- and fluid-filled fractures. Procedia Computer Science. 2020. V. 10(5). P. 307-314.
50. Favorskaya A., Petrov I. A novel method for investigation of acoustic and elastic wave phenomena using numerical experiments. Theoretical and Applied Mechanics Letters. 2020. V. 10(5). P. 307-314.
51. Malovichko M., Khokhlov N., Yavich N., Zhdanov M. Approximate solutions of acoustic 3D integral equation and their application to seismic modeling and full-waveform inversion. Journal of Computational Physics. 2017. V. 346. P. 318-339.
52. Malovichko M., Khokhlov N., Yavich N., Zhdanov M.S. Incorporating known petrophvsical model in the seismic full waveform inversion using the Gramian constraint. Geophysical Prospecting. 2020. V. 68(4). P. 1361-1378.
Поступим в редакцию 12.05.2023
