CC BY
56
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.384.6
М.В. Степанов
аспирант, кафедра мехатроники, ФГАОУ ВПО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»
ПРИМЕНЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЛЕВИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ИЗГИБА ПАНЕЛЕЙ ПРИБОРОВ
Аннотация. В статье рассматривается исследование изгиба панелей приборов с помощью программы, реализованной в программной среде Matlab. В основу программы положено решение Леви. В статье приведен алгоритм программы и показаны результаты исследования.
Ключевые слова: решение Леви, изгиб тонких пластин, напряженно-деформированное состояние. M.V. Stepanov, Saint-Petersburg National Research University of Information Technologies, Mechanics
and Optics
APPLICATION LEVI SOLUTION FOR STUDING OF BENDING OF INSTRUMENT PLATES
Abstract. This report presents the study of bending of instrument panels in Matlab. The program is based on Levy solution. This article presents algorithm of program and the results of study.
Keywords: Levy solution, bending of thin plates, stress-strain state.
Введение. На сегодняшний день одной из наиболее распространенных в технике конструктивных форм является пластина. Одним из основных способов применения пластин является создание панелей для крепления приборов. Такие панели применяются повсеместно, начиная от военного кораблестроения и промышленного машиностроения и заканчивая миниатюрными бытовыми устройствами.
В зависимости от расположения приборной панели, размещаемого на ней оборудования и других факторов, приборные панели изготавливают из различных материалов, таких как дерево, сталь, алюминий, пластик, композитные материалы. При проектировании панелей приборов большое внимание уделяется расчетам на прочность и жесткость, в ходе которых панели рассчитывают на изгиб и проводят анализ полученных значений прогибов и напряжений.
В данной статье рассматривается один из способов анализа изгиба приборных панелей, основанный на решении Леви, реализованный в пакете прикладных программ Matlab.
Методы расчета пластин на изгиб. Задача расчёта изгиба панели сводится к отысканию функции прогиба ш(х,у), которая полностью определяет напряженно-деформированное состояние панели.
Для отыскания функции прогиба используют следующее неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных:
которое необходимо проинтегрировать с учетом граничных условий задачи, т.е. с учетом способов закрепления панели по краям.
Константа О, входящая в уравнение (1), называется цилиндрической жесткостью пластины и рассчитывается по следующей формуле:
д4 ш 0 д Лш д4 ш q
U Ш ~ U Ш КУ Ш Ч
--+ 2--1--= —,
дх4 дх 2ду2 ду4 D
+
(1)
(2)
где E- модуль упругости материала; h - толщина панели; V - коэффициент Пуассона.
Таким образом, практически все задачи, связанные с нахождением прогиба пластин, сводятся к решению краевых задач для дифференциального уравнения (1). Точное решение этого уравнения не вызывает затруднения лишь в некоторых элементарных случаях. В более сложных случаях, связанных с математическими трудностями, применяются методы приближенного решения: вариационные, дающие приближенное аналитическое выражение для искомой функции, и численные, определяющие численные значения функции при различном аргументе. К вариационным методам относятся: метод Ритца, метод Галеркина, метод Треффца, Канторовича и другие. К численным относят конечно-разностный метод, метод сеток, вариационно-разностный метод, метод конечных элементов и другие [1].
Преимущества использования решения Леви. Несмотря на многообразие способов решения поставленной задачи, большая их часть сложна для расчета. В связи с этим было принято решение использовать решение Леви, которое хотя и накладывает определенные ограничения на вид закрепления панели, но достаточно просто для расчетов и дает возможность с высокой точностью определить прогиб пластины.
Алгоритм решения задачи. Решение Леви рассматривает пластину, два противоположных края которой оперты шарнирно [2, 3]. Вид закрепления двух других краев - любой. Порядок нахождения прогибов пластины выглядит следующим образом.
1. Задание граничных условий.
На данном этапе анализируются виды закрепления краев пластины и в соответствии с ними задаются граничные условия.
2. Определение выражения для прогиба.
Для определения прогибов, согласно решению Леви, используется следующий ряд:
"(x,y) = £ Ym sin ^, (3)
m=1 a
где Ym - функция, зависящая только от y.
3. Нахождение функции
Функция Ym должна быть подобрана таким образом, чтобы удовлетворять граничным условиям на краях, а также уравнению (1).
После проведения всех подстановок и упрощений общий интеграл для отыскания функции Ym представляется в следующем виде:
Ym = ^Am cosh mny + Bmmny Sinh ^ + Cm Sinh ^ + D.^f COSh ^ (4) D a a a a a a
Существование постоянных интегрирования Am,Bm,Cm,Dm зависит от характера нагру-жения пластинки. При симметричном изгибе постоянные интегрирования Cm = Dm = 0, при несимметричном - Am = Bm = 0 .
4. Определения прогиба
На последнем этапе функцию Ym подставляют в выражение (3) и определяют функцию прогибов.
При тестировании алгоритма проводился анализ напряженно-деформированного состояния панелей приборов со следующими размерами: ° длина (a) - 1 м, ° ширина (b) - 0,5 м, ° толщина - 0,001 м,
изготовленных из меди, алюминия и плексигласа при различных способах закрепления и различных видах нагрузки.
При решении задачи принимались следующие упрощения, называемые гипотезами Кирхгофа-Лява:
• плоское сечение, перпендикулярное срединной поверхности пластины до деформации, остается таковым и после деформации;
• нормальное напряжение много меньше напряжений Хх,Уу,Ху, поэтому им пренебрегают;
• в процессе деформирования толщина тонкой пластины не изменяется.
Один из вариантов закрепления пластинки, рассматриваемых при тестировании алгоритма, представлен на рисунке 1: прямоугольная пластинка свободно оперта по краям и изогнута равномерно распределенной силой (д).
0
Рисунок 1 - Вариант закрепления пластины
По результатам расчетов были построены графики распределения изгибающих моментов, возникающих в опасном сечении пластины под нагрузкой, приводящей к прогибу величиной 3 мм (рис. 2 и 3), и нормальных напряжений (рис. 4 и 5).
1.4 1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Рисунок 3 - Распределение изгибающих моментов Му
5
х 10"
-54
! /; /
/ / 1 / / ' ■'/ 1 1 Алюминий Медь Плексиглас
-2
0
2
х 10
Рисунок 4 - Распределение нормальных напряжений в опасном сечении в плоскости хг
-х 10
-0.5
0
0.5
1
х 10
Рисунок 5 - Распределение нормальных напряжений в опасном сечении в плоскости уи
0
0
Анализируя данные графики, можно описать напряженно-деформированное состояние пластины. Например, можно сделать вывод, что для достижения величины прогиба равной 3 мм моментами, распределенными по краям, их интенсивность должна быть:
• для пластинки из алюминия - 31 Н/м,
• для медной пластинки - 48 Н/м,
• для пластинки из плексигласа - 2,35 Н/м.
Заключение. Таким образом, разработанная программа позволяет отыскать функцию прогибов пластин согласно решению Леви и выводит пользователю графики прогибов, изгибающих моментов и нормальных напряжений в любом из сечений пластины, по которым легко провести анализ напряженно-деформированного состояния пластины. Данная программа может успешно применяться при проектировании панелей приборов.
Список литературы:
1. Саченков А.А. Цикл лекций по теории изгиба пластин: учебное пособие. - Казань: Казан. (Приволж.) федер. ун-т, 2012. - 53 с.
2. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки: пер. с англ. / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - 2 изд. - М.: Наука, 1966. - 636 с.
3. Иванов В.Н. Расчет пластинки на изгиб методом Леви: метод. рекомендации к выполнению курсовой работы по курсу «Теория упругости». - М.: Изд-во РУДН, 2006. - 48 с.
